Обобщено хомогенно уравнение. Обобщени функции, съответстващи на квадратни форми с комплексни коефициенти

Диференциални уравнения от първи ред с разделими променливи.

Определение.Диференциално уравнение с разделими променливи е уравнение от формата (3.1) или уравнение от формата (3.2)

За да се разделят променливите в уравнение (3.1), т.е. редуцирайте това уравнение до така нареченото уравнение с отделена променлива, изпълнете следните действия: ;

Сега трябва да решим уравнението g(y)= 0. Ако има реално решение y=a,това y=aсъщо ще бъде решение на уравнение (3.1).

Уравнение (3.2) се свежда до отделно уравнение чрез разделяне на произведението:

, което ни позволява да получим общия интеграл на уравнение (3.2): . (3.3)

Интегралните криви (3.3) ще бъдат допълнени с решения , ако съществуват такива решения.

Хомогенна диференциални уравнения 1-ва поръчка.

Определение 1.Уравнение от първи ред се нарича хомогенно, ако дясната му страна удовлетворява съотношението , наречено условие за хомогенност на функция на две променливи с нулева размерност.

Пример 1.Покажете, че функцията е хомогенна с нулева размерност.

Решение. ,

Q.E.D.

Теорема.Всяка функция е хомогенна и, обратно, всяка хомогенна функция с нулева размерност се свежда до формата .

Доказателство.Първото твърдение на теоремата е очевидно, т.к . Нека докажем второто твърдение. Нека поставим тогава за хомогенна функция , което трябваше да се докаже.

Определение 2.Уравнение (4.1), в което МИ Н– еднородни функции от еднаква степен, т.е. имат свойството за всички , наречени хомогенни. Очевидно това уравнение винаги може да се сведе до формата (4.2), въпреки че това може да не е необходимо за решаването му. Хомогенното уравнение се свежда до уравнение с разделими променливи чрез заместване на желаната функция гспоред формулата y=zx,Къде z(x)– нова необходима функция. След като извършим това заместване в уравнение (4.2), получаваме: или или .

Интегрирайки, получаваме общия интеграл на уравнението по отношение на функцията z(x) , което след многократна замяна дава общия интеграл на първоначалното уравнение. Освен това, ако са корените на уравнението, тогава функциите са решения на дадено хомогенно уравнение. Ако , тогава уравнение (4.2) приема формата

И става уравнение с разделими променливи. Решенията му са полупреки: .

Коментирайте.Понякога е препоръчително да използвате заместването вместо горното заместване x=zy.

Обобщено хомогенно уравнение.

Уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0се нарича обобщено хомогенно, ако е възможно да се избере такова число к, че лявата страна на това уравнение става хомогенна функция от известна степен мотносително x, y, dxИ dyпри условие че хсе счита за стойността на първото измерение, г – к‑тия измервания ,dxИ ди –съответно нула и (к-1)тия измервания. Например, това би било уравнението . (6.1) Валидно при предположението, направено по отношение на измерванията x, y, dxИ dyчленове на лявата страна и dyще има размери съответно -2, 2 кИ к-1. Приравнявайки ги, получаваме условие, на което трябва да отговаря търсеното число к: -2 = 2к=к-1. Това условие е изпълнено, когато к= -1 (с това квсички членове от лявата страна на разглежданото уравнение ще имат размерност -2). Следователно уравнението (6.1) е обобщено хомогенно.

.
Диференциални уравнения.

§ 1. Основни понятия за обикновените диференциални уравнения.

Определение 1.Обикновено диференциално уравнение п– та поръчка за функцията гаргумент хсе нарича отношение на формата

Къде Е– дадена функция на неговите аргументи. В името на този клас математически уравнения терминът „диференциал“ подчертава, че те включват производни
(функции, образувани в резултат на диференциация); терминът "обикновен" показва, че желаната функция зависи само от един реален аргумент.

Едно обикновено диференциално уравнение може да не съдържа явен аргумент х, необходимата функция
и всяка негова производна, но най-високата производна
трябва да бъдат включени в уравнението п- та поръчка. например

а)
– уравнение от първи ред;

б)
– уравнение от трети ред.

Когато се записват обикновени диференциални уравнения, често се използва обозначението за производни по отношение на диференциали:

V)
– уравнение от втори ред;

G)
– уравнение от първи ред,

генератор след деление на dxеквивалентна форма на уточняване на уравнението:
.

функция
се нарича решение на обикновено диференциално уравнение, ако, когато се замести в него, се превръща в идентичност.

Например уравнение от 3-ти ред

Има решение
.

Намирането по един или друг метод, например селекция, на една функция, която удовлетворява уравнението, не означава решаването му. Да се реши обикновено диференциално уравнение означава да се намери Всичкифункции, които образуват идентичност, когато се заместват в уравнение. За уравнение (1.1), семейство от такива функции се формира с помощта на произволни константи и се нарича общо решение на обикновено диференциално уравнение п-ти ред и броят на константите съвпада с реда на уравнението: Общото решение може да бъде, но не е изрично разрешено по отношение на г(х) : В този случай решението обикновено се нарича общ интеграл на уравнение (1.1).

Например общото решение на диференциалното уравнение
е следният израз: , а вторият член може да бъде записан и като
, тъй като произволна константа , разделено на 2, може да бъде заменено с нова произволна константа .

Присвоявайки някои допустими стойности на всички произволни константи в общото решение или в общия интеграл, получаваме определена функция, която вече не съдържа произволни константи. Тази функция се нарича частично решение или частичен интеграл на уравнение (1.1). За да се намерят стойностите на произволни константи и следователно конкретно решение, се използват различни допълнителни условия към уравнение (1.1). Например, така наречените начални условия могат да бъдат определени в (1.2)

От дясната страна на началните условия (1.2) са дадени числените стойности на функцията и производните и, общ бройначалните условия е равен на броя на дефинираните произволни константи.

Проблемът за намиране на определено решение на уравнение (1.1) въз основа на началните условия се нарича проблем на Коши.

§ 2. Обикновени диференциални уравнения от 1-ви ред - основни понятия.

Обикновено диференциално уравнение от 1-ви ред ( п=1) има формата:
или, ако може да се разреши по отношение на производната:
. Общо решение г= г(х, С)или общ интеграл
Уравненията от 1-ви ред съдържат една произволна константа. Единственото начално условие за уравнение от първи ред
ви позволява да определите стойността на константа от общо решение или от общ интеграл. Така ще бъде намерено конкретно решение или, което е същото, проблемът на Коши ще бъде решен. Въпросът за съществуването и уникалността на решението на проблема на Коши е един от централните в обща теорияобикновени диференциални уравнения. По-специално за уравнение от 1-ви ред е валидна теоремата, която тук се приема без доказателство.

Теорема 2.1.Ако в уравнението функцията
и неговата частична производна
непрекъснато в даден регион гсамолет XOY, като в тази област е посочена точка
, тогава съществува и, освен това, уникално решение, което удовлетворява както уравнението, така и началното условие
.

Геометрично общо решениеУравнение от 1-ви ред е семейство от криви на равнината XOY, без общи точкии различаващи се един от друг по един параметър - стойността на константата В. Тези криви се наричат интегрални криви за дадено уравнение. Кривите на интегралното уравнение имат очевидно геометрично свойство: във всяка точка допирателната на допирателната към кривата равно на стойносттаот дясната страна на уравнението в тази точка:
. С други думи, уравнението е дадено в равнината XOYполе от посоки на допирателни към интегрални криви. коментар:Трябва да се отбележи, че към ур.
уравнението и т. нар. уравнение са дадени в симетрична форма
.

§ 3. Диференциални уравнения от 1-ви ред с разделими променливи.

Определение.Диференциалното уравнение с разделими променливи е уравнение на формата
(3.1)

или уравнение от вида (3.2)

За да се разделят променливите в уравнение (3.1), т.е. редуцирайте това уравнение до така нареченото уравнение с отделена променлива, изпълнете следните действия:

;

Сега трябва да решим уравнението ж(г)= 0 . Ако има реално решение г= а, това г= асъщо ще бъде решение на уравнение (3.1).

Уравнение (3.2) се редуцира до уравнение с отделена променлива чрез разделяне на произведението
:

, което ни позволява да получим общия интеграл на уравнение (3.2):
. (3.3)

Интегралните криви (3.3) ще бъдат допълнени с решения
, ако съществуват такива решения.

Решете уравнението: .

Разделяме променливите:

Интегрирайки, получаваме

По-нататък от уравненията
И
намираме х=1, г=-1. Тези решения са частни решения.

§ 4. Хомогенни диференциални уравнения от 1-ви ред.

Определение 1.Уравнение от 1-ви ред се нарича хомогенно, ако за дясната му страна е всяко
съотношението е валидно
, наречено условие за хомогенност на функция на две променливи с нулева размерност.

Пример 1.Покажете тази функция
- хомогенна нулева размерност.

Решение.

Q.E.D.

Теорема.Всяка функция
- хомогенна и, обратно, всяка хомогенна функция
нулевото измерение се свежда до формата
.

Доказателство.

Първото твърдение на теоремата е очевидно, т.к
. Нека докажем второто твърдение. Да сложим
, тогава за хомогенна функция
, което трябваше да се докаже.

Определение 2.Уравнение (4.1)

в който МИ Н– еднородни функции от еднаква степен, т.е. има собственост за всички , се нарича хомогенна.

Очевидно това уравнение винаги може да се сведе до вида
(4.2), въпреки че за да го решите, не е нужно да правите това.

Хомогенното уравнение се свежда до уравнение с разделими променливи чрез заместване на желаната функция гспоред формулата г= zx, Къде z(х) – нова необходима функция. След като извършихме това заместване в уравнение (4.2), получаваме:
или
или
.

Интегрирайки, получаваме общия интеграл на уравнението по отношение на функцията z(х)
, която след многократна смяна
дава общия интеграл на първоначалното уравнение. Освен това, ако - корени на уравнението
, след това функциите
- решаване на еднородно дадено уравнение. Ако
, тогава уравнение (4.2) приема формата

и се превръща в уравнение с разделими променливи. Неговите решения са полудиректни:
.

Коментирайте.Понякога е препоръчително да използвате заместването вместо горното заместване х= зи.

§ 5. Диференциални уравнения, сведени до еднородни.

Разгледайте уравнение на формата
. (5.1)

Ако
, тогава това е уравнението, използващо заместване, където И - нови променливи и - някои постоянни числа, определени от системата

Редуцира се до хомогенно уравнение

Ако
, тогава уравнение (5.1) приема формата

Вярвайки z= брадва+ от, достигаме до уравнение, което не съдържа независима променлива.

Нека да разгледаме примерите.

Пример 1.

Интегриране на уравнение

и подчертайте интегралната крива, минаваща през точките: а) (2;2); б) (1;-1).

Решение.

Да сложим г= zx. Тогава dy= xdz+ zdxИ

Нека го съкратим с и събира членове на dxИ дз:

Нека разделим променливите:

.

Интегрирайки, получаваме ;

или
,
.

Замяна тук zна , получаваме общия интеграл на даденото уравнение във вида (5.2)
или

.

Това е семейство от кръгове
, чиито центрове лежат на правата г = хи които в началото са допирателни към правата г + х = 0. Тази линияг = - х на свой ред конкретно решение на уравнението.

Сега режимът на проблема на Коши:

А) въвеждане на общия интеграл х=2, г=2, намираме C=2,следователно необходимото решение ще бъде
.

Б) никоя от окръжностите (5.2) не минава през точката (1;-1). Но е полуправ г = - х,
минава през точката и дава търсеното решение.

Пример 2.Решете уравнението: .

Решение.

Уравнението е частен случай на уравнение (5.1).

Определящо
в този пример
, така че трябва да решим следната система

Решаваме, получаваме това
. Изпълнение в дадено уравнениезаместване
, получаваме еднородно уравнение. Интегрирането му чрез заместване
, намираме
.

Връщане към старите променливи хИ гспоред формулите
, имаме .

§ 6. Обобщено хомогенно уравнение.

Уравнение М(х, г) dx+ Н(х, г) dy=0 се нарича обобщено хомогенно, ако е възможно да се избере такова число к, че лявата страна на това уравнение става хомогенна функция от известна степен мотносително х, г, dxИ dyпри условие че хсе счита за стойността на първото измерение, г – ктия измервания , dxИ dy – съответно нула и (к-1) тия измервания. Например, това би било уравнението
. (6.1)

Валидно при предположенията, направени по отношение на измерванията

х, г, dxИ dyчленове на лявата страна
И dyще има размери съответно -2, 2 кИ к-1. Приравнявайки ги, получаваме условие, на което трябва да отговаря търсеното число к: -2 = 2к=к-1. Това условие е изпълнено, когато к= -1 (с това квсички членове от лявата страна на разглежданото уравнение ще имат размерност -2). Следователно уравнението (6.1) е обобщено хомогенно.

Обобщено хомогенно уравнение се свежда до уравнение с разделими променливи чрез заместване
, Къде z– нова неизвестна функция. Нека интегрираме уравнението (6.1), използвайки посочения метод. защото к= -1, тогава
, след което получаваме уравнението .

Интегрирайки го, намираме
, където
. Това е общо решение на уравнение (6.1).

§ 7. Линейни диференциални уравнения от 1-ви ред.

Линейно уравнение от 1-ви ред е уравнение, което е линейно по отношение на желаната функция и нейната производна. Изглежда така:

, (7.1)

Къде П(х) И Q(х) – дадени непрекъснати функции на х. Ако функцията
, тогава уравнение (7.1) има формата:
(7.2)

и се нарича линейно хомогенно уравнение, в противен случай
нарича се линейно нехомогенно уравнение.

Линейното хомогенно диференциално уравнение (7.2) е уравнение с разделими променливи:

(7.3)

Израз (7.3) е общото решение на уравнение (7.2). Да се намери общо решение на уравнение (7.1), в което функцията П(х) обозначава същата функция като в уравнение (7.2), прилагаме техника, наречена метод на вариация на произволна константа и се състои от следното: ще се опитаме да изберем функцията C=C(х) така че общото решение на линейното хомогенно уравнение (7.2) ще бъде решението на нехомогенното линейно уравнение(7.1). Тогава за производната на функция (7.3) получаваме:

Замествайки намерената производна в уравнение (7.1), ще имаме:

или
.

Къде
, където е произволна константа. В резултат на това общото решение на нехомогенното линейно уравнение (7.1) ще бъде (7.4)

Първият член в тази формула представлява общото решение (7.3) на линейното хомогенно диференциално уравнение (7.2), а вторият член на формула (7.4) е частно решение на линейното нехомогенно уравнение (7.1), получено от общото ( 7.4) с
. Подчертаваме това важно заключение под формата на теорема.

Теорема.Ако е известно едно конкретно решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение
, тогава всички останали решения имат формата
, Къде
- общо решение на съответното линейно хомогенно диференциално уравнение.

Все пак трябва да се отбележи, че за решаване на линейно нехомогенно диференциално уравнение от 1-ви ред (7.1) по-често се използва друг метод, понякога наричан метод на Бернули. Ще търсим решение на уравнение (7.1) във формата
. Тогава
. Нека заместим намерената производна в оригиналното уравнение:
.

Нека комбинираме, например, втория и третия член на последния израз и да извлечем функцията u(х) зад скобата:
(7.5)

Изискваме скобите да бъдат анулирани:
.

Нека решим това уравнение, като зададем произволна константа В равно на нула:
. С намерената функция v(х) Нека се върнем към уравнение (7.5):
.

Решавайки го, получаваме:
.

Следователно общото решение на уравнение (7.1) има формата:

§ 8. Уравнение на Бернули.

Определение.

Диференциално уравнение на формата
, Къде
, се нарича уравнение на Бернули.

Ако приемем, че
, разделете двете страни на уравнението на Бернули на . В резултат получаваме:
(8.1)

Нека представим нова функция
. Тогава
. Нека умножим уравнение (8.1) по
и да отидем на функцията z(х) :
, т.е. за функция z(х) стана линеен нехомогенно уравнение 1-ва поръчка. Това уравнение се решава с помощта на методите, обсъдени в предишния параграф. Вместо това нека заместим в общото му решение z(х) изразяване
, получаваме общия интеграл на уравнението на Бернули, който лесно се решава по отношение на г. При
се добавя разтвор г(х)=0 . Уравнението на Бернули може да бъде решено и без преход към линейно уравнение чрез заместване
и използвайки метода на Бернули, разгледан подробно в § 7. Нека разгледаме използването на този метод за решаване на уравнението на Бернули, използвайки конкретен пример.

Пример.Намерете общото решение на уравнението:
(8.2)

Решение.

Следователно общото решение на това уравнение има формата:
, г(х)=0.

§ 9. Диференциални уравнения в тоталните диференциали.

Определение.Ако в ур. М(х, г) dx+ Н(х, г) dy=0 (9.1) лявата страна е общият диференциал на някаква функция U(х, г) , то се нарича пълно диференциално уравнение. Това уравнение може да се пренапише като ду(х, г)=0 , следователно неговият общ интеграл е u(х, г)= c.

Например уравнението xdy+ ydx=0 има уравнение в общите диференциали, тъй като то може да бъде пренаписано във формата d(xy)=0. Общият интеграл ще бъде xy= c- произволна диференцируема функция. Нека диференцираме (9.3) по отношение на u
§ 10. Интегриращ фактор.

Ако уравнението М(х, г) dx + Н(х, г) dy = 0 не е пълно диференциално уравнение и има функция µ = µ(х, г) , така че след като умножим двете страни на уравнението по него, получаваме уравнението

µ(Mdx + Ndy) = 0в общи диференциали, т.е. µ(Mdx + Ndy)ду, след това функцията µ(х, г) се нарича интегриращ фактор на уравнението. В случай, че уравнението вече е уравнение в общите диференциали, приемаме µ = 1.

Ако се намери интегриращият фактор µ , тогава интегрирането на това уравнение се свежда до умножаване на двете му страни по µ и намиране на общия интеграл на полученото уравнение в общи диференциали.

Ако µ е непрекъснато диференцируема функция на хИ г, Това
.

От това следва, че интегриращият фактор µ удовлетворява следното частично диференциално уравнение от първи ред:

(10.1).

Ако предварително се знае, че µ= µ(ω) , Къде ω – дадена функция от хИ г, тогава уравнение (10.1) се свежда до обикновено (и освен това линейно) уравнение с неизвестна функция µ на независима променлива ω :

(10.2),

Къде
, т.е. дробта е функция само на ω .

Решавайки уравнение (10.2), намираме интегриращия фактор

, с = 1.

По-специално, уравнението М(х, г) dx + Н(х, г) dy = 0 има интегриращ фактор, който зависи само от х(ω = х) или само от г(ω = г), ако се изпълнява по съответния начин следните условия:

,
.

С натискане на бутона "Изтегли архив" ще изтеглите напълно безплатно необходимия ви файл.
Преди да изтеглите този файл, запомнете следното: добри есета, тестове, курсова работа, тезиси, статии и други документи, които лежат непотърсени на вашия компютър. Това е ваша работа, тя трябва да участва в развитието на обществото и да носи полза на хората. Намерете тези произведения и ги изпратете в базата знания.
Ние и всички студенти, докторанти, млади учени, които използват базата от знания в обучението и работата си, ще ви бъдем много благодарни.

За да изтеглите архив с документ, въведете петцифрен номер в полето по-долу и щракнете върху бутона "Изтегляне на архив"

Подобни документи

Задачи на Коши за диференциални уравнения. Графика на решението на диференциално уравнение от първи ред. Уравнения с разделими променливи и свеждане до хомогенно уравнение. Хомогенни и нехомогенни линейни уравнения от първи ред. Уравнение на Бернули.

лекция, добавена на 18.08.2012

Основни понятия от теорията на обикновените диференциални уравнения. Знак на уравнение в тотални диференциали, построяване на общ интеграл. Най-простите случаи на намиране на интегриращия фактор. Случаят на множител, който зависи само от X и само от Y.

курсова работа, добавена на 24.12.2014 г

Характеристики на диференциалните уравнения като връзки между функции и техните производни. Доказателство на теоремата за съществуване и единственост на решението. Примери и алгоритъм за решаване на уравнения в тотални диференциали. Интегриращ фактор в примери.

курсова работа, добавена на 11.02.2014 г

Диференциални уравнения на Рикати. Общо решение на линейно уравнение. Намиране на всички възможни решенияДиференциално уравнение на Бернули. Решаване на уравнения с разделими променливи. Общи и специални решения на диференциалното уравнение на Клеро.

курсова работа, добавена на 26.01.2015 г

Уравнение с разделими променливи. Хомогенни и линейни диференциални уравнения. Геометрични свойстваинтегрални криви. Пълен диференциалфункции на две променливи. Определяне на интеграла по методите на Бернули и вариации на произволна константа.

резюме, добавено на 24.08.2015 г

Понятия и решения на най-простите диференциални уравнения и диференциалните уравнения от произволен ред, включително тези с постоянни аналитични коефициенти. Системи линейни уравнения. Асимптотично поведение на решения на някои линейни системи.

дисертация, добавена на 06/10/2010

Общ интеграл на уравнение, приложение на метода на Лагранж за решаване на нехомогенно линейно уравнение с неизвестна функция. Решаване на диференциално уравнение в параметрична форма. Условие на Ойлер, уравнение от първи ред в общите диференциали.

тест, добавен на 11/02/2011

Уравнение М(х, г) dx+ Н(х, г) dy=0 се нарича обобщено хомогенно, ако е възможно да се избере такова число к, че лявата страна на това уравнение става хомогенна функция от известна степен м относително х, г, dx И dy при условие че х се счита за стойността на първото измерение, г – к‑ тия измервания , dx И dy – съответно нула и (к-1) тия измервания. Например, това би било уравнението.

(6.1)

х, г, dx И dy Валидно при предположенията, направени по отношение на измерванията
И dy членове на лявата страна кще има размери съответно -2, 2 к-1. Приравнявайки ги, получаваме условие, на което трябва да отговаря търсеното число к: -2 = 2к = к-1. Това условие е изпълнено, когато к = -1 (с това квсички членове от лявата страна на разглежданото уравнение ще имат размерност -2). Следователно уравнението (6.1) е обобщено хомогенно.

Обобщено хомогенно уравнение се свежда до уравнение с разделими променливи чрез заместване
, Къде z– нова неизвестна функция. Нека интегрираме уравнението (6.1), използвайки посочения метод. защото к = -1, тогава
, след което получаваме уравнението.

Интегрирайки го, намираме
, където
. Това е общо решение на уравнение (6.1).

§ 7. Линейни диференциални уравнения от 1-ви ред.

, (7.1)

Къде П(х) И Q(х) – дадени непрекъснати функции на х. Ако функцията
, тогава уравнение (7.1) има формата:
(7.2)

и се нарича линейно хомогенно уравнение, в противен случай
нарича се линейно нехомогенно уравнение.

Линейното хомогенно диференциално уравнение (7.2) е уравнение с разделими променливи:

(7.3)

Израз (7.3) е общото решение на уравнение (7.2). Да се намери общо решение на уравнение (7.1), в което функцията П(х) обозначава същата функция като в уравнение (7.2), прилагаме техника, наречена метод на вариация на произволна константа и се състои от следното: ще се опитаме да изберем функцията C=C(х) така че общото решение на линейното хомогенно уравнение (7.2) би било решение на нехомогенното линейно уравнение (7.1). Тогава за производната на функция (7.3) получаваме: