Определение 27.Векторно поле А = {А х , А г , А z) се нарича потенциал, ако вектор А е градиентът на някаква скаларна функция u = u(х, г, z) :

А = град u = . (119)

В този случай функцията Инаречен потенциална това векторно поле.

Примери за потенциални полета са гравитационното поле на точкова маса Т, поставено в началото, електрическото поле точков заряд д, разположен в началото и др.

Нека разберем при какви условия едно векторно поле е потенциално.

Тъй като от (119) следва, че
това

тъй като смесената производна от втори ред не зависи от реда на диференциране. От тези равенства лесно получаваме това

гниене А = 0 – (120)

условие за потенциалността на векторно поле.

Определение 28.Векторно поле А = {А х , А г , А z), за които гниене А = 0, наречено иротационен.

От предишните аргументи следва, че всяко потенциално поле е безвъртеливо. Също така е възможно да се докаже обратното, тоест, че всяко безвъртеливо поле е потенциално поле.

Пример 30.

Определете дали едно векторно поле е потенциално. Ако отговорът е положителен, намерете неговия потенциал Ипри предположението, че в началото И = 0.

Нека изчислим частните производни на функциите,

следователно
тоест устата Е = 0 – условие (120) е изпълнено и полето е потенциално.

8. Соленоидни и хармонични векторни полета

Определение 29.Векторно поле А = {А х , А г , А z) се нарича соленоиденв района г, ако във всяка точка от тази област

див А = 0. (121)

Коментирайте. Тъй като дивергенцията характеризира плътността на източниците на полето А , тогава в областта, където полето е соленоидно, няма източници на това поле. Пример за соленоидно поле е полето на точков заряд двъв всички точки, с изключение на точката, където се намира зарядът.

Условието полето да е соленоидно е изискването векторът А е навивката на някакъв вектор IN : А = гниене Б . Нека го докажем.

Наистина, ако , тогава

див А =

Определение 30.Скаларно поле, дефинирано от функция u = u(х, г, z) , наречена хармониченв някаква област, ако функцията Ив тази област удовлетворява уравнението на Лаплас: Δ И = 0.

Примери: линейна функция, потенциал електрическо полеточков заряд или гравитационното поле на точкова маса.

Литература

Фихтенголц Г.М. Курс по диференциално и интегрално смятане. М.: Наука, 1969.

Кудрявцев Л.Д. Кратък курсматематически анализ. М.: Наука, 1989.

Илин В.А., Позняк Е.Г. Математически анализ.

М.: Наука, 1999. Смирнов В.И. добревисша математика

.- Т.2. М.: Наука, 1965.

Бугров Я.С., Николски С.М. Диференциални уравнения. Множество интеграли. Редове.

Функции на комплексна променлива. М.: Наука, 1981.

Пискунов Н.С. Диференциално и интегрално смятане. – Т.2. М.: Наука, 1981.

Сборник задачи по математика за колежи.

Специални раздели на математическия анализ (под редакцията на А. В. Ефимов и Б. П. Демидович). – Т.2. М.: Наука, 1981.

Мишкис А.Д. Лекции по висша математика. М.: Наука, 1973.

Определение 1. Нека A е векторно поле в дадена област, функцията се нарича потенциал на полето A в тази област Определение 2. Поле, което има потенциал, се нарича потенциално поле.Тъй като в свързана област частните производни определят функцията с точност до константа, тогава в такава област потенциалът на полето се определя с точност до адитивна константа.

В първата част на курса вече говорихме накратко за потенциала. Тук ще обсъдим тази важна концепция малко по-подробно. Нека във връзка с тези определения да отбележим, че във физиката при разглеждане различни видовеВ силовите полета потенциалът на полето обикновено се нарича функция, така че такъв потенциал се различава от този, въведен от Дефиниция 1, само по знак.

Пример 1: Напрежение

гравитационно поле

, създадена от точкова маса M, поставена в началото, в точка от пространството, имаща радиус-вектор, се изчислява съгласно закона на Нютон във формата

Това е силата, с която полето действа върху единица маса в съответната точка от пространството. Гравитационно поле (1)

потенциално. Неговият потенциал по смисъла на Дефиниция 1 е функцията

Пример 2. Силата на електрическото поле E на точков заряд, поставен в началото, в точка от пространството с радиус вектор, се изчислява съгласно закона на КулонТеорема 1. За да бъде векторно поле, зададено в областта T, соленоидно, е необходимо и достатъчно това поле да бъде роторното поле на определен вектор, т.е. така че съществува вектор, който удовлетворява условието във всички точки на областта T

Доказателство.Адекватност.

Имаме

Необходимост.

Нека

Нека намерим такава функция, че

По-долу ще покажем, че функцията не е еднозначно дефинирана, така че могат да бъдат наложени допълнителни условия на тази функция. Нека

Да изберем функции

При доказването на теоремата предложихме метод, който ни позволява да определим векторния потенциал на полето.

Забележка 1. Ако функцията е векторен потенциал на полето, тогава функцията

където е произволна скаларна функция и също е векторният потенциал на полето.

потенциално. Неговият потенциал по смисъла на Дефиниция 1 е функцията

Следователно векторният потенциал се определя нееднозначно.

Пример 1: Покажете, че поле

Решение. Имаме.

Нека изчислим

Намерената функция е търсеният векторен потенциал. Нека проверим това твърдение, т.е. нека намерим ротора:

Условието е изпълнено. Лесно е да се провери, че векторният потенциал на това поле може да бъде по-симетрична функция

Пример 2: Покажете, че поле

соленоид и намерете векторния потенциал на това поле.

Решение. Имаме.

Нека изчислим

Да проверим:

Условието е изпълнено. Лесно е да се провери, че векторният потенциал на това поле може да бъде по-симетрични функции

От горните примери става ясно, че изразите за векторния потенциал за едно и също поле могат значително да се различават. Това се дължи на факта, че градиентът на всяка скаларна функция може да се добави към намерения векторен потенциал.

Теория на полето

Известен също като векторен анализ. И за някои векторен анализ, известен като теория на полето =) Най-накрая стигнахме до тази най-интересна тема. Този раздел от висшата математика не може да се нарече прост, но в бъдещи статии ще се опитам да постигна две цели:

а) така че всички да разберат за какво става дума в разговора;

б) така че „манекените“ да се научат да решават най-малко прости неща - поне на нивото на задачите, които се предлагат на задочниците.

Всички материали ще бъдат представени в популярен стил и ако имате нужда от по-строга и пълна информация, можете да вземете например 3-ти том на Фихтенхолц или да погледнете Wiki.

И нека веднага дешифрираме заглавието. С теорията мисля, че всичко е ясно - в най-добрите традиции на сайта ще анализираме основите му и ще се съсредоточим върху практиката. Е, с какво свързвате думата „поле“?

Тревно игрище, футболно игрище... Още? Сфера на дейност, поле на експерименти. Поздрави хуманисти! ...От училищен курс? Електрическо поле, магнитно, електромагнитно..., добре. Гравитационното поле на Земята, в което се намираме. Страхотно! И така, кой каза това за полето? валиденИ комплексни числа? ...някакви чудовища са се събрали тук! =) За щастие алгебравече премина.

В следващите уроци ще се запознаем с конкретна концепция полета, конкретни примери от живота, а също така да научите как да решавате тематични проблеми на векторния анализ. Теорията на полето се изучава най-добре, както правилно се досещате, на терен – сред природата, където има гора, река, езеро, селска къща и каня всеки да се потопи, ако не в топлата лятна реалност, то след това в приятни спомени:

Полета в разглеждания днес смисъл са скаларенИ вектор, и ще започнем с техните „градивни елементи“.

първо, скаларен. Доста често този термин погрешно се идентифицира с номер. Не, нещата са малко по-различни: скаларене величина, всяка стойност на която може да бъде изразена само едно число. Във физиката има много примери за маса: дължина, ширина, площ, обем, плътност, температура и т.н. Всичко това са скаларни величини. И, между другото, масата също е пример.

