Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Пример решения. Числовые характеристики непрерывной случайной величины Функция распределения непрерывной случайной величины онлайн

Непрерывные случайные величины - это величины, возможные значения которых образуют некоторый конечный или бесконечный интервал.

Интегральная функция распределения есть закон распределения случайной величины, с помощью которого можно задавать как дискретную, так и непрерывную случайную величину.

Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее х, т.е. .

Геометрически это означает: F(x) есть вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Случайная величина называется непрерывной, если ее интегральная функция F(X) непрерывно дифференцируема.

Свойства интегральной функции.

1 0 . Значения интегральной функции принадлежат отрезку от 0 до1, то есть .

2 0 . Интегральная функция есть функция неубывающая, то есть, если , то .

Следствия:

1. Вероятность того, что СВ примет значение, заключенное в интервале (а;в) равна приращению интегральной функции на этом интервале:

2. Вероятность того, что НСВ примет одно конкретное значение равна 0.

3. Если возможные значения НСВ расположены на всей числовой прямой, то справедливы следующие предельные отношения:

График интегральной функции.

График интегральной функции строят, исходя из ее свойств. По первому свойству , график расположен между прямыми y=0 и y=1. из второго свойства следует, что - функция возрастающая, а значит ее график на промежутке (а,в) поднимается вправо и вверх. По 3 0 свойству при , а при (рис.5).

Рисунок 5. График интегральной функции.

Пример 31. ДСВ задана законом распределения


	0,2	0,5	0,3

Найти интегральную функцию распределения и построить ее график.

1. Если , то по 3 0 .

2. Если , .

3. Если , .

4. Если , то по 3 0 .

Построим график интегральной функции ДСВ(Ч) (рис.6).

Рисунок 6. График интегральной функции для дискретной случайной величины.

Дифференциальная функция распределения НСВ.

Существует еще один способ задания НСВ, используя дифференциальную функцию распределения.

Дифференциальной функцией распределения называется функция равная первой производной интегральной функции, то есть .

Дифференциальную функцию распределения по-другому называют плотностью распределения вероятностей.

Теорема 17. Вероятность того, что НСВ Х примет значение, принадлежащее промежутку (а,в), равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от а до в.

Пример 32. НСВ задана интегральной функцией распределения

Найти дифференциальную функцию распределения и вероятность попадания НСВ в промежуток .

Решение.

Свойства дифференциальной функции распределения.

1 0 . Дифференциальная функция есть функция неотрицательная: .

2 0 . (Условие нормировки.) Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от -∞ до +∞ равен 1, то есть:

В частности, если все возможные значения НСВ принадлежат интервалу (а, в), то

Пример 33.

Найти значение параметра а.

Заметим, что зная дифференциальную функцию распределения, можно найти интегральную функцию по формуле:

Пример 34. НСВ задана дифференциальной функцией распределения:

найти интегральную функцию распределения.

Решение.

Числовые характеристики НСВ.

Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина X примет значение , меньшее х

Пример 2.5. Дан ряд распределения случайной величины

Найти и изобразить графически ее функцию распределения. Решение. В соответствии с определением

F(jc) = 0 при х х

F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 при 4 F{x) = 0,5 + 0,5 = 1 при х > 5.

Итак (см. рис. 2.1):

Свойства функции распределения:

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей:

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси, т.е. при х 2 >х

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности - равна единице, т.е.

4. Вероятность попадания случайной величины X в интервал равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от а до b (см. рис. 2.2), т.е.

Рис. 2.2

3. Функция распределения непрерывной случайной величины (см. рис. 2.3) может быть выражена через плотность вероятности по формуле:

F(x)= Jp (*)*. (2.10)

4. Несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности непрерывной случайной величины равен единице:

Геометрически свойства / и 4 плотности вероятности означают, что ее график - кривая распределения - лежит не ниже оси абсцисс , и полная площадь фигуры , ограниченной кривой распределения и осью абсцисс , равна единице.

Для непрерывной случайной величины X математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(X) определяются по формулам:

(если интеграл абсолютно сходится); или

(если приведенные интегралы сходятся).

Наряду с отмеченными выше числовыми характеристиками для описания случайной величины используется понятие квантилей и процентных точек.

Квантилем уровня q (или q-квантилем) называется такое значение x q случайной величины , при котором функция ее распределения принимает значение , равное q, т. е.

100q%-ou точкой называется квантиль X~ q .
? Пример 2.8.

По данным примера 2.6 найти квантиль xqj и 30%-ную точку случайной величины X.

Решение. По определению (2.16) F(xo t3)= 0,3, т. е.

~Y~ = 0,3, откуда квантиль х 0 3 = 0,6. 30%-ная точка случайной величины X , или квантиль Х)_о,з = xoj » находится аналогично из уравнения ^ = 0,7 . откуда *,= 1,4. ?

Среди числовых характеристик случайной величины выделяют начальные v* и центральные р* моменты к-го порядка , определяемые для дискретных и непрерывных случайных величин по формулам:

Задание 1 . Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:
Найти:
а) параметр A ;
б) функцию распределения F(x) ;
в) вероятность попадания случайной величины X в интервал ;
г) математическое ожидание MX и дисперсию DX .
Построить график функций f(x) и F(x) .

Задание 2 . Найти дисперсию случайной величины X , заданной интегральной функцией.

Задание 3 . Найти математическое ожидание случайной величины Х заданной функцией распределения.

Задание 4 . Плотность вероятности некоторой случайной величины задана следующим образом: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Найти коэффициент A , функцию распределения F(x) , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале . Построить графики f(x) и F(x) .

Задача . Функция распределения некоторой непрерывной случайной величины задана следующим образом:

Определить параметры a и b , найти выражение для плотности вероятности f(x) , математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале . Построить графики f(x) и F(x).

Найдем функцию плотности распределения, как производную от функции распределения.
F′=f(x)=a
Зная, что найдем параметр a:

или 3a=1, откуда a = 1/3
Параметр b найдем из следующих свойств:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 откуда b = -1/3
Следовательно, функция распределения имеет вид: F(x) = (x-1)/3

Математическое ожидание .

Дисперсия .

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Найдем вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале
P(2 < x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Пример №1 . Задана плотность распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной величины X . Требуется:

Определить коэффициент A .
найти функцию распределения F(x) .
схематично построить графики F(x) и f(x) .
найти математическое ожидание и дисперсию X .
найти вероятность того, что X примет значение из интервала (2;3).

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Решение :

Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x):

Найдем параметр A из условия:

или
14/3*A-1 = 0
Откуда,
A = 3 / 14

Функцию распределения можно найти по формуле.

Непрерывные случайные величины имеют бесконечное число возможных значений. Поэтому ввести для них ряд распределения нельзя.

Вместо вероятности того, что случайная величина Х примет значение, равное х, т.е. p(X = x), рассматривают вероятность того, что Х примет значение, меньшее, чем х, т.е. Р(Х < х).

Введем новую характеристику случайных величин - функцию распределения и рассмотрим ее свойства.

Функция распределения - самая универсальная характеристика случайной величины. Она может быть определена как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин:

F(x) = p(X < x).

Свойства функции распределения.

Функция распределения является неубывающей функцией своего аргумента, т.е. если:

На минус бесконечности функция распределения равна нулю:

На плюс бесконечности функция распределения равна единице:

Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал определяется формулой:

Функция f(x), равная производной от функции распределения, называется плотностью вероятности случайной величины Х или плотностью распределения:

Выразим вероятность попадания на участок б до в через f(x). Она равна сумме элементов вероятности на этом участке, т.е. интегралу:

Отсюда можно выразить функцию распределения через плотность вероятности:

Свойства плотности вероятности.

Плотность вероятности является неотрицательной функцией (так как функция распределения является неубывающей функцией):

Плотность вероятно

сти является непрерывной функцией.

Интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности равен 1:

Плотность вероятности имеет размерность случайной величины.

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Смысл математического ожидания и дисперсии остается таким же, как и в случае дискретных случайных величин. Меняется вид формул для их нахождения путем замены:

Тогда получаем формулы для расчета математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины:

Пример. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением:

Найти величину a, плотность вероятности, вероятность попадания на участок (0,25-0,5), математическое ожидание и дисперсию.

Так как функция распределения F(x) непрерывна, то при х = 1 ax2 = 1, следовательно, a = 1.

Плотность вероятности находится, как производная от функции распределения:

Вычисление вероятности попадания на заданный участок может быть произведено двумя способами: с помощью функции распределения и с помощью плотности вероятности.

1-й способ. Используем формулу нахождения вероятности через функцию распределения:
2-й способ. Используем формулу нахождения вероятности через плотность вероятности:

Находим математическое ожидание:

Находим дисперсию:

Равномерное распределение

Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, возможные значения которой лежат в некотором интервале и равновероятны.

Плотность вероятности такой случайной величины будет иметь вид:

где с - некоторая постоянная.

График плотности вероятности изобразится следующим образом:

Выразим параметр с через б и в. Для этого используем тот факт, что интеграл от плотности вероятности по всей области должен быть равен 1:

Плотность распределения равномерно распределенной случайной величины

Найдем функцию распределения:

Функция распределения равномерно распределенной случайной величины

Построим график функции распределения:

Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиняющейся равномерному распределению.

Тогда среднеквадратичное отклонение будет иметь вид:

Нормальное (Гауссово) распределение

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону с параметрами a, у > 0, если она имеет плотность вероятности:

Кривая распределение случайной величины, имеет вид:

Контрольная работа 2

Задание 1. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Вариант 1

ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равно 0,7. Проверено 20 изделий. Найти закон распределения случайной величины Х - числа стандартных изделий среди проверенных. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Вариант 2

В урне 4 шара, на которых указаны очки 2; 4; 5; 5. Наудачу вынимается шар. Найти закон распределения случайной величины Х - числа очков на нем. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Вариант 3

Охотник стреляет по дичи до попадания, но может сделать не более трех выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Составить закон распределения случайной величины Х - числа выстрелов сделанных стрелком. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Вариант 4

Вероятность превысить заданную точность при измерении равна 0,4. Составить закон распределения случайной величины Х - число ошибок при 10 измерениях. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Вариант 5

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,45. Произведено 20 выстрелов. Составить закон распределения случайной величины Х - числа попаданий. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Вариант 6

Изделия некоторого завода содержит 5% брака. Составить закон распределения случайной величины Х - числа бракованных изделий среди пяти взятых на удачу. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Вариант 7

Нужные сборщику детали находятся в трех из пяти ящиков. Сборщик вскрывает ящики до тех пор пока не найдет нужные детали. Составить закон распределения случайной величины Х - числа вскрытых ящиков. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Вариант 8

В урне 3 черных и 2 белых шара. Производится последовательное без возвращения извлечение шаров до появления черного. Составить закон распределения случайной величины Х - числа извлеченных шаров. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Вариант 9

Студент знает 15 вопросов из 20. В билете 3 вопроса. Составить закон распределения случайной величины Х - числа известных студенту вопросов в билете. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Вариант 10

Имеется 3 лампочки, каждая из которых с вероятностью 0,4 имеет дефект. При включении дефектная лампочка перегорает и заменяется другой. Составить закон распределения случайной величины Х - числа испробованных ламп. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Задание 2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (б, в). Построить графики функций F(X) и f(X).

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

Вариант 10

Вопросы к экзамену

Классическое определение вероятности.

Элементы комбинаторики. Размещение. Примеры.

Элементы комбинаторики. Перестановка. Примеры.

Элементы комбинаторики. Сочетания. Примеры.

Теорема о сумме вероятностей.

Теорема умножения вероятностей.

Операции над событиями.

Формула полной вероятности.

Формула Байеса.

Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Пример.

Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Дисперсия дискретной случайной величины.

Биномиальное распределение случайной величины.

Распределение Пуассона.

Распределение по закону геометрической прогрессии.

Непрерывные случайные величины. Функция распределения и ее свойства.

Плотность вероятности и ее свойства.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины.

Дисперсия непрерывной случайной величины.

Равномерное распределение непрерывной случайной величины.

Нормальный закон распределения.

Функция распределения в этом случае согласно (5.7), примет вид:

где: m – математическое ожидание, s– среднеквадратическое отклонение.

Нормальное распределение называют еще гауссовским по имени немецкого математика Гаусса . Тот факт, что случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами: m,, обозначают так: N (m,s), где: m =a =M ;

Достаточно часто в формулах математическое ожидание обозначают через а . Если случайная величина распределена по закону N(0,1), то она называется нормированной или стандартизированной нормальной величиной. Функция распределения для нее имеет вид:

График плотности нормального распределения, который называют нормальной кривой или кривой Гаусса, изображен на рис.5.4.

Рис. 5.4. Плотность нормального распределения

Определение числовых характеристик случайной величины по её плотности рассматривается на примере.

Пример 6 .

Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения:.

Определить вид распределения, найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).

Сравнивая заданную плотность распределения с (5.16) можно сделать вывод, что задан нормальный закон распределения с m =4. Следовательно, математическое ожидание M(X)=4, дисперсия D(X)=9.

Среднее квадратическое отклонение s=3.

Функция Лапласа, имеющая вид:

связана с функцией нормального распределения (5.17), cоотношением:

F 0 (x) = Ф(х) + 0,5.

Функции Лапласа нечётная.

Ф(-x )=-Ф(x ).

Значения функции Лапласа Ф(х) табулированы и берутся из таблицы по значению х (см. Приложение 1).

Нормальное распределение непрерывной случайной величины играет важную роль в теории вероятностей и при описании реальности, имеет очень широкое распространение в случайных явлениях природы. На практике очень часто встречаются случайные величины, образующиеся именно в результате суммирования многих случайных слагаемых. В частности, анализ ошибок измерения показывает, что они являются суммой разного рода ошибок. Практика показывает, что распределение вероятностей ошибок измерения близко к нормальному закону.

С помощью функции Лапласа можно решать задачи вычисления вероятности попадания в заданный интервал и заданного отклонения нормальной случайной величины.