Научен ръководител:

1. Въведение 3

2. Исторически очерк 4

3. “Място” на ОДЗ при решаване на уравнения и неравенства 5-6

4. Характеристики и опасности на ОДЗ 7

5. ОДЗ – има решение 8-9

6. Намирането на ODZ е допълнителна работа. Еквивалентност на преходи 10-14

7. ОДЗ в Единния държавен изпит 15-16

8. Заключение 17

9. Литература 18

1. Въведение

проблем:уравнения и неравенства, в които е необходимо да се намери ODZ, не намериха място в курса по алгебра за систематично представяне, което вероятно е причината моите връстници и аз често да правим грешки при решаването на такива примери, прекарвайки много време в решаването им, като същевременно забравяме относно ОДЗ.

цел:да може да анализира ситуацията и да прави логически правилни заключения в примери, където е необходимо да се вземе предвид DL.

Задачи:

1. Изучаване на теоретичен материал;

2. Решете множество уравнения, неравенства: а) дробно-рационални; б) ирационални; в) логаритмичен; г) съдържащи обратни тригонометрични функции;

3. Приложете изучаваните материали в ситуация, различна от стандартната;

4. Създайте работа по темата „Зона на приемливите ценности: теория и практика“

Работа по проекта:Започнах работа по проекта, като повторих функциите, които познавах. Обхватът на много от тях е ограничен.

ODZ възниква:

1. При решаване на дробни рационални уравнения и неравенства

2. При решаване на ирационални уравнения и неравенства

3. При решаване на логаритмични уравнения и неравенства

4. При решаване на уравнения и неравенства, съдържащи обратни тригонометрични функции

След като реших много примери от различни източници (USE учебници, учебници, справочници), систематизирах решението на примери съгласно следните принципи:

· можете да решите примера и да вземете предвид ODZ (най-често срещаният метод)

· възможно е решаването на примера без отчитане на ОДЗ

· възможно е да се стигне до правилното решение само като се вземе предвид ODZ.

Използвани методи в работата: 1) анализ; 2) статистически анализ; 3) приспадане; 4) класификация; 5) прогнозиране.

Проучи анализа Резултати от единния държавен изпитпрез изминалите години. Допуснати са много грешки в примерите, в които DL трябва да се вземе предвид. Това още веднъж подчертава уместностмоята тема.

2. Исторически очерк

Подобно на други концепции на математиката, концепцията за функция не се разви веднага, а премина през дълъг път на развитие. В работата на П. Ферма „Въведение и изследване на равнина и плътни места“ (1636 г., публикувана 1679 г.) се казва: „Когато има две неизвестни количества в крайното уравнение, има място.“ По същество говорим за функционална зависимост и нейната графично представяне("място" на Ферма означава линия). Изследването на линиите според техните уравнения в "Геометрията" на Р. Декарт (1637) също показва ясно разбиране на взаимната зависимост на две променливи. В I. Barrow („Лекции по геометрия“, 1670 г.) в геометрична формаустановява се взаимният обратен характер на действията на диференциация и интеграция (разбира се, без да се използват самите тези термини). Това вече говори за напълно ясно владеене на понятието функция. Ние също намираме това понятие в геометрична и механична форма при I. Нютон. Въпреки това, терминът „функция“ се появява за първи път едва през 1692 г. с Г. Лайбниц и освен това не съвсем в съвременното му разбиране. Г. Лайбниц нарича различни сегменти, свързани с крива (например абсцисата на нейните точки), функция. В първия отпечатан курс, „Анализ на безкрайно малки за познаване на кривите линии“ от L'Hopital (1696), терминът „функция“ не се използва.

Първата дефиниция на функция в смисъл, близък до съвременния, се намира в I. Bernoulli (1718): „Функцията е количество, съставено от променлива и константа.“ Тази не съвсем ясна дефиниция се основава на идеята за определяне на функция чрез аналитична формула. Същата идея се появява в определението на Л. Ойлер, дадено от него в „Въведение в анализа на безкрайностите“ (1748): „Функцията на променлива величина е аналитичен израз, съставен по някакъв начин от тази променлива величина и числа или постоянни количества" Въпреки това Л. Ойлер вече не е чужд съвременно разбиранефункция, която не свързва понятието функция с някакъв неин аналитичен израз. Неговото „Диференциално смятане“ (1755) казва: „Когато определени количества зависят от други по такъв начин, че когато последните се променят, самите те са обект на промяна, тогава първите се наричат ​​функции на последните.“

СЪС началото на XIXвекове, все по-често те дефинират понятието функция, без да споменават нейното аналитично представяне. В „Трактат за диференциално и интегрално смятане“ (1797-1802) С. Лакроа казва: „Всяко количество, чиято стойност зависи от една или много други величини, се нарича функция на последните.“ В " Аналитична теориятоплина" от Ж. Фурие (1822) има фраза: "Функция f(x)обозначава напълно произволна функция, тоест последователност от дадени стойности, независимо дали са подчинени или не на общ закон и отговарящи на всички стойности хсъдържа между 0 и някаква стойност х" Определението на Н. И. Лобачевски е близко до съвременното: „... Обща концепцияфункцията изисква функцията от хназовете номера, който е даден за всеки хи заедно с хпостепенно се променя. Стойността на функция може да бъде дадена или чрез аналитичен израз, или чрез условие, което осигурява средство за тестване на всички числа и избор на едно от тях, или накрая зависимостта може да съществува и да остане неизвестна. Също така се казва малко по-надолу: „Широкият възглед на теорията позволява съществуването на зависимост само в смисъл, че числата едно с друго във връзка се разбират като дадени заедно.“ По този начин съвременната дефиниция на функция, без препратки към аналитичната задача, обикновено приписвана на P. Dirichlet (1837), беше многократно предложена пред него.

