Диапазон от приемливи стойности (APV) на логаритъма
Сега нека поговорим за ограниченията (ODZ - диапазонът от допустими стойности на променливите).
Спомняме си, че напр. корен квадратенне може да се извлича от отрицателни числа; или ако имаме дроб, тогава знаменателят не може да бъде равно на нула. Логаритмите имат подобни ограничения:
Тоест и аргументът, и основата трябва да са по-големи от нула, но основата все още не може да бъде равна.
защо е така
Нека започнем с едно просто нещо: да кажем това. Тогава, например, числото не съществува, тъй като на каквато и степен да повдигнем, винаги се получава. Още повече, че не съществува за никого. Но в същото време може да бъде равно на всичко (по същата причина - равно на всяка степен). Следователно обектът не представлява интерес и просто е изхвърлен от математиката.
Имаме подобен проблем в случая: на произволна положителна степен е, но изобщо не може да бъде повдигнат на отрицателна степен, тъй като това ще доведе до деление на нула (нека ви напомня това).
Когато сме изправени пред проблема за конструиране дробна мощност(който е представен като корен: . Например (това е), но не съществува.
Следователно е по-лесно да изхвърлите негативните причини, отколкото да се занимавате с тях.
Е, тъй като нашата основа а може да бъде само положителна, тогава без значение на каква степен я повдигнем, винаги ще получим строго положително число. Така че аргументът трябва да е положителен. Например, не съществува, тъй като няма да бъде отрицателно число в никаква степен (или дори нула, следователно също не съществува).
При задачи с логаритми първото нещо, което трябва да направите, е да запишете ODZ. Нека ви дам един пример:
Да решим уравнението.
Нека си спомним дефиницията: логаритъм е степента, на която трябва да се повдигне основата, за да се получи аргумент. И според условието тази степен е равна на: .
Получаваме обичайното квадратно уравнение: . Нека го решим с помощта на теоремата на Виета: сумата от корените е равна и произведението. Лесни за взимане, това са числа и.
Но ако веднага вземете и напишете и двете числа в отговора, можете да получите 0 точки за проблема. защо Нека помислим какво се случва, ако заместим тези корени в първоначалното уравнение?
Това очевидно е неправилно, тъй като основата не може да бъде отрицателна, тоест коренът е „трета страна“.
За да избегнете такива неприятни капани, трябва да запишете ODZ дори преди да започнете да решавате уравнението:
След това, след като получихме корените и, веднага изхвърляме корена и пишем правилния отговор.
Пример 1(опитайте се да го решите сами) :
Намерете корена на уравнението. Ако има няколко корена, посочете най-малкия от тях в отговора си.
Решение:
Първо, нека напишем ODZ:
Сега нека си спомним какво е логаритъм: на каква степен трябва да повдигнете основата, за да получите аргумента? Към второто. това е:
Изглежда, че по-малкият корен е равен. Но това не е така: според ODZ коренът е външен, тоест изобщо не е коренът на това уравнение. Така уравнението има само един корен: .
отговор: .
Основно логаритмично тъждество
Нека си припомним дефиницията на логаритъм в общ вид:
Нека заместим логаритъма във второто равенство:
Това равенство се нарича основно логаритмично тъждество. Въпреки че по същество това е равенство - просто написано по различен начин определение на логаритъм:
Това е силата, до която трябва да се издигнете, за да стигнете.
Например:
Решете следните примери:
Пример 2.
Намерете значението на израза.
Решение:
Нека си припомним правилото от раздела:, тоест при повишаване на степен степенните показатели се умножават. Да го приложим:
Пример 3.
Докажи това.
Решение:
Свойства на логаритмите
За съжаление, задачите не винаги са толкова прости - често първо трябва да опростите израза, да го приведете в обичайната му форма и едва тогава ще бъде възможно да изчислите стойността. Това е най-лесно да направите, ако знаете свойства на логаритмите. И така, нека научим основните свойства на логаритмите. Ще докажа всяко от тях, защото всяко правило се помни по-лесно, ако знаете откъде идва.
Всички тези свойства трябва да се запомнят; без тях повечето задачи с логаритми не могат да бъдат решени.
А сега за всички свойства на логаритмите по-подробно.
Свойство 1:
Доказателство:
Нека бъде тогава.
Имаме: и т.н.
Свойство 2: Сума от логаритми
Сборът от логаритми с еднакви основи е равен на логаритъма на произведението: .
Доказателство:
Нека бъде тогава. Нека бъде тогава.
Пример:Намерете значението на израза: .
Решение: .
Формулата, която току-що научихте, помага да се опрости сумата от логаритми, а не разликата, така че тези логаритми не могат да бъдат комбинирани веднага. Но можете да направите обратното - да "разделите" първия логаритъм на две: И ето обещаното опростяване:
.
Защо е необходимо това? Е, например: на какво е равно?
Сега това е очевидно.
Сега опростете го сами:
Задачи:
Отговори:
Свойство 3: Разлика на логаритми:
Доказателство:
Всичко е точно както в точка 2:
Нека бъде тогава.
Нека бъде тогава. Ние имаме:
Примерът от предишния параграф сега става още по-прост:
По-сложен пример: . Можете ли да разберете как да го разрешите сами?
Тук трябва да се отбележи, че нямаме нито една формула за логаритмите на квадрат. Това е нещо като израз - не може да се опрости веднага.
Затова нека си починем от формулите за логаритмите и да помислим какви формули най-често използваме в математиката? От 7 клас!
Това - . Трябва да свикнете с факта, че те са навсякъде! Те се срещат в експоненциални, тригонометрични и ирационални проблеми. Следователно те трябва да бъдат запомнени.
Ако се вгледате внимателно в първите два термина, става ясно, че това разлика на квадратите:
Отговор за проверка:
Опростете го сами.
Примери
Отговори.
Свойство 4: Изваждане на експонентата от аргумента логаритъм:
Доказателство:И тук също използваме определението за логаритъм: нека, тогава. Имаме: и т.н.
Това правило може да се разбира по следния начин:
Тоест, степента на аргумента се премества пред логаритъма като коефициент.
Пример:Намерете значението на израза.
Решение: .
Решете сами:
Примери:
Отговори:
Свойство 5: Вземане на степента от основата на логаритъма:
Доказателство:Нека бъде тогава.
Имаме: и т.н.
Запомнете: от основаниястепента се изразява като обратнотономер, за разлика от предишния случай!
Свойство 6: Премахване на степента от основата и аргумента на логаритъма:
Или ако градусите са еднакви: .
Свойство 7: Преход към нова база:
Доказателство:Нека бъде тогава.
Имаме: и т.н.
Свойство 8: Разменете основата и аргумента на логаритъма:
Доказателство:това специален случайформули 7: ако заместим, получаваме: и т.н.
Нека да разгледаме още няколко примера.
Пример 4.
Намерете значението на израза.
Използваме свойство на логаритмите № 2 - сумата от логаритми с еднаква основа е равна на логаритъма от произведението:
Пример 5.
Намерете значението на израза.
Решение:
Използваме свойството на логаритмите № 3 и № 4:
Пример 6.
Намерете значението на израза.
Решение:
Нека използваме свойство № 7 - преминете към база 2:
Пример 7.
Намерете значението на израза.
Решение:
Как ви харесва статията?
Ако четете тези редове, значи сте прочели цялата статия.
И това е яко!
Сега ни кажете как ви харесва статията?
Научихте ли как да решавате логаритми? Ако не, какъв е проблемът?
Пишете ни в коментарите по-долу.
И да, успех на изпитите.
На Единния държавен изпит и Единния държавен изпит и в живота като цяло
Степента на дадено число е математически термин, измислен преди векове. В геометрията и алгебрата има два варианта - десетични и естествени логаритми. Те се изчисляват по различни формули, докато уравненията, които се различават по правопис, винаги са равни едно на друго. Тази идентичност характеризира свойствата, които се отнасят до полезния потенциал на функцията.
Характеристики и важни признаци
В момента има десет известни математически качества. Най-често срещаните и популярни от тях са:
- Коренният логаритъм, разделен на големината на корена, винаги е същият като десетичния логаритъм √.
- Продуктовият дневник винаги е равен на сумата на производителя.
- Lg = величината на мощността, умножена по числото, което се повишава до нея.
- Ако извадите делителя от log на дивидента, ще получите log на частното.
Освен това има уравнение, базирано на основната идентичност (считана за ключ), преход към актуализирана основа и няколко второстепенни формули.
Изчисляването на десетичен логаритъм е доста специализирана задача, така че интегрирането на свойства в решение трябва да се подхожда внимателно и редовно да се проверяват вашите действия и последователност. Не трябва да забравяме за таблиците, които трябва постоянно да се консултират и да се ръководят само от данните, които се намират там.
Разновидности на математическия термин
Основни разлики математическо число"скрит" в основата (а). Ако има показател 10, тогава той е десетичен логаритъм. IN иначе„a“ се трансформира в „y“ и има трансцендентални и ирационални характеристики. Също така си струва да се отбележи, че естествената стойност се изчислява чрез специално уравнение, където доказателството е теория, изучавана извън училищна програмастарши класове.
Десетичните логаритми се използват широко при изчисляване на сложни формули. Съставени са цели таблици, за да се улеснят изчисленията и ясно да се покаже процеса на решаване на проблема. В този случай, преди да преминете направо към точката, трябва да изградите дневник за Освен това във всеки магазин ученически пособияМожете да намерите специална линийка с отпечатана скала, която ви помага да решите уравнение с всякаква сложност.
Десетичният логаритъм на число се нарича число на Бриг или число на Ойлер в чест на изследователя, който пръв публикува количеството и открива контраста между двете определения.
Два вида формула
Всички видове и разновидности на задачи за изчисляване на отговора, които имат термина log в условието, имат отделно наименование и строга математическа структура. Експоненциалното уравнение е почти точно копие на логаритмичните изчисления, ако се вгледате в правилността на решението. Просто първата опция включва специализиран номер, който ви помага бързо да разберете състоянието, а втората замества лога с обикновена мощност. В този случай изчисленията, използващи последната формула, трябва да включват променлива стойност.
Разлика и терминология
И двата основни индикатора имат свои собствени характеристики, които отличават числата един от друг:
- Десетичен логаритъм. Важен детайл от номера е задължителното наличие на основа. Стандартната версия на стойността е 10. Маркира се с последователността - log x или log x.
- Естествено. Ако основата му е знакът "e", който е константа, идентична на строго изчислено уравнение, където n бързо се движи към безкрайността, тогава приблизителният размер на числото в цифров еквивалент е 2,72. Официалната маркировка, възприета както в училище, така и в по-сложните професионални формули, е ln x.
- различни. В допълнение към основните логаритми има шестнадесетични и двоични типове (основа 16 и 2, съответно). Има още по-сложен вариант с базов индикатор 64, който попада под систематичен адаптивен тип контрол, който изчислява крайния резултат с геометрична точност.
Терминологията включва следните величини, включени в алгебричната задача:
- значение;
- аргумент;
- база.
Изчисляване на номера на дневника
Има три начина бързо и устно да направите всичко необходими изчисленияда намери резултата от интереса със задължителния правилен резултат от решението. Първоначално доближаваме десетичния логаритъм до неговия ред (научното записване на число на степен). Всяка положителна стойност може да бъде определена чрез уравнение, където е равна на мантисата (число от 1 до 9), умножена по десет в n-та степен. Тази опция за изчисление се основава на два математически факта:
- произведението и логаритмът на сумата винаги имат една и съща степен;
- логаритъмът, взет от число от едно до десет, не може да надвишава стойност от 1 точка.
- Ако възникне грешка в изчислението, тя никога не е по-малка от единица в посока на изваждане.
