Тази статия дава идея как да се състави уравнение за равнина, минаваща през дадена точка в триизмерното пространство, перпендикулярно на дадена права. Нека анализираме дадения алгоритъм, като използваме примера за решаване на типични задачи.

Намиране на уравнението на равнина, минаваща през дадена точка в пространството перпендикулярно на дадена права

Нека в него е дадено тримерно пространство и правоъгълна координатна система O x y z. Дадени са също точка M 1 (x 1, y 1, z 1), права a и равнина α, минаващи през точка M 1 перпендикулярно на права a. Необходимо е да се запише уравнението на равнината α.

Преди да започнем да решаваме тази задача, нека си припомним геометричната теорема от учебната програма за 10-11 клас, която гласи:

Определение 1

През дадена точка в триизмерното пространство минава една равнина, перпендикулярна на дадена права линия.

Сега нека да разгледаме как да намерим уравнението на тази единична равнина, минаваща през началната точка и перпендикулярна на дадената права.

Възможно е да се запише общото уравнение на равнина, ако са известни координатите на точка, принадлежаща на тази равнина, както и координатите на нормалния вектор на равнината.

Условията на задачата ни дават координатите x 1, y 1, z 1 на точката M 1, през която минава равнината α. Ако определим координатите на нормалния вектор на равнината α, тогава ще можем да напишем търсеното уравнение.

Нормалният вектор на равнината α, тъй като е различен от нула и лежи на правата a, перпендикулярна на равнината α, ще бъде всеки насочващ вектор на правата a. Така задачата за намиране на координатите на нормалния вектор на равнината α се трансформира в задачата за определяне на координатите на насочващия вектор на правата линия a.

Координатите на насочващия вектор на права линия a могат да бъдат определени различни методи: зависи от опцията за указване на права линия a в началните условия. Например, ако е дадена права линия a в изложението на проблема канонични уравнениявид

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

или параметрични уравнения от формата:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

тогава насочващият вектор на правата линия ще има координати a x, a y и a z. В случай, когато правата линия a е представена от две точки M 2 (x 2, y 2, z 2) и M 3 (x 3, y 3, z 3), тогава координатите на вектора на посоката ще бъдат определени като ( x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Определение 2

Алгоритъм за намиране на уравнението на равнина, минаваща през дадена точка перпендикулярно на дадена права:

Определяме координатите на вектора на посоката на права линия a: a → = (a x, a y, a z) ;

Координатите на нормалния вектор на равнината α определяме като координатите на насочващия вектор на правата a:

n → = (A , B , C) , където A = a x, B = a y, C = a z;

Пишем уравнението на равнината, минаваща през точката M 1 (x 1, y 1, z 1) и имаща нормален вектор n → = (A, B, C) във формата A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. Това ще бъде необходимото уравнение на равнина, която минава през дадена точка в пространството и е перпендикулярна на дадена права.

Полученото общо уравнение на равнината е: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 дава възможност да се получи уравнението на равнината в сегменти или нормално уравнениесамолет.

Нека решим няколко примера, използвайки алгоритъма, получен по-горе.

Пример 1

Дадена е точка M 1 (3, - 4, 5), през която минава равнината, като тази равнина е перпендикулярна на координатната права O z.

Решение

насочващият вектор на координатната линия O z ще бъде координатният вектор k ⇀ = (0, 0, 1). Следователно нормалният вектор на равнината има координати (0, 0, 1). Нека напишем уравнението на равнина, минаваща през дадена точка M 1 (3, - 4, 5), чийто нормален вектор има координати (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

отговор: z – 5 = 0 .

Нека разгледаме друг начин за решаване на този проблем:

Пример 2

Равнина, която е перпендикулярна на правата O z, ще бъде дадена чрез непълно общо уравнение на равнината от формата C z + D = 0, C ≠ 0. Нека определим стойностите на C и D: тези, при които равнината преминава през дадена точка. Нека заместим координатите на тази точка в уравнението C z + D = 0, получаваме: C · 5 + D = 0. Тези. числа, C и D са свързани с връзката - D C = 5. Вземайки C = 1, получаваме D = - 5.

Нека заместим тези стойности в уравнението C z + D = 0 и да получим необходимото уравнение на равнина, перпендикулярна на правата O z и минаваща през точката M 1 (3, - 4, 5).

Ще изглежда така: z – 5 = 0.

отговор: z – 5 = 0 .

Пример 3

Напишете уравнение за равнина, минаваща през началото и перпендикулярна на правата x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Решение

Въз основа на условията на задачата може да се твърди, че насочващият вектор на дадена права линия може да се приеме като нормален вектор n → на дадена равнина. Така: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Нека напишем уравнението на равнина, минаваща през точка O (0, 0, 0) и имаща нормален вектор n → = (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Получихме търсеното уравнение на равнина, минаваща през началото на координатите, перпендикулярни на дадена права.

отговор:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Пример 4

В тримерното пространство е дадена правоъгълна координатна система O x y z, в която има две точки A (2, - 1, - 2) и B (3, - 2, 4). Равнината α минава през точка A перпендикулярно на правата A B. Необходимо е да се създаде уравнение за равнината α в сегменти.

Решение

Равнината α е перпендикулярна на правата A B, тогава векторът A B → ще бъде нормалният вектор на равнината α. Координатите на този вектор се определят като разликата между съответните координати на точки B (3, - 2, 4) и A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Общо уравнениеравнина ще бъде написана в следната форма:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Сега нека съставим търсеното уравнение на равнината в сегменти:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

отговор:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Трябва също да се отбележи, че има задачи, чието изискване е да се напише уравнение на равнина, минаваща през дадена точка и перпендикулярна на две дадени равнини. Най-общо решението на този проблем е да се състави уравнение за равнина, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права, т.к. две пресичащи се равнини определят права линия.

Пример 5

Дадена е правоъгълна координатна система O x y z, в която има точка M 1 (2, 0, - 5). Дадени са и уравненията на две равнини 3 x + 2 y + 1 = 0 и x + 2 z – 1 = 0, които се пресичат по права a. Необходимо е да се създаде уравнение за равнина, минаваща през точка M 1, перпендикулярна на права линия a.

Решение

Да определим координатите на насочващия вектор на правата a. Той е перпендикулярен както на нормалния вектор n 1 → (3, 2, 0) на равнината n → (1, 0, 2), така и на нормалния вектор 3 x + 2 y + 1 = 0 на x + 2 z - 1 = 0 равнина.

След това, като насочващ вектор α → линия a, вземаме векторния продукт на векторите n 1 → и n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Така векторът n → = (4, - 6, - 2) ще бъде нормалният вектор на равнината, перпендикулярна на правата a. Нека запишем търсеното уравнение на равнината:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

отговор: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Ако всички числа A, B, C и D са различни от нула, тогава общото уравнение на равнината се нарича пълен. В противен случай се нарича общото уравнение на равнината непълна.

Нека разгледаме всички възможни общи непълни уравненияравнина в правоъгълната координатна система Oxyz в триизмерното пространство.

Нека D = 0, тогава имаме общо непълно уравнение на равнината от вида . Тази равнина в правоъгълната координатна система Oxyz минава през началото. Наистина, когато заместваме координатите на точка в полученото непълно уравнение на равнината, стигаме до тъждеството .

За , или , или имаме общи непълни уравнения на равнините съответно , или , или . Тези уравнения определят равнини, успоредни съответно на координатните равнини Oxy, Oxz и Oyz (вижте статията за условието за успоредни равнини) и минаващи през точките и съответно. При. Тъй като точката принадлежи на равнината по условие, то координатите на тази точка трябва да удовлетворяват уравнението на равнината, тоест равенството трябва да е вярно. От тук намираме. Така търсеното уравнение има формата .

Нека представим втория начин за решаване на този проблем.

Тъй като равнината, чието общо уравнение трябва да съставим, е успоредна на равнината Oyz, тогава като неин нормален вектор можем да вземем нормалния вектор на равнината Oyz. Нормалният вектор на координатната равнина Oyz е координатният вектор. Сега знаем нормалния вектор на равнината и точката на равнината, следователно можем да напишем нейното общо уравнение (решихме подобен проблем в предишния параграф на тази статия):
, то нейните координати трябва да удовлетворяват уравнението на равнината. Следователно равенството е вярно откъдето го намираме. Сега можем да напишем желаното общо уравнение на равнината, то има формата .

отговор:

Референции.

• Бугров Я.С., Николски С.М. Висша математика. Том първи: елементи на линейната алгебра и аналитичната геометрия.
• Илин В.А., Позняк Е.Г. Аналитична геометрия.

Нека разгледаме равнината Q в пространството, нейното положение е напълно определено чрез определяне на вектора N, перпендикулярен на тази равнина, и някаква фиксирана точка, лежаща в равнината Q. перпендикулярна на равнината Q се нарича нормален вектор на тази равнина. Ако означим с A, B и C проекциите на нормалния вектор N, тогава

Нека изведем уравнението на равнината Q, минаваща през дадена точка и имаща даден нормален вектор. За да направите това, разгледайте вектор, свързващ точка с произволна точка от равнината Q (фиг. 81).

За всяко положение на точка M в равнината Q, векторът MHM е перпендикулярен на нормалния вектор N на равнината Q. Следователно, скаларното произведение. Нека запишем скаларното произведение по отношение на проекции. Тъй като , и е вектор, тогава

и следователно

Показахме, че координатите на всяка точка в равнината Q отговарят на уравнение (4). Лесно е да се види, че координатите на точките, които не лежат на равнината Q, не удовлетворяват това уравнение (в последния случай). Следователно получихме търсеното уравнение на равнината Q. Уравнение (4) се нарича уравнение на равнината, минаваща през дадена точка. Тя е на първа степен спрямо текущите координати

И така, ние показахме, че всяка равнина има съответно уравнение от първа степен по отношение на текущите координати.

Пример 1. Напишете уравнението на равнина, минаваща през точка, перпендикулярна на вектора.

Решение. Тук. Въз основа на формула (4) получаваме

или, след опростяване,

Като дадем различни стойности на коефициентите A, B и C на уравнение (4), можем да получим уравнението на всяка равнина, минаваща през точката. Множеството от равнини, преминаващи през дадена точка, се нарича сноп от равнини. Уравнение (4), в което коефициентите A, B и C могат да приемат всякакви стойности, се нарича уравнение на куп равнини.

Пример 2. Съставете уравнение за равнина, минаваща през три точки (фиг. 82).

Решение. Нека напишем уравнението за куп равнини, минаващи през точката

За да получим общото уравнение на равнина, нека анализираме равнината, минаваща през дадена точка.

Нека има три координатни оси, които вече са ни известни в пространството - вол, ОйИ Оз. Дръжте листа хартия така, че да остане плосък. Самолетът ще бъде самият лист и неговото продължение във всички посоки.

Нека Ппроизволна равнина в пространството. Всеки вектор, перпендикулярен на него, се нарича нормален вектор към този самолет. Естествено, говорим за ненулев вектор.

Ако някоя точка от равнината е известна Пи някакъв нормален вектор към него, тогава от тези две условия равнината в пространството е напълно дефинирана(през дадена точка можете да начертаете една равнина, перпендикулярна на дадения вектор). Общото уравнение на равнината ще бъде:

И така, условията, които определят уравнението на равнината, са. За да получите себе си уравнение на равнината, имайки горната форма, вземете в самолета Ппроизволен точка М с променливи координати х, г, z. Тази точка принадлежи на равнината само ако вектор перпендикулярен на вектора(фиг. 1). За това, съгласно условието за перпендикулярност на векторите, е необходимо и достатъчно скаларното произведение на тези вектори да бъде равно на нула, т.е.

Векторът се определя от условие. Намираме координатите на вектора с помощта на формулата :

.

Сега използваме формулата за скаларно произведение на вектори , изразяваме скаларното произведение в координатна форма:

Тъй като точката M(x; y; z)е избрано произволно в равнината, тогава последното уравнение е удовлетворено от координатите на всяка точка, лежаща в равнината П. За точка Н, нележаща на дадена равнина, т.е. равенството (1) е нарушено.

Пример 1.Напишете уравнение за равнина, минаваща през точка и перпендикулярна на вектора.

Решение. Нека използваме формула (1) и я погледнем отново:

В тази формула числата А , бИ Ввекторни координати и числа х0 , г0 И z0 - координати на точката.

Изчисленията са много прости: заместваме тези числа във формулата и получаваме

Умножаваме всичко, което трябва да се умножи и добавяме само числа (които нямат букви). Резултат:

.

Търсеното уравнение на равнината в този пример се оказа изразено чрез общо уравнение от първа степен по отношение на променливи координати x, y, zвсяка точка на равнината.

И така, уравнение от формата

наречен общо уравнение на равнината .

Пример 2.Построете в правоъгълна декартова координатна система равнина, дадена от уравнението .

Решение. За да се построи равнина, е необходимо и достатъчно да се знаят три нейни точки, които не лежат на една права линия, например точките на пресичане на равнината с координатните оси.

Как да намерите тези точки? За намиране на пресечната точка с оста Оз, трябва да замените нули за X и Y в уравнението, дадено в описанието на проблема: х = г= 0. Следователно получаваме z= 6. Така дадената равнина пресича оста Озв точката А(0; 0; 6) .

По същия начин намираме пресечната точка на равнината с оста Ой. При х = z= 0 получаваме г= −3, тоест точката б(0; −3; 0) .

И накрая намираме пресечната точка на нашата равнина с оста вол. При г = z= 0 получаваме х= 2, тоест точка В(2; 0; 0) . Въз основа на трите точки, получени в нашето решение А(0; 0; 6) , б(0; −3; 0) и В(2; 0; 0) построи дадената равнина.

Нека сега да разгледаме специални случаи на общото уравнение на равнината. Това са случаи, когато определени коефициенти на уравнение (2) стават нула.

1. Кога D= 0 уравнение определя равнина, минаваща през началото, тъй като координатите на точката 0 (0; 0; 0) удовлетворяват това уравнение.

2. Кога А= 0 уравнение определя равнина, успоредна на оста вол, тъй като нормалният вектор на тази равнина е перпендикулярен на оста вол(неговата проекция върху оста волравно на нула). По същия начин, когато B= 0 самолет успоредна на оста Ой, и кога C= 0 самолет успоредна на оста Оз.

3. Кога A=D= 0 уравнение дефинира равнина, минаваща през оста вол, тъй като е успореден на оста вол (А=D= 0). По същия начин равнината минава през оста Ой, а равнината през оста Оз.

4. Кога A=B= 0 уравнение определя равнина, успоредна на координатната равнина xOy, тъй като е успореден на осите вол (А= 0) и Ой (б= 0). По същия начин равнината е успоредна на равнината yOz, а самолетът си е самолет xOz.

5. Кога A=B=D= 0 уравнение (или z = 0) определя координатната равнина xOy, тъй като е успореден на равнината xOy (A=B= 0) и минава през началото ( D= 0). По същия начин, ур. y = 0 в пространството определя координатната равнина xOz, и уравнението x = 0 - координатна равнина yOz.

Пример 3.Създайте уравнение на равнината П, минаваща през оста Ойи точка.

Решение. Така че равнината минава през оста Ой. Следователно в нейното уравнение г= 0 и това уравнение има формата . За определяне на коефициентите АИ Внека се възползваме от факта, че точката принадлежи на равнината П .

Следователно сред неговите координати има такива, които могат да бъдат заменени в уравнението на равнината, което вече сме извели (). Нека погледнем отново координатите на точката:

М0 (2; −4; 3) .

Сред тях х = 2 , z= 3 . Заместете ги в уравнението общ изгледи получаваме уравнението за нашия конкретен случай:

2А + 3В = 0 .

Оставете 2 Аот лявата страна на уравнението, преместете 3 Вот дясната страна и получаваме

А = −1,5В .

Заместване на намерената стойност Ав уравнението, получаваме

или .

Това е уравнението, изисквано в примерното условие.

Решете сами проблема с уравнението на равнината и след това вижте решението

Пример 4.Дефинирайте равнина (или равнини, ако са повече от една) по отношение на координатните оси или координатните равнини, ако равнината(ите) е дадена от уравнението.

Решения на типични проблеми, възникващи в тестове- в ръководството „Задачи на равнината: успоредност, перпендикулярност, пресичане на три равнини в една точка.“

Уравнение на равнина, минаваща през три точки

Както вече споменахме, необходимо е и достатъчно условиеЗа да се построи равнина, освен една точка и нормален вектор, има и три точки, които не лежат на една и съща права линия.

Нека са дадени три различни точки , и , които не лежат на една и съща линия. Тъй като посочените три точки не лежат на една и съща права, векторите не са колинеарни и следователно всяка точка в равнината лежи в същата равнина с точките и тогава и само ако векторите , и копланарен, т.е. тогава и само когато смесен продукт на тези векторие равно на нула.

Използване на израза смесен продуктв координати, получаваме уравнението на равнината

(3)

След разкриване на детерминантата това уравнение става уравнение от вида (2), т.е. общо уравнение на равнината.

Пример 5.Напишете уравнение за равнина, минаваща през дадени три точки, които не лежат на една и съща права линия:

и определете специален случайобщо уравнение на правата, ако съществува такова.

Решение. Съгласно формула (3) имаме:

Уравнение на нормална равнина. Разстояние от точка до равнина

Нормалното уравнение на равнина е нейното уравнение, записано във формата

Уравнение на равнина. Как да напиша уравнение на равнина?
Взаимно разположение на равнините. Задачи

Пространствената геометрия не е много по-сложна от „плоската“ геометрия и нашите полети в космоса започват с тази статия. За да овладеете темата, трябва да имате добро разбиране на вектори, освен това е препоръчително да сте запознати с геометрията на равнината - ще има много прилики, много аналогии, така че информацията ще се усвоява много по-добре. В поредица от мои уроци 2D светът започва със статия Уравнение на права на равнина. Но сега Батман напусна плоския телевизионен екран и се изстрелва от космодрума Байконур.

Да започнем с чертежи и символи. Схематично равнината може да бъде начертана под формата на успоредник, което създава впечатление за пространство:

Самолетът е безкраен, но имаме възможност да изобразим само парче от него. На практика освен успоредника се рисува и овал или дори облак. По технически причини ми е по-удобно да изобразя самолета точно по този начин и точно в тази позиция. Истински самолети, които ще разгледаме в практически примери, може да се позиционира по всякакъв начин - мислено вземете чертежа в ръцете си и го завъртете в пространството, придавайки на равнината всякакъв наклон, всякакъв ъгъл.

Наименования: самолетите обикновено се обозначават с малки гръцки букви, очевидно за да не се бъркат с права линия в равнинаили със права линия в пространството. Свикнал съм да използвам писмото. На чертежа това е буквата "сигма", а не дупка. Въпреки че, дупчестият самолет със сигурност е доста забавен.

В някои случаи е удобно да се използват същите символи за обозначаване на равнини. гръцки буквис индекси, например, .

Очевидно е, че равнината е еднозначно определена от три различни точки, които не лежат на една права. Следователно трибуквените обозначения на равнините са доста популярни - чрез принадлежащите им точки, например и т.н. Често буквите са оградени в скоби: , за да не объркате равнината с друга геометрична фигура.

За опитни читатели ще дам меню за бърз достъп:

• Как да създадем уравнение на равнина с помощта на точка и два вектора?
• Как да създадем уравнение на равнина с помощта на точка и нормален вектор?

и няма да изнемогваме в дълго чакане:

Общо уравнение на равнината

Общото уравнение на равнината има формата , където коефициентите не са равни на нула едновременно.

Редица теоретични изчисления и практически проблеми са валидни както за обичайната ортонормална база, така и за афинна основапространство (ако маслото е масло, върнете се към урока Линейна (не)зависимост на векторите. Основа на векторите). За простота ще приемем, че всички събития се случват в ортонормална основа и декартова правоъгълна координатна система.

Сега нека упражним малко нашето пространствено въображение. Добре е, ако вашият е лош, сега ще го развием малко. Дори играта на нерви изисква обучение.

В най-общия случай, когато числата не са равни на нула, равнината пресича и трите координатни оси. Например така:

Още веднъж повтарям, че равнината продължава безкрайно във всички посоки и имаме възможност да изобразим само част от нея.

Нека разгледаме най-простите уравнения на равнините:

Как да разберем това уравнение? Помислете за това: „Z“ ВИНАГИ е равно на нула за всякакви стойности на „X“ и „Y“. Това е уравнението на "родната" координатна равнина. Всъщност, формално уравнението може да бъде пренаписано, както следва: , откъдето можете ясно да видите, че не ни интересува какви стойности приемат „x“ и „y“, важно е „z“ да е равно на нула.

По същия начин:
– уравнение на координатната равнина;
– уравнение на координатната равнина.

Нека усложним малко задачата, помислете за равнина (тук и по-нататък в параграфа приемаме, че числовите коефициенти не са равни на нула). Нека пренапишем уравнението във формата: . Как да го разбираме? „X“ е ВИНАГИ, за всякакви стойности на „Y“ и „Z“, равни на определено число. Тази равнина е успоредна на координатната равнина. Например една равнина е успоредна на равнина и минава през точка.

По същия начин:
– уравнение на равнина, която е успоредна на координатната равнина;
– уравнение на равнина, която е успоредна на координатната равнина.

Нека добавим членове: . Уравнението може да бъде пренаписано по следния начин: , тоест „zet“ може да бъде всичко. Какво означава? “X” и “Y” са свързани с релацията, която чертае определена права линия в равнината (ще разберете уравнение на права в равнина?). Тъй като „z“ може да бъде всичко, тази права линия се „копира“ на всяка височина. По този начин уравнението определя равнина, успоредна на координатната ос

По същия начин:
– уравнение на равнина, която е успоредна на координатната ос;
– уравнение на равнина, която е успоредна на координатната ос.

Ако свободните членове са нула, тогава равнините ще минават директно през съответните оси. Например класическата „пряка пропорционалност“: . Начертайте права линия в равнината и мислено я умножете нагоре и надолу (тъй като "Z" е всяко). Заключение: самолет, дадено от уравнението, минава през координатната ос.

Завършваме прегледа: уравнението на равнината преминава през произхода. Е, тук е съвсем очевидно, че точката удовлетворява това уравнение.

И накрая, случаят, показан на чертежа: – равнината е приятелска с всички координатни оси, докато винаги „отрязва“ триъгълник, който може да бъде разположен във всеки от осемте октанта.

Линейни неравенства в пространството

За да разберете информацията, трябва да проучите добре линейни неравенства в равнината, защото много неща ще си приличат. Параграфът ще има кратък обзорен характер с няколко примера, тъй като материалът е доста рядък на практика.

Ако уравнението определя равнина, тогава неравенствата
попитайте полупространства. Ако неравенството не е строго (последните две в списъка), тогава решението на неравенството, освен полупространството, включва и самата равнина.

Пример 5

Намерете единичния нормален вектор на равнината .

Решение: Единичен вектор е вектор, чиято дължина е единица. Нека означим този вектор с . Абсолютно ясно е, че векторите са колинеарни:

Първо премахваме нормалния вектор от уравнението на равнината: .

Как да намерим единичен вектор? За да намерите единичния вектор, трябва всекиразделете векторната координата на дължината на вектора.

Нека пренапишем нормалния вектор във формата и да намерим неговата дължина:

Според горното:

отговор:

Проверка: какво се изисква да бъде проверено.

Читателите, които внимателно са проучили последния параграф от урока, вероятно са забелязали това координатите на единичния вектор са точно насочващите косинуси на вектора:

Нека си дадем почивка от проблема: когато ви е даден произволен ненулев вектор, а според условието се изисква да се намерят неговите насочващи косинуси (вижте последните задачи от урока Точково произведение на вектори), тогава вие всъщност намирате единичен вектор, колинеарен на този. Всъщност две задачи в една бутилка.

Необходимостта да се намери единичният нормален вектор възниква при някои задачи на математическия анализ.

Разбрахме как да намерим нормален вектор, сега нека отговорим на обратния въпрос:

Как да създадем уравнение на равнина с помощта на точка и нормален вектор?

Тази твърда конструкция на нормален вектор и точка е добре позната на мишената. Моля, протегнете ръката си напред и мислено изберете произволна точка в пространството, например малка котка в бюфета. Очевидно през тази точка можете да начертаете една равнина, перпендикулярна на ръката ви.

Уравнението на равнина, минаваща през точка, перпендикулярна на вектора, се изразява с формулата: