Изследователска работа "режещи проблеми". Задачи, свързани с изрязване и повторно изрязване на фигури: лъчите CB и CA съвпадат

Пред вас има лист хартия с изображение на: а) триъгълник, б) петлъчева звезда, в) многоъгълник във формата на плуващ лебед. Във всеки случай идва с, как да сгънете лист хартия, така че след това съответната форма да може да бъде изрязана в един непрекъснат прав разрез с ножица.

Улика

Във всички случаи решението почти изцяло се състои от стъпки от два типа: трябва да добавите или по ъглополовящата на някои от ъглите, свързани с фигурата (за да „намалите“ броя на сегментите, които остават не на една и съща линия) , или по перпендикуляра на един от сегментите (за да „напаснете” дължината му до желаната дължина).

Решение

Фигурите по-долу показват как да сгънете формите от задачата, за да изрежете всяка от тях с един разрез.

С триъгълник всичко е повече или по-малко ясно: добавяме по една ъглополовяща, след това по друга (фиг. 1).

Със звездата също е доста лесно да се справите. Първо трябва да го сгънете наполовина по оста на симетрия (напълно естествено действие - тъй като можете да „разполовите“ фигурата с един замах). След това - комбинирайте двата лъча на звездата един с друг, добавяйки по ъглополовящата на нейния "външен" ъгъл. След това от контура ще останат само три сегмента, които лесно се комбинират (фиг. 2).

Лебедът е най-трудното нещо. Това е разбираемо: фигура без симетрии, с голям брой страни; следователно ще са необходими голям брой гънки. Схемата за сгъване е показана на фиг. 3. Обикновените пунктирани линии представляват гънки надолу; линиите с пунктирана черта представляват гънки нагоре. Първо трябва да маркирате тези гънки отделно, така че листът да приеме формата на покрива на къща и едва след това да сгънете листа в плоска форма.

Серия от снимки показва целия процес на сгъване:

Прочетете откъде идва такава гениална система от гънки в послеслова.

Послеслов

Всички опции, предложени в условието, са само частни случаи на общия въпрос, който звучи така:

Даден многоъгълник върху плосък лист хартия, възможно ли е да сгънете този лист, така че многоъгълникът да може да бъде изрязан с един прав разрез?

Оказва се, че независимо от формата на многоъгълника, отговорът на този въпрос винаги е положителен: да, можете. (Разбира се, сега обсъждаме този проблем от гледна точка на математиката и не засягаме „физическата“ страна на въпроса: невъзможно е да сгънете лист хартия твърде много пъти. Смята се, че това е невъзможно е да сгънете дори много тънка хартия повече от 7-8 пъти. Това е почти така: с малко усилия можете да направите 12 завоя, но е малко вероятно да успеете да направите повече.)

Освен това, ако са начертани няколко полигона, тогава листът все още може да бъде сгънат, така че всички те да могат да бъдат изрязани с един разрез (и нищо допълнително няма да бъде изрязано). Въпросът е, че е вярно следното теорема:

Нека на лист хартия бъде начертана произволна графика. След това този лист може да се сгъне, така че тази графика да се изреже с един разрез и нищо ненужно няма да се изреже.

Тази теорема има алгоритмично доказателство. Тоест неговото доказателство дава ясна рецепта за това как да се конструира необходимата система от гънки.

Накратко същността е следната. Първо трябва да изградим прав скелет. Това е набор от линии - траекториите на върховете на оригиналния многоъгълник - по които те се движат по време на специалното му компресиране. Компресията работи по следния начин: преместваме страните на многоъгълника „навътре“ с постоянна скорост, така че всяка страна да се движи, без да променя посоката си. Както можете лесно да видите, в началото върховете ще пълзят по ъглополовящите на ъглите на многоъгълника. Тоест, тази странна на пръв поглед конструкция просто обобщава идеята, предложена в подсказката: че трябва да се опитате да добавите по симетралите на ъглите на многоъгълник. Обърнете внимание, че по време на процеса на компресиране многоъгълникът може да се „разпадне“ на парчета, както се случи на фиг. 5.

След като се получи скелетът, от всеки от неговите върхове е необходимо да се начертаят лъчи, перпендикулярни на тези страни на оригиналната фигура, към които могат да бъдат изтеглени. Ако лъчът се натъкне на линия от скелета, тогава след пресичане той трябва да продължи не направо, а по огледалния си образ спрямо тази линия. Системата на сгъване се състои от начертани линии.

Повече информация за това и как да определите посоката на сгъване („нагоре“ или „надолу“) можете да намерите в статията E. D. Demaine, M. L. Demaine, A. Lubiw, 1998. Folding and Cutting Paper. Кратка история и друг подход за решаване на проблема можете да намерите на страницата на Ерик Демейн, един от авторите на доказателството на теоремата. Можете също така да прочетете малко по-популярна история за тази теорема (за съжаление, също на английски). И накрая, съветвам ви да гледате анимационния филм „Математически етюди“, в който можете ясно да видите как да сгънете триъгълник и звезда и след това да ги изрежете с един разрез.

И накрая, отбелязвам, че въпроси, подобни на обсъдените по-горе, се повдигат от доста време. Например, в японска книга от 1721 г., като една от задачите, читателите бяха помолени да изрежат фигура от три обединени ромба, като използват един разрез (фиг. 6). По-късно известният илюзионист Хари Худини обяснява метода за изрязване на звезда в своята книга. Между другото, според легендата, точно защото такава звезда може бързо да бъде изрязана от хартия или плат, сега виждаме петолъчни звезди на знамето на САЩ: шивачката Бетси Рос, която според легендата е ушила първото знаме, успя да убеди Джордж Вашингтон, че те са по-добре използвани за знамето, отколкото тези с шест точки, които Вашингтон първоначално искаше да използва.

Саркисян Роман

Изследователска работа „Задачи за рязане“ завършиха ученици от 8 клас

Учениците се запознават и изследват техники за изрязване на фигури в игрите „Пентамино“, „Танграми“, пъзели и доказателство на теореми.

Изтегли:

Преглед:

За да използвате визуализации на презентации, създайте акаунт в Google и влезте в него: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Преглед:

Изследователска работа по темата

"Проблеми с рязане"

Изпълнява: Роман Саркисян, Анастасия Шаврова,

Ученици от 8 клас

MBOU "Severomuyskaya средно училище"

Ръководител: учител по математика Огаркова I.I.

1. Въведение
2. Историческа справка
3. Играта "Пентамино"
4. Играта "Танграм"
5. Проблем "Торта"
6. Задача № 4 - „Изрежете правоъгълника“
7. Задача № 5 - „Изрежете два квадрата“
8. Задача № 6 - „Изрежете два квадрата-2“
9. Задача №7 – Кръст
10. Задача No8 – Кръст -2
11. Задача No9 - Квадрат 8*8
12. Задача № 10 Площ на успоредник
13. Задача № 11 Площ на трапец
14. Задача № 12 Площ на триъгълник
15. Заключение
16. Литература.

Въведение

„Решаването на проблеми е практично изкуство като

плуване, ски или свирене на пиано;

можете да го научите само като подражавате на доброто

проби и постоянно практикуване"

Д. Поя

Страстта към математиката често започва с обмисляне на проблем, който особено ви харесва. Богат източник на такива проблеми са различни олимпиади – училищни, градски, дистанционни, международни. В подготовката за олимпиадите разгледахме много разнообразни задачи и идентифицирахме група проблеми, чийто подход към решаването ни се стори интересен и оригинален. Това са режещи задачи. Имахме въпроси: каква е особеността на такива проблеми, има ли специални методи и техники за решаване на проблеми с рязане.

Уместност (Слайд 2)

1. Математиците откриват нови връзки между математическите обекти. В резултат на тази работа са открити общи методи за решаване на различни проблеми. И тези проблеми получават стандартни методи за решаване, преминавайки от категорията на творческите в категорията на техническите, т.е. изискващи използването на вече известни методи за тяхното решаване.
2. Задачите за рязане помагат на учениците да формират геометрични концепции възможно най-рано, като използват различни материали. При решаването на такива проблеми възниква усещане за красота, законност и ред в природата.

Обект на изследване: разкройни задачи

Предмет на изследване: разнообразие от проблеми с рязане, методи и техники за тяхното решаване.

Изследователски методи: моделиране, сравнение, обобщение, аналогии, изучаване на литературни и интернет ресурси, анализ и класификация на информация.

(Слайд3) Основноцел на изследванетое да се разширят знанията за разнообразието от задачи за рязане.

За да постигнем тази цел, предвиждаме да решим следнотозадачи: (Слайд 4)

1. изберете необходимата литература
2. да се научат да режат геометрични фигури на части, необходими за съставянето на една или друга геометрична фигура, като използват техните свойства и характеристики;
3. да се научат да доказват, че площите на фигурите са равни, като ги разрязват на определени части и доказват, че тези фигури са еднакво съставени;
4. провеждане на геометрични изследвания и проектиране при решаване на проблеми от различен тип.
5. изберете материал за изследване, изберете основната, интересна, разбираема информация
6. анализира и систематизира получената информация
7. намират различни методи и техники за решаване на проблеми с рязане
8. класифицира изследваните проблеми
9. намират начини за преформатиране на: триъгълник в равностранен успоредник; успоредник в равностранен триъгълник; трапец в равностранен триъгълник.
10. Създайте електронна презентация на вашата работа

Хипотеза: Може би разнообразието от задачи за рязане, техният „забавен“ характер и липсата на общи правила и методи за решаването им създават трудности за учениците при разглеждането им. Да предположим, че при по-внимателно разглеждане на задачите за рязане ще се убедим в тяхната уместност, оригиналност и полезност.

Когато решаваме проблеми с рязане, не се нуждаем от познания по основи на планиметрията, но ще ни трябва изобретателност, геометрично въображение и доста проста геометрична информация, която е известна на всички.

(Слайд 5) Исторически фон

Проблемите с рязане, като вид пъзел, привличат вниманието от древни времена. Първият трактат, който се занимава с проблемите на рязане, е написан от известния арабски астроном и математик от Хорасан, Абу ал-Вефа (940 - 998 г. сл. Хр.). В началото на 20-ти век, благодарение на бързия растеж на периодичните издания, решаването на проблеми с разрязването на фигури на определен брой части и след това композирането им в нова фигура привлече вниманието като средство за забавление на широки слоеве от обществото. Сега геометрите са приели тези проблеми сериозно, особено след като те се основават на древния проблем за еднакви по размер и еднакво съставени фигури, който датира от древните геометри. Известни специалисти в този клон на геометрията бяха известните класици на забавната геометрия и създателите на пъзели Хенри Е. Дудени и Хари Линдгрен.

Енциклопедия за решаване на различни проблеми с рязане е книгата "Геометрия на рязане" на Хари Линдгрен. В тази книга можете да намерите записи за изрязване на многоъгълници в дадени форми

Когато обмисляте решения на проблеми с рязането, разбирате, че няма универсален алгоритъм или метод. Понякога начинаещият геометър може значително да надмине по-опитен човек в своето решение. Тази простота и достъпност е в основата на популярността на игрите, базирани на решаване на такива проблеми, например- (Слайд 6) пентомино"роднини" на тетрис, танграм.

(Slide7) Игра „Пентамино“ Правила на играта

Същността на играта е да се конструират различни силуети на обекти в равнина. Играта включва добавяне на различни фигури от даден набор от пентомино. Комплектът пентомино съдържа 12 фигури, всяка от които е съставена от пет еднакви квадрата, като квадратите са „съседни“ един до друг само със страните си.

Игра "Танграм" (Слайд 8)

В играта "танграм" могат да се образуват значителен брой фигури от седем основни елемента.Всички сглобени фигури трябва да имат еднаква площ, т.к сглобени от еднакви елементи. Следва, че:

1. Всяка сглобена фигура със сигурност трябва да включва всичките седем елемента.
2. При композиране на фигура елементите не трябва да се застъпват, т.е. са разположени само в една равнина.
3. Елементите на фигурите трябва да са съседни един на друг.

Задачи

В играта танграм има 3 основни категории задачи:

1. Намиране на един или повече начини за построяване на дадена фигура или елегантно доказателство за невъзможността да се построи фигура.
2. Намиране на начин за изобразяване на силуетите на животни, хора и други разпознаваеми обекти с най-голяма изразителност или хумор (или и двете заедно).
3. Решаване на различни проблеми на комбинаторната геометрия, възникващи във връзка със състава на фигури от 7 тана.

Задача 3 (Слайд 9)

Торта , украсен с рози, беше разделен на парчета с три прави разреза, така че всяко парче съдържа точно една роза. Какъв е най-големият брой рози, които могат да бъдат върху тортата?

Коментар. Решението на проблема се основава на прилагането на аксиомата:„Правата линия разделя една равнина на две полуравнини.“Трябва да бъдат изобразени всички възможни случаи на подреждане на три прави линии. От фигурата става ясно, че най-голям брой части - 7 - се получават, когато линиите се пресичат по двойки. Следователно на тортата не може да има повече от 7 рози.

Задача 4 (Слайд10)

Изрежете правоъгълника, ax2a на такива части, че от тях е възможно да се състави равен на него размер:

1) правоъгълен триъгълник;

2) квадрат.

Решението на проблема е ясно от фигури 2 и 3.

Задача 5 (Слайд 11)

Изрежете два квадрата1x1 и 3x3 на такива части, че да могат да се използват за направата на квадрат с еднакъв размер.

Коментар. Тази задача е да преоформите фигура, състояща се от два квадрата, в квадрат с еднакъв размер. Площта на новия площад е 3 2 +1 2 , което означава, че страната на квадрат, равна на сумата от тези квадрати, е равна, т.е. е хипотенузата на правоъгълник с крака 3 и 1. Конструкцията на такъв квадрат е ясна от Фигура 4

Задача 6 (Слайд 12)

Изрежете два произволни квадратана такива части, че да могат да се използват за образуване на квадрат с еднакъв размер.

Решението на проблема е ясно от фигура 5. Площта на новия квадрат е a 2 + b 2 , което означава, че страната на квадрат, равна на сумата от тези квадрати, е равна на

т.е. това е хипотенузата на правоъгълен триъгълник с катети a и b.

Задача 7 (Слайд 13)

кръст съставен от пет квадрата: един квадрат в центъра, а останалите четири съседни на страните му. Нарежете го на парчета, така че да направите от тях еднакъв квадрат.

Решението на проблема е ясно от фигура 6.

Задача 8 (Слайд 14)

кръст съставен от пет квадрата: един квадрат в центъра, а останалите четири съседни на страните му. Как да покриете повърхността на лико с шест такива кръста, всяко лице от които е равно по размер на кръста.

Коментар. Кръстът е насложен върху ръба (фиг. 7), няма нужда да подрязвате и залепвате отново „стърчащите уши“ - те се преместват към съседния ръб и завършват на правилните места. Като увиете „стърчащите уши“ върху съседни лица, можете по този начин да покриете повърхността на куба с шест кръста (фиг. 8).

Задача 9 (Слайд 15)

Квадрат 8x8 нарежете на четири части, както е показано на фигура 9. От получените части се прави правоъгълник 13x5. Площта на правоъгълник е 65, а площта на квадрат е 64. Обяснете къде е грешката.

Стъклена чаша- този материал е специален и се различава от другите строителни материали.

Този строителен материал е изключително крехък и в по-голямата си част е прозрачен.

Ето защо, преди да купите стъкло и да работите с него, трябва да започнете да пазарувате с инструмента.

Но не трябва да купувате първия инструмент, който попаднете, защото той може да е с лошо качество и няма да може да отреже стъклото, както е необходимо.

Много е важно да определите какъв инструмент ви е необходим, тъй като има няколко вида резачки за стъкло:

1. Валяк;
2. Диамант;
3. Мазна;

Валяк

Ролковият стъклорез за рязане на стъкло има вградена специална ролка, която е изработена от много издръжлива волфрамо-кобалтова сплав. Обичайният диаметър на ролката е 6,6 mm, този диаметър на ролката позволява рязане на стъкло с дебелина до 4 mm.

Диамант

Диамантеният стъклорез е оборудван със съответно малък диамант, този диамант реже стъкло. Твърдостта на диаманта е добре известна и затова той отдавна се използва за рязане на стъкло.

Днес, както и преди, диамантеният нож за стъкло се счита за най-добрия инструмент за рязане на стъкло.

Мазна

Неотдавна в списъка на резачките за стъкло беше добавен маслен нож за рязане на стъкло.

Това по същество е подобрен ролков инструмент, който има резервоар, вграден в дръжката за подаване на смазка към ролката. Този лубрикант свързва частиците, образувани при рязане на стъкло, като същевременно осигурява плавно движение. Тази резачка за стъкло може да реже стъкло до 20 mm.

1. Преди да закупите какъвто и да е тип резачка за стъкло, най-добре е да помолите продавача да провери.
2. Ако сте доволни от инструмента, можете да го купите, но купете този, който ви е демонстриран.

Как се реже стъкло

Стъкленият лист не се реже толкова лесно, колкото изглежда на пръв поглед. За да направите рязане на стъкло, е необходима подготовка.

Подготовка

1. Абсолютно новото стъкло трябва само да се почисти старателно от прах и да се избърше на сухо с вестник, тъканта не е подходяща за такава работа.
2. Ако трябва да режете старо стъкло, първо трябва да го обезмаслите, след което стъклото се измива добре с вода и препарати.
3. След всички горепосочени манипулации стъклото трябва да се изсуши в затворена и чиста стая.

Рязано стъкло

Подготвителната работа включва също рязане на стъкло и подготовка на контейнери за събиране на отпадъци. Трябва да има два контейнера, тоест за събиране на дребни отпадъци и за събиране на по-едри, които може да послужат за нещо в бъдеще.

Когато режете стъкло, най-добре е да започнете с обикновено стъкло за прозорец и след това да преминете към по-сложни опции.

Техника за рязане на стъкло

При използване на диамантен стъклорез, трябва да го държите в самото дъно на дръжката и да нарисувате гладка линия по линийката, почти без да натискате стъклото.

При рязане на стъкло с ролков стъклорезНеобходим е лек натиск и когато резачката за стъкло се движи, на повърхността на стъклото се появява белезникава ивица, по-дълбока, отколкото при използване на диамантен инструмент.

Възможни грешки

Когато има стъклена река, има две грешки:

1. Натискът с нож за стъкло може да бъде твърде силен;
2. Стъклорезачката се извършва няколко пъти на едно и също място.

Когато режете стъкло, опитайте се да натиснете инструмента равномерно по цялата дължина на среза.

Ако забележите стружки, докато режете стъкло, това означава само, че натискате твърде силно инструмента. За да избегнете това, намалете натиска върху резачката за стъкло.

Никога не рисувайте двойно по линията на рязане, тъй като това може да повреди вашия инструмент.

Последният етап е счупване на стъкло

Тънкото стъкло се чупи на ръка. Парчето стъкло, което вече е изрязано, трябва да бъде поставено на ръба на масата, така че линията на рязане да е отгоре и да излиза малко извън ръба на масата, а основната част на стъклото трябва да лежи върху масата.

Трябва да натиснете стъкления лист с една ръка, а с другата трябва да хванете изпъкналата част на стъклото и леко да натиснете върху стъклото с ръка.

Ако ръбът, който трябва да се отчупи, е малък и не може да се отчупи с ръка, използвайте клещи.

Познаването на теорията за рязане на стомана ви позволява да приложите тези знания на практика. Тоест можете да вземете малко парче стъкло и да практикувате върху него.

След като изпробвате рязане на стъкло на практика, ще бъдете по-уверени в уменията си в бъдеще. Надяваме се, че тази информация е полезна. Желаем ви късмет и търпение!

Точката е абстрактен обект, който няма измервателни характеристики: нито височина, нито дължина, нито радиус. В рамките на задачата е важно само местоположението му

Точката се обозначава с цифра или главна латинска буква. Няколко точки - с различни цифри или различни букви, за да се различават

точка А, точка Б, точка С

A B C

точка 1, точка 2, точка 3

1 2 3

Можете да нарисувате три точки „А” на лист хартия и да поканите детето да начертае линия през двете точки „А”. Но как да разберем през кои? A A A

Линията е набор от точки. Измерва се само дължината. Няма ширина и дебелина

Обозначава се с малки (малки) латински букви

линия a, линия b, линия c

a b c

Линията може да бъде

1. затворен, ако началото и краят му са в една и съща точка,
2. отворен, ако началото и краят му не са свързани

затворени линии

отворени линии

Излязохте от апартамента, купихте хляб от магазина и се върнахте обратно в апартамента. Каква линия получихте? Точно така, затворено. Върнахте се към началната си точка. Излязохте от апартамента, купихте хляб от магазина, влязохте във входа и започнахте да говорите със съседа си. Каква линия получихте? Отворете. Не сте се върнали в началната си точка. Излязохте от апартамента и купихте хляб от магазина. Каква линия получихте? Отворете. Не сте се върнали в началната си точка.

1. самопресичащи се
2. без самопресичане

самопресичащи се линии

линии без самопресичане

1. прав
2. счупен
3. крив

прави линии

прекъснати линии

извити линии

Правата линия е линия, която не е крива, няма начало и край, може да бъде продължена безкрайно и в двете посоки

Дори когато се вижда малък участък от права линия, се приема, че тя продължава безкрайно в двете посоки

Обозначава се с малка (малка) латинска буква. Или две главни (главни) латински букви - точки, лежащи на права линия

права линия а

а

права линия AB

Б А

Директен може да бъде

1. пресичащи се, ако имат обща точка. Две линии могат да се пресичат само в една точка.
   • перпендикулярни, ако се пресичат под прав ъгъл (90°).
2. Успоредни, ако не се пресичат, нямат обща точка.

паралелни линии

пресичащи се линии

перпендикулярни линии

Лъчът е част от права линия, която има начало, но няма край; тя може да бъде продължена безкрайно само в една посока

Светлинният лъч в картината има начална точка като слънцето.

слънце

Точка разделя права линия на две части - два лъча A A

Лъчът се обозначава с малка (малка) латинска буква. Или две главни (главни) латински букви, където първата е точката, от която започва лъчът, а втората е точката, разположена върху лъча

лъч а

а

лъч AB

Б А

Лъчите съвпадат, ако

1. разположени на една и съща права линия
2. започнете от една точка
3. насочени в една посока

лъчите AB и AC съвпадат

лъчите CB и CA съвпадат

C B A

Отсечката е част от линия, която е ограничена от две точки, тоест има начало и край, което означава, че нейната дължина може да бъде измерена. Дължината на отсечка е разстоянието между началната и крайната му точка

През една точка можете да начертаете произволен брой линии, включително прави линии

През две точки - неограничен брой криви, но само една права линия

криви линии, минаващи през две точки

Б А

права линия AB

Б А

От правата линия беше „отрязано“ парче и остана сегмент. От примера по-горе можете да видите, че неговата дължина е най-късото разстояние между две точки. ✂ B A ✂

Отсечката се обозначава с две главни (главни) латински букви, като първата е точката, в която отсечката започва, а втората е точката, в която завършва отсечката

сегмент AB

Б А

Проблем: къде е правата, лъчът, отсечката, кривата?

Прекъснатата линия е линия, състояща се от последователно свързани сегменти, които не са под ъгъл 180°

Дълъг сегмент беше "разбит" на няколко къси

Връзките на прекъснатата линия (подобно на връзките на веригата) са сегментите, които съставляват прекъснатата линия. Съседни връзки са връзки, в които краят на една връзка е началото на друга. Съседните връзки не трябва да лежат на една и съща права линия.

Върховете на начупената линия (подобно на върховете на планините) са точката, от която започва начупената линия, точките, в които се свързват сегментите, които образуват начупената линия, и точката, в която свършва начупената линия.

Прекъсната линия се обозначава чрез изброяване на всички нейни върхове.

прекъсната линия ABCDE

връх на полилиния A, връх на полилиния B, връх на полилиния C, връх на полилиния D, връх на полилиния E

прекъсната връзка AB, прекъсната връзка BC, прекъсната връзка CD, прекъсната връзка DE

връзка AB и връзка BC са съседни

връзка BC и връзка CD са съседни

връзка CD и връзка DE са съседни

A B C D E 64 62 127 52

Дължината на начупена линия е сумата от дължините на нейните връзки: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: коя прекъсната линия е по-дълга, А който има повече върхове? Първият ред има всички връзки с еднаква дължина, а именно 13 см. Вторият ред има всички връзки с еднаква дължина, а именно 49 см. Третият ред има всички връзки с еднаква дължина, а именно 41 см.

Многоъгълникът е затворена многоъгълна линия

Страните на многоъгълника (изразите ще ви помогнат да запомните: „отидете във всичките четири посоки“, „бягайте към къщата“, „от коя страна на масата ще седнете?“) са връзките на прекъсната линия. Съседните страни на многоъгълник са съседни връзки на прекъсната линия.

Върховете на многоъгълник са върховете на начупена линия. Съседните върхове са крайните точки на едната страна на многоъгълника.

Многоъгълник се означава чрез изброяване на всички негови върхове.

затворена полилиния без самопресичане, ABCDEF

многоъгълник ABCDEF

многоъгълник връх A, многоъгълник връх B, многоъгълник връх C, многоъгълник връх D, многоъгълник връх E, многоъгълник връх F

връх A и връх B са съседни

връх B и връх C са съседни

връх C и връх D са съседни

връх D и връх E са съседни

връх E и връх F са съседни

връх F и връх A са съседни

многоъгълна страна AB, многоъгълна страна BC, многоъгълна страна CD, многоъгълна страна DE, многоъгълна страна EF

страна AB и страна BC са съседни

страна BC и страна CD са съседни

CD страната и DE страната са съседни

страна DE и страна EF са съседни

страна EF и страна FA са съседни

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Периметърът на многоъгълник е дължината на начупената линия: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоъгълник с три върха се нарича триъгълник, с четири - четириъгълник, с пет - петоъгълник и т.н.

На вниманието на учителите по математика и учителите по различни избираеми предмети и клубове се предлага селекция от занимателни и образователни задачи за геометрично рязане. Целта на учителя, който използва такива задачи в часовете си, е не само да заинтересува ученика от интересни и ефектни комбинации от клетки и фигури, но и да развие усета му за линии, ъгли и форми. Наборът от задачи е насочен основно към деца от 4-6 клас, въпреки че е възможно да се използва дори при ученици от гимназията. Упражненията изискват от учениците висока и стабилна концентрация на внимание и са идеални за развиване и трениране на зрителната памет. Препоръчва се за преподаватели по математика, подготвящи ученици за приемни изпити в математически училища и класове, които поставят специални изисквания към нивото на независимо мислене и творчески способности на детето. Нивото на задачите съответства на нивото на входните олимпиади в лицея „второ училище“ (второ математическо училище), малкия механико-математически факултет на Московския държавен университет, училището Курчатов и др.

Забележка на учителя по математика:
В някои решения на задачи, които можете да видите, като щракнете върху съответния показалец, е посочен само един от възможните примери за разрязване. Напълно признавам, че може да се окажете с друга правилна комбинация - няма нужда да се страхувате от това. Проверете внимателно решението на вашето мъниче и ако то отговаря на условията, не се колебайте да поемете следващата задача.

1) Опитайте да разрежете фигурата, показана на фигурата, на 3 части с еднаква форма:

: Малките форми са много подобни на буквата Т

2) Сега нарежете тази фигура на 4 части с еднаква форма:

Съвет за учител по математика: Лесно е да се досетите, че малките фигури ще се състоят от 3 клетки, но няма много фигури с три клетки. Има само два вида от тях: ъгъл и правоъгълник 1×3.

3) Нарежете тази фигура на 5 части с еднаква форма:

Намерете броя на клетките, които образуват всяка такава фигура. Тези фигури приличат на буквата G.

4) Сега трябва да изрежете фигура от десет клетки на 4 неравенправоъгълник (или квадрат) един спрямо друг.

Инструкции за учител по математика: Изберете правоъгълник и след това се опитайте да поставите още три в останалите клетки. Ако не работи, сменете първия правоъгълник и опитайте отново.

5) Задачата става по-сложна: трябва да разрежете фигурата на 4 различни по формафигури (не непременно правоъгълници).

Съвет за учител по математика: първо нарисувайте отделно всички видове фигури с различни форми (ще бъдат повече от четири) и повторете метода за изброяване на опции, както в предишната задача.
:

6) Нарежете тази фигура на 5 фигури от четири клетки с различна форма, така че във всяка от тях да е боядисана само една зелена клетка.

Съвет на учителя по математика:Опитайте се да започнете да режете от горния ръб на тази фигура и веднага ще разберете как да продължите.
:

7) Въз основа на предходната задача. Намерете колко фигури с различни форми има, състоящи се от точно четири клетки? Фигурите могат да се въртят и въртят, но не можете да повдигнете масата (от повърхността й), върху която лежи. Тоест, двете дадени фигури няма да се считат за равни, тъй като не могат да бъдат получени една от друга чрез ротация.

Съвет на учителя по математика:Проучете решението на предишната задача и се опитайте да си представите различните позиции на тези фигури при завъртане. Не е трудно да се досетим, че отговорът на нашия проблем ще бъде числото 5 или повече. (Всъщност дори повече от шест). Описани са 7 вида фигури.

8) Нарежете квадрат от 16 клетки на 4 части с еднаква форма, така че всяка от четирите части да съдържа точно една зелена клетка.

Съвет за учител по математика: Появата на малките фигури не е квадрат или правоъгълник, или дори ъгъл от четири клетки. И така, на какви форми трябва да опитате да изрежете?

9) Разрежете изобразената фигура на две части, така че получените части да могат да се сгънат на квадрат.

Съвет за учител по математика: Има общо 16 клетки, което означава, че квадратът ще бъде с размери 4x4. И по някакъв начин трябва да запълните прозореца в средата. Как да го направим? Може ли да има някаква промяна? След това, тъй като дължината на правоъгълника е равна на нечетен брой клетки, рязането трябва да се извърши не с вертикален разрез, а по прекъсната линия. Така че горната част се отрязва от едната страна на средната клетка, а долната - от другата.

10) Нарежете правоъгълник 4x9 на две части, така че да могат да бъдат сгънати в квадрат.

Съвет за учител по математика: В правоъгълника има общо 36 клетки. Следователно квадратът ще бъде с размери 6x6. Тъй като дългата страна се състои от девет клетки, три от тях трябва да бъдат отрязани. Как ще продължи това съкращаване?

11) Кръстът от пет клетки, показан на фигурата, трябва да бъде нарязан (можете да изрежете самите клетки) на парчета, от които може да се сгъне квадрат.

Съвет за учител по математика: Ясно е, че както и да режем по линиите на клетките, няма да получим квадрат, тъй като клетките са само 5. Това е единствената задача, в която е разрешено изрязване не по клетки. Все пак би било добре да ги оставим като ориентир. например, струва си да се отбележи, че по някакъв начин трябва да премахнем вдлъбнатините, които имаме - а именно във вътрешните ъгли на нашия кръст. Как да стане това? Например, отрязване на някои стърчащи триъгълници от външните ъгли на кръста...