Примери за квадратни уравнения с въображаеми корени. Корен квадратен: формули за изчисление. Формула за намиране на корените на квадратно уравнение. Какво е квадратно уравнение

Продължаваме да изучаваме темата " решаване на уравнения" Вече се запознахме с линейните уравнения и преминаваме към запознаване квадратни уравнения.

Първо ще разгледаме какво е квадратно уравнение и как се записва общ изгледи дайте свързани дефиниции. След това ще използваме примери, за да разгледаме подробно как се решават непълни квадратни уравнения. Да преминем към решението пълни уравнения, получаваме коренната формула, запознаваме се с дискриминанта на квадратното уравнение и разглеждаме решенията типични примери. И накрая, нека проследим връзките между корените и коефициентите.

Навигация в страницата.

Какво е квадратно уравнение? Техните видове

Първо трябва ясно да разберете какво е квадратно уравнение. Следователно е логично да започнем разговор за квадратни уравнения с дефиницията на квадратно уравнение, както и сродни определения. След това можете да разгледате основните видове квадратни уравнения: редуцирани и нередуцирани, както и пълни и непълни уравнения.

Дефиниция и примери за квадратни уравнения

Определение.

Квадратно уравнениее уравнение на формата a x 2 +b x+c=0, където x е променлива, a, b и c са някои числа, а a е различно от нула.

Да кажем веднага, че квадратните уравнения често се наричат уравнения от втора степен. Това се дължи на факта, че квадратното уравнение е алгебрично уравнениевтора степен.

Посоченото определение ни позволява да дадем примери за квадратни уравнения. Така че 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 и т.н. Това са квадратни уравнения.

Определение.

Числа a, b и c се наричат коефициенти на квадратното уравнение a·x 2 +b·x+c=0 и коефициентът a се нарича първи, или най-високият, или коефициентът на x 2, b е вторият коефициент, или коефициентът на x, а c е свободният член .

Например, нека вземем квадратно уравнение под формата 5 x 2 −2 x −3=0, тук водещият коефициент е 5, вторият коефициент е равен на −2, а свободният член е равен на −3. Моля, обърнете внимание, че когато коефициентите b и/или c са отрицателни, както в току-що дадения пример, кратката форма на квадратното уравнение е 5 x 2 −2 x−3=0, а не 5 x 2 +(−2) ·x+(−3)=0 .

Струва си да се отбележи, че когато коефициентите a и/или b са равни на 1 или −1, те обикновено не присъстват изрично в квадратното уравнение, което се дължи на особеностите на записването им. Например в квадратното уравнение y 2 −y+3=0 водещият коефициент е единица, а коефициентът на y е равен на −1.

Редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения

В зависимост от стойността на водещия коефициент се разграничават редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения. Нека дадем съответните определения.

Определение.

Нарича се квадратно уравнение, в което водещият коефициент е 1 дадено квадратно уравнение. В противен случай квадратното уравнение е недокоснат.

Според това определение, квадратни уравнения x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 и т.н. – даден, във всеки от тях първият коефициент равно на едно. A 5 x 2 −x−1=0 и т.н. - нередуцирани квадратни уравнения, техните водещи коефициенти са различни от 1.

От всяко нередуцирано квадратно уравнение, като разделите двете страни на водещия коефициент, можете да отидете до редуцираното. Това действие е еквивалентна трансформация, тоест полученото по този начин редуцирано квадратно уравнение има същите корени като оригиналното нередуцирано квадратно уравнение или, подобно на него, няма корени.

Нека разгледаме пример за това как се извършва преходът от нередуцирано квадратно уравнение към редуцирано.

Пример.

От уравнението 3 x 2 +12 x−7=0 преминете към съответното намалено квадратно уравнение.

Решение.

Просто трябва да разделим двете страни на първоначалното уравнение на водещия коефициент 3, той е различен от нула, така че можем да извършим това действие. Имаме (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, което е същото, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 и след това (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, откъдето . Така получихме редуцираното квадратно уравнение, което е еквивалентно на първоначалното.

отговор:

Пълни и непълни квадратни уравнения

Дефиницията на квадратно уравнение съдържа условието a≠0. Това условие е необходимо, за да може уравнението a x 2 + b x + c = 0 да е квадратно, тъй като когато a = 0 то всъщност се превръща в линейно уравнение във формата b x + c = 0.

Що се отнася до коефициентите b и c, те могат да бъдат равни на нула, както поотделно, така и заедно. В тези случаи квадратното уравнение се нарича непълно.

Определение.

Квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0 се нарича непълна, ако поне един от коефициентите b, c равно на нула.

На свой ред

Определение.

Пълно квадратно уравнениее уравнение, в което всички коефициенти са различни от нула.

Такива имена не са дадени случайно. Това ще стане ясно от следващите дискусии.

Ако коефициентът b е нула, тогава квадратното уравнение приема формата a·x 2 +0·x+c=0 и е еквивалентно на уравнението a·x 2 +c=0. Ако c=0, тоест квадратното уравнение има формата a·x 2 +b·x+0=0, тогава то може да бъде пренаписано като a·x 2 +b·x=0. И с b=0 и c=0 получаваме квадратното уравнение a·x 2 =0. Получените уравнения се различават от пълното квадратно уравнение по това, че техните леви части не съдържат нито член с променливата x, нито свободен член, нито и двете. Оттук и името им - непълни квадратни уравнения.

Така уравненията x 2 +x+1=0 и −2 x 2 −5 x+0.2=0 са примери за пълни квадратни уравнения и x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 са непълни квадратни уравнения.

Решаване на непълни квадратни уравнения

От информацията в предходния параграф следва, че има три вида непълни квадратни уравнения:

a·x 2 =0, на него съответстват коефициентите b=0 и c=0;
a x 2 +c=0, когато b=0;
и a·x 2 +b·x=0, когато c=0.

Нека разгледаме по ред как се решават непълните квадратни уравнения от всеки от тези типове.

a x 2 =0

Нека започнем с решаването на непълни квадратни уравнения, в които коефициентите b и c са равни на нула, тоест с уравнения от вида a x 2 =0. Уравнението a·x 2 =0 е еквивалентно на уравнението x 2 =0, което се получава от оригинала чрез разделяне на двете части на различно от нула число a. Очевидно коренът на уравнението x 2 =0 е нула, тъй като 0 2 =0. Това уравнение няма други корени, което се обяснява с факта, че за всяко ненулево число p е в сила неравенството p 2 >0, което означава, че за p≠0 равенството p 2 =0 никога не се постига.

И така, непълното квадратно уравнение a·x 2 =0 има един корен x=0.

Като пример даваме решението на непълното квадратно уравнение −4 x 2 =0. То е еквивалентно на уравнението x 2 =0, единственият му корен е x=0, следователно оригиналното уравнение има един корен нула.

Кратко решение в този случай може да се напише по следния начин:
−4 x 2 =0,
х 2 =0,
x=0.

a x 2 +c=0

Сега нека да разгледаме как се решават непълни квадратни уравнения, в които коефициентът b е нула и c≠0, тоест уравнения от формата a x 2 +c=0. Знаем, че преместването на член от едната страна на уравнението в другата с противоположния знак, както и разделянето на двете страни на уравнението на различно от нула число, дава еквивалентно уравнение. Следователно можем да извършим следните еквивалентни трансформации на непълното квадратно уравнение a x 2 +c=0:

преместете c в дясната страна, което дава уравнението a x 2 =−c,
и разделяме двете страни на a, получаваме .

Полученото уравнение ни позволява да направим изводи за неговите корени. В зависимост от стойностите на a и c, стойността на израза може да бъде отрицателна (например, ако a=1 и c=2, тогава ) или положителна (например, ако a=−2 и c=6, тогава ), не е равно на нула , тъй като по условие c≠0. Нека разгледаме случаите поотделно.

Ако , тогава уравнението няма корени. Това твърдение следва от факта, че квадратът на всяко число е неотрицателно число. От това следва, че когато , тогава за всяко число p равенството не може да бъде вярно.

Ако , тогава ситуацията с корените на уравнението е различна. В този случай, ако си спомним за , тогава коренът на уравнението веднага става очевиден; това е числото, тъй като . Лесно е да се досетите, че числото също е коренът на уравнението, наистина, . Това уравнение няма други корени, което може да се покаже, например, от противоречие. Нека направим това.

Нека означим корените на току-що обявеното уравнение като x 1 и −x 1 . Да предположим, че уравнението има още един корен x 2, различен от посочените корени x 1 и −x 1. Известно е, че заместването на неговите корени в уравнение вместо x превръща уравнението в правилно числово равенство. За x 1 и −x 1 имаме , а за x 2 имаме . Свойствата на числовите равенства ни позволяват да извършваме изваждане член по член на правилни числени равенства, така че изваждането на съответните части от равенствата дава x 1 2 −x 2 2 =0. Свойствата на операциите с числа ни позволяват да пренапишем полученото равенство като (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Знаем, че произведението на две числа е равно на нула тогава и само ако поне едно от тях е равно на нула. Следователно от полученото равенство следва, че x 1 −x 2 =0 и/или x 1 +x 2 =0, което е едно и също, x 2 =x 1 и/или x 2 =−x 1. Така че стигнахме до противоречие, тъй като в началото казахме, че коренът на уравнението x 2 е различен от x 1 и −x 1. Това доказва, че уравнението няма корени освен и .

Нека обобщим информацията в този параграф. Непълното квадратно уравнение a x 2 +c=0 е еквивалентно на уравнението, което

няма корени, ако,
има два корена и , ако .

Нека разгледаме примери за решаване на непълни квадратни уравнения от вида a·x 2 +c=0.

Нека започнем с квадратното уравнение 9 x 2 +7=0. След преместване на свободния член в дясната страна на уравнението, той ще приеме формата 9 x 2 =−7. Разделяйки двете страни на полученото уравнение на 9, получаваме . Тъй като дясната страна има отрицателно число, това уравнение няма корени, следователно оригиналното непълно квадратно уравнение 9 x 2 +7 = 0 няма корени.

Нека решим друго непълно квадратно уравнение −x 2 +9=0. Преместваме деветката от дясната страна: −x 2 =−9. Сега разделяме двете страни на −1, получаваме x 2 =9. От дясната страна има положително число, от което заключаваме, че или . След това записваме крайния отговор: непълното квадратно уравнение −x 2 +9=0 има два корена x=3 или x=−3.

a x 2 +b x=0

Остава да се занимаем с решението на последния тип непълни квадратни уравнения за c=0. Непълните квадратни уравнения под формата a x 2 + b x = 0 ви позволяват да решите метод на факторизация. Очевидно можем, намирайки се от лявата страна на уравнението, за което е достатъчно да го извадим от скобите общ множителх. Това ни позволява да преминем от първоначалното непълно квадратно уравнение към еквивалентно уравнение във формата x·(a·x+b)=0. И това уравнение е еквивалентно на набор от две уравнения x=0 и a·x+b=0, последното от които е линейно и има корен x=−b/a.

И така, непълното квадратно уравнение a·x 2 +b·x=0 има два корена x=0 и x=−b/a.

За да консолидираме материала, ще анализираме решението на конкретен пример.

Пример.

Решете уравнението.

Решение.

Изваждането на x извън скобите дава уравнението. Това е еквивалентно на две уравнения x=0 и . Разрешаване на това, което имаме линейно уравнение: и разделяне на смесеното число на обикновена дроб, намираме. Следователно корените на оригиналното уравнение са x=0 и .

След придобиване на необходимата практика, решенията на такива уравнения могат да бъдат написани накратко:

отговор:

x=0 , .

Дискриминант, формула за корените на квадратно уравнение

За решаване на квадратни уравнения има формула за корен. Нека го запишем формула за корените на квадратно уравнение: , Къде D=b 2 −4 a c- т.нар дискриминант на квадратно уравнение. Вписването по същество означава, че.

Полезно е да знаете как е получена формулата за корен и как се използва при намиране на корените на квадратни уравнения. Нека разберем това.

Извеждане на формулата за корените на квадратно уравнение

Нека трябва да решим квадратното уравнение a·x 2 +b·x+c=0. Нека извършим някои еквивалентни трансформации:

Можем да разделим двете страни на това уравнение на ненулево число a, което води до следното квадратно уравнение.
Сега изберете пълен квадратот лявата му страна: . След това уравнението ще приеме формата.
На този етап е възможно последните два члена да се прехвърлят от дясната страна с противоположния знак, имаме .
И нека трансформираме израза от дясната страна: .

В резултат на това стигаме до уравнение, което е еквивалентно на оригиналното квадратно уравнение a·x 2 +b·x+c=0.

Вече сме решавали уравнения, подобни по форма в предишните параграфи, когато разглеждахме. Това ни позволява да направим следните заключения относно корените на уравнението:

ако , тогава уравнението няма реални решения;
ако , тогава уравнението има формата , следователно, , от което се вижда единственият му корен;
ако , тогава или , което е същото като или , тоест уравнението има два корена.

По този начин наличието или отсъствието на корени на уравнението и следователно на оригиналното квадратно уравнение зависи от знака на израза от дясната страна. От своя страна знакът на този израз се определя от знака на числителя, тъй като знаменателят 4·a 2 винаги е положителен, тоест от знака на израза b 2 −4·a·c. Този израз b 2 −4 a c беше наречен дискриминант на квадратно уравнениеи обозначени с буквата г. Оттук е ясна същността на дискриминанта - по стойността и знака му правят извод дали квадратното уравнение има реални корени и ако има, какъв е техният брой - един или два.

Нека се върнем към уравнението и го пренапишем, като използваме дискриминантната нотация: . И правим изводи:

ако Д<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
ако D=0, тогава това уравнение има един корен;
накрая, ако D>0, тогава уравнението има два корена или, които могат да бъдат пренаписани във формата или и след разширяване и намаляване на дробите до общ знаменателние получаваме.

Така че изведехме формулите за корените на квадратното уравнение, те имат формата , където дискриминантът D се изчислява по формулата D=b 2 −4·a·c.

С тяхна помощ, с положителен дискриминант, можете да изчислите и двата реални корена на квадратно уравнение. Когато дискриминантът е нула, и двете формули дават една и съща коренна стойност, съответстваща на уникално решение на квадратното уравнение. И с отрицателен дискриминант, когато се опитваме да използваме формулата за корените на квадратно уравнение, ние се сблъскваме с извличане на корен квадратен от отрицателно число, което ни извежда извън рамките на училищната програма. С отрицателен дискриминант квадратното уравнение няма реални корени, но има двойка комплексно спрегнаткорени, които могат да бъдат намерени с помощта на същите формули за корени, които получихме.

Алгоритъм за решаване на квадратни уравнения с помощта на коренни формули

На практика, когато решавате квадратни уравнения, можете веднага да използвате формулата на корена, за да изчислите техните стойности. Но това е по-скоро свързано с намирането на сложни корени.

Но в училищния курс по алгебра обикновено говорим не за сложни, а за реални корени на квадратно уравнение. В този случай е препоръчително, преди да използвате формулите за корените на квадратно уравнение, първо да намерите дискриминанта, да се уверите, че е неотрицателен (в противен случай можем да заключим, че уравнението няма реални корени), и едва след това изчислете стойностите на корените.

Горното разсъждение ни позволява да пишем алгоритъм за решаване на квадратно уравнение. За да решите квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0, трябва:

използвайки дискриминантната формула D=b 2 −4·a·c, изчислете стойността му;
заключават, че квадратното уравнение няма реални корени, ако дискриминантът е отрицателен;
изчислете единствения корен на уравнението по формулата, ако D=0;
намерете два реални корена на квадратно уравнение, като използвате формулата за корен, ако дискриминантът е положителен.

Тук просто отбелязваме, че ако дискриминантът е равен на нула, можете също да използвате формулата, тя ще даде същата стойност като .

Можете да преминете към примери за използване на алгоритъма за решаване на квадратни уравнения.

Примери за решаване на квадратни уравнения

Нека разгледаме решения на три квадратни уравнения с положителен, отрицателен и нулев дискриминант. След като се справим с тяхното решение, по аналогия ще бъде възможно да се реши всяко друго квадратно уравнение. Да започнем.

Пример.

Намерете корените на уравнението x 2 +2·x−6=0.

Решение.

В този случай имаме следните коефициенти на квадратното уравнение: a=1, b=2 и c=−6. Според алгоритъма, първо трябва да изчислите дискриминанта; заместваме посочените a, b и c във формулата на дискриминанта, която имаме D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Тъй като 28>0, тоест дискриминантът е по-голям от нула, квадратното уравнение има два реални корена. Нека ги намерим с помощта на формулата за корен, получаваме , тук можете да опростите получените изрази, като направите преместване на множителя отвъд знака за коренпоследвано от намаляване на фракцията:

отговор:

Да преминем към следващия типичен пример.

Пример.

Решете квадратното уравнение −4 x 2 +28 x−49=0 .

Решение.

Започваме с намирането на дискриминанта: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Следователно това квадратно уравнение има един корен, който намираме като , т.е.

отговор:

х=3,5.

Остава да разгледаме решаването на квадратни уравнения с отрицателен дискриминант.

Пример.

Решете уравнението 5·y 2 +6·y+2=0.

Решение.

Ето коефициентите на квадратното уравнение: a=5, b=6 и c=2. Ние заместваме тези стойности в дискриминантната формула, която имаме D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Дискриминантът е отрицателен, следователно това квадратно уравнение няма реални корени.

Ако трябва да посочите сложни корени, тогава прилагаме добре познатата формула за корените на квадратно уравнение и изпълняваме действия с комплексни числа :

отговор:

няма истински корени, сложните корени са: .

Нека отбележим още веднъж, че ако дискриминантът на квадратно уравнение е отрицателен, тогава в училище те обикновено незабавно записват отговор, в който посочват, че няма реални корени и сложни корени не се намират.

Коренна формула за четни втори коефициенти

Формулата за корените на квадратно уравнение, където D=b 2 −4·a·c ви позволява да получите формула с по-компактна форма, която ви позволява да решавате квадратни уравнения с четен коефициент за x (или просто с коефициент от формата 2·n, например, или 14· ln5=2·7·ln5 ). Да я измъкнем.

Да кажем, че трябва да решим квадратно уравнение от формата a x 2 +2 n x+c=0. Нека намерим корените му, използвайки формулата, която знаем. За да направим това, изчисляваме дискриминанта D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c)и след това използваме коренната формула:

Нека обозначим израза n 2 −a c като D 1 (понякога се обозначава D "). Тогава формулата за корените на разглежданото квадратно уравнение с втория коефициент 2 n ще приеме формата , където D 1 =n 2 −a·c.

Лесно се вижда, че D=4·D 1, или D 1 =D/4. С други думи, D 1 е четвъртата част от дискриминанта. Ясно е, че знакът на D 1 е същият като знака на D . Тоест, знакът D 1 също е индикатор за наличието или отсъствието на корени на квадратно уравнение.

И така, за да решите квадратно уравнение с втори коефициент 2·n, трябва

Изчислете D 1 =n 2 −a·c ;
Ако D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Ако D 1 =0, тогава изчислете единствения корен на уравнението, като използвате формулата;
Ако D 1 >0, тогава намерете два реални корена, като използвате формулата.

Нека разгледаме решаването на примера с помощта на формулата за корен, получена в този параграф.

Пример.

Решете квадратното уравнение 5 x 2 −6 x −32=0 .

Решение.

Вторият коефициент на това уравнение може да бъде представен като 2·(−3) . Това означава, че можете да пренапишете оригиналното квадратно уравнение във формата 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, тук a=5, n=−3 и c=−32, и да изчислите четвъртата част от дискриминант: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Тъй като стойността му е положителна, уравнението има два реални корена. Нека ги намерим с помощта на подходящата коренна формула:

Имайте предвид, че беше възможно да се използва обичайната формула за корените на квадратно уравнение, но в този случай ще трябва да се извърши повече изчислителна работа.

отговор:

Опростяване на формата на квадратни уравнения

Понякога, преди да започнете да изчислявате корените на квадратно уравнение с помощта на формули, няма да навреди да зададете въпроса: „Възможно ли е да се опрости формата на това уравнение?“ Съгласете се, че по отношение на изчисленията ще бъде по-лесно да се реши квадратното уравнение 11 x 2 −4 x−6=0, отколкото 1100 x 2 −400 x−600=0.

Обикновено опростяването на формата на квадратно уравнение се постига чрез умножаване или деление на двете страни на определено число. Например в предишния параграф успяхме да опростим уравнението 1100 x 2 −400 x −600=0, като разделихме двете му страни на 100.

Подобна трансформация се извършва с квадратни уравнения, чиито коефициенти не са . В този случай двете страни на уравнението обикновено се разделят на абсолютните стойности на неговите коефициенти. Например, нека вземем квадратното уравнение 12 x 2 −42 x+48=0. абсолютни стойности на неговите коефициенти: НОД(12, 42, 48)= НОД(НОД(12, 42), 48)= НОД(6, 48)=6. Разделяйки двете страни на първоначалното квадратно уравнение на 6, стигаме до еквивалентното квадратно уравнение 2 x 2 −7 x+8=0.

А умножаването на двете страни на квадратно уравнение обикновено се прави, за да се отървем от дробните коефициенти. В този случай умножението се извършва по знаменателите на неговите коефициенти. Например, ако двете страни на квадратното уравнение се умножат по LCM(6, 3, 1)=6, тогава то ще приеме по-простата форма x 2 +4·x−18=0.

В заключение на тази точка отбелязваме, че те почти винаги се отърват от минуса при най-високия коефициент на квадратно уравнение чрез промяна на знаците на всички членове, което съответства на умножаване (или деление) на двете страни по −1. Например, обикновено се преминава от квадратното уравнение −2 x 2 −3 x+7=0 към решението 2 x 2 +3 x−7=0 .

Връзка между корени и коефициенти на квадратно уравнение

Формулата за корените на квадратно уравнение изразява корените на уравнението чрез неговите коефициенти. Въз основа на формулата за корен можете да получите други връзки между корени и коефициенти.

Най-известните и приложими формули от теоремата на Виета са от вида и . По-специално, за даденото квадратно уравнение сборът от корените е равен на втория коефициент с противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член. Например, чрез формата на квадратното уравнение 3 x 2 −7 x + 22 = 0 можем веднага да кажем, че сборът от неговите корени е равен на 7/3, а произведението на корените е равно на 22/3.

Използвайки вече написаните формули, можете да получите редица други връзки между корените и коефициентите на квадратното уравнение. Например, можете да изразите сумата от квадратите на корените на квадратно уравнение чрез неговите коефициенти: .

Референции.

Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за уч образователни институции/ А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

Квадратните уравнения се изучават в 8 клас, така че тук няма нищо сложно. Способността да ги решавате е абсолютно необходима.

Квадратно уравнение е уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където коефициентите a, b и c са произволни числа и a ≠ 0.

Преди да изучавате конкретни методи за решаване, имайте предвид, че всички квадратни уравнения могат да бъдат разделени на три класа:

Нямат корени;
Имате точно един корен;
Те имат два различни корена.

Това е важна разликаквадратни уравнения от линейни, където коренът винаги съществува и е единствен. Как да определим колко корена има едно уравнение? Има нещо прекрасно за това - дискриминант.

Дискриминант

Нека е дадено квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогава дискриминантът е просто числото D = b 2 − 4ac.

Трябва да знаете тази формула наизуст. Сега не е важно откъде идва. Друго нещо е важно: по знака на дискриминанта можете да определите колко корена има едно квадратно уравнение. а именно:

Ако Д< 0, корней нет;
Ако D = 0, има точно един корен;
Ако D > 0, ще има два корена.

Моля, обърнете внимание: дискриминантът показва броя на корените, а не изобщо техните знаци, както по някаква причина много хора вярват. Разгледайте примерите и сами ще разберете всичко:

Задача. Колко корена имат квадратните уравнения:

x 2 − 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Нека напишем коефициентите за първото уравнение и да намерим дискриминанта:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Така че дискриминантът е положителен, така че уравнението има два различни корена. Анализираме второто уравнение по подобен начин:
а = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминантът е отрицателен, няма корени. Последното останало уравнение е:
а = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминантът е нула - коренът ще бъде единица.

Моля, обърнете внимание, че коефициентите са записани за всяко уравнение. Да, дълго е, да, досадно е, но няма да объркате шансовете и да направите глупави грешки. Изберете сами: скорост или качество.

Между другото, ако разберете, след известно време няма да е необходимо да записвате всички коефициенти. Ще извършвате такива операции в главата си. Повечето хора започват да правят това някъде след 50-70 решени уравнения - общо взето не толкова много.

Корени на квадратно уравнение

Сега да преминем към самото решение. Ако дискриминантът D > 0, корените могат да бъдат намерени по формулите:

Основна формула за корените на квадратно уравнение

Когато D = 0, можете да използвате всяка от тези формули - ще получите същото число, което ще бъде отговорът. И накрая, ако Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0.

Първо уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнението има два корена. Нека ги намерим:

Второ уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; с = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнението отново има два корена. Да ги намерим

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \край (подравняване)\]

И накрая, третото уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; с = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнението има един корен. Всяка формула може да се използва. Например първото:

Както можете да видите от примерите, всичко е много просто. Ако знаете формулите и можете да смятате, няма да има проблеми. Най-често възникват грешки при заместване на отрицателни коефициенти във формулата. Тук отново ще ви помогне описаната по-горе техника: погледнете формулата буквално, запишете всяка стъпка - и много скоро ще се отървете от грешките.

Непълни квадратни уравнения

Случва се квадратното уравнение да е малко по-различно от даденото в дефиницията. Например:

x 2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Лесно е да се забележи, че в тези уравнения липсва един от членовете. Такива квадратни уравнения са дори по-лесни за решаване от стандартните: те дори не изискват изчисляване на дискриминанта. И така, нека въведем нова концепция:

Уравнението ax 2 + bx + c = 0 се нарича непълно квадратно уравнение, ако b = 0 или c = 0, т.е. коефициентът на променливата x или свободния елемент е равен на нула.

Разбира се, това е напълно възможно тежък случай, когато и двата коефициента са равни на нула: b = c = 0. В този случай уравнението приема формата ax 2 = 0. Очевидно е, че такова уравнение има един корен: x = 0.

Нека разгледаме останалите случаи. Нека b = 0, тогава получаваме непълно квадратно уравнение под формата ax 2 + c = 0. Нека го трансформираме малко:

Тъй като аритметичният квадратен корен съществува само от неотрицателно число, последното равенство има смисъл само за (−c /a) ≥ 0. Заключение:

Ако в непълно квадратно уравнение от формата ax 2 + c = 0 неравенството (−c /a) ≥ 0 е изпълнено, ще има два корена. Формулата е дадена по-горе;
Ако (−c /a)< 0, корней нет.

Както можете да видите, дискриминант не е необходим - изобщо няма сложни изчисления в непълните квадратни уравнения. Всъщност дори не е необходимо да помним неравенството (−c /a) ≥ 0. Достатъчно е да изразим стойността x 2 и да видим какво има от другата страна на знака за равенство. Ако има положително число, ще има два корена. Ако е отрицателна, изобщо няма да има корени.

Сега нека разгледаме уравнения от вида ax 2 + bx = 0, в които свободният елемент е равен на нула. Тук всичко е просто: винаги ще има два корена. Достатъчно е да разложим полинома на множители:

Изваждане на общия множител извън скоби

Продуктът е нула, когато поне един от факторите е нула. От тук идват корените. В заключение, нека да разгледаме някои от тези уравнения:

Задача. Решаване на квадратни уравнения:

x 2 − 7x = 0;

5x 2 + 30 = 0;

4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Няма корени, т. к квадрат не може да бъде равен на отрицателно число.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Видео урок 2: Решаване на квадратни уравнения

Лекция: Квадратни уравнения

Уравнение

Уравнение- това е вид равенство, в изразите на което има променлива.

Решете уравнението- означава намиране на число вместо променлива, което ще го доведе до правилно равенство.

Едно уравнение може да има едно решение, няколко или нито едно решение.

За да решите всяко уравнение, то трябва да бъде опростено възможно най-много до формата:

Линеен: a*x = b;

квадрат: a*x 2 + b*x + c = 0.

Тоест всички уравнения трябва да бъдат преобразувани в стандартна форма преди решаване.

Всяко уравнение може да бъде решено по два начина: аналитичен и графичен.

На графиката решението на уравнението се счита за точките, в които графиката пресича оста OX.

Квадратни уравнения

Едно уравнение може да се нарече квадратно, ако, опростено, приема формата:

a*x 2 + b*x + c = 0.

В същото време a, b, cса коефициенти на уравнението, които се различават от нула. А "X"- коренът на уравнението. Смята се, че квадратното уравнение има два корена или може изобщо да няма решение. Получените корени може да са еднакви.

"А"- коефициентът, който стои преди квадратния корен.

"б"- стои пред неизвестното на първа степен.

"със"е свободният член на уравнението.

Ако, например, имаме уравнение от вида:

2x 2 -5x+3=0

В него "2" е коефициентът на водещия член на уравнението, "-5" е вторият коефициент, а "3" е свободният член.

Решаване на квадратно уравнение

Има огромно разнообразие от начини за решаване на квадратно уравнение. В училищен курс по математика обаче решението се изучава с помощта на теоремата на Vieta, както и с помощта на дискриминант.

Дискриминантно решение:

При решаване на с този методе необходимо да се изчисли дискриминантът по формулата:

Ако по време на изчисленията откриете, че дискриминантът е по-малък от нула, това означава, че това уравнение няма решения.

Ако дискриминантът е нула, тогава уравнението има две еднакви решения. В този случай полиномът може да бъде свит с помощта на съкратената формула за умножение до квадрат на сумата или разликата. След това го решете като линейно уравнение. Или използвайте формулата:

Ако дискриминантът е по-голям от нула, тогава трябва да използвате следния метод:

Теорема на Виета

Ако уравнението е дадено, тоест коефициентът на водещия член е равен на единица, тогава можете да използвате Теорема на Виета.

Така че нека приемем, че уравнението е:

Корените на уравнението се намират, както следва:

Непълно квадратно уравнение

Има няколко варианта за получаване на непълно квадратно уравнение, чиято форма зависи от наличието на коефициенти.

1. Ако вторият и третият коефициент са нула (b = 0, c = 0), тогава квадратното уравнение ще изглежда така:

Това уравнение ще има уникално решение. Равенството ще бъде вярно само ако решението на уравнението е нула.

Продължавайки темата „Решаване на уравнения“, материалът в тази статия ще ви запознае с квадратни уравнения.

Нека разгледаме всичко подробно: същността и записа на квадратно уравнение, дефиниране на придружаващите термини, анализ на схемата за решаване на непълни и пълни уравнения, запознаване с формулата на корените и дискриминанта, установяване на връзки между корените и коефициентите, и разбира се ще дадем визуално решение на практически примери.

Квадратно уравнение, неговите видове

Определение 1

Квадратно уравнениее уравнение, написано като a x 2 + b x + c = 0, Къде х– променлива, a , b и c– някои числа, докато ане е нула.

Често квадратните уравнения се наричат също уравнения от втора степен, тъй като по същество квадратното уравнение е алгебрично уравнениевтора степен.

Нека дадем пример, за да илюстрираме даденото определение: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 и т.н. Това са квадратни уравнения.

Определение 2

Числата a, b и cса коефициентите на квадратното уравнение a x 2 + b x + c = 0, докато коеф асе нарича първи, или старши, или коефициент при x 2, b - вторият коефициент, или коефициент при х, А cнаречен безплатен член.

Например в квадратното уравнение 6 x 2 − 2 x − 11 = 0водещият коефициент е 6, вторият коефициент е − 2 , а свободният член е равен на − 11 . Нека обърнем внимание на факта, че когато коефициентите bи/или c са отрицателни, тогава се използва кратка форма на формата 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, не 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Нека изясним и този аспект: ако коефициентите аи/или bравен 1 или − 1 , то те могат да не вземат изрично участие в записването на квадратното уравнение, което се обяснява с особеностите на записване на посочените числови коефициенти. Например в квадратното уравнение y 2 − y + 7 = 0водещият коефициент е 1, а вторият коефициент е − 1 .

Редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения

Въз основа на стойността на първия коефициент квадратните уравнения се разделят на редуцирани и нередуцирани.

Определение 3

Редуцирано квадратно уравнениее квадратно уравнение, където водещият коефициент е 1. За други стойности на водещия коефициент квадратното уравнение е нередуцирано.

Да дадем примери: приведени са квадратни уравнения x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, във всяко от които водещият коефициент е 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- нередуцирано квадратно уравнение, където първият коефициент е различен от 1 .

Всяко нередуцирано квадратно уравнение може да бъде преобразувано в редуцирано уравнение чрез разделяне на двете страни на първия коефициент (еквивалентна трансформация). Трансформираното уравнение ще има същите корени като даденото нередуцирано уравнение или също няма да има никакви корени.

Разглеждането на конкретен пример ще ни позволи ясно да демонстрираме прехода от нередуцирано квадратно уравнение към редуцирано.

Пример 1

Дадено е уравнението 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Необходимо е оригиналното уравнение да се преобразува в намалена форма.

Решение

Съгласно горната схема, ние разделяме двете страни на оригиналното уравнение на водещия коефициент 6. Тогава получаваме: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, и това е същото като: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0и по-нататък: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.От тук: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Така се получава уравнение, еквивалентно на даденото.

отговор: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Пълни и непълни квадратни уравнения

Нека се обърнем към дефиницията на квадратно уравнение. В него уточнихме, че a ≠ 0. Подобно условие е необходимо за уравнението a x 2 + b x + c = 0беше точно квадрат, тъй като при а = 0по същество се трансформира в линейно уравнение b x + c = 0.

В случай, че коеф bи cса равни на нула (което е възможно, както поотделно, така и заедно), квадратното уравнение се нарича непълно.

Определение 4

Непълно квадратно уравнение- такова квадратно уравнение a x 2 + b x + c = 0,където поне един от коефициентите bи c(или и двете) е нула.

Пълно квадратно уравнение– квадратно уравнение, в което всички числени коефициенти не са равни на нула.

Нека обсъдим защо видовете квадратни уравнения са дадени точно с тези имена.

Когато b = 0, квадратното уравнение приема формата a x 2 + 0 x + c = 0, което е същото като a x 2 + c = 0. При c = 0квадратното уравнение се записва като a x 2 + b x + 0 = 0, което е еквивалентно a x 2 + b x = 0. При b = 0и c = 0уравнението ще приеме формата a x 2 = 0. Уравненията, които получихме, се различават от пълното квадратно уравнение по това, че техните леви части не съдържат нито член с променливата x, нито свободен член, нито и двете. Всъщност този факт даде името на този тип уравнения – непълни.

Например, x 2 + 3 x + 4 = 0 и − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 са пълни квадратни уравнения; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – непълни квадратни уравнения.

Решаване на непълни квадратни уравнения

Дефиницията, дадена по-горе, позволява да се разграничат следните видове непълни квадратни уравнения:

a x 2 = 0, това уравнение съответства на коефициентите b = 0и с = 0;
a · x 2 + c = 0 при b = 0;
a · x 2 + b · x = 0 при c = 0.

Нека разгледаме последователно решението на всеки тип непълно квадратно уравнение.

Решение на уравнението a x 2 =0

Както бе споменато по-горе, това уравнение съответства на коефициентите bи c, равно на нула. Уравнение a x 2 = 0може да се преобразува в еквивалентно уравнение х 2 = 0, което получаваме, като разделим двете страни на първоначалното уравнение на числото а, не е равно на нула. Очевидният факт е, че коренът на уравнението х 2 = 0това е нула, защото 0 2 = 0 . Това уравнение няма други корени, което може да се обясни със свойствата на степента: за всяко число п,не е равно на нула, неравенството е вярно p 2 > 0, от което следва, че когато p ≠ 0равенство p 2 = 0никога няма да бъде постигнато.

Определение 5

Така за непълното квадратно уравнение a x 2 = 0 има единствен корен х = 0.

Пример 2

Например, нека решим непълно квадратно уравнение − 3 x 2 = 0. То е еквивалентно на уравнението х 2 = 0, единственият му корен е х = 0, тогава първоначалното уравнение има един корен - нула.

Накратко решението е написано по следния начин:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Решаване на уравнението a x 2 + c = 0

Следващото по ред е решението на непълни квадратни уравнения, където b = 0, c ≠ 0, тоест уравнения от вида a x 2 + c = 0. Нека трансформираме това уравнение, като преместим член от едната страна на уравнението в другата, променим знака на противоположния и разделим двете страни на уравнението на число, което не е равно на нула:

трансфер cв дясната страна, което дава уравнението a x 2 = − c;
разделете двете страни на уравнението на а, завършваме с x = - c a .

Нашите трансформации са еквивалентни; съответно полученото уравнение също е еквивалентно на оригиналното и този факт позволява да се направят изводи за корените на уравнението. От това какви са стойностите аи cстойността на израза - c a зависи: може да има знак минус (например ако а = 1и c = 2, след това - c a = - 2 1 = - 2) или знак плюс (например, ако a = − 2и c = 6, тогава - c a = - 6 - 2 = 3); не е нула, защото c ≠ 0. Нека се спрем по-подробно на ситуации, когато - c a< 0 и - c a > 0 .

В случай, когато - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа стрравенството p 2 = - c a не може да бъде вярно.

Всичко е различно, когато - c a > 0: запомнете квадратния корен и ще стане очевидно, че коренът на уравнението x 2 = - c a ще бъде числото - c a, тъй като - c a 2 = - c a. Не е трудно да се разбере, че числото - - c a също е коренът на уравнението x 2 = - c a: наистина, - - c a 2 = - c a.

Уравнението няма да има други корени. Можем да демонстрираме това с помощта на метода на противоречието. Като начало, нека дефинираме обозначенията за корените, намерени по-горе, като х 1и − x 1. Да приемем, че уравнението x 2 = - c a също има корен х 2, което е различно от корените х 1и − x 1. Знаем това чрез заместване в уравнението хнеговите корени, трансформираме уравнението в справедливо числово равенство.

За х 1и − x 1записваме: x 1 2 = - c a , и за х 2- x 2 2 = - c a . Въз основа на свойствата на числовите равенства, ние изваждаме един правилен член по член от друг, което ще ни даде: x 1 2 − x 2 2 = 0. Използваме свойствата на операциите с числа, за да пренапишем последното равенство като (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Известно е, че произведението на две числа е нула тогава и само ако поне едно от числата е нула. От горното следва, че x 1 − x 2 = 0и/или x 1 + x 2 = 0, което е същото x 2 = x 1и/или x 2 = − x 1. Възникна очевидно противоречие, тъй като първоначално беше договорено, че коренът на уравнението х 2различен от х 1и − x 1. И така, доказахме, че уравнението няма други корени освен x = - c a и x = - - c a.

Нека обобщим всички аргументи по-горе.

Определение 6

Непълно квадратно уравнение a x 2 + c = 0е еквивалентно на уравнението x 2 = - c a, което:

няма да има корени в - c a< 0 ;
ще има два корена x = - c a и x = - - c a за - c a > 0.

Нека дадем примери за решаване на уравненията a x 2 + c = 0.

Пример 3

Дадено е квадратно уравнение 9 х 2 + 7 = 0.Необходимо е да се намери решение.

Решение

Нека преместим свободния член в дясната страна на уравнението, тогава уравнението ще приеме формата 9 x 2 = − 7.
Нека разделим двете страни на полученото уравнение на 9 , стигаме до x 2 = - 7 9 . От дясната страна виждаме число със знак минус, което означава: y дадено уравнениебез корени. Тогава първоначалното непълно квадратно уравнение 9 х 2 + 7 = 0няма да има корени.

отговор:уравнение 9 х 2 + 7 = 0няма корени.

Пример 4

Уравнението трябва да се реши − x 2 + 36 = 0.

Решение

Нека преместим 36 надясно: − x 2 = − 36.
Нека разделим двете части на − 1 , получаваме х 2 = 36. От дясната страна има положително число, от което можем да заключим, че x = 36 или x = - 36 .
Нека извлечем корена и запишем крайния резултат: непълно квадратно уравнение − x 2 + 36 = 0има два корена х = 6или x = − 6.

отговор: х = 6или x = − 6.

Решение на уравнението a x 2 +b x=0

Нека анализираме третия тип непълни квадратни уравнения, когато c = 0. Да се намери решение на непълно квадратно уравнение a x 2 + b x = 0, ще използваме метода на факторизиране. Нека факторизираме полинома, който е от лявата страна на уравнението, като извадим общия множител от скоби х. Тази стъпка ще направи възможно трансформирането на оригиналното непълно квадратно уравнение в негов еквивалент x (a x + b) = 0. И това уравнение от своя страна е еквивалентно на набор от уравнения х = 0и a x + b = 0. Уравнение a x + b = 0линеен и неговия корен: x = − b a.

Определение 7

По този начин непълното квадратно уравнение a x 2 + b x = 0ще има два корена х = 0и x = − b a.

Нека затвърдим материала с пример.

Пример 5

Необходимо е да се намери решение на уравнението 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Решение

Ще го извадим хизвън скобите получаваме уравнението x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Това уравнение е еквивалентно на уравненията х = 0и 2 3 x - 2 2 7 = 0. Сега трябва да решите полученото линейно уравнение: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Запишете накратко решението на уравнението, както следва:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 или 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 или x = 3 3 7

отговор: x = 0, x = 3 3 7.

Дискриминант, формула за корените на квадратно уравнение

За намиране на решения на квадратни уравнения има коренна формула:

Определение 8

x = - b ± D 2 · a, където D = b 2 − 4 a c– така нареченият дискриминант на квадратно уравнение.

Записването на x = - b ± D 2 · a по същество означава, че x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Би било полезно да разберете как е получена тази формула и как да я приложите.

Извеждане на формулата за корените на квадратно уравнение

Нека се сблъскаме със задачата да решим квадратно уравнение a x 2 + b x + c = 0. Нека извършим няколко еквивалентни трансформации:

разделете двете страни на уравнението на число а, различни от нула, се получава следното квадратно уравнение: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
Нека изберем пълния квадрат от лявата страна на полученото уравнение:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + в а
След това уравнението ще приеме формата: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
Сега е възможно да прехвърлим последните два термина от дясната страна, променяйки знака на противоположния, след което получаваме: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
Накрая трансформираме израза, записан от дясната страна на последното равенство:
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Така стигаме до уравнението x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , еквивалентно на първоначалното уравнение a x 2 + b x + c = 0.

Разгледахме решението на такива уравнения в предишните параграфи (решаване на непълни квадратни уравнения). Вече натрупаният опит позволява да се направи заключение относно корените на уравнението x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

с b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
когато b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, уравнението е x + b 2 · a 2 = 0, тогава x + b 2 · a = 0.

От тук единственият корен x = - b 2 · a е очевиден;

за b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 ще бъде вярно следното: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 или x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , което е същото като x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 или x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , т.е. уравнението има два корена.

Възможно е да се заключи, че наличието или отсъствието на корени на уравнението x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (и следователно първоначалното уравнение) зависи от знака на израза b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, написани от дясната страна. И знакът на този израз се дава от знака на числителя (знаменател 4 а 2винаги ще бъде положителен), тоест знакът на израза b 2 − 4 a c. Този израз b 2 − 4 a cдадено е името - дискриминантът на квадратното уравнение и буквата D е определена като негово обозначение. Тук можете да запишете същността на дискриминанта - по стойността и знака му могат да направят извод дали квадратното уравнение ще има реални корени и ако да, какъв е броят на корените - един или два.

Нека се върнем към уравнението x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Нека го пренапишем с помощта на дискриминантна нотация: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Нека отново формулираме изводите си:

Определение 9

при г< 0 уравнението няма реални корени;
при D=0уравнението има един корен x = - b 2 · a ;
при D > 0уравнението има два корена: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 или x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Въз основа на свойствата на радикалите тези корени могат да бъдат записани във формата: x = - b 2 · a + D 2 · a или - b 2 · a - D 2 · a. И когато отворим модулите и приведем дробите към общ знаменател, получаваме: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

И така, резултатът от нашите разсъждения беше извеждането на формулата за корените на квадратно уравнение:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, дискриминант гизчислено по формулата D = b 2 − 4 a c.

Тези формули позволяват да се определят и двата реални корена, когато дискриминантът е по-голям от нула. Когато дискриминантът е нула, прилагането на двете формули ще даде същия корен като единственото решение на квадратното уравнение. В случай, че дискриминантът е отрицателен, ако се опитаме да използваме формулата за квадратен корен, ще се сблъскаме с необходимостта да извадим корен квадратен от отрицателно число, което ще ни отведе отвъд реални числа. С отрицателен дискриминант квадратното уравнение няма да има реални корени, но е възможна двойка комплексно спрегнати корени, определени от същите формули за корени, които получихме.

Алгоритъм за решаване на квадратни уравнения с помощта на коренни формули

Възможно е да се реши квадратно уравнение чрез незабавно използване на формулата за корен, но това обикновено се прави, когато е необходимо да се намерят сложни корени.

В повечето случаи това обикновено означава търсене не на комплексни, а на реални корени на квадратно уравнение. Тогава е оптимално, преди да използвате формулите за корените на квадратно уравнение, първо да определите дискриминанта и да се уверите, че той не е отрицателен (в противен случай ще заключим, че уравнението няма реални корени) и след това да преминете към изчисляване на стойност на корените.

Разсъждението по-горе дава възможност да се формулира алгоритъм за решаване на квадратно уравнение.

Определение 10

За решаване на квадратно уравнение a x 2 + b x + c = 0, необходимо:

според формулата D = b 2 − 4 a cнамиране на дискриминантната стойност;
при Д< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
за D = 0, намерете единствения корен на уравнението по формулата x = - b 2 · a;
за D > 0, определете два реални корена на квадратното уравнение, като използвате формулата x = - b ± D 2 · a.

Имайте предвид, че когато дискриминантът е нула, можете да използвате формулата x = - b ± D 2 · a, тя ще даде същия резултат като формулата x = - b 2 · a.

Нека да разгледаме примерите.

Примери за решаване на квадратни уравнения

Нека дадем решения на примери за различни стойности на дискриминанта.

Пример 6

Трябва да намерим корените на уравнението x 2 + 2 x − 6 = 0.

Решение

Нека запишем числените коефициенти на квадратното уравнение: a = 1, b = 2 и c = − 6. След това продължаваме според алгоритъма, т.е. Нека започнем да изчисляваме дискриминанта, за който ще заместим коефициентите a, b и cвъв формулата на дискриминанта: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Така че получаваме D > 0, което означава, че оригиналното уравнение ще има два реални корена.
За да ги намерим, използваме коренната формула x = - b ± D 2 · a и, замествайки съответните стойности, получаваме: x = - 2 ± 28 2 · 1. Нека опростим получения израз, като извадим фактора от знака за корен и след това намалим дробта:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 или x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 или x = - 1 - 7

отговор: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Пример 7

Трябва да се реши квадратно уравнение − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Решение

Нека дефинираме дискриминанта: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. При тази стойност на дискриминанта оригиналното уравнение ще има само един корен, определен по формулата x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

отговор: х = 3,5.

Пример 8

Уравнението трябва да се реши 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Решение

Числените коефициенти на това уравнение ще бъдат: a = 5, b = 6 и c = 2. Използваме тези стойности, за да намерим дискриминанта: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Изчисленият дискриминант е отрицателен, така че оригиналното квадратно уравнение няма реални корени.

В случай, че задачата е да посочим сложни корени, прилагаме формулата на корена, извършвайки действия с сложни числа:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 или x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i или x = - 3 5 - 1 5 · i.

отговор:няма реални корени; сложните корени са както следва: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN училищна програмаНяма стандартно изискване за търсене на сложни корени, следователно, ако по време на решението дискриминантът е определен като отрицателен, веднага се записва отговорът, че няма реални корени.

Коренна формула за четни втори коефициенти

Коренната формула x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) дава възможност да се получи друга формула, по-компактна, позволяваща да се намерят решения на квадратни уравнения с четен коефициент за x ( или с коефициент от формата 2 · n, например 2 3 или 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Нека покажем как се получава тази формула.

Нека се изправим пред задачата да намерим решение на квадратното уравнение a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Продължаваме според алгоритъма: определяме дискриминанта D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) и след това използваме коренната формула:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Нека изразът n 2 − a · c бъде означен като D 1 (понякога се обозначава с D "). Тогава формулата за корените на разглежданото квадратно уравнение с втория коефициент 2 · n ще приеме формата:

x = - n ± D 1 a, където D 1 = n 2 − a · c.

Лесно се вижда, че D = 4 · D 1, или D 1 = D 4. С други думи, D 1 е една четвърт от дискриминанта. Очевидно знакът на D 1 е същият като знака на D, което означава, че знакът на D 1 може също да служи като индикатор за наличието или отсъствието на корени на квадратно уравнение.

Определение 11

По този начин, за да се намери решение на квадратно уравнение с втори коефициент от 2 n, е необходимо:

намерете D 1 = n 2 − a · c ;
в D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
когато D 1 = 0, определете единствения корен на уравнението, като използвате формулата x = - n a;
за D 1 > 0, определете два реални корена, като използвате формулата x = - n ± D 1 a.

Пример 9

Необходимо е да се реши квадратното уравнение 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Решение

Можем да представим втория коефициент на даденото уравнение като 2 · (− 3) . След това пренаписваме даденото квадратно уравнение като 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, където a = 5, n = − 3 и c = − 32.

Нека изчислим четвъртата част от дискриминанта: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Получената стойност е положителна, което означава, че уравнението има два реални корена. Нека ги определим с помощта на съответната коренна формула:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 или x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 или x = - 2

Би било възможно да се извършат изчисления, като се използва обичайната формула за корените на квадратно уравнение, но в този случай решението би било по-тромаво.

отговор: x = 3 1 5 или x = - 2 .

Опростяване на формата на квадратни уравнения

Понякога е възможно да се оптимизира формата на оригиналното уравнение, което ще опрости процеса на изчисляване на корените.

Например, квадратното уравнение 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 очевидно е по-удобно за решаване от 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

По-често опростяването на формата на квадратно уравнение се извършва чрез умножаване или разделяне на двете му страни на определено число. Например, по-горе показахме опростено представяне на уравнението 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, получено чрез разделяне на двете страни на 100.

Такова преобразуване е възможно, когато коефициентите на квадратното уравнение не са взаимно прости числа. Тогава обикновено разделяме двете страни на уравнението на най-голямата общ делителабсолютни стойности на неговите коефициенти.

Като пример използваме квадратното уравнение 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Нека определим GCD на абсолютните стойности на неговите коефициенти: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Нека разделим двете страни на първоначалното квадратно уравнение на 6 и да получим еквивалентното квадратно уравнение 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Като умножите двете страни на квадратно уравнение, обикновено се отървавате от дробните коефициенти. В този случай те се умножават по най-малкото общо кратно на знаменателите на неговите коефициенти. Например, ако всяка част от квадратното уравнение 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 се умножи с LCM (6, 3, 1) = 6, тогава то ще бъде написано в повече в проста форма x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Накрая отбелязваме, че почти винаги се отърваваме от минуса при първия коефициент на квадратно уравнение, като променяме знаците на всеки член на уравнението, което се постига чрез умножаване (или деление) на двете страни по −1. Например от квадратното уравнение − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 можете да отидете до неговата опростена версия 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Връзка между корени и коефициенти

Формулата за корените на квадратните уравнения, която вече ни е известна, x = - b ± D 2 · a, изразява корените на уравнението чрез неговите числени коефициенти. Въз основа на тази формула имаме възможност да зададем други зависимости между корените и коефициентите.

Най-известните и приложими са формулите на теоремата на Виета:

x 1 + x 2 = - b a и x 2 = c a.

По-специално, за даденото квадратно уравнение сумата от корените е вторият коефициент с противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член. Например, като разгледаме формата на квадратното уравнение 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, е възможно незабавно да определим, че сумата от неговите корени е 7 3, а произведението от корените е 22 3.

Можете също така да намерите редица други връзки между корените и коефициентите на квадратно уравнение. Например сумата от квадратите на корените на квадратно уравнение може да бъде изразена чрез коефициенти:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Измислих толкова страхотна теорема за тях,
и те решават чрез дискриминанта:-(((
в) Франсоа Виет „Несъществуващи твърдения“

Коренна формула, или дългият път

Всеки, който е посещавал дори малко уроци по математика в 8. клас, знае формулата за корените на квадратно уравнение. Решението, използващо коренната формула, често се нарича на общ език „решение чрез дискриминанта“. Нека си припомним накратко формулата за корените.

[Можете също да видите съдържанието на тази статия на видео формат ]

Квадратното уравнение има формата брадва 2 +bx+c= 0, където а, b, c- някои числа. Например в ур. 2х 2 + 3х – 5 = 0 тези числа са равни: а = 2, b = 3. c= -5. Преди да решите каквото и да е квадратно уравнение, трябва да „видите“ тези числа и да разберете на какво се равняват.

След това така нареченият дискриминант се изчислява по формулата D=b^2-4ac. В нашия случай D = 3^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49.След това коренът се извлича от дискриминанта: \sqrt(D) = \sqrt(49) = 7 .

След като дискриминантът е изчислен, се използва формулата за корен: x_1=\frac(-b-\sqrt(D))(2a); x_2=\frac(-b+\sqrt(D))(2a):

x_1=\frac(-3-7)(2 \cdot 2)=\frac(-10)(4)=-2,5
x_2= \frac(-3+7)(2 \cdot 2)=\frac(4)(4)=1

И по този начин уравнението е решено. Има два корена: 1 и -2,5.

Но това уравнение, подобно на много други, предложени в училищните учебници/задачи, може да бъде решено много повече по бърз начин, ако знаете няколко лайфхака. И ние не говорим само за теоремата на Виета, въпреки че тя е полезен инструмент.

Life hack първо. Ако а + b + c= 0, тогава x_1=1, x_2=\frac(c)(a) .

Прилага се само ако и трите коефициента в квадратно уравнение са а, b, cкогато се добавят, те дават 0. Например, имахме уравнението 2х 2 + 3х – 5 = 0 . Като добавим и трите коефициента, получаваме 2 + 3 – 5, което е равно на 0. В този случай не можете да преброите дискриминанта и да не приложите формулата за корен. Вместо това можете веднага да напишете това

x_1=1,
x_2=\frac(c)(a)=\frac(-5)(2)=-2,5

(обърнете внимание, че получихме същия резултат във формулата за корените).

Хората често питат дали x_1=1 винаги ще работи? Да, когато и да е а + b + c = 0.

Лайфхак втори. Ако а + c = b, тогава x_1=-1, x_2=-\frac(c)(a) .

Нека уравнението е дадено 5х 2 + 6х + 1 = 0 . В нея а = 5, b = 6, c= 1. Ако съберем “екстремните” коефициенти аи c, получаваме 5+1 = 6, което е точно равно на „средния“ коефициент b. Това означава, че можем и без дискриминант! Веднага записваме:

x_1=-1,
x_2=-\frac(c)(a)=\frac(-1)(5)=-0,2

Лайфхак трети(теоремата, обратна на теоремата на Виета). Ако а= 1, тогава

Помислете за уравнението х 2 – 12х+ 35 = 0. Съдържа a = 1, b = -12, c = 35. Не отговаря нито на първия, нито на втория лайфхак - условията не са изпълнени. Ако отговаря на първото или второто, тогава ще се справим без теоремата на Виета.

Самото използване на теоремата на Виета предполага разбиране на някои полезни техники.

Първа среща. Не се притеснявайте да запишете самата система за преглед \begin(cases) x_1+x_2 = -b \\ x_1 \cdot x_2 = c \end(cases), което се получава чрез използване на теоремата на Vieta. Няма нужда да се опитвате на всяка цена да решите уравнението абсолютно устно, без писмени бележки, както правят „напредналите потребители“.

За нашето уравнение х 2 – 12х+ 35 = 0 тази система има формата

\begin(cases) x_1+x_2 = 12 \\ x_1 \cdot x_2 = 35 \end(cases)

Сега трябва устно да изберем числата x_1 и x_2, които удовлетворяват нашата система, т.е. общото е 12, а когато се умножи е 35.

така че втора срещае, че трябва да започнете избора не със сбора, а с продукта. Нека да разгледаме второто уравнение на системата и да се запитаме: кои числа, когато се умножат, дават 35? Ако всичко е наред с таблицата за умножение, тогава отговорът веднага идва на ум: 7 и 5. И едва сега нека заместим тези числа в първото уравнение: ще имаме 7 + 5 = 12, което е истинско равенство. И така, числата 7 и 5 удовлетворяват и двете уравнения, така че веднага пишем:

x_1 = 7, x_2 = 5

Трети приеме, че ако числата не могат да бъдат намерени бързо (в рамките на 15-20 секунди), тогава, независимо от причината, трябва да изчислите дискриминанта и да използвате формулата за корен. защо Защото корените може да не се намерят, ако уравнението изобщо ги няма (дискриминантът е отрицателен), или корените са числа, които не са цели числа.

Тренировъчни упражнения за решаване на квадратни уравнения

Практикувайте! Опитайте да решите следните уравнения. Разгледайте всяко уравнение в следния ред:

ако уравнението отговаря на първия лайфхак (когато a + b + c = 0), тогава го решаваме с негова помощ;
ако уравнението отговаря на втория лайфхак (когато a + c = b), тогава го решаваме с негова помощ;
ако уравнението отговаря на третия лайфхак (теоремата на Виета), ние го решаваме с негова помощ;
и само в най-краен случай - ако нищо не пасва и/или не е възможно да се реши с помощта на теоремата на Виета - изчисляваме дискриминанта. отново: дискриминант - не на последно място!

Решете уравнението x 2 + 3x + 2 = 0
Вижте решение и отговор
Вижте лайфхака второ
В това уравнение a = 1, b = 3, c = 2. Така a + c = b, откъдето x_1=-1, x_2 = -\frac(c)(a) = -\frac(2)(1)=-2.
Отговор: -1, -2.
Решете уравнението x 2 + 8x – 9 = 0
Вижте решение и отговор
Вижте първо лайфхака
В това уравнение a = 1, b = 8, c = -9. Така a + b + c = 0, откъдето x_1=1, x_2 = \frac(c)(a) = \frac(-9)(1)=-9.
Отговор: 1, -9.
Решете уравнението 15x 2 – 11x + 2 = 0
Вижте решение и отговор
Това уравнение (единственото от целия списък) не попада в нито един от лайфхаковете, така че ще го решим с помощта на кореновата формула:
D=b^2-4ac = (-11)^2 – 4 \cdot 15 \cdot 2 = 121 – 120 = 1.x_1=\frac(11-1)(2 \cdot 15)=\frac(10)(30)=\frac(1)(3)x_2= \frac(11+1)(2 \cdot 15)=\frac(12)(30)=\frac(2)(5)Отговор: \frac(1)(3), \frac(2)(5).
Решете уравнението x 2 + 9x + 20 = 0
Вижте решение и отговор

\begin(cases) x_1+x_2 = -9 \\ x_1 \cdot x_2 = 20 \end(cases)
Чрез селекция установяваме, че x_1 = -4, x_2 = -5.
Отговор: -4, -5.
Решете уравнението x 2 – 7x – 30 = 0
Вижте решение и отговор
Вижте лайфхак три (теоремата на Виета)
В това уравнение a = 1, така че можем да запишем това \begin(cases) x_1+x_2 = 7 \\ x_1 \cdot x_2 = -30 \end(cases)
Чрез селекция установяваме, че x_1 = 10, x_2 = -3.
Отговор: 10, -3.
Решете уравнението x 2 – 19x + 18 = 0
Вижте решение и отговор
Вижте първо лайфхака
В това уравнение a = 1, b = -19, c = 18. Така a + b + c = 0, откъдето x_1=1, x_2 = \frac(c)(a) = \frac(18)(1)=18.
Отговор: 1, 18.
Решете уравнението x 2 + 7x + 6 = 0
Вижте решение и отговор
Вижте лайфхака второ
В това уравнение a = 1, b = 7, c = 6. Така a + c = b, откъдето x_1=-1, x_2 = -\frac(c)(a) = -\frac(6)(1)=-6.
Отговор: -1, -6.
Решете уравнението x 2 – 8x + 12 = 0
Вижте решение и отговор
Вижте лайфхак три (теоремата на Виета)
В това уравнение a = 1, така че можем да запишем това \begin(cases) x_1+x_2 = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = 12 \end(cases)
Чрез селекция установяваме, че x_1 = 6, x_2 = 2.
Отговор: 6, 2.
Решете уравнението x 2 – x – 6 = 0
Вижте решение и отговор
Вижте лайфхак три (теоремата на Виета)
В това уравнение a = 1, така че можем да запишем това \begin(cases) x_1+x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end(cases)
Чрез селекция установяваме, че x_1 = 3, x_2 = -2.
Отговор: 3, -2.
Решете уравнението x 2 – 15x – 16 = 0
Вижте решение и отговор
Вижте лайфхака второ
В това уравнение a = 1, b = -15, c = -16. Така a + c = b, откъдето x_1=-1, x_2 = -\frac(c)(a) = -\frac(-16)(1)=16.
Отговор: -1, 16.
Решете уравнението x 2 + 11x – 12 = 0
Вижте решение и отговор
Вижте първо лайфхака
В това уравнение a = 1, b = 11, c = -12. Така a + b + c = 0, откъдето x_1=1, x_2 = \frac(c)(a) = \frac(-12)(1)=-12.
Отговор: 1, -12.