Как да построим окръжност, допирателна към две прави. Допирателни докосващи окръжност. Визуално ръководство (2020). Защита на личната информация

При изчертаване на контурите на обектите относително често се налага да се конструират общи допирателни към две дъги от окръжности. Общата допирателна към две окръжности може да бъде външна, ако двете окръжности са разположени от една и съща страна от нея, и вътрешна, ако окръжностите са разположени от различни страни на допирателната.

Построяване на обща външна допирателна към две окръжности с радиуси R и r (Фигура 47). От центъра на окръжност с по-голям радиус - точки О 1 описват окръжност с радиус Р – r (Фигура 47, а). Намерете средата на отсечката О 2 О 1 – точка О 3 и от нея начертайте спомагателна окръжност с радиус О 3 О 2 или О 3 О 1. И двете начертани окръжности се пресичат в точки А И IN . Точки О 1 И б свържете права линия и в нейната пресечна точка с окръжност с радиус Р определете точката на контакт г (Фигура 47, b). От точка О 2 успоредна на правата О 1 г начертайте линия, докато се пресече с кръг с радиус r и вземете втората точка за контакт В . Направо CD е желаната допирателна. Построена е и втората обща външна допирателна към тези окръжности (права Е.Ф. ).

Фигура 47

Построяване на обща вътрешна допирателна към две окръжности с радиуси R и r (Фигура 48). От центъра на произволен кръг, например: точки О 1 , описват окръжност с радиус Р +r (Фигура 48, а). Разделяне на сегмента О 2 О 1 наполовина, вземете точка О 3 . От точка О 3 как да опиша втора спомагателна окръжност с радиус от центъра О 3 О 2 = О 3 ЗА 1 и маркирайте точките А И IN пресечни точки на спомагателни кръгове. Свързване на прави точки А И О 1 (Фигура 48, b), в пресечната му точка с кръг с радиус Р вземете точка за контакт г . През центъра на окръжност с радиус r начертайте линия, успоредна на линията О 1 г , и при пресичането му с дадена окръжност се определя втората допирна точка СЪС . Направо CD – вътрешна допирателна към дадени окръжности. Втората допирателна се конструира по подобен начин Е.Ф. .

Фигура 48

3.3 Свързване с помощта на кръгова дъга

3.3.1 Съединяване на две прави с кръгова дъга

Всички проблеми, включващи дъгово конюгиране, могат да бъдат сведени до два вида. Конюгирането се извършва или чрез даден радиус на свързващата дъга, или през точка, посочена на една от линиите на свързване. И в двата случая е необходимо да се изгради центърът на свързващата дъга.

Конюгиране на две пресичащи се прави с дъга с даден радиус R c (Фигура 49, а). Тъй като спрегнатата дъга трябва да докосва дадените линии, нейният център трябва да бъде отстранен от всяка линия с количество, равно на радиуса Р c . Сдвояването е изградено така. Начертайте две прави, успоредни на дадените и отстранени от тях с радиуса Р c и в пресечната точка на тези линии маркирайте точка О – център на свързващата дъга. От точка ЗА пуснете перпендикуляр на всяка от дадените линии. Основите на перпендикулярите са точки А И б – са точките на допиране на спрегнатата дъга. Тази конструкция на спрежение е валидна за две пресичащи се прави, които образуват произволен ъгъл. За да сдвоите страните на прав ъгъл, можете също да използвате метода, посочен на фигура 49, b.

Фигура 49

Конюгиране на две пресичащи се прави, на едната от които е посочена допирателната точка А на спрегнатата дъга (Фигура 50). Известно е, че геометричното място на центровете на дъги, свързващи две пресичащи се линии, е ъглополовящата на ъгъла, образуван от тези линии. Следователно, след като построихме ъглополовящата на ъгъла, от точката на допиране А възстановете перпендикуляра към линията, докато пресече ъглополовящата и маркирайте точката О – център на свързващата дъга. Отпадане от точката ЗА перпендикулярна на друга права линия, получаваме втора точка на допиране B и радиус Р c = OA = OB извършете конюгирането на две прави линии, на една от които е посочена допирателната точка.

Конюгиране на две успоредни прави с дъга, минаваща през дадена точка на допир А (Фигура 51). От точка А построете перпендикуляр към дадените прави и отбележете точка при пресичането му с втората права б . сегмент AB разделете наполовина и вземете точка ЗА – център на спрегнатата дъга с радиус.

Фигура 50 Фигура 51

Цели на урока

• Образователни – повторение, обобщение и проверка на знанията по темата: „Допирателна към окръжност”; развитие на основни умения.
• Развитие - развива вниманието, постоянството, постоянството на учениците, логическо мислене, математическа реч.
• Образователни - чрез урока култивирайте внимателно отношение един към друг, внушавайте способността да слушате другарите, взаимопомощта и независимостта.
• Въведете понятието допирателна, допирна точка.
• Разгледайте свойството на тангентата и нейния знак и покажете приложението им при решаване на задачи в природата и техниката.

Цели на урока

• Развийте умения за конструиране на допирателни с помощта на мащабна линийка, транспортир и чертожен триъгълник.
• Проверете уменията на учениците за решаване на проблеми.
• Осигурете владеене на основните алгоритмични техники за построяване на допирателна към окръжност.
• Развийте способността да прилагате теоретични знания за решаване на проблеми.
• Развивайте мисленето и речта на учениците.
• Работете върху развиването на умения за наблюдение, забелязване на модели, обобщаване и разсъждение по аналогия.
• Възбуждане на интерес към математиката.

План на урока

1. Появата на понятието допирателна.
2. Историята на появата на допирателната.
3. Геометрични определения.
4. Основни теореми.
5. Построяване на допирателна към окръжност.
6. Консолидация.

Появата на понятието допирателна

Концепцията за тангенс е една от най-старите в математиката. В геометрията допирателната към окръжност се определя като линия, която има точно една пресечна точка с тази окръжност. Древните, използвайки компаси и линийки, са успели да начертаят допирателни към окръжност, а по-късно и към конични сечения: елипси, хиперболи и параболи.

Историята на допирателната

Интересът към тангентите се възроди в съвремието. Тогава бяха открити криви, които не бяха известни на древните учени. Например Галилей въвежда циклоидата, а Декарт и Ферма конструират допирателна към нея. През първата третина на 17в. Започнахме да разбираме, че допирателната е права линия, „най-близка“ до крива в малък квартал на дадена точка. Лесно е да си представим ситуация, при която е невъзможно да се построи допирателна към кривата в дадена точка (фигура).

Геометрични определения

кръг- геометричното място на точки от равнината, равноотдалечени от дадена точка, наречено неин център.

кръг.

Свързани определения

• Нарича се сегмент, свързващ центъра на окръжност с произволна точка от него (както и дължината на този сегмент). радиускръгове.
• Частта от равнината, ограничена от окръжност, се нарича навсякъде наоколо.
• Отсечка, свързваща две точки от окръжност, се нарича нейна акорд. Нарича се хорда, минаваща през центъра на окръжност диаметър.
• Всякакви две различни точки на окръжност я разделят на две части. Всяка от тези части се нарича дъгакръгове. Мярката на една дъга може да бъде мярката на нейното съответствие централен ъгъл. Дъгата се нарича полукръг, ако сегментът, свързващ краищата й, е диаметър.
• Права линия с точно една обиколка обща точка, наречена допирателнакъм окръжност, а тяхната обща точка се нарича допирна точка на правата и окръжността.
• Нарича се права, минаваща през две точки от окръжност секуща.
• Централен ъгъл в окръжност е равнинен ъгъл с връх в центъра му.
• Ъгъл, чийто връх лежи върху окръжност и чиито страни пресичат тази окръжност, се нарича вписан ъгъл.
• Две окръжности с общ център се наричат концентричен.

Допирателна права- права линия, минаваща през точка на крива и съвпадаща с нея в тази точка до първи ред.

Допирателна към окръжносте права линия, която има една обща точка с окръжност.

Права линия, минаваща през точка от окръжност в същата равнина, перпендикулярна на радиуса, начертан до тази точка наречена допирателна. В този случай тази точка от окръжността се нарича точка на допиране.

Когато в нашите случаи "а" е права линия, която е допирателна към дадена окръжност, точка "А" е точката на допиране. В този случай a⊥OA (правата a е перпендикулярна на радиуса OA).

Те казват това два кръга се докосват, ако имат една обща точка. Тази точка се нарича допирна точка на кръговете. Чрез точката на контакт можете да начертаете допирателна към една от окръжностите, която е допирателна и към другата окръжност. Докосващите се кръгове могат да бъдат вътрешни или външни.

Допирателната се нарича вътрешна, ако центровете на окръжностите лежат от една и съща страна на допирателната.

Допирателната се нарича външна, ако центровете на окръжностите лежат на противоположните страни на допирателната

a е общата допирателна към двете окръжности, K е точката на допирателна.

Основни теореми

Теоремаза тангенса и секанса

Ако допирателната и секущата са изтеглени от точка, разположена извън окръжността, тогава квадратът на дължината на допирателната е равен на произведението на секущата и нейната външна част: MC 2 = MA MB.

Теорема.Радиусът, прекаран до точката на допиране на окръжността, е перпендикулярен на допирателната.

Теорема.Ако радиусът е перпендикулярен на права в точката, където пресича окръжност, тогава тази права е допирателна към тази окръжност.

Доказателство.

За да докажем тези теореми, трябва да си спомним какво е перпендикуляр от точка към права. Това е най-късото разстояние от тази точка до тази линия. Да приемем, че OA не е перпендикулярна на допирателната, но има права OS, перпендикулярна на допирателната. Дължината OS включва дължината на радиуса и определен сегмент BC, който със сигурност е по-голям от радиуса. Така може да се докаже за всяка линия. Заключаваме, че радиусът, радиусът, прекаран до точката на контакт, е най-късото разстояние до допирателната от точка O, т.е. OS е перпендикулярна на допирателната. В доказателство обратна теоремаЩе приемем, че допирателната има само една обща точка с окръжността. Нека тази права има още една обща точка B с окръжността. Триъгълникът AOB е правоъгълен и двете му страни са равни като радиуси, което не може да бъде така. Така откриваме, че тази права линия няма повече общи точки с окръжността освен точка А, т.е. е допирателна.

Теорема.Допирателните сегменти, изтеглени от една точка към окръжността, са равни, а правата линия, свързваща тази точка с центъра на окръжността, разделя ъгъла между допирателните.

Доказателство.

Доказателството е много просто. Използвайки предишната теорема, ние твърдим, че OB е перпендикулярна на AB, а OS е перпендикулярна на AC. Прави триъгълници ABO и ASO са равни по катет и хипотенуза (OB=OS - радиуси, AO - общо). Следователно техните страни AB=AC и ъгли OAC и OAB са равни.

Теорема.Големината на ъгъла, образуван от допирателна и хорда с обща точка върху окръжност, е равна на половината от ъгловата величина на дъгата, затворена между нейните страни.

Доказателство.

Да разгледаме ъгъла NAB, образуван от допирателна и хорда. Нека начертаем диаметъра на AC. Допирателната е перпендикулярна на диаметъра, прекаран до точката на контакт, следователно ∠CAN=90 o. Познавайки теоремата, виждаме, че ъгъл алфа (a) равен на половинатаполовината от ъгловата стойност на дъгата BC или половината от ъгъла BOS. ∠NAB=90 o -a, от тук получаваме ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB или = половината от ъгловата стойност на дъгата BA. и т.н.

Теорема.Ако допирателната и секущата са начертани от точка към окръжност, тогава квадратът на допирателната отсечка от дадена точка до допирателната е равен на произведението на дължините на секущите отсечки от дадена точка до точките на пресечната му точка с окръжността.

Доказателство.

На фигурата тази теорема изглежда така: MA 2 = MV * MC. Нека го докажем. Съгласно предишната теорема ъгълът MAC е равен на половината от ъгловата стойност на дъгата AC, но също така ъгълът ABC е равен на половината от ъгловата стойност на дъгата AC съгласно теоремата, следователно тези ъгли са равни на всеки друго. Като вземем предвид факта, че триъгълниците AMC и BMA имат общ ъгъл при върха M, заявяваме сходството на тези триъгълници в два ъгъла (втори знак). От подобието имаме: MA/MB=MC/MA, от което получаваме MA 2 =MB*MC

Построяване на допирателни към окръжност

Сега нека се опитаме да го разберем и да разберем какво трябва да се направи, за да се построи допирателна към окръжност.

В този случай, като правило, проблемът дава кръг и точка. И ти и аз трябва да построим допирателна към окръжността, така че тази допирателна да минава през дадена точка.

В случай, че не знаем местоположението на точка, тогава нека разгледаме случаите на възможни местоположения на точки.

Първо, точка може да бъде вътре в кръг, който е ограничен от даден кръг. В този случай не е възможно да се построи допирателна през тази окръжност.

Във втория случай точката е разположена върху окръжност и можем да построим допирателна, като начертаем перпендикуляр на радиуса, който е начертан до известната ни точка.

Трето, нека приемем, че точката се намира извън окръжността, която е ограничена от окръжността. В този случай, преди да се построи допирателната, е необходимо да се намери точка на окръжността, през която трябва да премине допирателната.

С първия случай, надявам се, всичко ви е ясно, но за да решим втория вариант, трябва да построим отсечка на правата линия, на която лежи радиусът. Този сегмент трябва да е равен на радиуса и сегмента, който лежи върху окръжността от противоположната страна.

Тук виждаме, че точка от окръжност е средата на сегмент, който е равен на два пъти радиуса. Следващата стъпка ще бъде изграждането на два кръга. Радиусите на тези кръгове ще бъдат равни на два пъти радиуса на оригиналния кръг, с центрове в краищата на сегмента, който е равен на два пъти радиуса. Сега можем да начертаем права линия през всяка точка на пресичане на тези кръгове и дадена точка. Такава права линия е медианата, перпендикулярна на радиуса на окръжността, която е била начертана първоначално. Така виждаме, че тази права е перпендикулярна на окръжността и от това следва, че е допирателна към окръжността.

В третия вариант имаме точка, лежаща извън окръжността, която е ограничена от окръжност. В този случай първо конструираме отсечка, която ще свързва центъра на предоставената окръжност и дадената точка. И тогава намираме средата му. Но за това е необходимо да се построи перпендикулярна ъглополовяща. И вече знаете как да го изградите. След това трябва да начертаем кръг или поне част от него. Сега виждаме, че пресечната точка на дадената окръжност и новопостроената е точката, през която минава допирателната. Той също минава през точката, която е зададена според условията на задачата. И накрая, през двете точки, които познавате, можете да начертаете допирателна.

И накрая, за да докажем, че правата, която построихме, е допирателна, трябва да обърнем внимание на ъгъла, образуван от радиуса на окръжността и отсечката, известна от условието и свързваща пресечната точка на окръжностите с точката, дадена от условието на проблема. Сега виждаме, че полученият ъгъл лежи върху полукръг. И от това следва, че този ъгъл е прав. Следователно радиусът ще бъде перпендикулярен на новопостроената линия и тази линия е допирателната.

Построяване на допирателна.

Конструирането на допирателни линии е един от онези проблеми, довели до раждането на диференциалното смятане. Първата публикувана работа, свързана с диференциалното смятане, написана от Лайбниц, е озаглавена „ Нов методмаксимуми и минимуми, както и тангенти, за които нито дробни, нито ирационални величини, нито специален вид смятане служат като пречка.”

Геометричните знания на древните египтяни.

Ако не вземем предвид много скромния принос на древните жители на долината между Тигър и Ефрат и Мала Азия, тогава геометрията произхожда от Древен Египетдо 1700 г. пр.н.е По време на сезона на тропическите дъждове Нил попълни водните си запаси и преля. Водата покрива площи с обработваема земя и за данъчни цели е необходимо да се определи колко земя е загубена. Геодезистите използваха плътно опънато въже като инструмент за измерване. Още един стимул за спестяване геометрични знанияЕгиптяните се занимават с дейности като изграждането на пирамиди и изящни изкуства.

Нивото на геометрични познания може да се съди по древни ръкописи, които са специално посветени на математиката и са нещо като учебници или по-скоро задачи, където се дават решения на различни практически задачи.

Най-старият математически ръкопис на египтяните е копиран от определен ученик между 1800 - 1600 г. пр.н.е от по-стар текст. Папирусът е намерен от руския египтолог Владимир Семенович Голенишчев. Съхранява се в Москва – в Музея изобразително изкуствокръстен на A.S. Пушкин и се нарича Московски папирус.

Друг математически папирус, написан две-триста години по-късно от Московския, се пази в Лондон. Нарича се: „Инструкция как да се постигне знание за всички тъмни неща, всички тайни, които нещата крият в себе си... Според старите паметници, писарят Ахмес е написал това.“ Ръкописът се нарича „Ахмес папирус“, или папирусът на Райнд - по името на англичанина, който намери и купи този папирус в Египет. Папирусът на Амес предоставя решения на 84 задачи, включващи различни изчисления, които може да са необходими на практика.

Секанс, тангенс - всичко това може да се чуе стотици пъти в уроците по геометрия. Но завършването на училище е зад нас, минават години и всички тези знания са забравени. Какво трябва да запомните?

Същност

Терминът „допирателна към окръжност“ вероятно е познат на всички. Но е малко вероятно всеки да може бързо да формулира неговото определение. Междувременно допирателната е права линия, лежаща в същата равнина като окръжност, която я пресича само в една точка. Може да има огромен брой от тях, но всички те имат едни и същи свойства, които ще бъдат обсъдени по-долу. Както може би се досещате, точката на допиране е мястото, където се пресичат окръжността и правата линия. Във всеки конкретен случай има само един, но ако са повече от тях, тогава това ще бъде секанс.

История на откритието и изследването

Концепцията за допирателна се появява в древни времена. Изграждането на тези прави линии, първо до кръг, а след това до елипси, параболи и хиперболи с помощта на линийка и компас, е извършено в началните етапи от развитието на геометрията. Разбира се, историята не е запазила името на откривателя, но е очевидно, че дори по това време хората са били добре запознати със свойствата на допирателната към окръжност.

В съвремието интересът към този феномен отново се разпали - започна нов кръг от изследване на тази концепция в комбинация с откриването на нови криви. Така Галилей въвежда понятието циклоида, а Ферма и Декарт конструират допирателна към нея. Що се отнася до кръговете, изглежда, че не са останали тайни за древните в тази област.

Свойства

Радиусът, начертан към пресечната точка, ще бъде Това

основното, но не единственото свойство, което има допирателната към окръжност. Друга важна характеристика включва две прави линии. Така че през една точка, разположена извън окръжността, могат да се начертаят две допирателни и техните сегменти ще бъдат равни. Има още една теорема по тази тема, но тя рядко се преподава като част от стандартен училищен курс, въпреки че е изключително удобна за решаване на някои проблеми. Звучи така. От една точка, разположена извън окръжността, към нея се провеждат допирателна и секанс. Образувани са отсечките AB, AC и AD. A е пресечната точка на прави, B е точката на допиране, C и D са пресечни точки. В този случай ще бъде валидно следното равенство: дължината на допирателната към окръжността в квадрат ще бъде равна на произведението на сегментите AC и AD.

От горното има важна последица. За всяка точка от окръжността можете да построите допирателна, но само една. Доказателството за това е съвсем просто: теоретично пускайки перпендикуляр от радиуса върху него, откриваме, че образуваният триъгълник не може да съществува. А това означава, че допирателната е единствената.

Строителство

Сред другите проблеми в геометрията има специална категория, като правило, не

обичан от ученици и студенти. За решаване на задачи от тази категория ви трябват само пергел и линийка. Това са строителни задачи. Има и такива за построяване на тангента.

И така, дадена е окръжност и точка, лежаща извън нейните граници. И е необходимо да се направи допирателна през тях. Как да стане това? Първо, трябва да начертаете отсечка между центъра на окръжността O и дадена точка. След това използвайте компас, за да го разделите наполовина. За да направите това, трябва да зададете радиуса - малко повече от половината от разстоянието между центъра на оригиналния кръг и тази точка. След това трябва да изградите две пресичащи се дъги. Освен това радиусът на компаса не трябва да се променя и центърът на всяка част от кръга ще бъде първоначалната точка и O, съответно. Пресечните точки на дъгите трябва да бъдат свързани, което ще раздели сегмента наполовина. Задайте радиус на компаса, равен на това разстояние. След това изградете друг кръг с център в пресечната точка. Както първоначалната точка, така и O ще лежат върху нея. В този случай ще има още две пресечни точки с окръжността, дадена в задачата. Те ще бъдат точките за контакт за първоначално посочената точка.

Това беше изграждането на допирателни към окръжността, което доведе до раждането

диференциално смятане. Първият труд на тази тема е публикуван от известния немски математик Лайбниц. Той предвиждаше възможност за намиране на максимуми, минимуми и допирателни независимо от дробни и ирационални количества. Е, сега се използва за много други изчисления.

Освен това допирателната към окръжност е свързана с геометричен смисълдопирателна От тук идва и името му. В превод от латински tangens означава „допирателна“. Така тази концепция се свързва не само с геометрията и диференциалното смятане, но и с тригонометрията.

Два кръга

Тангентата не винаги засяга само една фигура. Ако огромен брой прави линии могат да бъдат начертани към един кръг, тогава защо не и обратното? може. Но задачата в този случай става сериозно сложна, тъй като допирателната към две окръжности може да не минава през нито една точка и взаимното разположение на всички тези фигури може да бъде много

различни.

Видове и разновидности

Когато говорим за две окръжности и една или повече прави линии, дори и да се знае, че това са допирателни, не е веднага ясно как всички тези фигури са разположени една спрямо друга. Въз основа на това се разграничават няколко разновидности. Така окръжностите могат да имат една или две общи точки или да ги нямат изобщо. В първия случай те ще се пресичат, а във втория ще се докоснат. И тук се разграничават две разновидности. Ако един кръг е, така да се каже, вграден във втория, тогава допирането се нарича вътрешно, ако не, тогава външно. Можете да разберете относителното положение на фигурите не само въз основа на чертежа, но и като имате информация за сумата от техните радиуси и разстоянието между техните центрове. Ако тези две количества са равни, тогава кръговете се докосват. Ако първият е по-голям, те се пресичат, а ако е по-малък, тогава нямат общи точки.

Същото важи и за правите линии. За всеки две окръжности, които нямат общи точки, можете

конструирайте четири тангенти. Две от тях ще се пресичат между фигурите, те се наричат ​​вътрешни. Няколко други са външни.

Ако говорим за кръгове, които имат една обща точка, тогава проблемът е значително опростен. Факт е, че независимо от взаимното им разположение, в този случай те ще имат само една допирателна. И ще премине през точката на тяхното пресичане. Така че строителството няма да бъде трудно.

Ако фигурите имат две точки на пресичане, тогава за тях може да се построи права линия, допирателна към окръжността както на едната, така и на другата, но само външна. Решението на този проблем е подобно на това, което ще бъде обсъдено по-долу.

Разрешаване на проблеми

Както вътрешната, така и външната допирателна към две окръжности не са толкова лесни за конструиране, въпреки че този проблем може да бъде решен. Факт е, че за това се използва спомагателна фигура, така че трябва сами да измислите този метод

доста проблематично. И така, дадени са две окръжности с различни радиуси и центрове O1 и O2. За тях трябва да построите две двойки допирателни.

На първо място, трябва да изградите спомагателен близо до центъра на по-големия кръг. В този случай разликата между радиусите на двете начални фигури трябва да се установи на компаса. Допирателните към спомагателната окръжност се изграждат от центъра на по-малката окръжност. След това се изчертават перпендикуляри от O1 и O2 към тези линии, докато се пресекат с оригиналните фигури. Както следва от основното свойство на допирателната, необходимите точки на двете окръжности са намерени. Проблемът е решен, поне първата част.

За да построите вътрешни допирателни, ще трябва да решите практически

подобна задача. Отново ще ви е необходима спомагателна фигура, но този път нейният радиус ще бъде равен на сумата от оригиналните. Към нея се конструират допирателни от центъра на една от тези окръжности. По-нататъшният ход на решението може да се разбере от предишния пример.

Допирателната към окръжност или дори две или повече не е толкова трудна задача. Разбира се, математиците отдавна са спрели да решават подобни задачи ръчно и разчитат на изчисления специални програми. Но не трябва да мислите, че сега не е нужно да можете да го направите сами, защото за да формулирате правилно задача за компютър, трябва да направите и разберете много. За съжаление има опасения, че след окончателното преминаване към тестова форма на контрол на знанията задачите за конструиране ще създават все повече трудности на учениците.

Що се отнася до намирането на общи допирателни за по-голям брой окръжности, това не винаги е възможно, дори ако те лежат в една равнина. Но в някои случаи можете да намерите такава права линия.

Примери от живота

Обща допирателна към две окръжности често се среща на практика, въпреки че това не винаги се забелязва. Конвейери, блокови системи, ролкови предавателни ремъци, напрежение на конеца в шевна машина и дори само верига за велосипед - всичко това са примери от реалния живот. Така че не си мисли така геометрични задачиостават само на теория: в инженерството, физиката, строителството и много други области те намират практическо приложение.

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите своя лична информациявсеки път, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес имейли т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели като одит, анализ на данни и различни изследванияза да подобрим услугите, които предоставяме и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от Вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Геометрични конструкции

Построяване на допирателни към окръжности

Нека разгледаме проблема, лежащ в основата на решението на други задачи, включващи чертане на допирателни към окръжности.

Нека от точкатаА(фиг. 1) е необходимо да се начертаят допирателни към окръжността с център в точкатаЗА.

За точно конструиране на допирателни е необходимо да се определят точките на допирателни линии на окръжността. За тази точкаАтрябва да се свърже с шевЗАи разделете сегментаОАнаполовина. От средата на този сегмент - точкиСЪС, като от центъра, опишете кръг, чийто диаметър трябва да бъде равен на сегментаОА. ТочкиДО1 ИДО2 пресечна точка на окръжности с център в точкаСЪСи с център в точкатаЗАса точките на допиране на правитеАК1 ИАК2 към даден кръг.

Правилността на решението на проблема се потвърждава от факта, че радиусът на окръжността, начертан до точката на контакт, е перпендикулярен на допирателната към окръжността. Ъглидобре1 АИдобре2 Аса прави, защото опират на диаметъраАДкръг с център в точкаСЪС.

ориз. 1.

При построяването на допирателни към две окръжности се разграничават допирателнивътрешниИвъншен. Ако центровете на дадените окръжности са разположени от едната страна на допирателната, тогава тя се счита за външна, а ако центровете на окръжностите са от противоположните страни на допирателната, тя се счита за вътрешна.

ЗА1 ИЗА2 Р1 ИР2 . Изисква се да се начертаят външни допирателни към дадени окръжности.

За точно построяване е необходимо да се определят допирателните точки на правите и дадените окръжности. Ако радиусите на окръжности с центровеЗА1 ИЗА2 започнете последователно да намалявате със същата стойност, тогава можете да получите поредица от концентрични кръгове с по-малки диаметри. Освен това, във всеки случай на намаляване на радиуса, допирателните към по-малките кръгове ще бъдат успоредни на желаните. След намаляване на двата радиуса с размера на по-малкия радиусР2 кръг с центърЗА2 се превръща в точка, а кръгът с центъраЗА1 ще се трансформира в концентричен кръг с радиусР3 , равно на разликата между радиуситеР1 ИР2 .

Използвайки описания по-горе метод, от точкатаЗА2 начертайте външни допирателни към окръжност с радиусР3 , свържете точкитеЗА1 ИЗА2 , разделете с точкаСЪСсегментЗА1 ЗА2 наполовина и начертайте радиусCO1 дъга, чието пресичане с дадена окръжност ще определи точките на допиране на правитеЗА2 ДО1 ИЗА2 ДО2 .

ТочкаА1 ИА2 допирът на търсените прави с по-голямата окръжност е разположен върху продължението на правитеЗА1 ДО1 ИЗА1 ДО2 . ТочкиIN1 ИIN2 допирателните на по-малката окръжност са перпендикулярни на основатаЗА2 съответно към спомагателните допирателниЗА2 ДО1 ИЗА2 ДО2 . Като поставите точките на контакт, можете да начертаете желаните прави линииА1 IN1 ИА2 IN2 .

ориз. 2.

Нека са дадени две окръжности с центрове в точкиЗА1 ИЗА2 (фиг. 2), имащи съответно радиусиР1 ИР2 . Изисква се да се начертаят вътрешни допирателни към дадени окръжности.

За да определим точките на допиране на прави линии и окръжности, използваме разсъждения, подобни на тези, дадени при решаването на предишната задача. Ако намалите радиусаР2 до нула, след това кръгът с центърЗА2 отидете на въпроса. Въпреки това, в този случай, за да се поддържа паралелност на спомагателните допирателни с желания радиусР1 трябва да се увеличи с един размерР2 и начертайте кръг с радиусР3 , равна на сбора от радиуситеР1 ИР2 .

От точкаЗА2 начертайте допирателни към окръжност с радиусР3 , защо да свързвате точкитеЗА1 ИЗА2 , разделете с точкаСЪСсегментЗА1 ЗА2 наполовина и нарисувайте дъга от окръжност с центъра в точкатаСЪСи радиусCO1 . Пресечна точка на дъга с окръжност с радиусР3 ще определи позицията на точкитеДО1 ИДО2 допиране на спомагателни линииЗА2 ДО1 ИЗА2 ДО2 .

ТочкаА1 ИА2 Р1 е в пресечната точка на тази окръжност с отсечкатаЗА1 ДО1 ИЗА1 ДО2 . За определяне на точкиB1ИB2допиране на търсените прави с окръжност с радиусР2 следва от точкатаO2възстановете перпендикулярите към спомагателните линииO2K1ИO2K2докато се пресече с дадена окръжност. Имайки точките на допиране между желаните линии и дадените кръгове, рисуваме прави линииA1B1ИA2B2.

ориз. 3.