Ако ж(х) И f(u) – диференцируеми функции на техните аргументи съответно в точки хИ u= ж(х), тогава комплексната функция също е диференцируема в точката хи се намира по формулата

Типична грешка при решаване на задачи върху производни е механичното прехвърляне на правилата за диференциране прости функцииза сложни функции. Нека се научим да избягваме тази грешка.

Пример 2.Намерете производната на функция

Грешно решение:изчислете натуралния логаритъм на всеки член в скоби и потърсете сбора на производните:

Правилно решение:отново определяме къде е „ябълката“ и къде е „каймата“. Тук естественият логаритъм на израза в скоби е „ябълка“, тоест функция върху междинния аргумент u, а изразът в скоби е „кайма“, тоест междинен аргумент uчрез независима променлива х.

След това (използвайки формула 14 от таблицата с производни)

В много реални проблемиизразът с логаритъм може да бъде малко по-сложен, затова има урок

Пример 3.Намерете производната на функция

Грешно решение:

Правилно решение. IN Още веднъжОпределяме къде е „ябълката“ и къде е „каймата“. Тук косинусът на израза в скоби (формула 7 в таблицата с производни) е „ябълка“, приготвя се в режим 1, който засяга само него, а изразът в скоби (производната на степента е номер 3) в таблицата с производни) е „кайма“, приготвя се по режим 2, който засяга само него. И както винаги, свързваме две производни със знака на продукта. Резултат:

Производна на комплекс логаритмична функция- честа задача на тестове, така че силно препоръчваме да посетите урока „Производна на логаритмична функция“.

Първите примери бяха за сложни функции, в които междинният аргумент на независимата променлива беше проста функция. Но в практически задачиЧесто трябва да намерите производното сложна функция, където междинният аргумент или сам по себе си е сложна функция, или съдържа такава функция. Какво да правим в такива случаи? Намерете производни на такива функции, като използвате таблици и правила за диференциране. Когато се намери производната на междинния аргумент, тя просто се замества на правилното място във формулата. По-долу има два примера за това как се прави това.

Освен това е полезно да знаете следното. Ако една сложна функция може да бъде представена като верига от три функции

тогава неговата производна трябва да се намери като произведение на производните на всяка от тези функции:

Много от задачите ви за домашна работа може да изискват да отворите ръководствата си в нови прозорци. Действия със сили и корениИ Действия с дроби .

Пример 4.Намерете производната на функция

Прилагаме правилото за диференциране на сложна функция, като не забравяме, че в получения продукт от производни има междинен аргумент по отношение на независимата променлива хне се променя:

Подготвяме втория множител на произведението и прилагаме правилото за диференциране на сумата:

Вторият член е коренът, така че

Така открихме, че междинният аргумент, който е сума, съдържа сложна функция като един от термините: повдигането на степен е сложна функция, а това, което се повдига на степен, е междинен аргумент по отношение на независимия променлива х.

Затова отново прилагаме правилото за диференциране на сложна функция:

Преобразуваме степента на първия фактор в корен и когато диференцираме втория фактор, не забравяйте, че производната на константата е равна на нула:

Сега можем да намерим производната на междинния аргумент, необходим за изчисляване на производната на сложна функция, изисквана в изложението на проблема г:

Пример 5.Намерете производната на функция

Първо използваме правилото за диференциране на сумата:

Получихме сумата от производните на две комплексни функции. Нека намерим първия:

Тук повишаването на синуса на степен е сложна функция, а самият синус е междинен аргумент за независимата променлива х. Следователно ще използваме правилото за диференциране на сложна функция по пътя изваждане на фактора извън скоби :

Сега намираме втория член на производните на функцията г:

Тук повдигането на косинус на степен е сложна функция f, а самият косинус е междинен аргумент в независимата променлива х. Нека отново използваме правилото за диференциране на сложна функция:

Резултатът е търсената производна:

Таблица с производни на някои сложни функции

За сложни функции, базирани на правилото за диференциране на сложна функция, формулата за производна на проста функция приема различна форма.

1. Производна на сложна степенна функция, където u х
2. Производна на корена на израза
3. Производна експоненциална функция
4. Специален случайекспоненциална функция
5. Производна на логаритмична функция с произволна положителна основа А
6. Производна на комплексна логаритмична функция, където u– диференцируема функция на аргумента х
7. Производна на синус
8. Производна на косинус
9. Производна на тангенс
10. Производна на котангенс
11. Производна на арксинус
12. Производна на аркосинус
13. Производна на арктангенс
14. Производна на аркотангенс

След предварителна артилерийска подготовка, примерите с 3-4-5 влагане на функции ще бъдат по-малко страшни. Следващите два примера може да изглеждат сложни за някои, но ако ги разберете (някой ще пострада), тогава почти всичко останало в диференциалното смятане ще изглежда като детска шега.

Пример 2

Намерете производната на функция

Както вече беше отбелязано, при намиране на производната на сложна функция, на първо място, е необходимо вярноРАЗБЕРЕТЕ вашите инвестиции. В случаите, когато има съмнения, напомням ви за полезна техника: вземаме експерименталната стойност на „x“ например и се опитваме (мислено или в чернова) да заменим тази стойност в „ужасния израз“.

1) Първо трябва да изчислим израза, което означава, че сумата е най-дълбокото вграждане.

2) След това трябва да изчислите логаритъма:

4) След това кубирайте косинуса:

5) На петата стъпка разликата:

6) И накрая, най-външната функция е корен квадратен:

Формула за диференциране на сложна функция ще се използва в обратен ред, от най-външната функция към най-вътрешната. Ние решаваме:

Изглежда без грешки:

1) Вземете производната на корен квадратен.

2) Вземете производната на разликата, като използвате правилото

3) Производната на тройка е нула. Във втория член вземаме производната на степента (куб).

4) Вземете производната на косинуса.

6) И накрая, вземаме производната на най-дълбокото вграждане.

Може да изглежда твърде трудно, но това не е най-жестокият пример. Вземете например колекцията на Кузнецов и ще оцените цялата красота и простота на анализираната производна. Забелязах, че обичат да дават подобно нещо на изпит, за да проверят дали студентът разбира как се намира производната на сложна функция или не разбира.

Следващият пример трябва да решите сами.

Пример 3

Намерете производната на функция

Съвет: Първо прилагаме правилата за линейност и правилото за диференциране на продукта

Пълно решение и отговор в края на урока.

Време е да преминем към нещо по-малко и по-хубаво.
Не е необичайно примерът да показва произведението не на две, а на три функции. Как да намерим производната на произведението на три фактора?

Пример 4

Намерете производната на функция

Първо разглеждаме, възможно ли е да превърнем произведението на три функции в произведение на две функции? Например, ако имаме два полинома в произведението, можем да отворим скобите. Но в разглеждания пример всички функции са различни: степен, степен и логаритъм.

В такива случаи е необходимо последователноприложете правилото за диференциране на продукта два пъти

Номерът е, че с “y” означаваме произведението на две функции: , а с “ve” означаваме логаритъма: . Защо може да се направи това? Наистина ли е - това не е произведение на два фактора и правилото не работи?! Няма нищо сложно:

Сега остава правилото да се приложи втори път в скоби:

Можете също така да се изкривите и да поставите нещо извън скоби, но в този случай е по-добре да оставите отговора точно в тази форма - ще бъде по-лесно да се провери.

Разглежданият пример може да бъде решен по втория начин:

И двете решения са абсолютно равностойни.

Пример 5

Намерете производната на функция

Това е пример за независимо решение; в примера се решава по първия метод.

Нека да разгледаме подобни примери с дроби.

Пример 6

Намерете производната на функция

Има няколко начина, по които можете да отидете тук:

Или така:

Но решението ще бъде написано по-компактно, ако първо използваме правилото за диференциране на частното , като се вземе за целия числител:

Нека намалим израза на числителя до общ знаменатели се отървете от триетажната част:

Недостатъкът на допълнителните опростявания е, че съществува риск от грешка не при намиране на производната, а при банални училищни трансформации. От друга страна, учителите често отхвърлят задачата и искат да „напомнят“ производната.

По-прост пример за самостоятелно решаване:

Пример 7

Намерете производната на функция

Продължаваме да овладяваме методите за намиране на производната и сега ще разгледаме типичен случай, когато за диференциране се предлага „ужасен“ логаритъм

Комплексни производни. Логаритмична производна.
Производна на степенно-експоненциална функция

Продължаваме да подобряваме нашата техника за диференциране. В този урок ще консолидираме материала, който сме покрили, ще разгледаме по-сложни производни, а също така ще се запознаем с нови техники и трикове за намиране на производна, по-специално с логаритмичната производна.

Тези читатели, които имат ниско ниво на подготовка, трябва да се обърнат към статията Как да намерим производната? Примери за решения, което ще ви позволи да повишите уменията си почти от нулата. След това трябва внимателно да проучите страницата Производна на сложна функция, разберете и решете всичкопримерите, които дадох. Този урок логично е третият поред и след като го усвоите, вие уверено ще различавате доста сложни функции. Не е желателно да заемате позицията „Къде другаде? Да, това е достатъчно ”, тъй като всички примери и решения са взети от реални тестовеи често се срещат в практиката.

Да започнем с повторение. На урока Производна на сложна функцияРазгледахме няколко примера с подробни коментари. По време на изучаването на диференциално смятане и други раздели математически анализ– много често ще ви се налага да правите разграничения и не винаги е удобно (и не винаги е необходимо) да описвате примери с големи подробности. Затова ще се упражняваме да намираме производни устно. Най-подходящите „кандидати“ за това са производни на най-простите от сложните функции, например:

Според правилото за диференциране на сложни функции :

При изучаване на други матански теми в бъдеще най-често не се изисква такъв подробен запис, предполага се, че ученикът знае как да намира такива производни на автопилот. Нека си представим, че в 3 часа през нощта телефонът звънна и приятен глас попита: „Колко е производната на тангенса на две X?“ Това трябва да бъде последвано от почти мигновен и учтив отговор: .

Първият пример ще бъде незабавно предназначен за самостоятелно решение.

Пример 1

Намерете устно следните производни, в едно действие, например: . За да изпълните задачата, трябва само да използвате таблица с производни на елементарни функции(ако още не сте го запомнили). Ако имате затруднения, препоръчвам ви да прочетете отново урока Производна на сложна функция.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Отговори в края на урока

Комплексни производни

Пример 2

Намерете производната на функция

1) Първо трябва да изчислим израза, което означава, че сумата е най-дълбокото вграждане.

2) След това трябва да изчислите логаритъма:

4) След това кубирайте косинуса:

5) На петата стъпка разликата:

6) И накрая, най-външната функция е корен квадратен:

Формула за диференциране на сложна функция се прилагат в обратен ред, от най-външната функция към най-вътрешната. Ние решаваме:

Изглежда, че няма грешки...

(1) Вземете производната на корен квадратен.

(2) Вземаме производната на разликата, използвайки правилото

(3) Производната на тройката е нула. Във втория член вземаме производната на степента (куб).

(4) Вземете производната на косинуса.

(5) Вземете производната на логаритъма.

(6) И накрая, вземаме производната на най-дълбокото вграждане.

Следващият пример трябва да решите сами.

Пример 3

Намерете производната на функция

Съвет: Първо прилагаме правилата за линейност и правилото за диференциране на продукта

Пълно решение и отговор в края на урока.

Пример 4

Намерете производната на функция

В такива случаи е необходимо последователноприложете правилото за диференциране на продукта два пъти

Номерът е, че с “y” означаваме произведението на две функции: , а с “ve” означаваме логаритъма: . Защо може да се направи това? Наистина ли е – това не е произведение на два фактора и правилото не работи?! Няма нищо сложно:

Сега остава правилото да се приложи втори път в скоби:

Разглежданият пример може да бъде решен по втория начин:

И двете решения са абсолютно равностойни.

Пример 5

Намерете производната на функция

Това е пример за независимо решение; в примера се решава по първия метод.

Нека да разгледаме подобни примери с дроби.

Пример 6

Намерете производната на функция

Има няколко начина, по които можете да отидете тук:

Или така:

По принцип примерът е решен и ако се остави така, няма да е грешка. Но ако имате време, винаги е препоръчително да проверите черновата, за да видите дали отговорът може да бъде опростен? Нека намалим израза на числителя до общ знаменател и да се отървем от триетажната част:

По-прост пример за самостоятелно решаване:

Пример 7

Намерете производната на функция

Пример 8

Намерете производната на функция

Тук можете да отидете по дългия път, като използвате правилото за разграничаване на сложна функция:

Но още първата стъпка веднага те потапя в униние - трябва да приемеш неприятната производна на дробна мощност, а след това и от фракцията.

Ето защо предикак да вземем производната на „сложен“ логаритъм, първо се опростява с помощта на добре познати училищни свойства:

! Ако имате учебна тетрадка под ръка, копирайте тези формули директно там. Ако нямате тетрадка, препишете ги на лист хартия, тъй като останалите примери от урока ще се въртят около тези формули.

Самото решение може да бъде написано по следния начин:

Нека трансформираме функцията:

Намиране на производната:

Предварителното преобразуване на самата функция значително опрости решението. По този начин, когато подобен логаритъм е предложен за диференциране, винаги е препоръчително да го „разбиете“.

А сега няколко прости примера, които можете да решите сами:

Пример 9

Намерете производната на функция

Пример 10

Намерете производната на функция

Всички трансформации и отговори са в края на урока.

Логаритмична производна

Ако производното на логаритмите е толкова сладка музика, тогава възниква въпросът: възможно ли е в някои случаи логаритъмът да се организира изкуствено? Мога! И дори необходимо.

Пример 11

Намерете производната на функция

Наскоро разгледахме подобни примери. Какво да правя? Можете последователно да приложите правилото за диференциране на частното и след това правилото за диференциране на продукта. Недостатъкът на този метод е, че в крайна сметка получавате огромна триетажна фракция, с която изобщо не искате да се занимавате.

Но на теория и практика има такова прекрасно нещо като логаритмичната производна. Логаритмите могат да бъдат организирани изкуствено, като ги "окачите" от двете страни:

Забележка : защото функция може да приема отрицателни стойности, тогава, най-общо казано, трябва да използвате модули: , които ще изчезнат в резултат на диференциация. Текущият дизайн обаче също е приемлив, като по подразбиране се взема предвид комплексзначения. Но ако в цялата строгост, тогава и в двата случая трябва да се направи уговорка, че.

Сега трябва да „разпаднете“ логаритъма на дясната страна колкото е възможно повече (формули пред очите ви?). Ще опиша този процес много подробно:

Да започнем с диференциацията.
Заключваме и двете части под прайм:

Производната на дясната страна е доста проста, няма да я коментирам, защото ако четете този текст, би трябвало да можете да се справите с нея уверено.

Ами лявата страна?

От лявата страна имаме сложна функция. Предвиждам въпроса: „Защо, има ли една буква „Y“ под логаритъма?“

Факт е, че тази „игра с една буква“ - САМОТО Е ФУНКЦИЯ(ако не е много ясно, вижте статията Производна на функция, указана имплицитно). Следователно логаритъма е външна функция, а „y“ е външна функция вътрешна функция. И използваме правилото за диференциране на сложна функция :

От лявата страна, като по магия, имаме производна. След това, съгласно правилото за пропорцията, прехвърляме "y" от знаменателя на лявата страна към горната част на дясната страна:

А сега нека си спомним за каква функция „играч“ говорихме по време на диференциацията? Нека да разгледаме състоянието:

Окончателен отговор:

Пример 12

Намерете производната на функция

Това е пример, който можете да решите сами. Примерен пример за дизайн от този типв края на урока.

С помощта на логаритмичната производна беше възможно да се реши всеки от примерите № 4-7, друго нещо е, че функциите там са по-прости и може би използването на логаритмичната производна не е много оправдано.

Производна на степенно-експоненциална функция

Все още не сме обмисляли тази функция. Степенно-експоненциална функция е функция, за която степента и основата зависят от "x". Класически пример, който ще ви бъде даден във всеки учебник или лекция:

Как да намерим производната на степенно-експоненциална функция?

Необходимо е да се използва току-що обсъдената техника - логаритмичната производна. Закачаме логаритми от двете страни:

Като правило от дясната страна степента се изважда от под логаритъма:

В резултат от дясната страна имаме произведението на две функции, които ще бъдат диференцирани по стандартната формула .

Намираме производната, заграждаме двете части под черти:

Допълнителните действия са прости:

Накрая:

Ако някое преобразуване не е напълно ясно, моля, прочетете внимателно отново обясненията на Пример № 11.

В практическите задачи степенно-експоненциалната функция винаги ще бъде по-сложна от дискутирания пример от лекцията.

Пример 13

Намерете производната на функция

Използваме логаритмичната производна.

От дясната страна имаме константа и произведението на два фактора - “x” и “логаритъм от логаритъм x” (друг логаритъм е вложен под логаритъма). Когато диференцирате, както си спомняме, е по-добре незабавно да преместите константата от производния знак, така че да не ви пречи; и, разбира се, прилагаме познатото правило :

В „старите“ учебници се нарича още „верижно“ правило. Така че, ако y = f (u) и u = φ (x), това е

y = f (φ (x))

комплексно - съставна функция (композиция от функции) тогава

Където , след изчисление се разглежда при u = φ (x).

Имайте предвид, че тук взехме „различни“ композиции от едни и същи функции и резултатът от диференциацията естествено се оказа, че зависи от реда на „смесване“.

Верижното правило естествено се разпростира до композиции от три или повече функции. В този случай ще има три или повече „връзки“ във „веригата“, която съставлява производното. Ето една аналогия с умножението: „имаме“ таблица с производни; “там” - таблица за умножение; „при нас“ е правилото за веригата, а „там“ е правилото за умножение в „колона“. При изчисляване на такива „сложни“ производни, разбира се, не се въвеждат спомагателни аргументи (u¸v и т.н.), но след като са отбелязали за себе си броя и последователността на функциите, участващи в състава, съответните връзки са „нанизани“ по посочения ред.

. Тук с “x” за получаване на стойността на “y” се извършват пет операции, тоест има композиция от пет функции: “външна” (последната от тях) - експоненциална - e  ; след това в обратен ред, мощност. (♦) 2; тригонометричен sin(); успокоен. () 3 и накрая логаритмичен ln.(). Ето защо

Със следните примери ще „убиваме двойки птици с един камък“: ще практикуваме диференциране на сложни функции и ще добавяме към таблицата с производни елементарни функции. Така:

4. За степенна функция - y = x α - пренаписвайки я с помощта на добре познатата „основна логаритмична идентичност“ - b=e ln b - във формата x α = x α ln x получаваме

5. За произволна експоненциална функция, използвайки същата техника, която ще имаме

6. За произволна логаритмична функция, използвайки добре известната формула за преход към нова база, последователно получаваме

7. За диференциране на тангенса (котангенса) използваме правилото за диференциране на коефициентите:

За да получим производните на обратни тригонометрични функции, ние използваме връзката, която е изпълнена от производните на две взаимно обратни функции, тоест функциите φ (x) и f (x), свързани с отношенията:

Това е съотношението

Тя е от тази формула за взаимно обратни функции

И
,

И накрая, нека обобщим тези и някои други производни, които също лесно се получават в следващата таблица.

Функции сложен типне винаги отговарят на дефиницията на сложна функция. Ако има функция от вида y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, тогава тя не може да се счита за сложна, за разлика от y = sin 2 x.

Тази статия ще покаже концепцията за сложна функция и нейната идентификация. Нека работим с формули за намиране на производната с примери за решения в заключението. Използването на таблицата за производни и правилата за диференциране значително намалява времето за намиране на производната.

Основни определения

Определение 1

Сложна функция е тази, чийто аргумент също е функция.

Означава се така: f (g (x)). Имаме, че функцията g (x) се счита за аргумент f (g (x)).

Определение 2

Ако има функция f и тя е функция котангенс, тогава g(x) = ln x е функцията натурален логаритъм. Откриваме, че комплексната функция f (g (x)) ще бъде записана като arctg(lnx). Или функция f, която е функция, повдигната на 4-та степен, където g (x) = x 2 + 2 x - 3 се счита за цяло число рационална функция, намираме, че f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Очевидно g(x) може да бъде комплексно. От примера y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 става ясно, че стойността на g има корен кубичен от дробта. Този израз може да се означи като y = f (f 1 (f 2 (x))). Откъдето имаме, че f е синусова функция и f 1 е функция, разположена под корен квадратен, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - дробна рационална функция.

Определение 3

Степента на гнездене се определя от всеки естествено числои се записва като y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) .

Определение 4

Концепцията за композиция на функции се отнася до броя на вложените функции според условията на проблема. За да решите, използвайте формулата за намиране на производната на сложна функция от формата

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Примери

Пример 1

Намерете производната на сложна функция от вида y = (2 x + 1) 2.

Решение

Условието показва, че f е квадратна функция и g(x) = 2 x + 1 се счита за линейна функция.

Нека приложим формулата за производна за сложна функция и напишем:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Необходимо е да се намери производната с опростена оригинална форма на функцията. Получаваме:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Оттук нататък имаме това

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Резултатите бяха същите.

При решаването на задачи от този тип е важно да се разбере къде ще се намира функцията на формата f и g (x).

Пример 2

Трябва да намерите производните на сложни функции във формата y = sin 2 x и y = sin x 2.

Решение

Първата нотация на функцията казва, че f е функцията за повдигане на квадрат, а g(x) е функцията синус. Тогава разбираме това

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Вторият запис показва, че f е синусова функция, а g(x) = x 2 означава степенна функция. От това следва, че записваме произведението на сложна функция като

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Формулата за производната y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) ще бъде записана като y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . ))) )) · . . . fn "(x)

Пример 3

Намерете производната на функцията y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Решение

Този пример показва трудността при писане и определяне на местоположението на функциите. Тогава y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) означава, където f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) е синусовата функция, функцията за повишаване до 3 степен, функция с логаритъм и основа e, арктангенс и линейна функция.

От формулата за дефиниране на сложна функция имаме това

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Получаваме това, което трябва да намерим

f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) като производна на синуса според таблицата с производни, след това f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) като производна на степенна функция, тогава f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
f 2 " (f 3 (f 4 (x))) като логаритмична производна, тогава f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
f 3 " (f 4 (x)) като производна на арктангенса, тогава f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
Когато намирате производната f 4 (x) = 2 x, премахнете 2 от знака на производната, като използвате формулата за производна на степенна функция с показател, равен на 1, след което f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Комбинираме междинните резултати и получаваме това

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Анализът на такива функции напомня на кукли за гнездене. Правилата за диференциация не винаги могат да се прилагат изрично с помощта на производна таблица. Често трябва да използвате формула за намиране на производни на сложни функции.

Има някои разлики между сложния външен вид и сложните функции. С ясна способност да разграничите това, намирането на производни ще бъде особено лесно.

Пример 4

Необходимо е да се обмисли даването на такъв пример. Ако има функция от формата y = t g 2 x + 3 t g x + 1, тогава тя може да се разглежда като сложна функция от формата g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Очевидно е необходимо да се използва формулата за сложна производна:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Функция под формата y = t g x 2 + 3 t g x + 1 не се счита за сложна, тъй като има сумата от t g x 2, 3 t g x и 1. Въпреки това, t g x 2 се счита за сложна функция, тогава получаваме степенна функция от вида g (x) = x 2 и f, която е допирателна функция. За да направите това, диференцирайте по количество. Разбираме това

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Нека да преминем към намиране на производната на сложна функция (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Получаваме, че y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Функциите от сложен тип могат да бъдат включени в сложни функции, а самите сложни функции могат да бъдат компоненти на функции от сложен тип.

Пример 5

Например, разгледайте сложна функция от формата y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Тази функция може да бъде представена като y = f (g (x)), където стойността на f е функция на логаритъм с основа 3, а g (x) се счита за сумата от две функции във формата h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 и k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Очевидно y = f (h (x) + k (x)).

Да разгледаме функцията h(x). Това е отношението l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 към m (x) = e x 2 + 3 3

Имаме, че l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) е сумата от две функции n (x) = x 2 + 7 и p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , където p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) е комплексна функция с числов коефициент 3, а p 1 е кубична функция, p 2 чрез косинусова функция, p 3 (x) = 2 x + 1 чрез линейна функция.

Открихме, че m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) е сумата от две функции q (x) = e x 2 и r (x) = 3 3, където q (x) = q 1 (q 2 (x)) е сложна функция, q 1 е експоненциална функция, q 2 (x) = x 2 е степенна функция.

Това показва, че h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Когато се премине към израз на формата k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), е ясно, че функцията е представена под формата на комплекс s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) с цяло рационално число t (x) = x 2 + 1, където s 1 е квадратна функция, а s 2 (x) = ln x е логаритмична с база e.

От това следва, че изразът ще приеме формата k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Тогава разбираме това

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Въз основа на структурите на функцията стана ясно как и какви формули трябва да се използват за опростяване на израза при диференцирането му. За да се запознаете с такива проблеми и за концепцията за тяхното решение, е необходимо да се обърнете към точката на диференциране на функция, тоест намиране на нейната производна.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Таблица с производни на някои сложни функции

Комплексни производни. Логаритмична производна. Производна на степенно-експоненциална функция

Комплексни производни

Логаритмична производна

Производна на степенно-експоненциална функция

Основни определения

Примери

Комплексни производни. Логаритмична производна.
Производна на степенно-експоненциална функция