Съотношение на акордите кръг. Основни теореми. Централни и вписани ъгли

кръг- геометрична фигура, състояща се от всички точки на равнината, разположени на дадено разстояние от дадена точка.

Тази точка (О) се нарича център на кръга.
Радиус на кръга- това е сегмент, свързващ центъра с всяка точка от окръжността. Всички радиуси имат еднаква дължина (по дефиниция).
Акорд- сегмент, свързващ две точки от окръжност. Нарича се хорда, минаваща през центъра на окръжност диаметър. Центърът на кръг е средата на произволен диаметър.
Всякакви две точки от окръжност я разделят на две части. Всяка от тези части се нарича дъга от окръжност. Дъгата се нарича полукръг, ако отсечката, свързваща краищата му, е диаметър.
Дължината на единичен полукръг се означава с π .
Сумата от градусните мерки на две дъги на окръжност с общи краища е равна на 360º.
Частта от равнината, ограничена от окръжност, се нарича навсякъде наоколо.
Кръгов сектор- част от окръжност, ограничена от дъга и два радиуса, свързващи краищата на дъгата с центъра на окръжността. Дъгата, която ограничава сектора, се нарича дъга на сектора.
Две окръжности с общ център се наричат концентричен.
Две окръжности, пресичащи се под прав ъгъл, се наричат ортогонален.

Относителното положение на права линия и окръжност

1. Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-малко от радиуса на окръжността ( г), тогава правата и окръжността имат две общи точки. В този случай линията се извиква секущапо отношение на кръга.
2. Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е равно на радиуса на окръжността, то правата и окръжността имат само една обща точка. Тази линия се нарича допирателна към окръжността, а общата им точка се нарича точка на допир между права и окръжност.
3. Ако разстоянието от центъра на окръжността до правата линия е по-голямо от радиуса на окръжността, тогава правата линия и окръжността нямат допирни точки
.

Централни и вписани ъгли

Централен ъгъле ъгъл, чийто връх е в центъра на окръжността.
Вписан ъгъл- ъгъл, чийто връх лежи върху окръжност и чиито страни пресичат окръжността.

Теорема за вписания ъгъл

Вписан ъгъл се измерва с половината от дъгата, върху която той се намира.

• Следствие 1.
  Вписаните ъгли, обхващащи една и съща дъга, са равни.


• Следствие 2.
  Вписан ъгъл, сключен от полукръг, е прав ъгъл.

Теорема за произведението на отсечки от пресичащи се хорди.

Ако две хорди на окръжност се пресичат, тогава произведението на сегментите на едната хорда е равно на произведението на сегментите на другата хорда.

Основни формули

• Обиколка:

C = 2∙π∙R

• Дължина на кръговата дъга:

R = С/(2∙π) = D/2

• Диаметър:

D = C/π = 2∙R

• Дължина на кръговата дъга:

l = (π∙R) / 180∙α,
Където α - градусна мярка за дължината на кръгова дъга)

• Площ на кръг:

S = π∙R 2

• Площ на кръговия сектор:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Уравнение на окръжност

• В правоъгълна координатна система уравнението на окръжност с радиус е rцентриран в точка ° С(x o;y o) има формата:

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2

• Уравнението на окръжност с радиус r с център в началото има формата:

x 2 + y 2 = r 2

Теоретични справочни материали по геометрия за изпълнение на задачи от преподавател по математика. Да помогне на учениците да решават проблеми.

1) Тема за вписан ъгъл в окръжност.

Теорема: ъгъл, вписан в кръг, е равен на половината градусна мярка на дъгата, върху която лежи (или половината от централния ъгъл, съответстващ на тази дъга), т.е. .

2) Следствия от теоремата за вписания ъгъл в окръжност.

2.1) Свойство на ъглите, поддържани от една дъга.

Теорема: ако вписаните ъгли се поддържат от една дъга, тогава те са равни (ако се поддържат от допълнителни дъги, сборът им е равен

2.2) Свойство на ъгъл, сключен от диаметър.

Теорема: Вписан ъгъл в окръжност се обхваща от диаметър тогава и само ако е прав.

AC диаметър

3) Свойство на допирателните отсечки. Окръжност, вписана в ъгъл.

Теорема 1:ако към нея се прекарат две допирателни от една точка, която не лежи на окръжността, тогава техните сегменти са равни, т.е. PB=PC.

Теорема 2:Ако окръжност е вписана в ъгъл, тогава нейният център лежи върху ъглополовящата на този ъгъл, т.е. PO ъглополовяща.

4) Свойство на сегменти от хорди при вътрешно пресичане на секущи.
Теорема 1:произведението на сегменти от една хорда е равно на произведението на сегменти от друга хорда, т.е

Теорема 2: ъгълът между хордите е равен на половината от сбора на дъгите, които тези хорди образуват върху окръжността, т.е.

Общинска автономна образователна институция

СОУ No45

Разработка на урок по темата

"Теорема за сегменти от пресичащи се хорди",

геометрия 8 клас.

първа категория

MAOU средно училище № 45 в Калининград

Борисова Алла Николаевна.

Калининград

2016 – 2017 учебна година

Образователна институция - общинска автономна образователна институция средно училище № 45 на град Калининград

Вещ - математика (геометрия)

Клас – 8

Предмет – "Теорема за отсечки от пресичащи се хорди"

Учебно-методическа помощ:

Геометрия, 7 - 9: учебник за образователни институции / Л. С. Атанасян и др., - 17 изд., - М.: Образование, 2015.

Работна тетрадка „Геометрия, 8 клас”, автори Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков, И.И. Юдина / учебник за ученици от общообразователни институции / - М. Просвещение, 2016 г.

Данни за програмите, в които е изпълнен мултимедийният компонент на работата - Microsoft Office Power Point 2010

Мишена: запознават се с теоремата за отсечки от пресичащи се хорди и развиват умения за прилагането й за решаване на задачи.

Цели на урока:

Образователни:

систематизират теоретичните знания по темата: „Централни и вписани ъгли“ и подобряват уменията за решаване на проблеми по тази тема;

формулира и докаже теорема за отсечки от пресичащи се хорди;

прилагат теоремата при решаване на геометрични задачи;

Образователни:

развитие на познавателен интерес към предмета.

формиране на ключови и предметни компетентности.

развитие на творчески способности.

развиват уменията на учениците за самостоятелна работа и работа по двойки.

Образователни:

възпитание на когнитивна активност, култура на общуване, отговорност, самостоятелно развитие на визуална памет;

да култивира у учениците независимост, любопитство и съзнателно отношение към изучаването на математиката;

обосновка на избора на методи, средства и форми на обучение;

оптимизиране на обучението чрез разумна комбинация и корелация на методи, средства и форми, насочени към постигане на високи резултати по време на урока.

Оборудване и материали за урока : проектор, екран, презентация за съпътстване на урока.

Тип урок: комбиниран.

Структура на урока:

1) Учениците са информирани за темата на урока и целите, подчертава се уместността на тази тема(слайд № 1).

2) Планът на урока е обявен.

1. Проверка на домашните.

2. Повторение.

3. Откриване на нови знания.

4. Консолидация.

II . Проверка на домашните.

1) трима ученици доказват самостоятелно на дъскататеорема за вписан ъгъл.

Първи ученик – случай 1;
Втори ученик – случай 2;
Трети ученик - случай 3.

2) Останалите работят устно в това време, за да повторят преминатия материал.

1. Теоретична анкета (фронтално)(слайд № 2) .

Довършете изречението:

Ъгъл се нарича централен, ако...

Ъгълът се нарича вписан, ако...

Централният ъгъл се измерва...

Вписаният ъгъл се измерва...

Вписаните ъгли са равни, ако...

Вписан ъгъл, сложен от полукръг...

2. Решаване на задачи по готови чертежи(слайд № 3) .

По това време учителят индивидуално проверява решението на домашното за някои ученици.

Доказателството на теоремите се изслушва от целия клас след проверка на верността на решенията на задачите върху готовите чертежи.

II I. Въвеждане на нов материал.

1) Работете по двойки.Решете задача 1, за да подготвите учениците за възприемане на нов материал(слайд номер 4).

2) Доказваме теоремата за отсечки от пресичащи се хорди под формата на задача(слайд номер 5).

Въпроси за обсъждане(слайд № 6) :

Какво можете да кажете за ъглите CAB и CDB?

Относно ъглите A.E.C. И DEB ?

Какво представляват триъгълниците ACE и DBE?

Какво е отношението на техните страни, които са отсечки от допирателни хорди?

Какво равенство може да се напише от равенството на две съотношения, използвайки основното свойство на пропорцията?

Опитайте се да формулирате твърдение, което сте доказали. На дъската и в тетрадките си запишете формулировката и обобщението на доказателството на теоремата за отсечки от пресичащи се хорди. Един човек е извикан на дъската(слайд номер 7).

аз V. Физкултурна минутка.

Един ученик идва до дъската и предлага прости упражнения за врата, ръцете и гърба.

V . Затвърдяване на изучения материал.

1) Първична консолидация.

1 ученикс коментаррешава№ 667 На бюрото

Решение.

1) AVA 1 – правоъгълен, тъй като е вписан ъгълА 1 Вирджиния лежи върху полукръг.

2) 5 = 3, както е вписано и лежи върху една дъгаAB 1 .

3) 1 = 90° –5, 4 = 90°–3, но3 = 5, следователно1= 4.

4) А 1 BB 1 – равнобедрен, тогаваBC = B 1 СЪС .

5) По теоремата за произведението на отсечки от пресичащи се хорди

AC · A 1 C = BC B 1 СЪС.

6) (cm);

Отговор:

2) Самостоятелно решаване на проблеми.

1. 1-ва група студенти („слаби“ ученици). Те решават сами№ 93, 94 („Работна тетрадка“, автор Л. С. Атанасян, 2015 г.), учителят, ако е необходимо, съветва учениците, анализира резултатите от задачите на учениците

2. 2-ра група ученици (други ученици). Работа по нестандартна задача. Работете самостоятелно (ако е необходимо, използвайте помощта на учител или съученик). Един ученик работи на сгъваема дъска. След приключване на работата взаимна проверка.

Задача .
АкордиAB ИCD пресичат се в точкаС , какво общо имаAS:SB = 2:3, DS = 12 см,SC = 5 см , намирамAB .
Решение .

Тъй като съотношениетоAS:SB = 2:3 , след това нека дължинатаAS = 2x, SB = 3x
Според свойството на акордиAS ∙ SB = CS ∙ SD , Тогава
2x ∙ 3x = 5 ∙ 12
6x 2 = 60
х 2 = 10
x = √10.

Където
AB = AS + SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10 Отговор : 5√10

VI . Обобщаване на урока, отразяване на дейността

Обобщаване на урока, мобилизиране на учениците за самооценка на дейността им;

И така, какво научихте в клас днес?

Какво научихте в час днес?

Оценете дейността си за урока по 5-точкова система.

Поставяне на оценки за урока.

VIII . Домашна работа

стр. 71 (научете теорията),

№ 659, 661, 666 (b, c).

Част 3. Кръгове

аз. Справочни материали.

аз. Свойства на тангентите, хордите и секущите. Вписани и централни ъгли.

Кръг и кръг

1. Ако от една точка, лежаща извън окръжността, прекараме две допирателни към нея, то

а) дължините на отсечките от дадена точка до допирните точки са равни;

б) ъглите между всяка допирателна и секанса, минаващи през центъра на окръжността, са равни.

2. Ако от една точка, разположена извън окръжността, начертаем допирателна и секанс към нея, тогава квадратът на допирателната е равен на произведението на секанса и външната му част

3. Ако две хорди се пресичат в една точка, то произведението на отсечките на едната хорда е равно на произведението на отсечките на другата.

4. Обиколка C=2πR;

5. Дължина на дъгата L =πRn/180˚

6. Площ на окръжност S=πR 2

7. Секторна зона С ° С=πR 2 n/360

Градусната мярка на вписан ъгъл е равна на половината от градусната мярка на дъгата, върху която той лежи.

Теорема 1.Мярката на ъгъла между допирателна и хорда, имаща обща точка върху окръжност, е равна на половината градусна мярка на дъгата, затворена между нейните страни

Теорема 2(за тангенс и секанс). Ако допирателната и секущата са начертани от точка М към окръжност, тогава квадратът на допирателната отсечка от точка М до точката на допиране е равен на произведението на дължините на секущите отсечки от точка М до точките на нейната пресичане с кръга.

Теорема 3. Ако две хорди на окръжност се пресичат, тогава произведението на дължините на отсечките на едната хорда е равно на произведението на дължините на сегментите на другата хорда, т.е. ако хордите AB и CD се пресичат в точка M, тогава AB MV = CM MD.

Свойства на кръговите акорди:

Диаметър, перпендикулярен на хорда, я разделя наполовина. Обратно: диаметърът, минаващ през средата на хордата, е перпендикулярен на нея.

Равните хорди на окръжност са на равни разстояния от центъра на окръжността. Обратно: еднакви хорди са разположени на равни разстояния от центъра на кръга.

Дъгите на окръжност, затворени между успоредни хорди, са равни.

окръжностите, които имат обща точка и обща допирателна в тази точка се наричат ​​допирателни.Ако окръжностите са разположени от едната страна на общата допирателна, тогава те се наричат ​​вътрешни допирателни, а ако от противоположните страни на допирателната, тогава се наричат външна допирателна.

II. Допълнителни материали

Свойства на някои ъгли.

Теорема.

1) Ъгъл (ABC), чийто връх лежи вътре в окръжността, е полусумата от две дъги (AC и DE), едната от които е между страните му, а другата между продълженията на страните.

2) ъгъл (ABC), чийто връх е извън окръжността, а страните се пресичат с окръжността, е полуразликата на две дъги (AC и ED), затворени между страните му

Доказателство .

Начертавайки хордата AD (на двата чертежа), получаваме ∆АВD,

спрямо който разглежданият ъгъл ABCслужи като външен, когато върхът му лежи вътре в окръжността, и вътрешен, когато върхът му лежи извън окръжността. Следователно в първия случай: ; във втория случай:

Но ъглите ADC и DAE, подобно на вписаните, се измерват с половин дъги

AC и DE; следователно ъгълът ABC се измерва: в първия случай от сумата: ½ AC+1/2 DE, която е равна 1 / 2 (ﮟ AC+ﮞ DE),а във втория случай разликата е 1 / 2 ﬞ AC- 1 / 2 ﬞ DE, което е равно на 1 / 2 (ﬞ AC- ﬞ DE).

Теорема. Ъгълът (ACD), образуван от допирателна и хорда, се измерва от половината дъга, съдържаща се в нея.

Нека първо приемем, че хордата CD минава през центъра O, т.е. че хордата е диаметър. След това ъгълът ACд- права и следователно равна на 90°. Но половината от дъгата CmD също е равна на 90°, тъй като цялата дъга CmD, образуваща полукръг, съдържа 180°. Това означава, че теоремата е вярна в конкретния случай.

Сега нека вземем общия случай, когато хордата CD не минава през центъра. Начертавайки след това диаметъра CE, ще имаме:

U целта ACE, съставена от тангентата и диаметъра, се измерва, както е доказано, от половината дъга CDE; Ъгълът DCE, като вписан, се измерва с половината дъга CnED: единствената разлика в доказателството е, че този ъгъл не трябва да се разглежда като разлика, а като сбор от правия ъгъл ALL и острия ъгъл ECD.

Пропорционални линии в кръг

Теорема.Ако някаква хорда (AB) и диаметър (CD) се начертаят през точка (M), взета вътре в окръжност, тогава произведението на сегментите на хордата (AM MB) е равно на произведението на сегментите с диаметър (MB MC).

Доказателство.

П
Като начертаем две спомагателни хорди AC и BD, получаваме два триъгълника AMC и MBD (покрити на фигурата с тирета), които са подобни, тъй като техните ъгли A и D са равни, като вписани, основани на една и съща дъга BC, ъгли C и B са равни, както са вписани, базирани на една и съща дъга AD. От сходството на триъгълниците извеждаме:

AM: MD=MS: MV, от където AM MV=MD MS.

Последица.Ако произволен брой хорди (AB, EF, KL,...) се начертаят през точка (M), взета вътре в кръг, тогава произведението на сегментите на всяка хорда е постоянно число за всички хорди, тъй като за всяка корда това произведение е равно на произведението на сегменти с диаметър CD, минаващи през взетата точка М.

Теорема.Ако от точка (M), взета извън окръжността, към нея се изтеглят секанс (MA) и допирателна (MS), тогава произведението на секанса и външната му част е равно на квадрата на допирателната (приема се, че секансът е ограничен от втората пресечна точка, а тангентата - допирна точка).

Доказателство.

Нека начертаем спомагателни акорди AC и BC; тогава получаваме два триъгълника MAC и MVS (покрити на фигурата с тирета), които са подобни, защото имат общ ъгъл M, а ъглите MCW и CAB са равни, тъй като всеки от тях се измерва с половината от дъгата BC. Нека вземем страните MA и MC в ∆MAS; подобни страни в ∆MVS ще бъдат MC и MV; следователно MA: MS = MS: MV, откъдето MA MV = MS 2.

Последица.Ако от точка (M), взета извън окръжността, произволен брой секущи (MA, MD, ME,...) се начертаят към нея, тогава произведението на всяка секуща и външната й част е постоянно число за всички секущи, тъй като за всеки секанс това произведение е равно на квадрата на тангентата (MC 2), прекарана от точка M.

III. Въвеждащи задачи.

Задача 1.

IN на равнобедрен трапец с остър ъгъл 60°, страничната страна е равна на , а по-малката основа е равна на . Намерете радиуса на окръжността, описана от този трапец.

Решение

1) Радиусът на окръжност, описана около трапец, е същият като радиуса на окръжност, описана около триъгълник, чиито върхове са всеки три върха на трапеца. Намерете радиуса R на окръжността, описана около триъгълника ABD.

2) ABCDследователно е равнобедрен трапец А.К. = М.Д., К.М. =.

В ∆ АБК А.К. = AB cos A = · cos 60° = . означава,
AD = .

Б.К. = ABгрях А = · = .

3) По косинусовата теорема в ∆ ABD BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AB · AD cos А.

BD 2 = () 2 + (3) 2 – 2 · · 3 · = 21 + 9 · 21 – 3 · 21 = 7 · 21;
BD = .

4) S(∆ ABD) = AD · Б.К.; S(∆ ABD) = · · 3 = .

Задача 2.

В равностранен триъгълник ABCвписана е окръжност и е начертана отсечка Н.М.,

М A.C., н пр.н.е., която го допира и е успоредна на страната AB.

Определете периметъра на трапеца AMNB, ако дължината на сегмента MNе равно на 6.

Решение.

1) ∆ABC– равностранен, точка О– пресечна точка на медиани (ъглополовящи, височини), което означава CO : O.D. = 2 : 1.

2) MN– допирателна към окръжността, П– контактна точка, което означава O.D. =
= ОП, Тогава CD= 3 · C.P..

3) ∆CMN ∾ ∆ ТАКСИ, което означава ∆ CMN– равностранен СМ. = CN = MN = = 6; П.

И

3) BN = C.B. – CN = 18 – 6 = 12.

4) P ( AMNB) = А.М. + MN + BN + AB = 18 + 6 + 12 + 12 = 48.

Около окръжност е описан равнобедрен трапец, чиято средна линия е равна на 5, а синусът на острия ъгъл при основата е равен на 0,8. Намерете площта на трапеца.

Решение.Тъй като окръжност е вписана в четириъгълник, тогава пр.н.е. + AD = AB + CD. Този четириъгълник е равнобедрен трапец, което означава пр.н.е. + AD = 2AB.

FP– средната линия на трапеца, което означава пр.н.е. + AD = 2FP.

Тогава AB = CD = FP = 5.

∆АБК– правоъгълна, Б.К. = ABгрях А; Б.К.= 5 · 0,8 = 4.

С ( ABCD) = FP · Б.К.= 5 · 4 = 20.

Отговор: 20.

Вписаната окръжност на триъгълник ABC докосва страната BC в точка K, а вписаната окръжност докосва страната BC в точка L. Докажете, че CK=BL=(a+b+c)/2

Доказателство: нека M и N са допирателните точки на вписаната окръжност със страни AB и BC. Тогава BK+AN=BM+AM=AB, така че CK+CN= a+b-c.

Нека P и Q са точките на допиране на вписаната окръжност с продълженията на страните AB и BC. Тогава AP=AB+BP=AB+BL и AQ=AC+CQ=AC+CL. Следователно AP+AQ=a+b+c. Следователно BL=BP=AP-AB=(a+b-c)/2.

а) Продължението на ъглополовящата на ъгъл B на триъгълник ABC пресича описаната окръжност в точка M. O е центърът на вписаната окръжност. O B е центърът на неописаната окръжност, допирателна към страната AC. Докажете, че точки A, C, O и O B лежат на окръжност с център M.

д
доказателство: Защото

б) Точка O, разположена вътре в триъгълник ABC, има свойството прави AO, BO, CO да минават през центровете на описаните окръжности на триъгълници BCO, ACO, ABO. Докажете, че O е центърът на вписаната окръжност на триъгълник ABC

Доказателство: Нека P е центърът на описаната около триъгълник ACO. Тогава

IV. Допълнителни задачи

номер 1. Окръжността, допирателна към хипотенузата на правоъгълен триъгълник и продълженията на неговите катети, има радиус R. Намерете периметъра на триъгълника

Р решение: HOGB - квадрат със страна R

1) ∆OAH =∆OAF по катета и хипотенузата =>HA=FA

2) ∆OCF=∆OCG =>CF=CG

3) P ABC =AB+AF+FC+BC=AB+AM+GC+BC+BH+BG=2R

номер 2. Точки C и D лежат на окръжност с диаметър AB. AC ∩ BD = P и AD ∩ BC = Q. Докажете, че правите AB и PQ са перпендикулярни

Доказателство: А D – диаметър => вписан ъгъл ADB=90 o (според диаметъра)=> QD/QP=QN/QA; ∆QDP е подобно на ∆QNA от 2 страни и ъгълът между тях => QN е перпендикулярен на AB.

номер 3. В успоредника ABCD диагоналът AC е по-голям от диагонала BD; M е точка на диагонал AC, BDCM е цикличен четириъгълник Докажете, че правата BD е обща допирателна към описаните окръжности на триъгълници ABM и ADM

П
устието O е пресечната точка на диагоналите AC и ВD. Тогава МО · OC=BO · OD. Докато OS = OA и VO = ВD, тогава MO · OA=VO 2 и MO · OA=DO 2. Тези равенства означават, че OB е допирателна към описаната окръжност на триъгълника ADM

номер 4. н В основата AB на равнобедрения триъгълник ABC е взета точка E и в триъгълниците ACE и ABE са вписани окръжности, докосващи отсечката CE в точки M и N. Намерете дължината на отсечката MN, ако са известни дължините AE и BE.

Според уводна задача 4 CM=(AC+CE-AE)/2 и CN=(BC+CE-BE)/2. Като се има предвид, че AC=BC, получаваме MN=|CM-CN|=|AE-BE|/2

номер 5. Дължините на страните на триъгълник ABC образуват аритметична прогресия, а a

Нека M е средата на страната AC, N е точката на допир на вписаната окръжност със страната BC. Тогава BN=р–b (уводна задача 4), следователно BN=AM, т.к p=3b/2 по условие. Освен това,

V .Задачи за самостоятелно решаване

номер 1. Четириъгълникът ABCD има свойството да има окръжност, вписана в ъгъл BAD и допирателна към продълженията на страните BC и CD. Докажете, че AB+BC=AD+DC.

номер 2. Общата вътрешна допирателна към окръжности с радиуси R и r пресича техните общи външни допирателни в точки A и B и се допира до една от окръжностите в точка C. Докажете, че AC∙CB=Rr

номер 3. В триъгълник ABC ъгъл C е прав ъгъл. Докажете, че r =(a+b-c)/2 и r c =(a+b+c)/2

номер 4. Две окръжности се пресичат в точки A и B; MN е общата допирателна към тях. Докажете, че правата AB дели отсечката MN наполовина.

номер 5. Продълженията на ъглополовящите на ъглите на триъгълник ABC пресичат описаната окръжност в точки A 1, B 1, C 1. M – пресечна точка на ъглополовящи. Докажи това:

а) MA·MC/MB 1 =2r;

b) MA 1 ·MC 1 /MB=R

номер 6. Ъгълът, образуван от две допирателни, прекарани от една точка на окръжност, е равен на 23°15`. Изчисляване на дъги между допирателни точки

номер 7. Изчислете ъгъла, образуван от допирателната и хордата, ако хордата разделя окръжността на две части в отношение 3:7.

VI. Контролни задачи.

Опция 1.

Точка M се намира извън окръжността с център O. Три секущи се изчертават от точка M: първата пресича окръжността в точки B и A (M-B-A), втората в точки D и C (M-D-C), а третата пресича окръжността в точки F и E (M-F-E) и минава през центъра на окръжността, AB = 4, BM =5, FM = 3.

Докажете, че ако AB = CD, то ъглите AME и CME са равни.

Намерете радиуса на окръжността.

Намерете дължината на допирателната, прекарана от точка М към окръжността.

Намерете ъгъл AEB.

Вариант 2.

AB е диаметърът на окръжност с център O. Хордата EF пресича диаметъра в точка K (A-K-O), EK = 4, KF = 6, OK = 5.

Намерете радиуса на окръжността.

Намерете разстоянието от центъра на окръжността до хордата BF.

Намерете острия ъгъл между диаметъра AB и хордата EF.

На какво е равна хордата FM, ако EM е успоредна на AB?

Вариант 3. В правоъгълен триъгълник ABC (

Вариант 4.

AB е диаметърът на окръжност с център O. Радиусът на тази окръжност е 4, O 1 е средата на OA. Начертана е окръжност с център в точка O 1, допирателна към по-голямата окръжност в точка A. Хордата CD на по-голямата окръжност е перпендикулярна на AB и пресича AB в точка K. E и F са точките на пресичане на CD с по-малкият кръг (C-E-K-F-D), AK=3.

Намерете акордите AE и AC.

Намерете градусната мярка на дъгата AF и нейната дължина.

Намерете площта на частта от по-малкия кръг, отрязан от хордата EF.

Намерете радиуса на окръжността, описана около триъгълника ACE.

Вписани и описани окръжности

Окръжност се нарича вписана в триъгълник, ако докосва всичките му страни.

Окръжност се нарича описана около триъгълник, ако минава през всичките му върхове.

Теорема 1. Центърът на окръжност, вписана в триъгълник, е пресечната точка на неговите ъглополовящи.

Теорема 2. Центърът на окръжност, описана около триъгълник, лежи в пресечната точка на ъглополовящите на страните на триъгълника

2. Теореми (свойства на успоредник):

· В успоредник срещуположните страни са равни и срещуположните ъгли са равни: , , , .

· Диагоналите на успоредника се делят наполовина от пресечната точка: , .

· Ъглите, съседни на всяка страна, се събират до .

· Диагоналите на успоредника го разделят на два равни триъгълника.

· Сборът от квадратите на диагоналите на успоредник е равен на сбора от квадратите на страните му: .

Признаци на успоредник:

· Ако срещуположните страни на четириъгълник са успоредни по двойки, то този четириъгълник е успоредник.

· Ако в четириъгълник противоположните страни са равни по две, то този четириъгълник е успоредник.

· Ако две срещуположни страни на четириъгълник са равни и успоредни, то четириъгълникът е успоредник.

· Ако в един четириъгълник пресичащите се диагонали се разделят наполовина от пресечната точка, то този четириъгълник е успоредник.

· Средните точки на страните на произволен (включително неизпъкнал или пространствен) четириъгълник са върховете Вариньонов успоредник.

· Страните на този успоредник са успоредни на съответните диагонали на четириъгълника. Периметърът на успоредника на Varignon е равен на сумата от дължините на диагоналите на оригиналния четириъгълник, а площта на успоредника на Varignon е равна на половината от площта на оригиналния четириъгълник

3. Трапец- четириъгълник, в който две страни са успоредни и две страни не са успоредни. Паралелни страни се наричат трапецовидни основи, другите две - страни.

Трапецовидна височина- разстоянието между правите, върху които лежат основите на трапеца, всеки общ перпендикуляр на тези прави.

Средна линия на трапец- сегмент, свързващ средните точки на страните.

Свойство на трапец:

Ако в трапец е вписана окръжност, тогава сборът от основите е равен на сбора от страните: , а средната линия е половината от сбора от страните: .

Равнобедрен трапец- трапец, чиито страни са равни. Тогава диагоналите и ъглите при основата са равни, .

От всички трапеци само окръжност може да се опише около равнобедрен трапец, тъй като окръжност може да се опише около четириъгълник само ако сборът от противоположните ъгли е равен на .

В равнобедрен трапец разстоянието от върха на една основа до проекцията на противоположния връх върху правата линия, съдържаща тази основа, е равно на средната линия.

Правоъгълен трапец- трапец, в който един от ъглите при основата е равен на .

Ако две хорди на окръжност се пресичат, тогава произведението на сегментите на едната хорда е равно на произведението на сегментите на другата хорда.

Доказателство. Нека E е пресечната точка на хордите AB и CD (фиг. 110). Нека докажем, че AE * BE = CE * DE.

Да разгледаме триъгълниците ADE и CBE. Техните ъгли A и C са равни, тъй като са вписани и почиват на една и съща дъга BD. По подобна причина ∠D = ∠B. Следователно триъгълниците ADE и CBE са подобни (според втория критерий за подобие на триъгълниците). Така DE/BE = AE/CE, или

AE * BE = CE * DE.

Теоремата е доказана.

5. Правоъгълникът може да бъде успоредник, квадрат или ромб.

1. Противоположните страни на правоъгълника имат еднаква дължина, тоест те са равни:

AB = CD, BC = AD

2. Срещуположните страни на правоъгълника са успоредни:

3. Съседните страни на правоъгълник винаги са перпендикулярни:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. И четирите ъгъла на правоъгълника са прави:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Сумата от ъглите на правоъгълник е 360 градуса:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Диагоналите на правоъгълник имат еднаква дължина:

7. Сумата от квадратите на диагонала на правоъгълник е равна на сумата от квадратите на страните:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Всеки диагонал на правоъгълник разделя правоъгълника на две еднакви фигури, а именно правоъгълни триъгълници.

9. Диагоналите на правоъгълника се пресичат и се разделят наполовина в пресечната точка:

		AO=BO=CO=DO=

10. Пресечната точка на диагоналите се нарича център на правоъгълника и също е център на описаната окръжност

11. Диагоналът на правоъгълник е диаметърът на описаната окръжност

12. Винаги можете да опишете кръг около правоъгълник, тъй като сборът на противоположните ъгли е 180 градуса:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Не може да се впише окръжност в правоъгълник, чиято дължина не е равна на ширината му, тъй като сумите на срещуположните страни не са равни (окръжност може да бъде вписана само в специален случай на правоъгълник - квадрат) .

6. Теорема на Талес

Ако положим няколко сегмента последователно върху една от двете линии и начертаем успоредни линии през техните краища, които пресичат втората линия, тогава те ще отрежат пропорционални сегменти на втората линия

Обратната теорема на Талес

Ако линии, пресичащи две други линии (успоредни или не), отрязват сегменти, равни (или пропорционални) една на друга и на двете, започвайки от върха, тогава тези линии са успоредни