Домейнът на дефиниция (допустими стойности) на функция y е набор от стойности на независимата променлива x, за която е дефинирана тази функция, т.е. домейнът на промяна на независимата променлива (аргумент).

3. „Място“ на диапазона от приемливи стойности при решаване на уравнения и неравенства

1. При решаване на дробни рационални уравнения и неравенствазнаменателят не трябва да е нула.

2. Решаване на ирационални уравнения и неравенства.

2.1..gif" width="212" height="51"> .

В този случай не е необходимо да се намира ODZ: от първото уравнение следва, че получените стойности на x отговарят на следното неравенство: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33. gif" width="107" height="27 src="> е системата:

Тъй като те влизат в уравнението еднакво, тогава вместо неравенство можете да включите неравенство https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51">

3. Решаване на логаритмични уравнения и неравенства.

3.1. Схема за решаване на логаритмично уравнение

Но е достатъчно да проверите само едно условие на ODZ.

3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">

4. Тригонометрични уравнения от видаса еквивалентни на системата (вместо неравенство, можете да включите неравенство в системата https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> са еквивалентни към уравнението

4. Характеристики и опасности от диапазона на допустимите стойности

В уроците по математика от нас се изисква да намерим DL във всеки пример. В същото време, според математическата същност на въпроса, намирането на ODZ изобщо не е задължително, често не е необходимо, а понякога и невъзможно - и всичко това без никакво увреждане на решението на примера. От друга страна, често се случва след решаване на пример учениците да забравят да вземат предвид DL, да го запишат като окончателен отговор и да вземат предвид само някои условия. Това обстоятелство е добре известно, но „войната“ продължава всяка година и, изглежда, ще продължи още дълго време.

Помислете например за следното неравенство:

Тук се търси ОДЗ и се решава неравенството. Въпреки това, когато решават това неравенство, учениците понякога вярват, че е напълно възможно да се мине без търсене на DL, или по-точно, възможно е да се мине без условието

Всъщност, за да се получи правилният отговор, е необходимо да се вземат предвид както неравенството , така и .

Но, например, решението на уравнението: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">

което е еквивалентно на работа с ОДЗ. В този пример обаче подобна работа не е необходима - достатъчно е да се провери изпълнението само на две от тези неравенства и на произволни две.

Нека ви напомня, че всяко уравнение (неравенство) може да бъде сведено до формата . ODZ е просто областта на дефиниране на функцията от лявата страна. Фактът, че тази област трябва да се наблюдава, следва от дефиницията на корена като число от областта на дефиниране на дадена функция, следователно от ODZ. Ето забавен пример по тази тема..gif" width="20" height="21 src="> има домейн на дефиниция на набор от положителни числа (това, разбира се, е съгласие да се разглежда функция с , но разумно), и тогава -1 не е коренът.

5. Диапазон от допустими стойности – има решение

И накрая, в много примери намирането на ODZ ви позволява да получите отговора без обемисти оформления,или дори устно.

1. OD3 е празно множество, което означава, че оригиналният пример няма решения.

1) 2) 3)

2. БОДЗ едно или повече числа са намерени и простото заместване бързо определя корените.

1) , х=3

2)Тук в ОДЗ има само цифрата 1, като след замяна се вижда, че не е корен.

3) В ОДЗ има два номера: 2 и 3, като и двата са подходящи.

4) > В ОДЗ има два номера 0 и 1, като само 1 е подходящо.

ODZ може да се използва ефективно в комбинация с анализ на самия израз.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2. Тогда в неравенство подставим 2.

6) От ODZ следва, че където имаме ..gif" width="143" height="24"> От ODZ имаме: . Но тогава и . Тъй като няма решения.

От ODZ имаме: https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, което означава Решавайки последното неравенство, получаваме x<- 4, что не входит в ОДЗ. По­этому решения нет.

3) ODZ: . От тогава

От друга страна, https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">

ODZ:. Разгледайте уравнението на интервала [-1; 0).

Той изпълнява следните неравенства https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src="> и няма решения. С функцията и https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">. ODZ: x>2..gif" width="233" height ="45 src="> Да намерим ODZ:

Целочислено решение е възможно само за x=3 и x=5. Чрез проверка откриваме, че коренът x=3 не пасва, което означава, че отговорът е x=5.

6. Намирането на диапазона от приемливи стойности е допълнителна работа. Еквивалентност на преходите.

Можете да дадете примери, когато ситуацията е ясна и без да намерите DZ.

1.

Равенството е невъзможно, защото при изваждане от по-малък израз трябва да се получи по-голям отрицателно число.

2. .

Сбор от две неотрицателни функциине може да бъде отрицателен.

Ще дам и примери, при които намирането на ODZ е трудно, а понякога просто невъзможно.

И накрая, търсенията на ODZ много често са просто допълнителна работа, без която можете да се справите, като по този начин доказвате разбирането си за случващото се. Има огромен брой примери, които могат да бъдат дадени тук, така че ще избера само най-типичните. Основният метод за решение в този случай е еквивалентните трансформации при преминаване от едно уравнение (неравенство, система) към друго.

1.. ODZ не е необходим, тъй като след като намерим тези стойности на x, за които x2 = 1, не можем да получим x = 0.

2. . ODZ не е необходим, защото намираме кога радикалният израз е равен на положително число.

3. . ODZ не е необходим поради същите причини, както в предишния пример.

4.

ODZ не е необходим, тъй като радикалният израз е равен на квадрата на някаква функция и следователно не може да бъде отрицателен.

5.

6. ..gif" width="271" height="51"> За решаване е достатъчно само едно ограничение за коренния израз.Всъщност от написаната смесена система следва, че другият радикален израз е неотрицателен.

8. DZ не е необходим поради същите причини, както в предишния пример.

9. ODZ не е необходим, тъй като е достатъчно два от трите израза под логаритъм да са положителни, за да се гарантира положителността на третия.

10. .gif" width="357" height="51"> ODZ не е необходим поради същите причини, както в предишния пример.

Заслужава да се отбележи обаче, че при решаване с помощта на метода на еквивалентните трансформации, познаването на ODZ (и свойствата на функциите) помага.

Ето някои примери.

1. . OD3, което означава, че изразът от дясната страна е положителен и е възможно да се напише уравнение, еквивалентно на това, в тази форма https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif" ширина ="112" height="27 "> ODZ: Но тогава и при решаването на това неравенство не е необходимо да се разглежда случаят, когато дясната страна е по-малка от 0.

3. . От ODZ следва, че и следователно случаят, когато https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> Отидете на общ изгледизглежда така:

https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">

Има два възможни случая: 0 >1.

Това означава, че първоначалното неравенство е еквивалентно на следния набор от системи от неравенства:

Първата система няма решения, но от втората получаваме: x<-1 – решение неравенства.

Разбирането на условията на еквивалентност изисква познаване на някои тънкости. Например, защо следните уравнения са еквивалентни:

или

И накрая, може би най-важното. Факт е, че еквивалентността гарантира правилността на отговора, ако се направят някои трансформации на самото уравнение, но не се използва за трансформации само в една от частите. Съкращенията и използването на различни формули в една от частите не се покриват от теоремите за еквивалентност. Вече дадох някои примери от този тип. Нека да разгледаме още няколко примера.

1. Това решение е естествено. От лявата страна до имота логаритмична функциянека преминем към израза ..gif" width="111" height="48">

След като решихме тази система, получаваме резултата (-2 и 2), който обаче не е отговор, тъй като числото -2 не е включено в ODZ. И така, трябва ли да инсталираме ODS? Разбира се че не. Но тъй като ние използвахме определено свойство на логаритмичната функция в решението, тогава ние сме длъжни да предоставим условията, при които то е изпълнено. Такова условие е положителността на изразите под знака логаритъм..gif" width="65" height="48">.

2. ..gif" width="143" height="27 src="> числата подлежат на замяна по този начин . Кой иска да прави такива досадни изчисления?.gif" width="12" height="23 src="> добавете условие и веднага можете да видите, че само числото https://pandia.ru/text/78/083 / отговаря на това условие images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) е доказано от 52% от участниците в теста. Една от причините за толкова ниските показатели е фактът, че много от завършилите не са избрали корените, получени от уравнението след повдигането му на квадрат.

3) Помислете например за решението на един от проблемите C1: „Намерете всички стойности на x, за които точките на графиката на функцията лежат над съответните точки от графиката на функцията ". Задачата се свежда до решаване на дробно неравенство, съдържащо логаритмичен израз. Познаваме методите за решаване на такива неравенства. Най-често срещаният от тях е методът на интервалите. Въпреки това, когато използвайки го, участниците в теста правят различни грешки. Нека разгледаме най-често срещаните грешки, използвайки примера на неравенството:

X< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие х < 10.

8. Заключение

Обобщавайки, можем да кажем, че няма универсален метод за решаване на уравнения и неравенства. Всеки път, ако искате да разберете какво правите и да не действате механично, възниква дилема: какво решение да изберете, по-специално, трябва да търсите ODZ или не? Мисля, че натрупаният опит ще ми помогне да реша тази дилема. Ще спра да правя грешки, като се науча как да използвам ODZ правилно. Дали мога да направя това, времето или по-скоро Единният държавен изпит ще покаже.

9. Литература

И др.“Алгебра и началото на анализа 10-11” Задача и учебник, М.: “Просвещение”, 2002. “Наръчник по елементарна математика.” М.: “Наука”, 1966 г. Вестник “Математика” № 46, Вестник “Математика” № Вестник “Математика” № “История на математиката в училище VII-VIII клас”. М.: “Просвещение”, 1982 г. и др. “Най-пълното издание на версиите на реални задачи от Единния държавен изпит: 2009/FIPI” - М.: “Астрел”, 2009 г. и др. “Единен държавен изпит. Математика. Универсални материализа подготовка на студенти/ФИПИ" - М.: "Интелигентен център", 2009. и др. "Алгебра и началото на анализа 10-11." М.: „Просвещение“, 2007. „Работилна среща за решаване на задачи по училищна математика (работна среща по алгебра).“ М.: Образование, 1976. „25 000 урока по математика.“ М.: „Просвещение”, 1993 г. „Подготовка за олимпиади по математика.” М.: „Изпит”, 2006. „Енциклопедия за деца „МАТЕМАТИКА”” том 11, М.: Аванта +; 2002. Материали от сайтовете www. *****, www. *****.

Когато решаваме различни задачи, много често трябва да извършваме идентични трансформации на изрази. Но се случва някаква трансформация да е приемлива в някои случаи, но не и в други. Съществено съдействие по отношение на контрола за допустимост на извършени преобразувания оказва ОДЗ. Нека разгледаме това по-подробно.

Същността на подхода е следната: ODZ на променливите за оригиналния израз се сравнява с ODZ на променливите за израза, получен в резултат на идентични трансформации, и въз основа на резултатите от сравнението се правят подходящи заключения.

Като цяло трансформациите на идентичността могат

• не влияят на DL;
• водят до разширяване на ОДЗ;
• водят до стесняване на ОДЗ.

Нека илюстрираме всеки случай с пример.

Да разгледаме израза x 2 +x+3·x, ODZ на променливата x за този израз е множеството R. Сега нека направим следното с този израз трансформация на идентичността– представяме подобни членове, като резултат ще приеме формата x 2 +4·x. Очевидно променливата x на този израз също е набор R. Така извършеното преобразуване не променя ДЗ.

Да продължим. Нека вземем израза x+3/x−3/x. В този случай ODZ се определя от условието x≠0, което съответства на множеството (−∞, 0)∪(0, +∞) . Този израз също съдържа подобни членове, след редуциране на които стигаме до израза x, за който ODZ е R. Какво виждаме: в резултат на трансформацията ODZ беше разширен (числото нула беше добавено към ODZ на променливата x за оригиналния израз).

Остава да разгледаме пример за стесняване на диапазона от приемливи стойности след трансформации. Да вземем израза . ODZ на променливата x се определя от неравенството (x−1)·(x−3)≥0, за неговото решение е подходящо, например, като резултат имаме (−∞, 1]∪∪; редактиран от С. А. Теляковски - 17- изд.: Образование, 2008 г. - ил.

Мордкович А. Г.Алгебра. 7 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за уч образователни институции/ А. Г. Мордкович. - 17-то изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.

Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

Мордкович А. Г.Алгебра. 9 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.

Мордкович А. Г.Алгебра и начала математически анализ. 11 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователните институции ( ниво на профил) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ро изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.

Алгебраи началото на математическия анализ. 10. клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; редактиран от А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - М .: Образование, 2010.- 368 с. : ил. - ISBN 978-5-09-022771-1.

В уравнения и неравенства под формата , , , , пресечната точка на областите на дефиниране на функциите и се нарича област на допустимите стойности (ADV) на променливата, както и съответно ARV на уравнението или неравенството .

При решаване на уравнения (неравенства) с една променлива, когато възникне въпросът дали да се намери ОДЗ, често можете да чуете категорично „да“ и също толкова категорично „не“. „Първо трябва да намерите ODZ и след това да започнете да решавате уравнението (неравенството)“, казват някои. „Няма нужда да губим време за ODZ; ще преминем към еквивалентно уравнение (неравенство) или към еквивалентна система от уравнения и неравенства или само неравенства. В крайна сметка, ако това е уравнение, тогава може да се направи тест“, твърдят други.

И така, възможно ли е да се намери ODZ?

Разбира се, няма ясен отговор на този въпрос. Намирането на OD на уравнение или неравенство не е задължителен елемент от решението. Във всеки конкретен пример този проблем се решава индивидуално.

В някои случаи намирането на ODZ опростява решението на уравнение или неравенство (примери 1-5), а в някои случаи дори е необходима стъпка в решението (примери 1, 2, 4).

В други случаи (примери 6, 7) си струва да се откажете от предварителното намиране на ODZ, тъй като това прави решението по-тромаво.

Пример 1.Решете уравнението.

Поставянето на квадрат на двете страни на уравнението няма да го опрости, а ще го усложни и няма да ни позволи да се отървем от радикалите. Трябва да потърсим друго решение.

Нека намерим уравнението на ODZ:

По този начин ODZ съдържа само една стойност и следователно само числото 4 може да служи като корен на първоначалното уравнение. Чрез директно заместване се убеждаваме, че това е единственият корен на уравнението.

Пример 2.Решете уравнението.

Наличието на радикали от различна степен в уравнението - втора, трета и шеста - прави решението трудно. Затова, първо, нека намерим уравнението на ODZ:

Чрез директно заместване проверяваме какъв е коренът на оригиналното уравнение.

Пример 3.Решете неравенство.

Разбира се, възможно е да се реши това неравенство чрез разглеждане на случаите: , , но намирането на ODZ веднага опростява това решение.

ODZ:

Замествайки тази единствена стойност в първоначалното неравенство, получаваме невярно числено неравенство. Следователно първоначалното неравенство няма решение.

Отговор: няма решение.

Пример 4.Решете уравнението.

Нека напишем уравнението във формата.

Уравнение от формата е еквивалентно на смесена система тези.

Разбира се, намирането на ODZ тук е ненужно.

В нашия случай получаваме еквивалентна система тези.

Уравнението е еквивалентно на съвкупността Уравнение рационални коренине, но може да има ирационални корени, откриването на които ще създаде трудности за учениците. Затова ще търсим друго решение.

Нека се върнем към първоначалното уравнение и го запишем във формата.

Да намерим ODZ: .

Когато дясната страна на уравнението е , а лявата страна . Следователно, оригиналното уравнение в диапазона на допустимите стойности на променливата Xе еквивалентна на системата от уравнения чието решение е само една стойност.

По този начин в този пример откритието на ODZ направи възможно решаването на първоначалното уравнение.

Пример 5.Решете уравнението.

Тъй като , и , тогава при решаването на оригиналното уравнение ще е необходимо да се отървете от модулите (да ги отворите).

Следователно, първо има смисъл да се намери уравнението на ODZ:

И така, ODZ:

Нека опростим оригиналното уравнение, като използваме свойствата на логаритмите.

Тъй като в диапазона на допустимите стойности на променливата Xи след това , a , тогава получаваме еквивалентно уравнение:

Имайки предвид това в ODZ, нека преминем към еквивалентното уравнение и го решете, като разделите двете страни на 3.

Отговор: − 4,75.

Коментирайте.

Ако не се намери ODZ, тогава при решаването на уравнението ще е необходимо да се разгледат четири случая: , , , . При всеки от тези интервали с постоянен знак на изразите под знака на модула би било необходимо да се разширят модулите и да се реши полученото уравнение. Освен това извършете и проверка. Виждаме, че намирането на ODZ на оригиналното уравнение значително опростява неговото решение.

Пример 7.Решете неравенство .

Тъй като променливата Xсъщо е включено в основата на логаритъма, тогава при решаването на това неравенство ще е необходимо да се разгледат два случая: и . Следователно е непрактично да се намира отделно ODZ.

И така, нека представим първоначалното неравенство във формата и ще бъде еквивалентно на комбинацията от две системи:

отговор: .

За да намерим области на дефиниране на общи функции, в този урок ще решаваме уравнения и неравенства с една променлива.

Ще има и задачи за независимо решение, на които можете да видите отговорите.

Каква е областта на дефиниране на функция? Нека да разгледаме графиката на функцията на фигурата. Всяка точка от графиката на функция съответства на определена стойност на “x” - аргумента на функцията и определена стойност на “y” - самата функция. От аргумента - "x" - се изчислява "y" - стойността на функцията. Областта на дефиниране на функция е наборът от всички стойности на „x“, за които „y“ - стойността на функцията - съществува, т.е. може да бъде изчислена. С други думи, наборът от стойности на аргументи, върху които работи „функцията“. Повечетофункции се дава с формули. Следователно домейнът на функция е и най-голямото множество, върху което формулата има смисъл.

Фигурата показва графиката на функцията. Знаменателят на дробта не може да бъде равно на нула, тъй като не можете да разделите на нула. Следователно, като приравним знаменателя на нула, получаваме стойност, която не е включена в домейна на дефиниция на функцията: 1. И домейнът на дефиниция на функцията са всички стойности на „x“ от минус безкрайност до едно и от едно до плюс безкрайност. Това ясно се вижда на графиката

Пример 0.Как да намерим домейна на дефиниция на функцията i е равно на корен квадратен от x минус пет (радикален израз x минус пет) ()? Просто трябва да решите неравенството

х - 5 ≥ 0 ,

тъй като, за да получим реалната стойност на играта, радикалният израз трябва да е по-голям или равен на нула. Получаваме решението: областта на дефиниране на функцията е всички стойности на x, по-големи или равни на пет (или x принадлежи към интервала от пет включително до плюс безкрайност).

На чертежа по-горе е фрагмент от числовата ос. На него областта на дефиниране на разглежданата функция е защрихована, докато в посока „плюс“ щриховката продължава безкрайно по самата ос.

Област на дефиниране на константа

Определена константа (константа). за всякакви реални стойности х Р реални числа. Това може да се запише и така: областта на дефиниране на тази функция е цялата числова ос ]- ∞; + ∞[ .

Пример 1. Намерете домейна на функция г = 2 .

Решение. Областта на дефиниране на функцията не е посочена, което означава, че поради горната дефиниция се има предвид естествената област на дефиниция. Изразяване f(х) = 2, дефинирани за всякакви реални стойности х, следователно, тази функцияопределени за целия набор Р реални числа.

Следователно на горния чертеж числовата линия е защрихована по целия път от минус безкрайност до плюс безкрайност.

Зона за определяне на корена пта степен

В случая, когато функцията е дадена с формулата и п- естествено число:

Пример 2. Намерете домейна на функция .

Решение. Както следва от дефиницията, корен от четна степен има смисъл, ако радикалният израз е неотрицателен, т.е. ако - 1 ≤ х≤ 1. Следователно областта на дефиниране на тази функция е [- 1; 1].

Защрихованата област на числовата линия на чертежа по-горе е областта на дефиниране на тази функция.

Област на степенна функция

Област на степенна функция с цяло число

Ако а- положителен, тогава областта на дефиниране на функцията е множеството от всички реални числа, т.е. ]- ∞; + ∞[ ;

Ако а- отрицателни, тогава областта на дефиниране на функцията е множеството ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , тоест цялата числова линия с изключение на нулата.

В съответния чертеж по-горе цялата числова линия е защрихована и точката, съответстваща на нулата, е изчертана (не е включена в областта на дефиниране на функцията).

Пример 3. Намерете домейна на функция .

Решение. Първият член е цяла степен на х, равна на 3, а степента на х във втория член може да бъде представена като единица - също цяло число. Следователно областта на дефиниране на тази функция е цялата числова ос, т.е. ]- ∞; + ∞[ .

Област на степенна функция с дробен показател

В случай, че функцията е дадена по формулата:

ако е положителен, тогава областта на дефиниране на функцията е множеството 0; + ∞[ .

Пример 4. Намерете домейна на функция .

Решение. И двата члена в израза на функцията са мощностни функциис положителни дробни показатели. Следователно областта на дефиниране на тази функция е множеството - ∞; + ∞[ .

Област на експоненциални и логаритмични функции

Област на експоненциалната функция

В случай, че функцията е дадена с формула, областта на дефиниране на функцията е цялата числова ос, т.е. ] - ∞; + ∞[ .

Област на логаритмичната функция

Логаритмичната функция е дефинирана при условие, че нейният аргумент е положителен, т.е. нейната област на дефиниране е множеството ]0; + ∞[ .

Намерете сами домейна на функцията и след това вижте решението

Област на тригонометрични функции

Функционален домейн г= cos( х) - също много Р реални числа.

Функционален домейн г= tg( х) - комплект Р реални числа, различни от числа .

Функционален домейн г= ctg( х) - комплект Р реални числа, с изключение на числата.

Пример 8. Намерете домейна на функция .

Решение. Външна функция - десетичен логаритъми областта на неговата дефиниция е предмет на условията на областта на дефиниция на логаритмичната функция като цяло. Тоест нейният аргумент трябва да е положителен. Аргументът тук е синус от "х". Завъртайки въображаем компас около кръг, виждаме, че условието sin х> 0 е нарушено с "x" равно на нула, "пи", две, умножено по "пи" и изобщо равно на произведението pi и всяко четно или нечетно цяло число.

По този начин областта на дефиниция на тази функция е дадена от израза

,

Къде к- цяло число.

Област на дефиниране на обратни тригонометрични функции

Функционален домейн г= arcsin( х) - набор [-1; 1].

Функционален домейн г= arccos( х) - също множеството [-1; 1].

Функционален домейн г= арктан( х) - комплект Р реални числа.

Функционален домейн г= arcctg( х) - също много Р реални числа.

Пример 9. Намерете домейна на функция .

Решение. Да решим неравенството:

Така получаваме областта на дефиниция на тази функция - отсечката [- 4; 4].

Пример 10. Намерете домейна на функция .

Решение. Нека да решим две неравенства:

Решение на първото неравенство:

Решение на второто неравенство:

Така получаваме областта на дефиниране на тази функция - сегмента.

Обхват на фракцията

Ако функцията е дадена чрез дробен израз, в който променливата е в знаменателя на дробта, тогава областта на дефиниране на функцията е множеството Р реални числа, с изключение на тези х, при което знаменателят на дробта става нула.

Пример 11. Намерете домейна на функция .

Решение. Решавайки равенството на знаменателя на дробта на нула, намираме областта на дефиниране на тази функция - множеството ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

Пример 12. Намерете домейна на функция .

Решение. Нека решим уравнението:

Така получаваме домейна на дефиниция на тази функция - ]- ∞; - 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[ .

Как?
Примери за решения

Ако нещо липсва някъде, значи има нещо някъде

Продължаваме да изучаваме раздела „Функции и графики“, а следващата станция от нашето пътуване е. Активно обсъждане на тази концепция започна в статията за множествата и продължи в първия урок на функционални графики, където разгледах елементарни функции и по-специално техните области на дефиниция. Затова препоръчвам на манекените да започнат с основите на темата, тъй като няма да се спирам отново на някои основни точки.

Предполага се, че читателят познава областта на дефиницията следните функции: линейни, квадратни, кубични функции, полиноми, експоненциални, синусови, косинусови. Те са определени на (наборът от всички реални числа). За тангенси, арксинуси, така да бъде, прощавам ти =) - по-редките графики не се запомнят веднага.

Обхватът на дефиницията изглежда просто нещо и възниква логичен въпрос: за какво ще бъде статията? В този урок ще разгледам често срещани проблеми при намиране на домейна на функция. Освен това ще повторим неравенства с една променлива, чиито умения за решаване ще бъдат необходими при други задачи висша математика. Материалът, между другото, е изцяло учебен материал, така че ще бъде полезен не само за ученици, но и за ученици. Информацията, разбира се, не претендира за енциклопедичност, но тук не са пресилени „мъртви“ примери, а печени кестени, които са взети от реални практически работи.

Нека започнем с едно бързо гмуркане в темата. Накратко за основното: говорим за функция на една променлива. Неговата област на дефиниране е много значения на "x", за което съществуватзначения на "играчи". Нека да разгледаме един хипотетичен пример:

Областта на дефиниране на тази функция е обединение на интервали:
(за тези, които са забравили: - икона за обединение). С други думи, ако вземете произволна стойност на “x” от интервала, или от, или от, тогава за всяко такова “x” ще има стойност “y”.

Грубо казано, където е областта на дефиницията, има графика на функцията. Но полуинтервалът и точката "tse" не са включени в областта на дефиницията и там няма графика.

Как да намеря домейна на функция? Много хора помнят детската рима: „камък, хартия, ножици“ и в този случай тя може безопасно да бъде перифразирана: „корен, дроб и логаритъм“. По този начин, ако вие житейски пътсрещне дроб, корен или логаритъм, веднага трябва да сте много, много внимателни! Тангенс, котангенс, арксинус, аркосинус са много по-рядко срещани и ние също ще говорим за тях. Но първо, скици от живота на мравките:

Домейн на функция, която съдържа дроб

Да предположим, че ни е дадена функция, съдържаща някаква дроб. Както знаете, не можете да разделите на нула: , така че тези Стойностите „X“, които превръщат знаменателя в нула, не са включени в обхвата на тази функция.

Няма да се спирам на най-много прости функциикато и т.н., тъй като всеки вижда перфектно точки, които не са включени в неговата област на дефиниране. Нека да разгледаме по-смислени дроби:

Пример 1

Намерете домейна на функция

Решение: В числителя няма нищо специално, но знаменателят трябва да е различен от нула. Нека го зададем равно на нула и се опитаме да намерим „лошите“ точки:

Полученото уравнение има два корена: . Стойности на данните не са в обхвата на функцията. Наистина, заместете или във функцията и ще видите, че знаменателят отива на нула.

отговор: обхват на дефиницията:

Записът гласи така: „домейн на дефиниция – всичко реални числас изключение на набора, състоящ се от стойности " Нека ви напомня, че символът обратна наклонена черта в математиката означава логическо изваждане, а фигурните скоби означават множество. Отговорът може да бъде еквивалентно написан като обединение на три интервала:

На който му харесва.

По точки функция толерира безкрайни почивкии прави линии, дадени чрез уравнения са вертикални асимптотиза графиката на тази функция. Това обаче е малко по-различна тема и няма да се спирам повече на нея.

Пример 2

Намерете домейна на функция

Задачата е по същество устна и много от вас почти веднага ще намерят областта на дефиниция. Отговорът е в края на урока.

Дробта винаги ли ще бъде „лоша“? не Например функция е дефинирана на цялата числова ос. Без значение каква стойност на „x“ вземем, знаменателят няма да стигне до нула, освен това винаги ще бъде положителен: . По този начин обхватът на тази функция е: .

Всички функции като определени и непрекъснатона .

Ситуацията е малко по-сложна, когато знаменателят е зает от квадратен трином:

Пример 3

Намерете домейна на функция

Решение: Нека се опитаме да намерим точките, в които знаменателят отива на нула. За това ние ще решим квадратно уравнение:

Дискриминантът се оказа отрицателен, което означава, че няма реални корени и нашата функция е дефинирана върху цялата числова ос.

отговор: обхват на дефиницията:

Пример 4

Намерете домейна на функция

Това е пример, който можете да решите сами. Решението и отговорът са в края на урока. Съветвам ви да не бъдете мързеливи с прости проблеми, тъй като ще се натрупат недоразумения с по-нататъшни примери.

Домейн на функция с корен

Функция с корен квадратенопределени само за тези стойности на "x", когато радикалният израз е неотрицателен: . Ако коренът се намира в знаменателя , тогава условието очевидно е затегнато: . Подобни изчисления са валидни за всеки корен с положителна четна степен: , обаче коренът е вече от 4-та степен в функционални изследванияне си спомням

Пример 5

Намерете домейна на функция

Решение: радикалният израз трябва да е неотрицателен:

Преди да продължа с решението, нека ви припомня основните правила за работа с неравенства, познати от училище.

апелирам специално внимание! Сега разглеждаме неравенствата с една променлива- тоест за нас има само едно измерение по оста. Моля, не бъркайте с неравенства на две променливи, където геометрично участва цялата координатна равнина. Има обаче и приятни съвпадения! И така, за неравенството следните трансформации са еквивалентни:

1) Условията могат да се прехвърлят от част на част чрез промяна на техните (условията) знаци.

2) И двете страни на неравенството могат да се умножат по положително число.

3) Ако двете страни на неравенството се умножат по отрицателенномер, тогава трябва да промените знак за самото неравенство. Например, ако е имало „повече“, тогава ще стане „по-малко“; ако е било „по-малко или равно“, тогава ще стане „по-голямо или равно“.

В неравенството преместваме „тройката“ в дясната страна с промяна на знака (правило № 1):

Нека умножим двете страни на неравенството по –1 (правило № 3):

Нека умножим двете страни на неравенството по (правило № 2):

отговор: обхват на дефиницията:

Отговорът може да бъде написан и с еквивалентна фраза: „функцията е дефинирана в .“
Геометрично зоната на дефиниране се изобразява чрез засенчване на съответните интервали по абсцисната ос. В този случай:

Напомням ви още веднъж геометричен смисълобласт на дефиниция – графика на функция съществува само в защрихованата област и отсъства при .

В повечето случаи е подходящо чисто аналитично определяне на областта на дефиниране, но когато функцията е много сложна, трябва да начертаете ос и да направите бележки.

Пример 6

Намерете домейна на функция

Това е пример, който можете да решите сами.

Когато под квадратния корен има квадратен бином или трином, ситуацията става малко по-сложна и сега ще анализираме подробно техниката на решение:

Пример 7

Намерете домейна на функция

Решение: радикалният израз трябва да е строго положителен, тоест трябва да решим неравенството. На първата стъпка се опитваме да разложим на множители квадратния трином:

Дискриминантът е положителен, търсим корени:

И така, параболата пресича оста x в две точки, което означава, че част от параболата е разположена под оста (неравенство), а част от параболата е разположена над оста (неравенството, от което се нуждаем).

Тъй като коефициентът е , клоновете на параболата сочат нагоре. От горното следва, че неравенството е изпълнено на интервалите (клоновете на параболата вървят нагоре до безкрайност), а върхът на параболата се намира на интервала под оста x, което съответства на неравенството:

! Забележка: Ако не разбирате напълно обясненията, моля начертайте втората ос и цялата парабола! Препоръчително е да се върнете към статията и ръководството Горещи формули за училищен курс по математика.

Моля, обърнете внимание, че самите точки са премахнати (не са включени в решението), тъй като нашето неравенство е строго.

отговор: обхват на дефиницията:

Като цяло много неравенства (включително разглежданото) се решават от универсалното интервален метод, познат отново от училищна програма. Но в случаите на квадратни биноми и триноми, според мен, е много по-удобно и по-бързо да се анализира местоположението на параболата спрямо оста. И ние ще анализираме основния метод - интервалния метод - подробно в статията. Функционални нули. Интервали на постоянство.

Пример 8

Намерете домейна на функция

Това е пример, който можете да решите сами. Примерът коментира подробно логиката на разсъждението + втория метод на решение и още една важна трансформация на неравенство, без знание за която ученикът ще куца с единия крак..., ...хм... май получих развълнуван от крака, по-скоро на един пръст. Палец.

Може ли функция за квадратен корен да бъде дефинирана върху цялата числова ос? Със сигурност. Всички познати лица: . Или подобна сума с показател: . Наистина, за всякакви стойности на "x" и "ka": , следователно също и .

Ето един по-малко очевиден пример: . Тук дискриминантът е отрицателен (параболата не пресича оста х), докато клоновете на параболата са насочени нагоре, следователно областта на дефиниция: .

Обратният въпрос: може ли областта на дефиниция на функция да бъде празен? Да, и един примитивен пример веднага се предлага , където радикалният израз е отрицателен за всяка стойност на „x“, и домейнът на дефиниция: (икона за празен набор). Такава функция изобщо не е дефинирана (разбира се, графиката също е илюзорна).

С нечетни корени и т.н. всичко е много по-добре - тук радикалното изразяване може да бъде отрицателно. Например функция е дефинирана на цялата числова ос. Функцията обаче има една точка, която все още не е включена в областта на дефиниция, тъй като знаменателят е зададен на нула. По същата причина за функцията точките са изключени.

Област на функция с логаритъм

Третата обща функция е логаритъмът. Като пример ще нарисувам натурален логаритъм, който се среща в приблизително 99 примера от 100. Ако определена функция съдържа логаритъм, тогава нейната област на дефиниране трябва да включва само тези стойности на „x“, които удовлетворяват неравенството. Ако логаритъма е в знаменателя: , тогава допълнителноналожено е условие (от ).

Пример 9

Намерете домейна на функция

Решение: в съответствие с горното ще съставим и решим системата:

Графично решение за манекени:

отговор: обхват на дефиницията:

Ще се спра на още един технически момент - нямам посочен мащаб и деленията по оста не са маркирани. Възниква въпросът: как да направите такива рисунки в тетрадка на карирана хартия? Трябва ли разстоянието между точките да се измерва с клетки стриктно в съответствие с мащаба? Тя е по-канонична и по-строга, разбира се, в мащаб, но схематичен чертеж, който фундаментално отразява ситуацията, също е напълно приемлив.

Пример 10

Намерете домейна на функция

За да разрешите проблема, можете да използвате метода от предишния параграф - анализирайте как е разположена параболата спрямо оста x. Отговорът е в края на урока.

Както можете да видите, в царството на логаритмите всичко е много подобно на ситуацията с квадратни корени: функцията (квадратен тричлен от пример № 7) е определен върху интервалите, а функцията (квадратен бином от пример № 6) на интервала . Неудобно е дори да се каже, че типовите функции са дефинирани на цялата числова ос.

Полезна информация : типичната функция е интересна, тя е дефинирана на цялата числова ос с изключение на точката. Съгласно свойството на логаритъма „двойката” може да се умножи извън логаритъма, но за да не се променя функцията, „x” трябва да бъде оградено под знака за модул: . Ето още един за теб" практическо приложение» модул =). Това е, което трябва да направите в повечето случаи, когато рушите дажестепен, например: . Ако основата на степента е очевидно положителна, например, тогава няма нужда от знак за модул и е достатъчно да използвате скоби: .

За да избегнем повторение, нека усложним задачата:

Пример 11

Намерете домейна на функция

Решение: в тази функция имаме корен и логаритъм.

Коренният израз трябва да е неотрицателен: , а изразът под знака за логаритъм трябва да е строго положителен: . Следователно е необходимо да се реши системата:

Много от вас знаят много добре или интуитивно се досещат, че системното решение трябва да удовлетворява на всичкисъстояние.

Като изследваме местоположението на параболата спрямо оста, стигаме до заключението, че неравенството е изпълнено от интервала (синьо засенчване):

Неравенството очевидно съответства на „червения“ полуинтервал.

Тъй като и двете условия трябва да бъдат изпълнени едновременно, тогава решението на системата е пресечната точка на тези интервали. "Общите интереси" се срещат на полувремето.

отговор: обхват на дефиницията:

Типичното неравенство, както е демонстрирано в пример № 8, не е трудно за разрешаване аналитично.

Намереният домейн няма да се промени за „подобни функции“, напр. или . Можете също така да добавите някои непрекъснати функции, например: или така: , или дори така: . Както се казва, коренът и логаритъма са упорити неща. Единственото нещо е, че ако една от функциите бъде „нулирана“ до знаменателя, тогава домейнът на дефиницията ще се промени (въпреки че в общия случай това не винаги е вярно). Е, в теорията на матан за този словесен... о... има теореми.

Пример 12

Намерете домейна на функция

Това е пример, който можете да решите сами. Използването на чертеж е доста подходящо, тъй като функцията не е най-простата.

Още няколко примера за затвърждаване на материала:

Пример 13

Намерете домейна на функция

Решение: нека съставим и решим системата:

Всички действия вече са обсъдени в цялата статия. Нека изобразим интервала, съответстващ на неравенството на числовата линия и според второто условие елиминираме две точки:

Смисълът се оказа напълно без значение.

отговор: област на дефиниция

Малка математическа игра на думи за вариант на 13-ия пример:

Пример 14

Намерете домейна на функция

Това е пример, който можете да решите сами. Тези, които са го пропуснали, нямат късмет ;-)

Последният раздел на урока е посветен на по-редки, но и „работещи“ функции:

Области за дефиниране на функции
с тангенси, котангенси, арксинуси, аркосинуси

Ако някоя функция включва , тогава от нейната област на дефиниция изключениточки , Къде З– набор от цели числа. По-специално, както е отбелязано в статията Графики и свойства на елементарни функции, функцията има следните стойности:

Тоест домейнът на дефиниция на допирателната: .

Нека не убиваме много:

Пример 15

Намерете домейна на функция

Решение: в този случай следните точки няма да бъдат включени в областта на дефиницията:

Нека хвърлим "двойката" от лявата страна в знаменателя на дясната страна:

В резултат на това :

отговор: обхват на дефиницията: .

По принцип отговорът може да бъде написан като комбинация от безкраен брой интервали, но конструкцията ще бъде много тромава:

Аналитичното решение е напълно съвместимо с геометрична трансформация на графиката: ако аргументът на функция се умножи по 2, тогава нейната графика ще се свие до оста два пъти. Забележете как периодът на функцията е намален наполовина и точки на прекъсванеудвоена честота. тахикардия.

Подобна история с котангенса. Ако някоя функция включва , тогава точките се изключват от нейната област на дефиниция. По-конкретно, за функцията за автоматичен пакет заснемаме следните стойности:

С други думи: