Национален изследователски университет

Катедра Приложна геология

Реферат по висша математика

По темата: „Основни елементарни функции,

техните свойства и графики"

Завършено:

Проверено:

учител

Определение. функция, дадено от формулата y=a x (където a>0, a≠1) се нарича експоненциална функция с основа a.

Нека формулираме основните свойства експоненциална функция:

1. Област на дефиниция - множеството (R) на всички реални числа.

2. Диапазон - множеството (R+) от всички положителни реални числа.

3. При a > 1 функцията нараства по цялата числова ос; на 0<а<1 функция убывает.

4. Е функция от общ вид.

, на интервала xО [-3;3] , на интервала xО [-3;3]

Функция от вида y(x)=x n, където n е числото ОR, се нарича степенна функция. Числото n може да приема различни стойности: както цяло, така и дробно, както четно, така и нечетно. В зависимост от това степенната функция ще има различна форма. Нека разгледаме специални случаи, които са степенни функции и отразяват основните свойства на този тип крива в следния ред: степенна функция y=x² (функция с четен показател - парабола), степенна функция y=x³ (функция с нечетен показател - кубична парабола) и функция y=√x (x на степен ½) (функция с дробна степен), функция с отрицателна цяло число (хипербола).

Силова функция y=x²

1. D(x)=R – функцията е дефинирана върху цялата числова ос;

2. E(y)= и расте на интервала

Силова функция y=x³

1. Графиката на функцията y=x³ се нарича кубична парабола. Степенната функция y=x³ има следните свойства:

2. D(x)=R – функцията е дефинирана върху цялата числова ос;

3. E(y)=(-∞;∞) – функцията приема всички стойности в своята област на дефиниране;

4. Когато x=0 y=0 – функцията преминава през началото на координати O(0;0).

5. Функцията нараства в цялата област на дефиниция.

6. Функцията е нечетна (симетрична спрямо началото).

, на интервала xО [-3;3]

В зависимост от числения фактор пред x³, функцията може да бъде стръмна/плоска и нарастваща/намаляваща.

Степенна функция с цяло отрицателно число:

Ако показателят n е нечетен, тогава графиката на такава степенна функция се нарича хипербола. Степенна функция с цяло число отрицателен показател има следните свойства:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) за всяко n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), ако n е нечетно число; E(y)=(0;∞), ако n е четно число;

3. Функцията намалява по цялата област на дефиниция, ако n е нечетно число; функцията расте в интервала (-∞;0) и намалява в интервала (0;∞), ако n е четно число.

4. Функцията е нечетна (симетрична спрямо началото), ако n е нечетно число; функцията е четна, ако n е четно число.

5. Функцията преминава през точките (1;1) и (-1;-1), ако n е нечетно число и през точките (1;1) и (-1;1), ако n е четно число.

, на интервала xО [-3;3]

Степенна функция с дробен показател

Степенна функция с дробен показател (картинка) има графика на функцията, показана на фигурата. Степенна функция с дробен показател има следните свойства: (картинка)

1. D(x) ОR, ако n е нечетно число и D(x)= , на интервала xО , на интервала xО [-3;3]

Логаритмичната функция y = log a x има следните свойства:

1. Област на дефиниция D(x)О (0; + ∞).

2. Диапазон от стойности E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Функцията не е нито четна, нито нечетна (от общ вид).

4. Функцията нараства на интервала (0; + ∞) за a > 1, намалява на (0; + ∞) за 0< а < 1.

Графиката на функцията y = log a x може да се получи от графиката на функцията y = a x с помощта на трансформация на симетрия спрямо правата линия y = x. Фигура 9 показва графика на логаритмичната функция за a > 1, а фигура 10 за 0< a < 1.

; на интервала xО ; на интервала xО

Функциите y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x се наричат ​​тригонометрични функции.

Функциите y = sin x, y = tan x, y = ctg x са нечетни, а функцията y = cos x е четна.

Функция y = sin(x).

1. Област на дефиниция D(x) ОР.

2. Диапазон от стойности E(y) О [ - 1; 1].

3. Функцията е периодична; главният период е 2π.

4. Функцията е нечетна.

5. Функцията расте на интервали [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и намалява на интервалите [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Графиката на функцията y = sin (x) е показана на фигура 11.

дадени методически материалноси референтен знаки се отнася до широк кръг от теми. Статията предоставя преглед на графики на основни елементарни функции и разглежда най-важния въпрос - как да изградите графика правилно и БЪРЗО. По време на изследването висша математикаБез да знаете графиките на основните елементарни функции, ще бъде трудно, така че е много важно да запомните как изглеждат графиките на парабола, хипербола, синус, косинус и т.н. и да запомните някои от стойностите на функциите. Ще говорим и за някои свойства на основните функции.

Не претендирам за изчерпателност и научна задълбоченост на материалите, акцентът ще бъде поставен преди всичко върху практиката - онези неща, с които човек се среща буквално на всяка крачка, във всяка тема от висшата математика. Графики за манекени? Може да се каже така.

Поради многобройни искания от читатели съдържание, върху което може да се кликне:

Освен това има супер кратко резюме по темата
– овладейте 16 вида диаграми, като изучавате ШЕСТ страници!

Сериозно, шест, дори аз бях изненадан. Това резюме съдържа подобрена графика и се предлага срещу номинална такса, може да се види демо версия. Удобно е да отпечатате файла, така че графиките да са винаги под ръка. Благодаря за подкрепата на проекта!

И да започнем веднага:

Как правилно да конструираме координатни оси?

На практика контролните работи почти винаги се попълват от учениците в отделни тетрадки, подредени в квадрат. Защо се нуждаете от карирана маркировка? В крайна сметка работата по принцип може да се извърши на листове А4. И клетката е необходима само за висококачествено и точно проектиране на чертежи.

Всеки чертеж на функционална графика започва с координатни оси.

Чертежите могат да бъдат двуизмерни и триизмерни.

Нека първо разгледаме двумерния случай Декартова правоъгълна координатна система:

1) Начертайте координатни оси. Оста се нарича ос х , а оста е у-ос . Винаги се опитваме да ги нарисуваме спретнат и не крив. Стрелките също не трябва да приличат на брадата на татко Карло.

2) Маркирайте осите с главни букви"X" и "Y". Не забравяйте да обозначите осите.

3) Задайте скалата по осите: нарисувайте нула и две единици. При рисуване най-удобният и често използван мащаб е: 1 единица = 2 клетки (чертеж вляво) – при възможност се придържайте към него. От време на време обаче се случва чертежът да не се побира на листа на тетрадката - тогава намаляваме мащаба: 1 единица = 1 клетка (чертеж вдясно). Рядко, но се случва, че мащабът на чертежа трябва да бъде намален (или увеличен) още повече

НЯМА НУЖДА от „картечница“ …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….Защото координатната равнина не е паметник на Декарт, а ученикът не е гълъб. Ние поставяме нулаИ две единици по осите. Понякога вместоединици, удобно е да „маркирате“ други стойности, например „две“ по абсцисната ос и „три“ по ординатната ос - и тази система (0, 2 и 3) също ще дефинира уникално координатната мрежа.

По-добре е да прецените приблизителните размери на чертежа ПРЕДИ да конструирате чертежа. Така например, ако задачата изисква начертаване на триъгълник с върхове , , , тогава е напълно ясно, че популярният мащаб 1 единица = 2 клетки няма да работи. защо Нека да разгледаме точката - тук ще трябва да измерите петнадесет сантиметра надолу и, очевидно, рисунката няма да се побере (или едва се побере) на лист от тетрадка. Затова веднага избираме по-малък мащаб: 1 единица = 1 клетка.

Между другото, за сантиметри и клетки от тетрадка. Вярно ли е, че 30 клетки от тетрадка съдържат 15 сантиметра? За забавление измерете 15 сантиметра в тетрадката си с линийка. В СССР това може би е било вярно... Интересно е да се отбележи, че ако измерите същите тези сантиметри хоризонтално и вертикално, резултатите (в клетките) ще бъдат различни! Строго погледнато, съвременните тетрадки не са карирани, а правоъгълни. Това може да изглежда глупост, но рисуването, например, на кръг с компас в такива ситуации е много неудобно. Честно казано, в такива моменти започвате да мислите за правотата на другаря Сталин, който беше изпратен в лагери за халтура в производството, да не говорим за местната автомобилна индустрия, падащи самолети или експлодиращи електроцентрали.

Говорейки за качество, или кратка препоръка за канцеларски материали. Днес повечето от продаваните тетрадки са меко казано пълна глупост. Поради причината, че се мокрят и то не само от гел химикалки, но и от химикалки! Те спестяват пари на хартия. За регистрация тестовеПрепоръчвам да използвате тетрадки от Архангелската целулозно-хартиена фабрика (18 листа, квадрат) или „Pyaterochka“, въпреки че е по-скъпо. Препоръчително е да изберете гел химикал, дори най-евтиният китайски гел пълнител е много по-добър от химикалка, която или размазва, или къса хартията. Единствената „конкурентна“ химикалка, която мога да си спомня, е Erich Krause. Тя пише ясно, красиво и последователно – независимо дали с пълно ядро ​​или с почти празно.

Допълнително: Виждане на правоъгълна координатна система с очите аналитична геометрияобхванати в статията Линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторите, подробна информация за координатните квартали можете да намерите във втория параграф на урока Линейни неравенства.

3D калъф

Тук е почти същото.

1) Начертайте координатни оси. Стандартен: прилагане на ос – насочена нагоре, ос – насочена надясно, ос – насочена надолу наляво строгопод ъгъл от 45 градуса.

2) Маркирайте осите.

3) Задайте скалата по осите. Мащабът по оста е два пъти по-малък от мащаба по другите оси. Също така имайте предвид, че в десния чертеж използвах нестандартен "прорез" по оста (тази възможност вече беше спомената по-горе). От моя гледна точка това е по-точно, по-бързо и по-естетически приятно - няма нужда да търсите средата на клетката под микроскоп и да „извайвате“ единица, близка до началото на координатите.

Когато правите 3D чертеж, отново дайте приоритет на мащаба
1 единица = 2 клетки (чертеж вляво).

За какво са всички тези правила? Правилата са създадени, за да бъдат нарушавани. Това ще направя сега. Факт е, че следващите чертежи на статията ще бъдат направени от мен в Excel и координатните оси ще изглеждат неправилни от гледна точка на правилния дизайн. Бих могъл да начертая всички графики на ръка, но всъщност е страшно да ги начертая, тъй като Excel не желае да ги начертае много по-точно.

Графики и основни свойства на елементарни функции

Линейна функциясе дава от уравнението. Графиката на линейните функции е директен. За да се построи права линия, е достатъчно да се познават две точки.

Пример 1

Постройте графика на функцията. Нека намерим две точки. Изгодно е да изберете нула като една от точките.

Ако , тогава

Да вземем друга точка, например 1.

Ако , тогава

При изпълнение на задачи координатите на точките обикновено се обобщават в таблица:

А самите стойности се изчисляват устно или на чернова, калкулатор.

Намерени са две точки, нека направим чертежа:

Когато изготвяме чертеж, ние винаги подписваме графиките.

Би било полезно да си припомним специални случаи на линейна функция:

Забележете как поставих подписите, подписите не трябва да позволяват несъответствия при изучаване на чертежа. В този случай беше изключително нежелателно да се постави подпис до точката на пресичане на линиите или долу вдясно между графиките.

1) Линейна функция от формата () се нарича пряка пропорционалност. Например,. Графиката на права пропорционалност винаги минава през началото. Така конструирането на права линия е опростено - достатъчно е да се намери само една точка.

2) Уравнение от формата определя права линия, успоредна на оста, по-специално, самата ос е дадена от уравнението. Графиката на функцията се начертава веднага, без да се откриват точки. Това означава, че записът трябва да се разбира по следния начин: „y винаги е равно на –4 за всяка стойност на x.“

3) Уравнение от формата определя права линия, успоредна на оста, по-специално, самата ос е дадена от уравнението. Графиката на функцията също се изчертава веднага. Записът трябва да се разбира по следния начин: „x винаги, за всяка стойност на y, е равно на 1.“

Някои ще попитат, защо да помним 6 клас?! Така е, може би е така, но през годините на практика срещнах добра дузина студенти, които бяха объркани от задачата да построят графика като или.

Изграждането на права линия е най-често срещаното действие при правене на чертежи.

Правата е разгледана подробно в курса по аналитична геометрия, а интересуващите се могат да се обърнат към статията Уравнение на права на равнина.

Графика на квадратна, кубична функция, графика на полином

Парабола. График квадратична функция () представлява парабола. Помислете за известния случай:

Нека си припомним някои свойства на функцията.

И така, решението на нашето уравнение: – в тази точка се намира върхът на параболата. Защо това е така може да се намери в теоретичната статия за производната и урока за екстремуми на функцията. Междувременно нека изчислим съответната стойност „Y“:

Така върхът е в точката

Сега намираме други точки, докато нагло използваме симетрията на параболата. Трябва да се отбележи, че функцията – не е дори, но въпреки това никой не е отменил симетрията на параболата.

В какъв ред да намерите останалите точки, мисля, че ще стане ясно от финалната маса:

Този алгоритъм на изграждане образно може да се нарече „совалка” или принципът „напред и назад” при Анфиса Чехова.

Да направим чертежа:

От разгледаните графики идва на ум още една полезна функция:

За квадратична функция () следното е вярно:

Ако , тогава клоновете на параболата са насочени нагоре.

Ако , тогава клоновете на параболата са насочени надолу.

Задълбочени знания за кривата могат да се получат в урока Хипербола и парабола.

Кубична парабола е дадена от функцията. Ето рисунка, позната от училище:

Нека изброим основните свойства на функцията

Графика на функция

Представлява един от клоновете на парабола. Да направим чертежа:

Основни свойства на функцията:

В този случай оста е вертикална асимптота за графиката на хипербола при .

Би било ГРУБА грешка, ако при съставяне на чертеж небрежно допуснете графиката да се пресече с асимптота.

Също така едностранните граници ни казват, че хиперболата не се ограничава отгореИ не се ограничава отдолу.

Нека разгледаме функцията в безкрайност: , тоест, ако започнем да се движим по оста наляво (или надясно) до безкрайност, тогава „игрите“ ще бъдат в подредена стъпка безкрайно близоприближават нулата и съответно клоновете на хиперболата безкрайно близоприближете се до оста.

Така че оста е хоризонтална асимптота за графиката на функция, ако „x“ клони към плюс или минус безкрайност.

Функцията е странно, и следователно хиперболата е симетрична спрямо началото. Този факт е очевиден от чертежа, освен това лесно се проверява аналитично: .

Графиката на функция от формата () представлява два клона на хипербола.

Ако , тогава хиперболата се намира в първата и третата координатна четвърт(вижте снимката по-горе).

Ако , тогава хиперболата се намира във втората и четвъртата координатна четвърт.

Посоченият модел на пребиваване на хипербола е лесен за анализ от гледна точка на геометрични трансформации на графики.

Пример 3

Конструирайте десния клон на хиперболата

Използваме метода на точково конструиране и е изгодно да изберете стойностите така, че да се делят на цяло:

Да направим чертежа:

Няма да е трудно да се конструира лявото разклонение на хиперболата; странността на функцията ще помогне тук. Грубо казано, в таблицата за построяване точка по точка ние мислено добавяме минус към всяко число, поставяме съответните точки и рисуваме втория клон.

Подробна геометрична информация за разглежданата права можете да намерите в статията Хипербола и парабола.

Графика на експоненциална функция

В този раздел веднага ще разгледам експоненциалната функция, тъй като в проблемите на висшата математика в 95% от случаите се появява експоненциалната.

Нека ви напомня, че това е ирационално число: , това ще се изисква при изграждането на графика, която всъщност ще изградя без церемонии. Три точки, може би това е достатъчно:

Нека засега оставим графиката на функцията, повече за нея по-късно.

Основни свойства на функцията:

Функционалните графики и т.н. изглеждат фундаментално еднакви.

Трябва да кажа, че вторият случай се среща по-рядко в практиката, но се среща, затова сметнах за необходимо да го включа в тази статия.

Графика на логаритмична функция

Да разгледаме функция с натурален логаритъм.
Нека направим чертеж точка по точка:

Ако сте забравили какво е логаритъм, моля, вижте учебниците си в училище.

Основни свойства на функцията:

Област на дефиниция:

Диапазон от стойности: .

Функцията не е ограничена отгоре: макар и бавно, клонът на логаритъма се издига до безкрайност.
Нека разгледаме поведението на функцията близо до нула вдясно: . Така че оста е вертикална асимптота за графиката на функция като "x" клони към нула отдясно.

Задължително е да знаете и запомните типичната стойност на логаритъма: .

По принцип графиката на логаритъма в основата изглежда по същия начин: , , ( десетичен логаритъмкъм основа 10) и т.н. Освен това, колкото по-голяма е основата, толкова по-плоска ще бъде графиката.

Няма да разглеждаме случая; не помня последния път, когато съм правил графика с такава основа. А логаритъмът изглежда е много рядък гост в задачите на висшата математика.

В края на този параграф ще кажа още един факт: Експоненциална функция и логаритмична функция – това са две взаимно обратни функции. Ако погледнете внимателно графиката на логаритъма, можете да видите, че това е същият показател, просто е разположен малко по-различно.

Графики на тригонометрични функции

Откъде започват тригонометричните мъки в училище? вярно От синуса

Нека начертаем функцията

Тази линия се нарича синусоида.

Нека ви напомня, че „пи“ е ирационално число: , а в тригонометрията ви заслепява очите.

Основни свойства на функцията:

Тази функцияе периодиченс точка . Какво означава? Нека да разгледаме сегмента. Вляво и вдясно от нея безкрайно се повтаря точно една и съща част от графиката.

Област на дефиниция: , тоест за всяка стойност на „x“ има синусова стойност.

Диапазон от стойности: . Функцията е ограничен: , тоест всички „игри“ се намират строго в сегмента .
Това не се случва: или, по-точно, случва се, но тези уравнения нямат решение.

След като наистина разберете какво е функция (може да се наложи да прочетете урока повече от веднъж), ще бъдете по-уверени в решаването на проблеми с функции.

В този урок ще разгледаме как се решават основни типове функционални задачи и графики на функции.

Как да получите стойността на функция

Да разгледаме задачата. Функцията е дадена с формулата „y = 2x − 1“

1. Изчислете "y" при "x = 15"
2. Намерете стойността на „x“, при която стойността на „y“ е равна на „−19“.

За да се изчисли "y" за "x = 15", е достатъчно да се замени необходимата числова стойност във функцията вместо "x".

Записът на решението изглежда така:

y(15) = 2 15 − 1 = 30 − 1 = 29

За да намерите „x“ от известно „y“, трябва да замените числова стойност вместо „y“ във формулата на функцията.

Тоест сега, напротив, за да търсим „x“, заместваме числото „−19“ вместо „y“ във функцията „y = 2x − 1“.

−19 = 2x − 1

Получихме линейно уравнение с неизвестното “x”, което се решава по правилата за решаване на линейни уравнения.

Запомнете!

Не забравяйте за правилото за пренасяне в уравненията.

Когато се прехвърлят от лявата страна на уравнението в дясната (и обратно), буквата или цифрата променят знака си на противоположност.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
−2x = −1 + 19
−2x = 18

Както и при решението линейно уравнениеза да намерите неизвестното, сега трябва да умножите както от лявата, така и от дясната странана „−1“, за да промените знака.

−2x = 18 | · (−1)
2x = −18

Сега разделете лявата и дясната страна на "2", за да намерите "x".

2x = 18 | (: 2)
х=9

Как да проверите дали равенството е вярно за функция

Да разгледаме задачата. Функцията е дадена с формулата „f(x) = 2 − 5x“.

Вярно ли е равенството „f(−2) = −18“?

За да проверите дали равенството е вярно, трябва да замените числовата стойност „x = −2“ във функцията „f(x) = 2 − 5x“ и да я сравните с това, което получавате при изчисленията.

важно!

Когато замествате отрицателно числовместо "x", не забравяйте да го поставите в скоби.

погрешно

вярно

Използвайки изчисления, получихме „f(−2) = 12“.

Това означава, че „f(−2) = −18“ за функцията „f(x) = 2 − 5x“ не е вярно равенство.

Как да проверите дали дадена точка принадлежи на графиката на функция

Разгледайте функцията „y = x 2 −5x + 6“

Трябва да разберете дали точката с координати (1; 2) принадлежи на графиката на тази функция.

За тази задача не е необходимо да се построява графика на дадената функция.

Запомнете!

За да определите дали дадена точка принадлежи на функция, достатъчно е да замените нейните координати във функцията (координата по оста „Ox“ вместо „x“ и координата по оста „Oy“ вместо „y“).

Ако работи истинско равенство, което означава, че точката принадлежи на функцията.

Да се ​​върнем към нашата задача. Нека заместим координатите на точката (1; 2) във функцията „y = x 2 − 5x + 6“.

Вместо "x" заместваме "1".

Вместо "у" заместваме "2".
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 1 2 − 5 1 + 6

2 = 2 (правилно)

Получихме правилно равенство, което означава, че точката с координати (1; 2) принадлежи на дадената функция.
Сега нека проверим точката с координати (0; 1).

Тя принадлежи ли

функция “y = x 2 − 5x + 6”?
1 = 0 − 0 + 6
Вместо „x“ заместваме „0“.

Вместо "у" заместваме "1".

1 = 0 2 − 5 0 + 6

1 = 6 (грешно)

В този случай не получихме правилното равенство. Това означава, че точката с координати (0; 1) не принадлежи на функцията “y = x 2 − 5x + 6”

Как да получите координатите на функционална точка

Можете да вземете координатите на точка от всяка графика на функция. След това трябва да се уверите, че когато замествате координатите във формулата на функцията, се получава правилното равенство.

Да разгледаме функцията „y(x) = −2x + 1“. Вече изградихме неговия график в предишния урок.

Нека се уверим, че сме взели правилно координатите на точката за x = 2
във функцията “y(x) = −2x + 1”.

За да направим това, заместваме x = 2 във формулата на функцията „y(x) = −2x + 1“. Ако сме начертали перпендикуляра правилно, трябва също да завършим с y = −3.

y(2) = −2 2 + 1 = −4 + ​​​​1 = −3

При изчисленията също получихме y = −3.

Това означава, че сме получили правилно координатите от графиката на функцията.

важно!

Не забравяйте да проверите всички получени координати на точка от графиката на функцията, като замените стойностите "x" във функцията.

Когато заместите числовата стойност "x" във функцията, резултатът трябва да бъде същата стойност "y", която сте получили на графиката.

Когато получавате координатите на точки от графиката на функция, има голяма вероятност да направите грешка, т.к. изчертаването на перпендикуляри на осите се извършва "на око".

Само заместването на стойности във формулата на функцията дава точни резултати.

Функция за изграждане

Предлагаме на вашето внимание услуга за конструиране на функционални графики онлайн, всички права върху която принадлежат на компанията Десмос. Използвайте лявата колона, за да въведете функции. Можете да въведете ръчно или чрез виртуалната клавиатура в долната част на прозореца. За да увеличите прозореца с графиката, можете да скриете както лявата колона, така и виртуалната клавиатура.

Предимства на онлайн графики

• Визуално показване на въведените функции
• Изграждане на много сложни графики
• Конструиране на имплицитно зададени графики (например елипса x^2/9+y^2/16=1)
• Възможност за запазване на диаграми и получаване на връзка към тях, която става достъпна за всички в Интернет
• Контрол на мащаба, цвета на линията
• Възможност за начертаване на графики по точки, като се използват константи
• Изграждане на графики на няколко функции едновременно
• График в полярни координати (използвайте r и θ(\theta))

С нас е лесно да създавате диаграми с различна сложност онлайн. Строителството се извършва моментално. Услугата е търсена за намиране на пресечни точки на функции, за изобразяване на графики за по-нататъшното им преместване в документ на Word като илюстрации при решаване на проблеми и за анализ на поведенческите характеристики на функционалните графики. Оптималният браузър за работа с диаграми на тази страница на сайта е Google Chrome. Правилната работа не е гарантирана при използване на други браузъри.