Графика на линейна функция. Линейна функция U 2x 3 линейна функция

начертайте графика на линейната функция y=2x-3

Отговори:

Поставяте това в таблица: y| 1 | 3 | x| 2 | 3 | Ако y = 1, тогава x = 2; ако y = 3, тогава x = 3. Направих това: избрах произволна стойност на y и намерих стойността на x, както във всяко уравнение. Използвайки първия пример: 1=2x-3; х=2. Второто е същото. След това на координатната равнина маркираме точките с координатите и получените по-рано. Например точка K (2;1) и точка L (3;3). Обърнете внимание, че в отговора записваме координатите на точка А точно в този ред, т.к Стойността на x е на първо място, а стойността на y е на второ място. След като маркирате точките, можете лесно да начертаете права линия през тях, така че го направете. И е по-добре да го начертаете през цялата равнина, а не от точка до точка. Успех!

Подобни въпроси

• Движението на тялото се описва с уравнението x=-80+2*t. Намерете началната координата, величината и посоката на вектора на скоростта, координатата и преместването на тялото за 20 s, Начертайте графика на x(t) и Vx(t)
• каква сричка има в думата котка
• бащата купи три пъпеша. Масата на първия пъпеш е 5,25 kg, което е с 2,5 kg по-малко от масата на втория и с 1,15 kg повече от масата на третия пъпеш. Намерете масата на всеки пъпеш.
• 6 клас
• какви вещества използват растенията по време на хранене?
• какви книги има за слънцето и звездите и автора
• как се решават уравнения 8(7x-3)=-48(3x+2)
• Кои вещества (смеси от вещества) не са от биогенен произход?
• природен газ, мрамор, слюда, планински кристал, нефт, торф
• Височината над земята на хвърлена нагоре топка се променя по закона h(t)=2 + 13t - 5 t^2, където h е височината в метри, t е времето в секунди, изминало от момента на хвърлянето. Колко секунди топката ще бъде на височина най-малко 10 m?

Нека разгледаме проблема. Мотоциклетист, напуснал град А, в момента е на 20 км. На какво разстояние s (km) от A ще бъде мотоциклетистът след t часа, ако се движи със скорост 40 km/h?

Очевидно за t часа мотоциклетистът ще измине 50t км. Следователно след t часа той ще бъде на разстояние (20 + 50t) km от A, т.е. s = 50t + 20, където t ≥ 0.

Всяка стойност на t съответства на една стойност на s.

Формулата s = 50t + 20, където t ≥ 0, дефинира функцията.

Нека разгледаме още един проблем. За изпращане на телеграма се начислява такса от 3 копейки за всяка дума и допълнително 10 копейки. Колко копейки (u) трябва да платите за изпращане на телеграма, съдържаща n думи?

Тъй като подателят трябва да плати 3n копейки за n думи, цената за изпращане на телеграма от n думи може да се намери с помощта на формулата u = 3n + 10, където n е всяко естествено число.

И в двете разглеждани задачи се сблъскахме с функции, които са дадени с формули от вида y = kx + l, където k и l са някои числа, а x и y са променливи.

Функция, която може да бъде определена с формула от вида y = kx + l, където k и l са някои числа, се нарича линейна.

Тъй като изразът kx + l има смисъл за всяко x, домейнът на дефиниция на линейна функция може да бъде множеството от всички числа или всяко негово подмножество.

Специален случай на линейна функция е обсъдената по-горе пряка пропорционалност. Спомнете си, че за l = 0 и k ≠ 0 формулата y = kx + l приема формата y = kx и тази формула, както е известно, за k ≠ 0 определя пряка пропорционалност.

Нека трябва да начертаем линейна функция f, дадена формула
y = 0,5x + 2.

Нека получим няколко съответстващи стойности на променливата y за някои стойности на x:

Нека маркираме точките с получените координати: (-6; -1), (-4; 0); (-2; 1), (0; 2), (2; 3), (4; 4); (6; 5), (8; 6).

Очевидно построените точки лежат на определена права. От това не следва, че графиката на тази функция е права линия.

За да разберете каква е формата на графиката на въпросната функция f, нека я сравним с познатата графика на правата пропорционалност x – y, където x = 0,5.

За всяко x стойността на израза 0,5x + 2 е по-голяма от съответната стойност на израза 0,5x с 2 единици. Следователно ординатата на всяка точка от графиката на функцията f е с 2 единици по-голяма от съответната ордината на графиката на правата пропорционалност.

Следователно графиката на въпросната функция f може да се получи от графиката на пряката пропорционалност чрез паралелен трансферс 2 единици по посока на ординатата.

Тъй като графиката на пряката пропорционалност е права линия, тогава графиката на разглежданата линейна функция f също е права линия.

Като цяло графиката на функция, дадена с формула от вида y = kx + l, е права линия.

Знаем, че за да се построи права е достатъчно да се определи положението на двете й точки.

Нека, например, трябва да начертаете функция, която е дадена от формулата
y = 1,5x – 3.

Да вземем две произволни стойности на x, например x 1 = 0 и x 2 = 4. Изчислете съответните стойности на функцията y 1 = -3, y 2 = 3, конструирайте точки A (-3; 0) и B (4; 0) в координатната равнина 3) и начертайте права линия през тези точки. Тази права линия е желаната графика.

Ако областта на дефиниция на линейна функция не е напълно представена числа, тогава неговата графика ще бъде подмножество от точки на права (например лъч, сегмент, набор от отделни точки).

Местоположението на графиката на функцията, определена от формулата y = kx + l, зависи от стойностите на l и k. По-специално, ъгълът на наклон на графиката на линейна функция към оста x зависи от коефициента k. Ако k е положително число, тогава този ъгъл е остър; ако k – отрицателно число, тогава ъгълът е тъп. Числото k се нарича наклон на правата.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Трейнер по темата

„Изграждане на графика на линейна функция с помощта на метода на изместване“

https://pandia.ru/text/78/183/images/image001_208.gif" alt="*" width="13" height="13 src="> Графиклинейната функция е прав.

margin-top:0cm" type="disc"> нагоре с „b“ единици, ако b > 0; надолу с „b“ единици, ако b< 0.

https://pandia.ru/text/78/183/images/image001_208.gif" alt="*" width="13" height="13 src="> Коментирайте.Информация, която ще бъде подчертана в таблицата (вижте по-долу) удебелен курсив , е елемент от решението, така че ще трябва да бъде написан при конструирането на всяка графика, като променя съответните данни в зависимост от задачата.

Пример 1.Начертайте графика на функцията y = 2x - 3

TTNO(SO)A7-05-2

© Горина Л.В

Пример 2.Начертайте графика на функцията y = 2 – x

„Линейна перспектива“ - Владимир Орловски „Летен ден“. 1884 Науката, която помага за правилното изобразяване на обектите в пространството, се нарича перспектива. Алфред Сислей, Rue Sèvres в Лувесиен. 1873 Линейната перспектива изучава правилата за изобразяване на обекти с помощта на линии. Иван Шишкин "Ръж". 1878 Професор по пейзажна живопис.

„Решаване на линейни неравенства“ - Помислете за използването на методи за обучение за решаване линейни неравенствас една променлива с помощта на алгоритмизация. Изображение на интервали от числа Маркирайте точка? ? >< Отметить область > ? < ? 3.Выделить общую область(если нужно). Методика обучения решению линейных неравенств с одной переменной.

“Примери за линейни алгоритми” - Нач. ПАМЕТ Клетка клетка S. Екран. Линеен алгоритъм. Пример. Намерете повърхността на куб със страна a. Клавиатура. Отбор N край. Алгоритмичен език. На езика Паскал. Блокова схема (графично представяне). Задача. Линеен алгоритъм (пример). Алгоритъм, при който командите се изпълняват последователно една след друга, се нарича линеен.

„Система от линейни уравнения“ - Какво е решението на линейно уравнение с две променливи? Цели на урока: Опишете ситуацията с помощта на система от уравнения. Коя система може да се използва за решаване на следния проблем? Момичетата са с 3 по-малко от момчетата. x + y = 36 x – y = 3. Упражнение за очите. Дефиниция на линейно уравнение с две променливи.

„Линейна алгебра“ – Итеративният процес се приближава към решението на U SLAE със скорост геометрична прогресиякогато условието е изпълнено. Тридиагонална матрична система. Модификация на алгоритъма на Гаус е методът RUNNING (алгоритъм на Томас). Стабилност Доказателство на теоремата (продължение). това относителна грешкарешението, получено по директния метод, удовлетворява оценката.

>> Математика: Линейна функцияи нейния график

Линейна функция и нейната графика

Алгоритъмът за построяване на графика на уравнението ax + by + c = 0, който формулирахме в § 28, въпреки цялата му яснота и сигурност, математиците не харесват много. Те обикновено правят твърдения за първите две стъпки на алгоритъма. Защо, казват те, решаваме уравнението два пъти за променливата y: първо ax1 + by + c = O, след това ax1 + by + c = O? Не е ли по-добре веднага да изразите y от уравнението ax + by + c = 0, тогава ще бъде по-лесно да се извършват изчисления (и най-важното - по-бързо)? Нека го проверим. Нека първо да разгледаме уравнение 3x - 2y + 6 = 0 (вижте пример 2 от § 28).

Като давате конкретни стойности на x, е лесно да изчислите съответните стойности на y. Например, когато x = 0 получаваме y = 3; при x = -2 имаме y = 0; за x = 2 имаме y = 6; за x = 4 получаваме: y = 9.

Виждате колко лесно и бързо бяха намерени точките (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) и (4; 9), които бяха подчертани в пример 2 от § 28.

По същия начин уравнението bx - 2y = 0 (вижте пример 4 от § 28) може да се преобразува във формата 2y = 16 -3x. освен това y = 2.5x; не е трудно да се намерят точки (0; 0) и (2; 5), които удовлетворяват това уравнение.

И накрая, уравнението 3x + 2y - 16 = 0 от същия пример може да се трансформира във формата 2y = 16 -3x и тогава не е трудно да се намерят точки (0; 0) и (2; 5), които го удовлетворяват.

Нека сега разгледаме посочените трансформации в общ изглед.

По този начин линейното уравнение (1) с две променливи x и y винаги може да бъде преобразувано до формата
y = kx + m, (2) където k, m са числа (коефициенти) и .

Ще наричаме този конкретен тип линейно уравнение линейна функция.

С помощта на равенство (2) е лесно да се посочи конкретна стойност на x и да се изчисли съответната стойност на y. нека например

y = 2x + 3. Тогава:
ако x = 0, тогава y = 3;
ако x = 1, тогава y = 5;
ако x = -1, тогава y = 1;
ако x = 3, тогава y = 9 и т.н.

Обикновено тези резултати се представят във формуляра маси:

Стойностите на y от втория ред на таблицата се наричат ​​стойностите на линейната функция y = 2x + 3, съответно в точките x = 0, x = 1, x = -1, x = - 3.

В уравнение (1) променливите hnu са равни, но в уравнение (2) не са: ние присвояваме конкретни стойности на една от тях - променлива x, докато стойността на променлива y зависи от избраната стойност на променлива x. Затова обикновено казваме, че x е независимата променлива (или аргумент), y е зависимата променлива.

Моля, обърнете внимание: линейна функция е специален типлинейно уравнение с две променливи. Графика на уравнение y - kx + m, като всяко линейно уравнение с две променливи, е права линия - нарича се още графика на линейната функция y = kx + m. Следователно следната теорема е валидна.

Пример 1.Постройте графика на линейната функция y = 2x + 3.

Решение. Нека направим таблица:

Във втората ситуация независимата променлива x, която, както в първата ситуация, обозначава броя на дните, може да приема само стойностите 1, 2, 3, ..., 16. Наистина, ако x = 16, след това използвайки формулата y = 500 - 30x намираме: y = 500 - 30 16 = 20. Това означава, че още на 17-ия ден няма да е възможно да извадите 30 тона въглища от склада, тъй като до този ден само 20 тона ще останат в склада и процесът на извозване на въглищата ще трябва да бъде спрян. Следователно усъвършенстваният математически модел на втората ситуация изглежда така:

y = 500 - ZOD:, където x = 1, 2, 3, .... 16.

В третата ситуация, независимо променлива x теоретично може да приеме всякаква неотрицателна стойност (например x стойност = 0, x стойност = 2, x стойност = 3,5 и т.н.), но на практика туристът не може да ходи с постоянна скорост без сън и почивка за каквото и да е количество на времето . Така че трябваше да направим разумни ограничения на x, да речем 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Припомнете си, че геометричният модел на нестрогото двойно неравенство 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Нека се съгласим да напишем вместо фразата „x принадлежи на множеството X“ (да се чете: „елементът x принадлежи на множеството X“, e е знакът за принадлежност). Както можете да видите, нашето запознаване с математическия език непрекъснато продължава.

Ако линейната функция y = kx + m трябва да се разглежда не за всички стойности на x, а само за стойности на x от определен цифров интервал X, тогава те пишат:

Пример 2. Графика на линейна функция:

Решение, а) Нека направим таблица за линейната функция y = 2x + 1

Нека да построим точки (-3; 7) и (2; -3) на координатната равнина xOy и да начертаем права линия през тях. Това е графика на уравнението y = -2x: + 1. След това изберете сегмент, свързващ построените точки (фиг. 38). Този сегмент е графиката на линейната функция y = -2x+1, където xe [-3, 2].

Обикновено казват следното: начертали сме линейната функция y = - 2x + 1 върху сегмента [- 3, 2].

б) Как този пример се различава от предишния? Линейната функция е същата (y = -2x + 1), което означава, че същата права линия служи като нейна графика. Но – внимавайте! - този път x e (-3, 2), т.е. стойностите x = -3 и x = 2 не се вземат предвид, те не принадлежат към интервала (- 3, 2). Как отбелязахме краищата на интервал върху координатна права? Светли кръгове (фиг. 39), говорихме за това в § 26. По същия начин, точки (- 3; 7) и B; - 3) ще трябва да бъдат отбелязани на чертежа със светли кръгове. Това ще ни напомни, че са взети само онези точки от правата y = - 2x + 1, които лежат между точките, отбелязани с кръгове (фиг. 40). Но понякога в такива случаи те използват стрелки, а не светли кръгове (фиг. 41). Това не е фундаментално, основното е да разберете какво се казва.

Пример 3.Намерете най-голямата и най-малката стойност на линейна функция върху сегмента.
Решение. Нека направим таблица за линейна функция

Нека да построим точки (0; 4) и (6; 7) на координатната равнина xOy и да начертаем права линия през тях - графика на линейната функция x (фиг. 42).

Трябва да разгледаме тази линейна функция не като цяло, а върху сегмент, т.е. за x e.

Съответният сегмент от графиката е маркиран на чертежа. Забелязваме, че най-голямата ордината на точките, принадлежащи на избраната част, е равна на 7 - това е най-висока стойностлинейна функция върху отсечката. Обикновено се използва следната нотация: y max =7.

Отбелязваме, че най-малката ордината на точките, принадлежащи към частта от линията, маркирана на фигура 42, е равна на 4 - това е най-малката стойност на линейната функция върху сегмента.
Обикновено се използва следната нотация: y име. = 4.

Пример 4.Намерете y naib и y naim. за линейна функция y = -1,5x + 3,5

а) на сегмента; б) на интервала (1.5);
в) на полуинтервал.

Решение. Нека направим таблица за линейната функция y = -l.5x + 3.5:

Нека построим точки (1; 2) и (5; - 4) на координатната равнина xOy и да начертаем права линия през тях (фиг. 43-47). Нека изберем на построената права линия частта, съответстваща на стойностите x от сегмента (фиг. 43), от интервала A, 5) (фиг. 44), от полуинтервала (фиг. 47).

а) Използвайки фигура 43, е лесно да се заключи, че y max = 2 (линейната функция достига тази стойност при x = 1) и y min. = - 4 (линейната функция достига тази стойност при x = 5).

б) Използвайки фигура 44, заключаваме: тази линейна функция няма нито най-големите, нито най-малките стойности на даден интервал. защо Факт е, че за разлика от предишния случай, двата края на сегмента, в които са достигнати най-големите и най-малките стойности, са изключени от разглеждане.

c) Използвайки фигура 45, заключаваме, че y max. = 2 (както в първия случай), и най-ниска стойностлинейната функция не (както във втория случай).

г) Използвайки фигура 46, заключаваме: y max = 3,5 (линейната функция достига тази стойност при x = 0) и y max. не съществува.

д) Използвайки фигура 47, заключаваме: y max = -1 (линейната функция достига тази стойност при x = 3), а y max не съществува.

Пример 5. Графика на линейна функция

y = 2x - 6. Използвайки графиката, отговорете на следните въпроси:

а) при каква стойност на x ще y = 0?
б) за какви стойности на x ще y > 0?
в) при какви стойности на x ще y< 0?

Решение Нека направим таблица за линейната функция y = 2x-6:

През точките (0; - 6) и (3; 0) прекарваме права линия - графиката на функцията y = 2x - 6 (фиг. 48).

а) y = 0 при x = 3. Графиката пресича оста x в точката x = 3, това е точката с ордината y = 0.
b) y > 0 за x > 3. Всъщност, ако x > 3, тогава правата е разположена над оста x, което означава, че ординатите на съответните точки на правата са положителни.

в) при< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Моля, обърнете внимание, че в този пример използвахме графиката за решаване на:

а) уравнение 2x - 6 = 0 (получихме x = 3);
б) неравенство 2x - 6 > 0 (получихме x > 3);
в) неравенство 2x - 6< 0 (получили х < 3).

Коментирайте. На руски език един и същи обект често се нарича по различен начин, например: „къща“, „сграда“, „постройка“, „вила“, „имение“, „барака“, „барака“, „хижа“. IN математически езикположението е приблизително същото. Да кажем, равенството с две променливи y = kx + m, където k, m са конкретни числа, може да се нарече линейна функция, може да се нарече линейно уравнениес две променливи x и y (или с две неизвестни x и y), може да се нарече формула, може да се нарече връзка, свързваща x и y, накрая може да се нарече зависимост между x и y. Това няма значение, основното е да разберете, че във всички случаи говорим за математическия модел y = kx + m

.

Помислете за графиката на линейната функция, показана на фигура 49, а. Ако се движим по тази графика отляво надясно, тогава ординатите на точките на графиката се увеличават през цялото време, сякаш се „изкачваме по хълм“. В такива случаи математиците използват термина нарастване и казват следното: ако k>0, тогава линейната функция y = kx + m нараства.

Помислете за графиката на линейната функция, показана на фигура 49, b. Ако се движим по тази графика отляво надясно, тогава ординатите на точките на графиката намаляват през цялото време, сякаш „слизаме по хълм“. В такива случаи математиците използват термина намаление и казват: ако k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Линейна функция в живота

Сега нека обобщим тази тема. Вече се запознахме с такава концепция като линейна функция, знаем нейните свойства и се научихме как да изграждаме графики. Също така разгледахте специални случаи на линейни функции и научихте от какво зависи относителната позиция на графиките на линейните функции. Но се оказва, че в нашата ежедневиетоние също постоянно се пресичаме с този математически модел.

Нека помислим какви ситуации от реалния живот са свързани с такова понятие като линейни функции? И също така, между какви количества или житейски ситуации е възможно да се установи линейна връзка?

Много от вас вероятно не разбират напълно защо трябва да изучават линейни функции, защото е малко вероятно да е полезно в по-късен живот. Но тук грешите дълбоко, защото ние се сблъскваме с функции през цялото време и навсякъде. Защото дори редовният месечен наем също е функция, която зависи от много променливи. И тези променливи включват квадратни метри, брой жители, тарифи, потребление на електроенергия и т.н.

Разбира се, най-често срещаните примери за функции линейна зависимост, с които се сблъскахме са уроци по математика.

Вие и аз решавахме задачи, в които намирахме разстоянията, изминати от коли, влакове или пешеходци с определена скорост. Това са линейни функции на времето на движение. Но тези примери са приложими не само в математиката, те присъстват и в ежедневието ни.

Калоричното съдържание на млечните продукти зависи от съдържанието на мазнини и тази зависимост обикновено е линейна. Например, с увеличаване на процента на мазнини в заквасената сметана, калоричното съдържание на продукта също се увеличава.

Сега нека направим изчисленията и намерим стойностите на k и b чрез решаване на системата от уравнения:

Сега нека изведем формулата на зависимостта:

В резултат на това получихме линейна зависимост.

За да се знае скоростта на разпространение на звука в зависимост от температурата, е възможно да се намери с помощта на формулата: v = 331 +0,6t, където v е скоростта (в m/s), t е температурата. Ако начертаем графика на тази връзка, ще видим, че тя ще бъде линейна, тоест ще представлява права линия.

И такива практически приложения на знанията в прилагането на линейната функционална зависимост могат да бъдат изброявани дълго време. Като се започне от телефонните такси, дължината и растежа на косата и дори поговорките в литературата. И този списък продължава и продължава.

Календарно-тематично планиране по математика, видеопо математика онлайн, Математика в училище изтегляне

А. В. Погорелов, Геометрия за 7-11 клас, Учебник за учебни заведения