второ, вектор. Докоснах алгебричната дефиниция на вектор в урока за линейни трансформациии едно от частните му превъплъщения просто е невъзможно да не знаеш=) Типично векторсе изразява две или повече числа(с вашите координати). И дори за едномерен вектор само едно число не е достатъчно– поради причината, че векторът има и посока. И точката на приложение, ако векторът не е безплатно. Векторите характеризират физическите силови полета, скоростта и много други величини.

Е, сега можете да започнете да събирате алуминиеви краставици:

Скаларно поле

Ако всекинякаква точка области на пространствотосе присвоява определен номер (обикновено истински), тогава казват, че в тази област се дава скаларно поле.

Помислете например за перпендикуляр, излизащ от земята лъч. Бодни лопата за яснота =) Какво скаларни полетамога ли да попитам на тази греда? Първото нещо, което идва на ум е поле за височина– когато на всяка точка от лъча е зададена нейната височина над нивото на земята. Или напр. поле атмосферно налягане – тук всяка точка от лъча съответства на числова стойност на атмосферното налягане в дадена точка.

Сега нека се приближим до езерото и мислено нарисуваме равнина върху повърхността му. Ако всяка точка от „водния“ фрагмент на равнината е свързана с дълбочината на езерото, тогава, моля, скаларното поле е дадено. В същите точки можете да вземете предвид други скаларни величини, например температурата на водната повърхност.

Най-важното свойствоскаларно полее негово инвариантностспрямо координатната система. Ако го преведем на човешки език, тогава без значение от коя страна гледаме лопатата / езерото - скаларно поле (височина, дълбочина, температура и т.н.)това няма да се промени. Освен това скаларното поле, да речем, дълбочина, може да бъде зададено на друга повърхност, например на подходяща полукълбо, или директно върху самата водна повърхност. защо не Не е ли възможно да се присвои номер на всяка точка от полукълбото, разположено над езерото? Предложих плоскост единствено за удобство.

Нека добавим още една координата. Вземете камък в ръката си. Всяка точка от този камък може да бъде присвоена на своя физическа плътност . И отново - в каквато и координатна система да го разглеждаме, както и да го въртим в ръката си - полето на скаларната плътност ще остане непроменено. Но някои хора може да оспорят този факт =) Това е философският камък.

От чисто математическа гледна точка (извън физическото или друго лично значение)скаларните полета традиционно се определят от нашите „обикновени“ функции един , две , трии още променливи. В същото време в теорията на полето се използват широко традиционни атрибути на тези функции, като напр област на дефиниция, равни линии и повърхности.

СЪС триизмерно пространствовсичко е подобно:
– тук всяка допустима точка в пространството е свързана с вектор с начало в дадена точка. „Допустимостта“ се определя от областите на дефиниране на функциите и ако всяка от тях е дефинирана за всички „X“, „E“, „Z“, тогава векторното поле ще бъде указано в цялото пространство.

! Наименования : векторните полета също се означават с буквата или, а техните компоненти съответно с или.

От горното отдавна е ясно, че, поне математически, скаларни и векторни полета могат да бъдат дефинирани в цялото пространство. Въпреки това, с подходящи физически примериВсе още внимавах, защото такива понятия като температура, гравитация(или други) в крайна сметка някъдеможе изобщо да не съществува. Но това вече не е ужас, а научна фантастика =) И не само научна фантастика. Тъй като вятърът, като правило, не духа вътре в камъните.

Трябва да се отбележи, че някои векторни полета (същите полета на скоростта)се променят бързо с течение на времето и затова много физически модели разглеждат допълнителна независима променлива. Между другото, същото важи и за скаларните полета - температурата всъщност също не е „замразена“ във времето.

Но в рамките на математиката ще се ограничим до триединството и когато такива полета се „срещнат“, ще имаме предвид някакъв фиксиран момент във времето или време, през което полето не се е променило.

Векторни линии

Ако са описани скаларни полета линии и равни повърхности, тогава може да се характеризира „формата“ на векторното поле векторни линии. Вероятно мнозина си спомнят това училищно преживяване: магнит се поставя под лист хартия и отгоре (да видим!) изсипват се железни стружки, които просто се „нареждат“ по линиите на полето.