- Точността се увеличава, ако вземете предвид, че lg с основа три има краен резултат пет десети от едно. Следователно всяка математическа стойност, по-голяма от 3, автоматично добавя една точка към отговора.
- Почти перфектна точност се постига, ако имате под ръка специализирана таблица, която лесно можете да използвате във вашите дейности по оценяване. С негова помощ можете да разберете колко е равен десетичният логаритъм на десети от процента от първоначалното число.
История на истински дневник
Шестнадесети век имаше остра нужда от по-сложно смятане, отколкото беше известно на науката по това време. Това беше особено вярно за деление и умножение на многоцифрени числа с голяма последователност, включително дроби.
В края на втората половина на епохата няколко умове веднага стигнаха до заключението за добавяне на числа с помощта на таблица, която сравнява две и една геометрична. В този случай всички основни изчисления трябваше да почиват на последната стойност. Учените са интегрирали изваждането по същия начин.
Първото споменаване на lg се състоя през 1614 г. Това беше направено от аматьор математик на име Напиер. Струва си да се отбележи, че въпреки огромното популяризиране на получените резултати, във формулата е допусната грешка поради непознаване на някои определения, които се появяват по-късно. Започваше с шестата цифра на индикатора. Най-близо до разбирането на логаритъма бяха братята Бернули, а дебютното легализиране се случи през осемнадесети век от Ойлер. Той разшири функцията си и в областта на образованието.
История на сложния дневник
Дебютните опити за интегриране на lg в широката публика са направени в зората на 18 век от Бернули и Лайбниц. Но те никога не са успели да направят изчерпателни теоретични изчисления. Имаше цяла дискусия по този въпрос, но не беше дадена точна дефиниция на числото. По-късно диалогът се възобновява, но между Ойлер и Д'Аламбер.
Последният се съгласи по принцип с много от фактите, предложени от основателя на стойността, но смята, че положителните и отрицателните показатели трябва да бъдат равни. В средата на века формулата е демонстрирана като окончателна версия. Освен това Ойлер публикува производната на десетичния логаритъм и съставя първите графики.
Маси
Свойствата на числата показват, че многоцифрените числа не могат да се умножават, но техният дневник може да бъде намерен и добавен с помощта на специализирани таблици.
Този индикатор стана особено ценен за астрономите, които са принудени да работят с голям набор от последователности. IN съветска епохаДесетичният логаритъм е търсен в сборника на Брадис, издаден през 1921 г. По-късно, през 1971 г., се появява изданието Vega.
От програмата гимназияизвестно е, че
Всяко положително число може да бъде представено като числото 10 до известна степен.
Това обаче е просто, когато числото е кратно на 10.
Пример
:
- номер100 е 10x10 или 102
- числото 1000 е 10x10x10 или 103
- Ии т.н.
Какво трябва да направим, ако например трябва да изразим числото 8299 като числото 10 до известна степен? Как да намерим това число с определена степен на точност, което в случая е 3,919...?
Резултатът е логаритъм и логаритмични таблици
Познаването на логаритмите и способността да се използват логаритмични таблици могат значително да опростят много сложни аритметични операции практическо приложениеДесетичните логаритми са удобни.
Исторически фон.
Принципът, лежащ в основата на всяка система от логаритми, е известен от много дълго време и може да бъде проследен назад в историята чак до древната вавилонска математика (около 2000 г. пр.н.е.). Първите таблици с логаритми обаче са съставени независимо от шотландския математик HUJ. Напиер (1550-1617) U Нито швейцарецът И. Бурги (1552-1632). Първите таблици с десетични логаритми са съставени и публикувани от английския математик Г. Бригс (1561 -1630).
Каним читателя, без да навлизаме дълбоко в математическата същност на проблема, да запомни или да си припомни няколко прости дефиниции, изводи и формули:
- Дефиниция на логаритъмА.
Логаритъмът на дадено число е степента, към която трябва да се повдигне друго число, наречена основа на логаритъма (А ), за да получите този номер.
- За всяка основа логаритъма от единица е нула:
a0 = 1
- Отрицателните числа нямат логаритми
- Всяко положително число има логаритъм
- При основа, по-голяма от 1, логаритмите на числа, по-малки от 1, са отрицателни, а логаритмите на числа, по-големи от 1, са положителни.
- Логаритъмът на основата е 1
- По-голямо число съответства на по-голям логаритъм
- Когато числото нараства от 0 до 1, неговият логаритъм нараства от-∞ до 0; като числото нараства от 1 до+∞ неговият логаритъм нараства от 1 до+∞ (където, ±∞ - знак, приет в математиката за обозначаване на отрицателна или положителна безкрайност на числата)
- За практическа употреба са удобни логаритми, чиято основа е числото 10
Тези логаритми се наричат десетични и се обозначаватlg . Например:
- логаритъма на числото 10 при основа 10 е 1. С други думи, числото 10 трябва да се повдигне на първа степен, за да се получи числото 10 (101 = 10), т.е.lg10 = 1
- логаритъма на числото 100 при основа 10 е 2. С други думи, числото 10 трябва да се повдигне на квадрат, за да се получи числото 100 (102 = 100), т.е. lg100 = 2
U Заключение №1 U : логаритъмът на цяло число, представено от единица с нули, е положително цяло число, съдържащо толкова единици, колкото нули има в представянето на числото
- Логаритъмът от 0,1 при основа 10 е -1. С други думи, числото 10 трябва да се повдигне на минус първа степен, за да се получи числото 0,1 (10-1 = 0,1), т.е.log0.1 = -1
- Логаритъмът от 0,01 при основа 10 е -2. С други думи, числото 10 трябва да се повдигне на минус втора степен, за да се получи числото 0,1 (10-2 = 0,01), т.е.log0,01 = -2
U Заключение №2 U : логаритъмът на десетична дроб, представен от единица с предшестващи нули, е отрицателно цяло число, съдържащо толкова отрицателни единици, колкото нули има в представянето на дробта, включително 0 цели числа
- в съответствие с определение № 1 (виж по-горе):
lg1 = 0
- логаритъма на числото 8300 при основа 10 е 3,9191... С други думи, числото 10 трябва да се повдигне на степен 3,9191... за да се получи числото 8300 (103,9191...= 8300), т.е. lg8300 =3,9191...
U Заключение №3
U : Логаритъмът на число, което не е изразено чрез единица с нули, е ирационално число и следователно не може да бъде изразено точно с помощта на числа.
Ирационалните логаритми обикновено се изразяват приблизително като десетична дроб с няколко знака след десетичната запетая. Извиква се цялото число на тази дроб (дори и да е „0 цели числа“). характеристика, а дробната част е мантисалогаритъм Ако, например, логаритъма е 1,5441
, тогава неговата характеристика е равна 1
, а мантисата е 0,5441
.
- Основни свойства на логаритмите, вкл. десетичен:
- логаритъма на произведението е равен на сумата от логаритмите на факторите:lg( а. б)= lgа + lgb
- логаритъма на частното е равен на логаритъма на делимото без логаритъма на делителя, т.е. Логаритъмът на дроб е равен на логаритъма на числителя без логаритъма на знаменателя:
- логаритмите на две реципрочни числа при една и съща основа се различават един от друг само по знак
- Логаритъмът на степен е равен на произведението на експонентата и логаритъма на нейната основа, т.е. логаритъм на степента равен на индикаторатази степен, умножена по логаритъма на числото, което се повишава на степен:
lg( bk)= к. lg b
За да разберем най-накрая какво представлява десетичният логаритъм на произволно число, нека разгледаме няколко примера в детайли.
U Пример № 2.1.1
U.
Нека вземем някакво цяло число, например 623, и смесено число, например 623,57.
Знаем, че логаритъма на число се състои от характеристика и мантиса.
Нека преброим колко цифри има в дадено цяло число или в цяла част от смесено число. В нашите примери има 3 от тези числа.
Следователно всяко от числата 623 и 623.57 е по-голямо от 100, но по-малко от 1000.
По този начин можем да заключим, че логаритъма на всяко от тези числа ще бъде по-голям от log 100, т.е. по-голям от 2, но по-малък от log 1000, т.е. по-малък от 3 (не забравяйте, че по-голям бройима по-голям логаритъм).
Следователно:
лог 623 = 2,...
lg 623.57 = 2,...
(точките заместват неизвестните мантиси).
U Заключение №4 U : десетичните логаритми имат удобството, че техните характеристики винаги могат да бъдат намерени от един вид число .
Да предположим, че като цяло дадено цяло число или цяла част от дадено смесено число съдържа m цифри. Тъй като най-малкото цяло число, съдържащо m цифри, е единица с m-1 нули в края, тогава (означавайки това число N) можем да напишем неравенството:
следователно,
m-1< lg N < m,
Ето защо
log N = (m-1) + положителна част.
Средства
характеристика logN = m-1
U Заключение № 5 U : характеристиката на десетичния логаритъм на цяло число или смесено число съдържа толкова положителни единици, колкото цифри има в цялата част на числото минус едно.
U Пример № 2.1.2.
Сега нека вземем няколко десетични дроби, т.е. числа, по-малки от 1 (с други думи, имащи 0 цели числа):
0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008 и т.н.
Логаритмите на всяко от тези числа ще бъдат между две отрицателни цели числа, които се различават с една единица. Освен това всяко от тях е равно на по-малкото от тези отрицателни числа, увеличено с някаква положителна дроб.
например,
log0,0056= -3 + положителна дроб
В този случай положителната част ще бъде равна на 0,7482.
След това:
log 0,0056 = -3 + 0,7482
U Бележки
U:
Стойности като -3 + 0,7482, състоящи се от цяло число отрицателно числои положителна десетична дроб, се съгласихме да напишем съкратено за логаритмични изчисления, както следва:
,7482
(това число се чете: с минус, 7482 десетхилядни), т.е. те поставят знак минус върху характеристиката, за да покажат, че тя се отнася само за тази характеристика, а не за мантисата, която остава положителна.
По този начин горните числа могат да бъдат записани като десетични логаритми
lg 0,35 =, ...
lg 0,07 =, ...
lg 0,00008 =, …
Като цяло нека числото А е десетична дроб, в която пред първото значителна фигураα струва m нули, включително 0 цели числа: 
тогава е очевидно, че 
Следователно: 
т.е.
-м< log A < -(m-1).
Тъй като от две цели числа:
-m и -(m-1) по-малкото е -m
това
log A = -m + положителна дроб
U Заключение №6 U : характеристика на логаритъм от десетична дроб, т.е. число, по-малко от 1, съдържа толкова отрицателни, колкото нули има в изображението на десетичната дроб преди първата значима цифра, включително включително нула цели числа; мантисата на такъв логаритъм е положителна
Пример № 2.1.3.
Нека умножим някакво число N (цяло число или дроб - няма значение) по 10, по 100 по 1000..., общо взето по 1 с нули, и да видим как log N се променя от това.
Тъй като логаритъма на произведението е равен на сумата от логаритмите на факторите, тогава
log (N.10) = log N + log 10 = log N + 1;
log (N.100) = log N + log 100 = log N + 2;
log (N.1000) = log N + log 1000 = log N + 3 и т.н.
Когато добавяме произволно цяло число към lg N, това число винаги се добавя към характеристиката; Освен това мантисата винаги остава непроменена в тези случаи.
Пример
ако log N = 2,7804, тогава 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801 и т.н.;
или ако log N = 3,5649, тогава 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 - 2 = 1,5649 и т.н.
Заключение №7 : Когато едно число се умножи по 10, 100, 1000,.., обикновено по 1 с нули, мантисата на логаритъма не се променя и характеристиката се увеличава с толкова единици, колкото нули има във фактора.
По същия начин, като вземем предвид, че логаритъма на частното е равен на логаритъма на дивидента без логаритъма на делителя, получаваме:
log N/10 = log N - log 10 = log N - 1;
log N/100 = log N - log 100 = log N - 2;
log N/1000 = log N - log 1000 = log N - 3 и т.н.
Когато цяло число се извади от log N от логаритъм, изваждането на това цяло число винаги следва от характеристиката и оставянето на мантисата непроменена.
тогава можем да кажем:
Заключение № 8 : Когато едно число се дели на 1 с нули, мантисата на логаритъма не се променя, но характеристиката намалява с толкова единици, колкото нули има в делителя.
Заключение №9 : мантиса на логаритъм десетично числоне се променя от преместването на номера на запетая, защото преместването на запетая е еквивалентно на умножаване или деление на 10, 100, 1000 и т.н.
Така логаритмите на числата са:
0,00423, 0,0423, 4,23, 423
се различават само по характеристики, но не и по мантиси (при условие, че всички мантиси са положителни).
Заключение №9 : мантисите на числа, които имат еднаква значима част, но се различават само по нулите в края, са еднакви: например логаритмите на числата: 23, 230, 2300, 23 000 се различават само по характеристики.
И така, имаме степени на две. Ако вземете числото от долния ред, можете лесно да намерите степента, до която ще трябва да повишите две, за да получите това число. Например, за да получите 16, трябва да повдигнете две на четвърта степен. И за да получите 64, трябва да повдигнете две на шеста степен. Това се вижда от таблицата.
А сега всъщност дефиницията на логаритъма:
Логаритъмът с основа a от x е степента, на която a трябва да се повдигне, за да се получи x.
Нотация: log a x = b, където a е основата, x е аргументът, b е това, на което всъщност е равен логаритъма.
Например 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логаритъмът с основа 2 на 8 е три, защото 2 3 = 8). Със същия успех, регистрирайте 2 64 = 6, тъй като 2 6 = 64.
Операцията за намиране на логаритъм на число по дадена основа се нарича логаритмиране. И така, нека добавим нов ред към нашата таблица:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
За съжаление, не всички логаритми се изчисляват толкова лесно. Например, опитайте се да намерите log 2 5. Числото 5 не е в таблицата, но логиката диктува, че логаритъма ще лежи някъде в интервала. Защото 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Такива числа се наричат ирационални: числата след десетичната запетая могат да се записват безкрайно и никога не се повтарят. Ако логаритъмът се окаже ирационален, по-добре е да го оставите така: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Важно е да се разбере, че логаритъмът е израз с две променливи (основа и аргумент). Много хора в началото бъркат къде е основата и къде аргументът. За да избегнете досадни недоразумения, просто погледнете снимката:
Пред нас не е нищо повече от определението на логаритъм. Запомнете: логаритъмът е степен, в който трябва да бъде вградена базата, за да се получи аргумент. Това е основата, която е повдигната на степен - тя е подчертана в червено на снимката. Оказва се, че основата винаги е на дъното! Казвам на моите ученици това прекрасно правило още на първия урок - и не възниква объркване.
Разбрахме определението - остава само да се научим да броим логаритми, т.е. отървете се от знака "дневник". Като начало отбелязваме, че от определението следват два важни факта:
- Аргументът и основата винаги трябва да са по-големи от нула. Това следва от определението за степен чрез рационален показател, до което се свежда определението за логаритъм.
- Базата трябва да е различна от едно, тъй като едното във всяка степен си остава едно. Поради това въпросът „на каква сила трябва да се издигне човек, за да получи две“ е безсмислен. Няма такава степен!
Такива ограничения се наричат диапазон от приемливи стойности(ODZ). Оказва се, че ODZ на логаритъма изглежда така: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Имайте предвид, че няма ограничения за числото b (стойността на логаритъма). Например логаритъма може да е отрицателен: log 2 0,5 = −1, защото 0,5 = 2 −1.
Сега обаче разглеждаме само числови изрази, където не се изисква да знаем VA на логаритъма. Всички ограничения вече са взети предвид от авторите на задачите. Но когато си отидат логаритмични уравненияи неравенства, изискванията на DHS ще станат задължителни. В крайна сметка основата и аргументът може да съдържат много силни конструкции, които не отговарят непременно на горните ограничения.
Сега нека помислим обща схемаизчисляване на логаритми. Състои се от три стъпки:
- Изразете основата a и аргумента x като степен с минималната възможна основа, по-голяма от едно. По пътя е по-добре да се отървете от десетичните знаци;
- Решете уравнението за променлива b: x = a b ;
- Полученото число b ще бъде отговорът.
това е! Ако логаритъмът се окаже ирационален, това ще се види още в първата стъпка. Изискването базата да е по-голяма от единица е много важно: това намалява вероятността от грешка и значително опростява изчисленията. Същото с десетични знаци: ако веднага ги конвертирате в обикновени, ще има много по-малко грешки.
Нека видим как работи тази схема, използвайки конкретни примери:
Задача. Изчислете логаритъма: log 5 25
- Нека си представим основата и аргумента като степен на пет: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- Нека съставим и решим уравнението:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2; - Получихме отговор: 2.
Задача. Изчислете логаритъма:
Задача. Изчислете логаритъма: log 4 64
- Нека си представим основата и аргумента като степен на две: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- Нека съставим и решим уравнението:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3; - Получихме отговор: 3.
Задача. Изчислете логаритъма: log 16 1
- Нека си представим основата и аргумента като степен на две: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Нека съставим и решим уравнението:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0; - Получихме отговор: 0.
Задача. Изчислете логаритъма: log 7 14
- Нека си представим основата и аргумента като степен на седем: 7 = 7 1 ; 14 не може да бъде представено като степен на седем, тъй като 7 1< 14 < 7 2 ;
- От предходния параграф следва, че логаритъма не се брои;
- Отговорът е без промяна: log 7 14.
Малка забележка към последния пример. Как можете да сте сигурни, че едно число не е точна степен на друго число? Много е просто - просто го разбийте на основни фактори. И ако такива множители не могат да бъдат събрани в степени с еднакви показатели, тогава оригиналното число не е точна степен.
Задача. Разберете дали числата са точни степени: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точна степен, т.к има само един множител;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не е точна степен, тъй като има два фактора: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точна степен;
35 = 7 · 5 - отново не е точна степен;
14 = 7 · 2 - отново не е точна степен;
Обърнете внимание също, че самите прости числа винаги са точни степени на себе си.
Десетичен логаритъм
Някои логаритми са толкова често срещани, че имат специално име и символ.
Десетичният логаритъм от x е логаритъмът при основа 10, т.е. Степента, на която трябва да се повдигне числото 10, за да се получи числото x. Обозначение: lg x.
Например, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - и т.н.
Отсега нататък, когато в учебника се появи фраза като „Намерете lg 0.01“, знайте, че това не е печатна грешка. Това е десетичен логаритъм. Ако обаче не сте запознати с тази нотация, винаги можете да я пренапишете:
log x = log 10 x
Всичко, което е вярно за обикновените логаритми, е вярно и за десетичните логаритми.
Натурален логаритъм
Има друг логаритъм, който има свое собствено обозначение. В някои отношения това е дори по-важно от десетичната запетая. Говорим за натурален логаритъм.
Натуралният логаритъм от x е логаритъмът по основа e, т.е. степента, на която трябва да се повдигне числото e, за да се получи числото x. Обозначение: ln x .
Мнозина ще попитат: какво е числото e? Това е ирационално число, точната му стойност не може да бъде намерена и записана. Ще дам само първите цифри:
e = 2,718281828459...
Няма да навлизаме в подробности какво представлява този номер и защо е необходим. Само не забравяйте, че e е основата на естествения логаритъм:
ln x = log e x
Така ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - и т.н. От друга страна, ln 2 е ирационално число. Като цяло, естественият логаритъм на който и да е рационално числоирационален. Освен, разбира се, за единица: ln 1 = 0.
За естествените логаритми са валидни всички правила, които са валидни за обикновените логаритми.