В този урок ще разгледаме всяка от тези операции поотделно.
Съдържание на урокаДобавяне на десетични знаци
Както знаем, десетичната дроб се състои от цяло число и дробна част. При добавяне десетични знаци, цели и дробни части се добавят отделно.
Например, нека съберем десетичните дроби 3.2 и 5.3. По-удобно е да добавяте десетични дроби в колона.
Нека първо запишем тези две дроби в колона, като целите части задължително са под целите числа, а дробите под дробите. В училище това изискване се нарича "запетая под запетая" .
Нека напишем дробите в колона, така че запетаята да е под запетаята:
Събираме дробните части: 2 + 3 = 5. Записваме петицата в дробната част на нашия отговор:
Сега събираме целите части: 3 + 5 = 8. Пишем осмица в цялата част на нашия отговор:
Сега отделяме цялата част от дробната част със запетая. За да направим това, ние отново следваме правилото "запетая под запетая" :
Получихме отговор 8,5. Това означава, че изразът 3,2 + 5,3 е равен на 8,5
3,2 + 5,3 = 8,5
Всъщност не всичко е толкова просто, колкото изглежда на пръв поглед. Тук също има клопки, за които ще говорим сега.
Места в десетични знаци
Десетичните дроби, както и обикновените числа, имат свои собствени цифри. Това са места от десети, места от стотни, места от хилядни. В този случай цифрите започват след десетичната запетая.
Първата цифра след десетичната запетая отговаря за десетите, втората цифра след десетичната запетая за стотните, а третата цифра след десетичната запетая за хилядните.
Местата в десетичните дроби съдържат някои полезна информация. По-конкретно, те ви казват колко десети, стотни и хилядни има в десетичната запетая.
Например, помислете за десетичната дроб 0,345
Позицията, където се намира тройката, се нарича десето място
Позицията, в която се намира четворката, се нарича стотни място
Позицията, където се намира петицата, се нарича хилядно място
Нека да разгледаме тази рисунка. Виждаме, че има тройка на десето място. Това означава, че има три десети в десетичната дроб 0,345.
Ако съберем дробите, получаваме оригиналната десетична дроб 0,345
Първо получихме отговора, но го преобразувахме в десетична дроб и получихме 0,345.
При събиране на десетични дроби се прилагат същите правила, както при събиране на обикновени числа. Добавянето на десетични дроби се извършва в цифри: десети се добавят към десети, стотни към стотни, хилядни към хилядни.
Следователно, когато добавяте десетични дроби, трябва да следвате правилото "запетая под запетая". Запетаята под запетаята осигурява самия ред, в който десетите се добавят към десети, стотни към стотни, хилядни към хилядни.
Пример 1.Намерете стойността на израза 1,5 + 3,4
Първо, събираме дробните части 5 + 4 = 9. Пишем девет в дробната част на нашия отговор:
Сега събираме целите части 1 + 3 = 4. Записваме четирите в цялата част на нашия отговор:
Сега отделяме цялата част от дробната част със запетая. За да направим това, ние отново следваме правилото „запетая под запетая“:
Получихме отговор 4,9. Това означава, че стойността на израза 1,5 + 3,4 е 4,9
Пример 2.Намерете стойността на израза: 3,51 + 1,22
Записваме този израз в колона, като спазваме правилото „запетая под запетая“.
Първо, събираме дробната част, а именно стотните от 1+2=3. Пишем тройка в стотната част на нашия отговор:
Сега добавете десетите 5+2=7. Пишем седем в десетата част на нашия отговор:
Сега събираме целите части 3+1=4. Записваме четирите в цялата част на нашия отговор:
Използваме запетая, за да разделим цялата част от дробната част, като спазваме правилото „запетая под запетая“:
Отговорът, който получихме, беше 4,73. Това означава, че стойността на израза 3,51 + 1,22 е равна на 4,73
3,51 + 1,22 = 4,73
Както при обикновените числа, при добавяне на десетични знаци, . В този случай една цифра се записва в отговора, а останалите се прехвърлят към следващата цифра.
Пример 3.Намерете стойността на израза 2,65 + 3,27
Записваме този израз в колоната:
Добавете стотните части 5+7=12. Числото 12 няма да се побере в стотната част от нашия отговор. Следователно в стотната част записваме числото 2 и преместваме единицата на следващата цифра:
Сега добавяме десетите от 6 + 2 = 8 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 9. Пишем числото 9 в десетата от нашия отговор:
Сега събираме целите части 2+3=5. Записваме числото 5 в цялата част на нашия отговор:
Отговорът, който получихме, беше 5,92. Това означава, че стойността на израза 2,65 + 3,27 е равна на 5,92
2,65 + 3,27 = 5,92
Пример 4.Намерете стойността на израза 9,5 + 2,8
Записваме този израз в колоната
Добавяме дробните части 5 + 8 = 13. Числото 13 няма да се побере в дробната част на нашия отговор, така че първо записваме числото 3 и преместваме единицата на следващата цифра или по-скоро я прехвърляме в цяла част:
Сега добавяме целите части 9+2=11 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 12. Записваме числото 12 в цялата част на нашия отговор:
Разделете със запетая цялата част от дробната част:
Получихме отговор 12.3. Това означава, че стойността на израза 9,5 + 2,8 е 12,3
9,5 + 2,8 = 12,3
При добавяне на десетични знаци броят на цифрите след десетичната запетая и в двете дроби трябва да е еднакъв. Ако няма достатъчно числа, тогава тези места в дробната част се запълват с нули.
Пример 5. Намерете стойността на израза: 12,725 + 1,7
Преди да напишем този израз в колона, нека направим броя на цифрите след десетичната запетая в двете дроби еднакви. Десетичната дроб 12,725 има три цифри след десетичната запетая, но дробта 1,7 има само една. Това означава, че в дробта 1.7 трябва да добавите две нули в края. Тогава получаваме дробта 1,700. Сега можете да напишете този израз в колона и да започнете да изчислявате:
Добавете хилядната част 5+0=5. Записваме числото 5 в хилядната част от нашия отговор:
Добавете стотните части 2+0=2. Записваме числото 2 в стотната част на нашия отговор:
Добавете десетите 7+7=14. Числото 14 няма да се побере в една десета от нашия отговор. Затова първо записваме числото 4 и преместваме единицата на следващата цифра:
Сега добавяме целите части 12+1=13 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 14. Записваме числото 14 в цялата част на нашия отговор:
Разделете със запетая цялата част от дробната част:
Получихме отговор от 14 425. Това означава, че стойността на израза 12.725+1.700 е 14.425
12,725+ 1,700 = 14,425
Изваждане на десетични числа
Когато изваждате десетични дроби, трябва да следвате същите правила, както при добавяне: „запетая под десетичната запетая“ и „равен брой цифри след десетичната запетая“.
Пример 1.Намерете стойността на израза 2,5 − 2,2
Записваме този израз в колона, като спазваме правилото "запетая под запетая":
Изчисляваме дробната част 5−2=3. Записваме числото 3 в десетата част на нашия отговор:
Изчисляваме цялата част 2−2=0. Пишем нула в цялата част на нашия отговор:
Разделете със запетая цялата част от дробната част:
Получихме отговор 0,3. Това означава, че стойността на израза 2,5 − 2,2 е равна на 0,3
2,5 − 2,2 = 0,3
Пример 2.Намерете стойността на израза 7,353 - 3,1
Този израз има различен брой цифри след десетичната запетая. Дробта 7.353 има три цифри след десетичната запетая, но дробта 3.1 има само една. Това означава, че в дробта 3.1 трябва да добавите две нули в края, за да направите броя на цифрите в двете дроби еднакъв. Тогава получаваме 3100.
Сега можете да напишете този израз в колона и да го изчислите:
Получихме отговор от 4253. Това означава, че стойността на израза 7,353 − 3,1 е равна на 4,253
7,353 — 3,1 = 4,253
Както при обикновените числа, понякога ще трябва да вземете едно от съседна цифра, ако изваждането стане невъзможно.
Пример 3.Намерете стойността на израза 3,46 − 2,39
Извадете стотни от 6−9. Не можете да извадите числото 9 от числото 6. Следователно трябва да заемете единица от съседната цифра. Като вземете единица от съседната цифра, числото 6 се превръща в числото 16. Сега можете да изчислите стотните от 16−9=7. Пишем седем в стотната част на нашия отговор:
Сега изваждаме десети. Тъй като взехме една единица на десето място, фигурата, която се намираше там, намаля с една единица. С други думи, на мястото на десетите вече не е числото 4, а числото 3. Нека изчислим десетите от 3−3=0. Пишем нула в десетата част на нашия отговор:
Сега изваждаме целите части 3−2=1. Записваме едно в цялата част на нашия отговор:
Разделете със запетая цялата част от дробната част:
Получихме отговор от 1.07. Това означава, че стойността на израза 3,46−2,39 е равна на 1,07
3,46−2,39=1,07
Пример 4. Намерете стойността на израза 3−1.2
Този пример изважда десетична запетая от цяло число. Нека запишем този израз в колона, така че цяла частдесетичната дроб 1,23 завършва под номер 3
Сега нека направим броя на цифрите след десетичната запетая еднакъв. За да направите това, след числото 3 поставяме запетая и добавяме една нула:
Сега изваждаме десети: 0−2. Не можете да извадите числото 2 от нула, следователно трябва да заемете единица от съседната цифра. След като е заел единица от съседната цифра, 0 се превръща в числото 10. Сега можете да изчислите десетите от 10−2=8. Пишем осем в десетата част на нашия отговор:
Сега изваждаме целите части. Преди това числото 3 беше разположено в цялото, но взехме една единица от него. В резултат се превърна в числото 2. Следователно от 2 изваждаме 1. 2−1=1. Записваме едно в цялата част на нашия отговор:
Разделете със запетая цялата част от дробната част:
Отговорът, който получихме е 1.8. Това означава, че стойността на израза 3−1,2 е 1,8
Умножаване на десетични числа
Умножаването на десетични знаци е просто и дори забавно. За да умножите десетични знаци, вие ги умножавате като обикновени числа, като игнорирате запетаите.
След като получите отговора, трябва да отделите цялата част от дробната част със запетая. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в двете дроби, след това да преброите същия брой цифри отдясно в отговора и да поставите запетая.
Пример 1.Намерете стойността на израза 2,5 × 1,5
Нека умножим тези десетични дроби като обикновени числа, без да обръщаме внимание на запетаите. За да игнорирате запетаите, можете временно да си представите, че те отсъстват напълно:
Получихме 375. В това число трябва да отделите със запетая цялата част от дробната. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в дробите 2,5 и 1,5. Първата дроб има една цифра след десетичната запетая, а втората също има една. Общо две числа.
Връщаме се към числото 375 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим две цифри вдясно и да поставим запетая:
Получихме отговор 3,75. Значи стойността на израза 2,5 × 1,5 е 3,75
2,5 × 1,5 = 3,75
Пример 2.Намерете стойността на израза 12,85 × 2,7
Нека умножим тези десетични дроби, като игнорираме запетаите:
Получихме 34695. В това число трябва да отделите със запетая цялата част от дробната. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в дробите 12,85 и 2,7. Дробта 12.85 има две цифри след десетичната запетая, а дробта 2.7 има една цифра - общо три цифри.
Връщаме се към числото 34695 и започваме да се движим от дясно на ляво. Трябва да преброим три цифри отдясно и да поставим запетая:
Получихме отговор от 34 695. Значи стойността на израза 12,85 × 2,7 е 34,695
12,85 × 2,7 = 34,695
Умножение на десетична запетая с обикновено число
Понякога възникват ситуации, когато трябва да умножите десетична дроб с обикновено число.
За да умножите десетичен знак и число, вие ги умножавате, без да обръщате внимание на запетаята в десетичния знак. След като получите отговора, трябва да отделите цялата част от дробната част със запетая. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в десетичната дроб, след това да преброите същия брой цифри отдясно в отговора и да поставите запетая.
Например умножете 2,54 по 2
Умножете десетичната дроб 2,54 по обичайното число 2, като игнорирате запетаята:
Получихме числото 508. В това число трябва да отделите със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая във фракцията 2,54. Дробта 2,54 има две цифри след десетичната запетая.
Връщаме се на номер 508 и започваме да се движим от дясно на ляво. Трябва да преброим две цифри вдясно и да поставим запетая:
Получихме отговор от 5.08. Значи стойността на израза 2,54 × 2 е 5,08
2,54 × 2 = 5,08
Умножаване на десетични знаци по 10, 100, 1000
Умножаването на десетични знаци по 10, 100 или 1000 се извършва по същия начин като умножаването на десетични знаци по обикновени числа. Трябва да извършите умножението, без да обръщате внимание на запетаята в десетичната дроб, след това в отговора отделете цялата част от дробната част, като броите отдясно същия брой цифри, колкото е имало цифри след десетичната запетая.
Например умножете 2,88 по 10
Умножете десетичната дроб 2,88 по 10, като игнорирате запетаята в десетичната дроб:
Получихме 2880. В това число трябва да разделите със запетая цялата част от дробната. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая във фракцията 2,88. Виждаме, че дробта 2,88 има две цифри след десетичната запетая.
Връщаме се към числото 2880 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим две цифри вдясно и да поставим запетая:
Получихме отговор 28.80. Нека изхвърлим последната нула и ще получим 28,8. Това означава, че стойността на израза 2,88×10 е 28,8
2,88 × 10 = 28,8
Има втори начин за умножаване на десетични дроби по 10, 100, 1000. Този метод е много по-прост и удобен. Състои се в преместване на десетичната запетая надясно с толкова цифри, колкото нули има във фактора.
Например, нека решим предишния пример 2,88×10 по този начин. Без да даваме изчисления, веднага разглеждаме фактора 10. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че в него има една нула. Сега в дробта 2,88 преместваме десетичната запетая с една цифра надясно, получаваме 28,8.
2,88 × 10 = 28,8
Нека се опитаме да умножим 2,88 по 100. Веднага гледаме коефициента 100. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че в него има две нули. Сега в дробта 2,88 преместваме десетичната запетая на две десни цифри, получаваме 288
2,88 × 100 = 288
Нека се опитаме да умножим 2,88 по 1000. Веднага гледаме коефициента 1000. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че в него има три нули. Сега в дробта 2,88 преместваме десетичната запетая надясно с три цифри. Там няма трета цифра, затова добавяме още една нула. В резултат на това получаваме 2880.
2,88 × 1000 = 2880
Умножаване на десетични знаци по 0,1 0,01 и 0,001
Умножаването на десетични знаци по 0,1, 0,01 и 0,001 работи по същия начин като умножаването на десетичен знак по десетичен знак. Необходимо е да умножите дробите като обикновените числа и да поставите запетая в отговора, като броите толкова цифри вдясно, колкото цифри има след десетичната запетая в двете дроби.
Например, умножете 3,25 по 0,1
Ние умножаваме тези дроби като обикновени числа, игнорирайки запетаите:
Получихме 325. В това число трябва да отделите със запетая цялата част от дробната. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в дробите 3,25 и 0,1. Дробта 3,25 има две цифри след десетичната запетая, а дробта 0,1 има една цифра. Общо три числа.
Връщаме се към числото 325 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим три цифри отдясно и да поставим запетая. След отброяване на три цифри установяваме, че числата са свършили. В този случай трябва да добавите една нула и да добавите запетая:
Получихме отговор 0,325. Това означава, че стойността на израза 3,25 × 0,1 е 0,325
3,25 × 0,1 = 0,325
Има втори начин за умножаване на десетични числа по 0,1, 0,01 и 0,001. Този метод е много по-прост и удобен. Състои се в преместване на десетичната запетая наляво с толкова цифри, колкото нули има във фактора.
Например, нека решим предишния пример 3,25 × 0,1 по този начин. Без да даваме никакви изчисления, веднага разглеждаме множителя от 0,1. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че в него има една нула. Сега в дробта 3,25 преместваме десетичната запетая наляво с една цифра. Като преместим запетаята с една цифра наляво, виждаме, че няма повече цифри преди тройката. В този случай добавете една нула и поставете запетая. Резултатът е 0,325
3,25 × 0,1 = 0,325
Нека опитаме да умножим 3,25 по 0,01. Веднага разглеждаме множителя от 0,01. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че в него има две нули. Сега в дробта 3.25 преместваме десетичната запетая наляво с две цифри, получаваме 0.0325
3,25 × 0,01 = 0,0325
Нека опитаме да умножим 3,25 по 0,001. Веднага разглеждаме множителя от 0,001. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че в него има три нули. Сега в дробта 3.25 преместваме десетичната запетая наляво с три цифри, получаваме 0.00325
3,25 × 0,001 = 0,00325
Не бъркайте умножението на десетични дроби по 0,1, 0,001 и 0,001 с умножението по 10, 100, 1000. Често срещана грешкаповечето хора.
При умножение по 10, 100, 1000 десетичната точка се премества надясно с толкова цифри, колкото има нули в множителя.
А при умножаване по 0,1, 0,01 и 0,001 десетичната запетая се премества наляво с толкова цифри, колкото има нули в умножителя.
Ако в началото е трудно да запомните, можете да използвате първия метод, при който умножението се извършва както при обикновените числа. В отговора ще трябва да отделите цялата част от дробната част, като преброите същия брой цифри отдясно, колкото има цифри след десетичната запетая и в двете дроби.
Деление на по-малко число на по-голямо число. Напреднало ниво.
В един от предишните уроци казахме, че при разделянето на по-малко число на по-голямо се получава дроб, чийто числител е делимото, а знаменателят е делителя.
Например, за да разделите една ябълка на две, трябва да напишете 1 (една ябълка) в числителя и 2 (двама приятели) в знаменателя. В резултат на това получаваме фракцията. Това означава, че всеки приятел ще получи ябълка. С други думи, половин ябълка. Дробта е отговорът на проблема "как да разделя една ябълка на две"
Оказва се, че можете да разрешите този проблем допълнително, ако разделите 1 на 2. В края на краищата, дробната линия във всяка дроб означава деление и следователно това деление е разрешено в дробта. Но как? Свикнали сме, че дивидентът винаги е по-голям от делителя. Но тук, напротив, дивидентът е по-малък от делителя.
Всичко ще стане ясно, ако си спомним, че дроб означава разделяне, деление, деление. Това означава, че устройството може да бъде разделено на колкото желаете части, а не само на две части.
Когато разделите по-малко число на по-голямо число, получавате десетична дроб, в която цялата част е 0 (нула). Дробната част може да бъде всичко.
И така, нека разделим 1 на 2. Нека решим този пример с ъгъл:
Човек не може напълно да се раздели на две. Ако зададете въпрос "колко две има в едно" , тогава отговорът ще бъде 0. Следователно в частното пишем 0 и поставяме запетая:
Сега, както обикновено, умножаваме частното по делителя, за да получим остатъка:
Дойде моментът, в който единицата може да бъде разделена на две части. За да направите това, добавете още една нула вдясно от получената:
Получихме 10. Делим 10 на 2, получаваме 5. Записваме петицата в дробната част на нашия отговор:
Сега изваждаме последния остатък, за да завършим изчислението. Умножете 5 по 2, за да получите 10
Получихме отговор 0,5. Значи частта е 0,5
Половин ябълка може да се напише и с помощта на десетичната дроб 0,5. Ако добавим тези две половини (0,5 и 0,5), отново получаваме оригиналната една цяла ябълка: 
Тази точка може да бъде разбрана и ако си представите как 1 см е разделен на две части. Ако разделите 1 сантиметър на 2 части, ще получите 0,5 cm
Пример 2.Намерете стойността на израза 4:5
Колко петици има в четворка? Съвсем не. Пишем 0 в частното и поставяме запетая:
Умножаваме 0 по 5, получаваме 0. Пишем нула под четворката. Незабавно извадете тази нула от дивидента:
Сега нека започнем да разделяме (разделяме) четирите на 5 части. За да направите това, добавете нула отдясно на 4 и разделете 40 на 5, получаваме 8. Пишем осем в частното.
Завършваме примера, като умножаваме 8 по 5, за да получим 40:
Получихме отговор 0,8. Това означава, че стойността на израза 4:5 е 0,8
Пример 3.Намерете стойността на израз 5: 125
Колко числа има 125 в пет? Съвсем не. Пишем 0 в частното и поставяме запетая:
Умножаваме 0 по 5, получаваме 0. Записваме 0 под петицата. Незабавно извадете 0 от пет
Сега нека започнем да разделяме (разделяме) петте на 125 части. За да направим това, пишем нула отдясно на тези пет:
Разделете 50 на 125. Колко числа има 125 в числото 50? Съвсем не. Така че в частното записваме отново 0
Умножете 0 по 125, получаваме 0. Запишете тази нула под 50. Веднага извадете 0 от 50
Сега разделете числото 50 на 125 части. За да направите това, пишем още една нула вдясно от 50:
Разделете 500 на 125. Колко са числата 125 в числото 500. В числото 500 има четири числа 125. Запишете четирите в частното:
Завършваме примера, като умножаваме 4 по 125, за да получим 500
Получихме отговор 0,04. Това означава, че стойността на израз 5: 125 е 0,04
Деление на числа без остатък
Така че, нека поставим запетая след единицата в частното, като по този начин показваме, че разделянето на целите части е приключило и преминаваме към дробната част:
Нека добавим нула към остатъка 4
Сега разделяме 40 на 5, получаваме 8. Пишем осем в частното:
40−40=0. Остават ни 0. Това означава, че делбата е напълно завършена. Разделянето на 9 на 5 дава десетичната дроб 1,8:
9: 5 = 1,8
Пример 2. Разделете 84 на 5 без остатък
Първо разделете 84 на 5 както обикновено с остатък:
Имаме 16 частни и още 4 останаха. Сега нека разделим този остатък на 5. Поставете запетая в частното и добавете 0 към остатъка 4
Сега разделяме 40 на 5, получаваме 8. Записваме осемте в частното след десетичната запетая:
и завършете примера, като проверите дали все още има остатък:
Деление на десетична запетая на обикновено число
Десетичната дроб, както знаем, се състои от цяло число и дробна част. Когато разделяте десетична дроб на обикновено число, първо трябва да:
- разделете цялата част на десетичната дроб на това число;
- след като цялата част е разделена, трябва незабавно да поставите запетая в частното и да продължите изчислението, както при нормалното деление.
Например, разделете 4,8 на 2
Нека напишем този пример в ъгъла:
Сега нека разделим цялата част на 2. Четири делено на две е равно на две. Пишем две в частното и веднага поставяме запетая:
Сега умножаваме частното по делителя и виждаме дали има остатък от делението:
4−4=0. остатък равно на нула. Все още не пишем нула, тъй като решението не е завършено. След това продължаваме да изчисляваме както при обикновеното деление. Намалете 8 и го разделете на 2
8: 2 = 4. Записваме четирите в частното и веднага го умножаваме по делителя:
Получихме отговор 2.4. Стойността на израза 4,8:2 е 2,4
Пример 2.Намерете стойността на израза 8,43: 3
Разделяме 8 на 3, получаваме 2. Незабавно поставете запетая след 2:
Сега умножаваме частното по делителя 2 × 3 = 6. Записваме шестицата под осмицата и намираме остатъка:
Разделяме 24 на 3, получаваме 8. Пишем осем в частното. Незабавно го умножете по делителя, за да намерите остатъка от делението:
24−24=0. Остатъкът е нула. Все още не записваме нула. Отстраняваме последните три от дивидента и разделяме на 3, получаваме 1. Незабавно умножете 1 по 3, за да завършите този пример:
Отговорът, който получихме, беше 2,81. Това означава, че стойността на израза 8,43:3 е 2,81
Деление на десетична запетая на десетична запетая
За да разделите десетична дроб на десетична дроб, трябва да преместите десетичната запетая в делителя и делителя надясно със същия брой цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя, и след това да разделите на обичайното число.
Например, разделете 5,95 на 1,7
Нека запишем този израз с ъгъл
Сега в дивидента и в делителя преместваме десетичната запетая надясно със същия брой цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя. Делителят има една цифра след десетичната запетая. Това означава, че в делителя и делителя трябва да преместим десетичната запетая надясно с една цифра. Прехвърляме:
След преместване на десетичната запетая с една цифра надясно, десетичната дроб 5,95 стана дроб 59,5. И десетичната дроб 1,7, след преместване на десетичната запетая надясно с една цифра, се превърна в обичайното число 17. И ние вече знаем как да разделим десетичната дроб на обикновено число. По-нататъшното изчисление не е трудно:
Запетаята е преместена надясно, за да улесни делението. Това е позволено, защото при умножаване или деление на делителя и делителя на едно и също число, частното не се променя. Какво означава?
Това е една от интересните характеристики на разделението. Нарича се частно свойство. Помислете за израз 9: 3 = 3. Ако в този израз делимото и делителя се умножат или разделят на едно и също число, тогава частното 3 няма да се промени.
Нека умножим дивидент и делител по 2 и да видим какво ще излезе от това:
(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3
Както се вижда от примера, коефициентът не се е променил.
Същото се случва, когато преместим запетаята в делителя и в делителя. В предишния пример, където разделихме 5,91 на 1,7, преместихме запетаята в делителя и делителя с една цифра надясно. След преместване на десетичната запетая дробта 5,91 се трансформира във фракцията 59,1, а дробта 1,7 се трансформира в обичайното число 17.
Всъщност вътре в този процес имаше умножение по 10. Ето как изглеждаше:
5,91 × 10 = 59,1
Следователно броят на цифрите след десетичната запетая в делителя определя по какво ще бъдат умножени дивидентът и делителят. С други думи, броят на цифрите след десетичната запетая в делителя ще определи с колко цифри в дивидента и в делителя десетичната запетая ще бъде преместена надясно.
Деление на десетична запетая на 10, 100, 1000
Деленето на десетична запетая на 10, 100 или 1000 се извършва по същия начин като . Например, разделете 2,1 на 10. Решете този пример с помощта на ъгъл:
Но има и втори начин. По-лек е. Същността на този метод е, че запетаята в делителя се премества наляво с толкова цифри, колкото нули има в делителя.
Нека решим предишния пример по този начин. 2.1: 10. Гледаме делителя. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Това означава, че в дивидент от 2.1 трябва да преместите десетичната запетая наляво с една цифра. Преместваме запетаята с една цифра вляво и виждаме, че няма останали цифри. В този случай добавете още една нула преди числото. В резултат получаваме 0,21
Нека се опитаме да разделим 2,1 на 100. В 100 има две нули. Това означава, че в дивидент 2.1 трябва да преместим запетаята наляво с две цифри:
2,1: 100 = 0,021
Нека се опитаме да разделим 2,1 на 1000. В 1000 има три нули. Това означава, че в дивидент 2.1 трябва да преместите запетаята наляво с три цифри:
2,1: 1000 = 0,0021
Разделяне на десетична запетая на 0,1, 0,01 и 0,001
Разделянето на десетична дроб на 0,1, 0,01 и 0,001 се извършва по същия начин като . В дивидента и в делителя трябва да преместите десетичната запетая надясно с толкова цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя.
Например, нека разделим 6,3 на 0,1. Първо, нека преместим запетаите в делителя и делителя надясно със същия брой цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя. Делителят има една цифра след десетичната запетая. Това означава, че преместваме запетаите в делителя и делителя надясно с една цифра.
След преместване на десетичната запетая с една цифра надясно, десетичната дроб 6,3 става обичайното число 63, а десетичната дроб 0,1 след преместване на десетичната запетая с една цифра надясно се превръща в единица. А разделянето на 63 на 1 е много просто:
Това означава, че стойността на израза 6.3: 0.1 е 63
Но има и втори начин. По-лек е. Същността на този метод е, че запетаята в делителя се премества надясно с толкова цифри, колкото нули има в делителя.
Нека решим предишния пример по този начин. 6,3 : 0,1. Нека да разгледаме делителя. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Това означава, че в дивидент от 6,3 трябва да преместите десетичната запетая надясно с една цифра. Преместете запетаята с една цифра надясно и вземете 63
Нека се опитаме да разделим 6,3 на 0,01. Делителят на 0,01 има две нули. Това означава, че в дивидент 6.3 трябва да преместим десетичната запетая надясно с две цифри. Но в дивидента има само една цифра след десетичната запетая. В този случай трябва да добавите още една нула в края. В резултат получаваме 630
Нека се опитаме да разделим 6,3 на 0,001. Делителят на 0,001 има три нули. Това означава, че в дивидента 6.3 трябва да преместим десетичната запетая надясно с три цифри:
6,3: 0,001 = 6300
Задачи за самостоятелно решаване
Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група VKontakte и започнете да получавате известия за нови уроци
Назад Напред
внимание! Визуализациите на слайдовете са само за информационни цели и може да не представят всички функции на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.
Цел на урока:
- По забавен начин запознайте учениците с правилото за умножаване на десетична дроб по естествено число, с единица за стойност на място и правилото за изразяване на десетична дроб като процент. Развийте способността за прилагане на придобитите знания при решаване на примери и задачи.
- Развийте и активирайте логическо мисленеучениците, способността да идентифицират модели и да ги обобщават, укрепват паметта, способността да си сътрудничат, да оказват помощ, да оценяват собствената си работа и работата един на друг.
- Култивирайте интерес към математиката, активност, мобилност и комуникативни умения.
Оборудване: интерактивна дъска, плакат с шифрограма, плакати с изказвания на математици.
Напредък на урока
- Организационен момент.
- Устна аритметика - обобщение на вече изучен материал, подготовка за изучаване на нов материал.
- Обяснение на нов материал.
- Задаване на домашна работа.
- Математическо физическо възпитание.
- Обобщаване и систематизиране на усвоените знания по игрова формас помощта на компютър.
- Класиране.
2. Момчета, днес нашият урок ще бъде малко необичаен, защото няма да го преподавам сам, а с моя приятел. И моят приятел също е необичаен, сега ще го видите. (На екрана се появява анимационен компютър.) Приятелят ми има име и може да говори. Как се казваш, приятел? Компоша отговаря: „Казвам се Компоша.“ Готови ли сте да ми помогнете днес? ДА! Добре тогава, нека започнем урока.
Днес получих криптирана шифрограма, момчета, която трябва да разрешим и дешифрираме заедно. (На дъската е окачен плакат с устно смятане за събиране и изваждане на десетични дроби, в резултат на което децата получават следния код 523914687. )
| 5 | 2 | 3 | 9 | 1 | 4 | 6 | 8 | 7 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Komposha помага за дешифрирането на получения код. Резултатът от декодирането е думата УМНОЖЕНИЕ. Умножението е ключова думатеми от днешния урок. Темата на урока се показва на монитора: „Умножаване на десетична дроб с естествено число“
Момчета, знаем как да умножаваме естествени числа. Днес ще разгледаме умножението на десетични числа по естествено число. Умножаването на десетична дроб с естествено число може да се разглежда като сбор от членове, всеки от които е равен на тази десетична дроб, а броят на членовете е равен на това естествено число. Например: 5.21 ·3 = 5,21 + 5,21 + 5,21 = 15,63Това означава 5,21·3 = 15,63. Представяне на 5,21 катообикновена дроб
И в този случай получихме същия резултат: 15,63. Сега, пренебрегвайки запетаята, вместо числото 5,21, вземете числото 521 и го умножете по това естествено число. Тук трябва да припомним, че в един от факторите запетаята е преместена две места надясно. При умножаване на числата 5, 21 и 3 получаваме произведение равно на 15,63. Сега в този пример преместваме запетаята на две места вляво. По този начин, с колко пъти е увеличен един от факторите, с колко пъти е намален продуктът. Въз основа на приликите на тези методи ще направим заключение.
За да умножите десетична дроб по естествено число, трябва:
1) без да обръщате внимание на запетаята, умножете естествените числа;
2) в полученото произведение отделете със запетая толкова цифри отдясно, колкото има в десетичната дроб.
На монитора се показват следните примери, които анализираме заедно с Компоша и момчетата: 5.21·3 = 15.63 и 7.624·15 = 114.34. След това показвам умножение с кръгло число 12,6·50 = 630. След това преминавам към умножаване на десетична дроб по единица за място. Показвам следните примери: 7.423
·100 = 742.3 и 5.2·1000 = 5200. И така, въвеждам правилото за умножаване на десетична дроб по цифрова единица:
За да умножите десетична дроб по разрядни единици 10, 100, 1000 и т.н., трябва да преместите десетичната запетая в тази дроб надясно с толкова места, колкото нули има в разрядната единица.
Завършвам обяснението си, като изразявам десетичната дроб като процент. Представям правилото:
За да изразите десетична дроб като процент, трябва да я умножите по 100 и да добавите знака %.
4. Ще дам пример на компютър: 0,5 100 = 50 или 0,5 = 50%. В края на обяснението давам на момчетатадомашна работа № 1030, № 1034, № 1032.
5. , което се показва и на монитора на компютъра:
6. За да могат момчетата да си починат малко, правим сесия по математическо физическо възпитание заедно с Компоша, за да консолидираме темата. Всички се изправят, показват решените примери на класа и те трябва да отговорят дали примерът е решен правилно или неправилно. Ако примерът е решен правилно, те вдигат ръце над главата си и пляскат с длани. Ако примерът не е решен правилно, момчетата протягат ръце встрани и опъват пръстите си. № 1029. А сега си починахте малко, можете да решавате задачите. Отворете учебника си на страница 205,
В тази задача трябва да изчислите стойността на изразите:
Задачите се появяват на компютъра. Докато се решават, се появява картина с изображение на лодка, която изплува, когато е напълно сглобена.
Решавайки тази задача на компютър, ракетата постепенно се сгъва; след решаването на последния пример ракетата отлита. Учителят дава малко информация на учениците: „Всяка година космически кораби излитат от космодрума Байконур от земята на Казахстан към звездите. Казахстан строи новия си космодрум Байтерек близо до Байконур.
No 1035. Задача.
Какво разстояние ще измине лек автомобил за 4 часа, ако скоростта на лекия автомобил е 74,8 km/h.
Тази задача е придружена от звуков дизайн и кратко описание на задачата, изведено на монитора. Ако проблемът е решен правилно, тогава колата започва да се движи напред до флага на финала.
№ 1033. Запишете десетичните знаци като проценти.
0,2 = 20%; 0,5 = 50%; 0,75 = 75%; 0,92 = 92%; 1,24 =1 24%; 3,5 = 350%; 5,61= 561%.
При решаването на всеки пример, когато се появи отговорът, се появява буква, което води до дума браво.
Учителят пита Компоша защо се появява тази дума? Компоша отговаря: „Браво, момчета!“ и се сбогува с всички.
Учителят обобщава урока и поставя оценки.
Вече знаете, че * 10 = a + a + a + a + a + a + a + a + a + a.Например 0,2 * 10 = 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2. Лесно е да се досетите, че този сбор е равен на 2, т.е. 0,2 * 10 = 2.
По същия начин можете да проверите, че:
5,2 * 10 = 52 ;
0,27 * 10 = 2,7 ;
1,253 * 10 = 12,53 ;
64,95 * 10 = 649,5 .
Вероятно се досещате, че когато умножавате десетична дроб по 10, трябва да преместите десетичната запетая в тази дроб с една цифра надясно.
Как да умножим десетична дроб по 100?
Имаме: a * 100 = a * 10 * 10. След това:
2,375 * 100 = 2,375 * 10 * 10 = 23,75 * 10 = 237,5 .
Разсъждавайки по подобен начин, получаваме, че:
3,2 * 100 = 320 ;
28,431 * 100 = 2843,1 ;
0,57964 * 100 = 57,964 .
Умножете дробта 7,1212 по числото 1000.
Имаме: 7,1212 * 1000 = 7,1212 * 100 * 10 = 712,12 * 10 = 7121,2.
Тези примери илюстрират следното правило.
За да умножите десетична дроб по 10, 100, 1000 и т.н., трябва да преместите десетичната запетая в тази дроб надясно съответно с 1, 2, 3 и т.н. числа.
Така че, ако запетаята е преместена надясно с 1, 2, 3 и т.н. числа, тогава фракцията ще се увеличи съответно с 10, 100, 1000 и т.н. веднъж.
следователно ако запетаята е преместена наляво с 1, 2, 3 и т.н. числа, тогава фракцията ще намалее съответно с 10, 100, 1000 и т.н. веднъж .
Нека покажем, че десетичната форма на записване на дроби позволява тяхното умножаване, ръководено от правилото за умножение на естествени числа.
Да намерим, например, произведението 3,4 * 1,23. Нека увеличим първия множител 10 пъти, а втория 100 пъти. Това означава, че сме увеличили продукта 1000 пъти.
Следователно произведението на естествените числа 34 и 123 е 1000 пъти по-голямо от търсеното произведение.
Имаме: 34 * 123 = 4182. След това, за да получите отговора, трябва да намалите числото 4182 1000 пъти. Нека запишем: 4 182 = 4 182,0. Премествайки десетичната запетая в числото 4182,0 три цифри наляво, получаваме числото 4,182, което е 1000 пъти по-малко от числото 4182. Следователно 3,4 * 1,23 = 4,182.
Същият резултат може да се получи, като се използва следното правило.
За да умножите две десетични дроби:
1) умножете ги като естествени числа, игнориране на запетаи;
2) в полученото произведение отделете със запетая отдясно толкова цифри, колкото има след запетаите в двата фактора заедно.
В случаите, когато продуктът съдържа по-малко цифри от необходимото за разделяне със запетая, необходимият брой нули се добавят отляво преди продукта и след това запетаята се премества наляво с необходимия брой цифри.
Например 2 * 3 = 6, след това 0,2 * 3 = 0,006; 25 * 33 = 825, след това 0,025 * 0,33 = 0,00825.
В случаите, когато един от множителите е 0,1; 0,01; 0,001 и т.н., е удобно да се използва следното правило.
За да умножите десетична запетая по 0,1; 0,01; 0,001 и т.н., трябва да преместите десетичната запетая в тази дроб съответно наляво до 1, 2, 3 и т.н. числа.
Например 1,58 * 0,1 = 0,158; 324,7 * 0,01 = 3,247.
Свойствата на умножение на естествени числа се отнасят и за дробните числа:
ab = ba е комутативното свойство на умножението,
(ab) с = a(b с) – асоциативно свойство на умножението,
a(b + c) = ab + ac е разпределителното свойство на умножението спрямо събирането.
Точно като обикновените числа.
2. Преброяваме броя на десетичните знаци за 1-вата десетична дроб и за 2-рата. Събираме числата им.
3. В крайния резултат пребройте отдясно наляво същия брой цифри като в горния параграф и поставете запетая.
Правила за умножение на десетични дроби.
1. Умножете без да обръщате внимание на запетаята.
2. В произведението отделяме същия брой цифри след десетичната запетая, колкото има след десетичните точки в двата фактора заедно.
Когато умножавате десетична дроб с естествено число, трябва:
1. Умножете числа, без да обръщате внимание на запетаята;
2. В резултат на това поставяме запетаята така, че да има толкова цифри вдясно от нея, колкото има в десетичната дроб.
Умножение на десетични дроби по колона.
Да разгледаме един пример:
Записваме десетичните дроби в колона и ги умножаваме като естествени числа, без да обръщаме внимание на запетаите. Тези. Ние считаме 3,11 за 311 и 0,01 за 1.
Резултатът е 311. След това преброяваме броя на знаците (цифрите) след десетичната запетая за двете дроби. Първият десетичен знак има 2 цифри, а вторият има 2. Общ бройцифри след десетичната запетая:
2 + 2 = 4
Преброяваме отдясно наляво четири цифри от резултата. Крайният резултат съдържа по-малко числа, отколкото трябва да бъдат разделени със запетая. В този случай трябва да добавите липсващия брой нули отляво.
В нашия случай първата цифра липсва, затова добавяме 1 нула отляво.
Моля, обърнете внимание:
При умножаване на която и да е десетична дроб по 10, 100, 1000 и т.н., десетичната запетая в десетичната дроб се премества надясно с толкова места, колкото нули има след единицата.
например:
70,1 . 10 = 701
0,023 . 100 = 2,3
5,6 . 1 000 = 5 600
Моля, обърнете внимание:
За да умножите десетична запетая по 0,1; 0,01; 0,001; и така нататък, трябва да преместите десетичната запетая в тази дроб наляво с толкова места, колкото нули има преди единицата.
Ние броим нула цели числа!
Например:
12 . 0,1 = 1,2
0,05 . 0,1 = 0,005
1,256 . 0,01 = 0,012 56
В последния урок научихме как да събираме и изваждаме десетични знаци (вижте урока „Събиране и изваждане на десетични знаци“). В същото време ние оценихме колко изчисления са опростени в сравнение с обикновените „двуетажни“ фракции.
За съжаление, този ефект не се получава при умножение и деление на десетични знаци. В някои случаи десетичната нотация дори усложнява тези операции.
Първо, нека въведем нова дефиниция. Ще го виждаме доста често и не само в този урок.
Значимата част от числото е всичко между първата и последната различна от нула цифра, включително краищата. Говорим само за числа, десетичната запетая не се взема предвид.
Цифрите, включени в значимата част на числото, се наричат значими цифри. Те могат да се повтарят и дори да са равни на нула.
Например, помислете за няколко десетични дроби и напишете съответните значими части:
- 91.25 → 9125 (значещи цифри: 9; 1; 2; 5);
- 0.008241 → 8241 (значещи цифри: 8; 2; 4; 1);
- 15.0075 → 150075 (значещи цифри: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
- 0.0304 → 304 (значещи цифри: 3; 0; 4);
- 3000 → 3 (значителна фигурасамо един: 3).
Моля, обърнете внимание: нулите в значителната част от числото не отиват никъде. Вече се сблъскахме с нещо подобно, когато се научихме да преобразуваме десетични дроби в обикновени (вижте урока „Десетични дроби“).
Тази точка е толкова важна и тук се правят грешки толкова често, че в близко бъдеще ще публикувам тест по тази тема. Не пропускайте да практикувате! И ние, въоръжени с концепцията за значимата част, ще продължим всъщност към темата на урока.
Умножаване на десетични числа
Операцията за умножение се състои от три последователни стъпки:
- За всяка дроб запишете значимата част. Ще получите две обикновени цели числа - без знаменатели и десетични точки;
- Умножете тези числа по всеки удобен начин. Директно, ако числата са малки, или в колона. Получаваме значителната част от желаната фракция;
- Разберете къде и с колко цифри се измества десетичната запетая в оригиналните дроби, за да се получи съответната значима част. Извършете обратни смени за значителната част, получена в предишната стъпка.
Нека ви напомня още веднъж, че нулите отстрани на значимата част никога не се вземат предвид. Пренебрегването на това правило води до грешки.
- 0,28 ± 12,5;
- 6,3 · 1,08;
- 132,5 · 0,0034;
- 0,0108 1600,5;
- 5,25 · 10 000.
Работим с първия израз: 0,28 · 12,5.
- Да запишем значимите части на числата от този израз: 28 и 125;
- Техният продукт: 28 · 125 = 3500;
- При първия фактор десетичната запетая се измества с 2 цифри надясно (0,28 → 28), а при втория се измества с още 1 цифра. Общо се нуждаете от преместване наляво с три цифри: 3500 → 3500 = 3,5.
Сега нека да разгледаме израза 6.3 · 1.08.
- Нека изпишем значимите части: 63 и 108;
- Техният продукт: 63 · 108 = 6804;
- Отново две измествания надясно: съответно с 2 и 1 цифра. Общо - отново 3 цифри вдясно, така че обратното изместване ще бъде 3 цифри вляво: 6804 → 6.804. Този път няма нули в края.
Стигнахме до третия израз: 132,5 · 0,0034.
- Значителни части: 1325 и 34;
- Техният продукт: 1325 · 34 = 45 050;
- В първата дроб десетичната запетая се премества надясно с 1 цифра, а във втората - с цели 4. Общо: 5 надясно. Преместваме с 5 наляво: 45 050 → .45050 = 0.4505. Нулата беше премахната в края и добавена отпред, за да не остане „гола“ десетична точка.
Следният израз е: 0,0108 · 1600,5.
- Пишем значещите части: 108 и 16 005;
- Умножаваме ги: 108 · 16 005 = 1 728 540;
- Преброяваме числата след десетичната запетая: в първото число има 4, във второто е 1. Общо отново е 5. Имаме: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. В крайна сметка „допълнителната“ нула беше премахната.
И накрая, последният израз: 5,25 10 000.
- Значими части: 525 и 1;
- Умножаваме ги: 525 · 1 = 525;
- Първата дроб е изместена с 2 цифри надясно, а втората дроб е изместена с 4 цифри наляво (10 000 → 1,0000 = 1). Общо 4 − 2 = 2 цифри вляво. Извършваме обратно изместване с 2 цифри надясно: 525, → 52 500 (трябваше да добавим нули).
Забележка в последния пример: тъй като десетичната точка се движи в различни посоки, общото изместване се намира чрез разликата. Това е много важен момент! Ето още един пример:
Да разгледаме числата 1,5 и 12 500: 1,5 → 15 (преместване с 1 надясно); 12 500 → 125 (преместване 2 наляво). „Стъпваме“ 1 цифра надясно и след това 2 наляво. В резултат пристъпихме 2 − 1 = 1 цифра наляво.
Десетично деление
Разделянето е може би най-трудната операция. Разбира се, тук можете да действате по аналогия с умножението: разделете значимите части и след това „преместете“ десетичната точка. Но в този случай възникват много тънкости, които отричат потенциалните спестявания.
Затова нека да разгледаме един универсален алгоритъм, който е малко по-дълъг, но много по-надежден:
- Преобразувайте всички десетични дроби в обикновени дроби. С малко практика тази стъпка ще ви отнеме няколко секунди;
- Разделете получените дроби по класическия начин. С други думи, умножете първата дроб по „обърнатата“ втора (вижте урока „Умножаване и деление на числови дроби“);
- Ако е възможно, представете резултата отново като десетична дроб. Тази стъпка също е бърза, тъй като знаменателят често вече е степен на десет.
Задача. Намерете значението на израза:
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
Нека разгледаме първия израз. Първо, нека преобразуваме дроби в десетични:
Нека направим същото с втория израз. Числителят на първата дроб отново ще бъде факторизиран:
В третия и четвъртия пример има важен момент: след като се отървете от десетичен записвъзникват редуцируеми дроби. Ние обаче няма да извършим това намаление.
Последният пример е интересен, защото числителят на втората дроб съдържа просто число. Тук просто няма какво да факторизираме, така че го разглеждаме веднага:
Понякога делението води до цяло число (говоря за последния пример). В този случай третата стъпка изобщо не се изпълнява.
Освен това при разделянето често възникват „грозни“ дроби, които не могат да бъдат преобразувани в десетични знаци. Това разграничава делението от умножението, където резултатите винаги са представени в десетична форма. Разбира се, в този случай последната стъпка отново не се изпълнява.
Обърнете внимание и на 3-ти и 4-ти пример. В тях не съкращаваме умишлено обикновени дроби, получени от десетични знаци. В противен случай това ще усложни обратната задача - представяне на крайния отговор отново в десетична форма.
Запомнете: основното свойство на дробта (както всяко друго правило в математиката) само по себе си не означава, че трябва да се прилага навсякъде и винаги, при всяка възможност.