Ще се опитам да го формулирам по-просто: всяка точка от векторна линия е началото полеви вектор, която лежи на допирателната в дадена точка:

Разбира се, линейните вектори в общия случай имат различни дължини, така че на горната фигура при движение отляво надясно дължината им се увеличава - тук можем да приемем, че се доближаваме например до магнит. В силовите физически полета векторните линии се наричат ​​- електропроводи. Друг, по-прост пример е гравитационното поле на Земята: нейното електропроводипредставлявам лъчис начало в центъра на планетата и векторите гравитацияразположен директно върху самите лъчи.

Векторни линии на скоростни полета се наричат текущи линии. Представете си отново прашна буря - частиците прах заедно с молекулите на въздуха се движат по тези линии. По същия начин с река: траекториите, по които се движат молекулите на течността (и не само) - в буквалнои има обтекаеми линии. Като цяло, много концепции на теорията на полето идват от хидродинамиката, която ще срещнем повече от веднъж.

Ако „плоско“ векторно поле е дадено от ненулева функция, тогава неговите полеви линии могат да бъдат намерени от диференциално уравнение. Решението на това уравнение дава семействовекторни линии на равнина. Понякога в задачите е необходимо да начертаете няколко такива линии, което обикновено не създава затруднения - избрахме няколко удобни стойности на „tse“, нарисувахме някои хиперболи, и ред.

По-интересна е ситуацията с пространствено векторно поле. Неговите полеви линии се определят от отношенията. Тук трябва да решим система от две диференциални уравненияи вземете две семейства пространствени повърхности. Пресечните линии на тези семейства ще бъдат пространствени векторни линии. Ако всички компоненти („pe“, „ku“, „er“) са различни от нула, тогава има няколко технически решения. Няма да разглеждам всички тези методи. (защото статията ще нарасне до неприлични размери), но ще се съсредоточа върху общ частен случай, когато един от компонентите на векторното поле е равен на нула. Нека изброим всички опции наведнъж:

ако , тогава системата трябва да бъде решена;
ако , тогава системата;
и ако , тогава .

И по някаква причина не сме имали практика от дълго време:

Пример 1

Намерете силовите линии на векторното поле

Решение: в този проблем, следователно ние решаваме система:

Значението е много просто. Така че, ако функция определя скаларно поле на дълбочината на езерото, тогава съответната векторна функция дефинира множеството несвободенвектори, всеки от които показва посока бързо покачванедъно в една или друга точка и скоростта на това покачване.

Ако дадена функция определя скаларно температурно поле на определен регион от пространството, тогава съответното векторно поле характеризира посоката и скоростта най-бързо загряванепространство във всяка точка на тази област.

Да погледнем общото математически проблем:

Пример 3

Дадено е скаларно поле и точка. Задължително:

1) съставете градиентната функция на скаларното поле;

Което е равно на потенциална разлика .

С други думи, в потенциално поле само първоначалното и крайна точкамаршрут. И ако тези точки съвпадат, тогава общата работа на силите по затворен контур ще бъде равна на нула:

Нека вземем едно перо от земята и го доставим до началната точка. В този случай траекторията на нашето движение отново е произволна; можете дори да изпуснете писалката, да я вземете отново и т.н.

Защо крайният резултат е нула?

Падна ли перото от точка „а” до точка „б”? Падна. Силата на гравитацията свърши работата.

Писалката удари ли точка "а" обратно? разбрах Това означава, че е свършена абсолютно същата работа срещу гравитацията, и няма значение с какви „приключения“ и с какви сили - дори вятърът да го е отвял обратно.

Забележка : Във физиката знакът минус символизира обратната посока.

Така общата работа, извършена от силите, е нула:

Както вече отбелязах, физическата и непрофесионалната концепция за работа са различни. И тази разлика ще ви помогне да разберете добре не перо или дори тухла, а например пиано :)

Заедно повдигнете пианото и го спуснете надолу по стълбите. Плъзнете го надолу по улицата. Колкото искате и където искате. И ако никой не се обади на глупака, върнете инструмента обратно. работили ли сте Със сигурност. До седма пот. Но от гледна точка на физиката не е свършена работа.

Изразът „потенциална разлика“ е изкушаващ да говорим повече за потенциалното електростатично поле, но да шокирате читателите някак си не е хуманно =) Още повече, че има безброй примери, т.к. всяко градиентно поле е потенциално, от които има стотинка дузина.

Но е лесно да се каже "стотинка дузина": тук ни е дадено векторно поле - как да определим дали е потенциален или не?

Ротор с векторно поле

Или него вихъркомпонент, който също се изразява чрез вектори.

Нека отново вземем перото в ръце и внимателно го изпратим да се носи по реката. За чистотата на експеримента ще приемем, че тя е хомогенна и симетрична спрямо центъра си. Оста стърчи нагоре.

Нека помислим векторно полескорост на течението и определена точка на водната повърхност, над която се намира центърът на перото.

Ако в в този моментписалката се върти обратно на часовниковата стрелка, тогава ще я съпоставим с изходящата несвободенвектор нагоре. В същото време, колкото по-бързо се върти писалката, толкова по-дълъг е този вектор, ... по някаква причина ми изглежда толкова черен в ярките лъчи на слънцето ... Ако въртенето се извършва по посока на часовниковата стрелка, тогава векторът "гледа" надолу. Ако писалката изобщо не се върти, тогава векторът е нула.

Запознайте се - това е вектор на ротора векторно скоростно поле, той характеризира посоката на "завихряне" на течността в в този моментИ ъглова скороствъртене на писалката (но не посоката или скоростта на самия ток!).

Абсолютно ясно е, че всички точки на реката имат въртящ се вектор (включително тези, които са „под вода“), следователно за векторно поле на текущата скоростдефинирахме ново векторно поле!

Ако векторно поле е дадено от функция, тогава неговото роторно поле е дадено от следното векторна функция:

Освен това, ако векторите роторно полереките са големи по величина и са склонни да променят посоката си, това изобщо не означава, че говорим за криволичеща и неспокойна река (обратно към примера). Тази ситуация може да се наблюдава и в прав канал - когато например скоростта е по-висока в средата и по-ниска край бреговете. Тоест генерира се въртенето на писалката различни дебити V съседнитекущи линии.

От друга страна, ако векторите на ротора са къси, тогава това може да е „криволичеща“ планинска река! Важно е, че в съседни текущи линиискоростта на самия ток (бързо или бавно)се различаваше леко.

И накрая, отговаряме на въпроса, зададен по-горе: във всяка точка потенциално поленеговия ротор равно на нула :

Или по-скоро нулевия вектор.

Потенциалното поле също се нарича иротационенполе.

Разбира се, няма "идеален" поток, но доста често може да се наблюдава това скоростно полереките са близо до потенциала - текат спокойно различни предметии не се върти, ...представихте ли и тази снимка? Въпреки това, те могат да плуват много бързо и по крива, а след това забавят, след това ускоряват - важно е скоростта на течението да е в съседни текущи линии беше запазена постоянен.

И, разбира се, нашето смъртно гравитационно поле. За следващия експеримент всеки доста тежък и хомогенен обект ще работи добре, например затворена книга, неотворена кутия бира или, между другото, тухла, която най-накрая е дочакала времето си =) Стиснете краищата й с ръце, повдигнете я и внимателно я пуснете в свободно падане. Няма да се върти. И ако е така, тогава това е ваше „лично усилие“ или тухлата, която сте взели, е грешната. Не бъдете мързеливи и проверете този факт! Само не изхвърляйте нищо от прозореца, това вече не е перце

След което с чиста съвести с повишен тон можете да се върнете към практически задачи:

Пример 5

Покажете, че едно векторно поле е потенциално и намерете неговия потенциал

Решение: условието директно заявява потенциала на полето и нашата задача е да докажем този факт. Нека намерим роторната функция или, както по-често се казва, ротора на дадено поле:

За удобство записваме компонентите на полето:

и нека започнем да ги намираме частични производни– удобно е да ги „подредите“ в „въртящ се“ ред, отляво надясно:
- И веднагапровери това (за да избегнете допълнителна работа в случай на ненулев резултат). Да продължим:

Така:
, следователно полето е потенциално и следователно представлява градиентна функция някакво скаларно поле, определено от потенциала.