За да конструирате изображения на няколко части, трябва да можете да намерите проекциите на отделните точки. Например, трудно е да се начертае изглед отгоре на частта, показана на фиг. 139, без да се построяват хоризонтални проекции на точки A, B, C, D, E, F и др.
Проблемът за намиране на проекции на точки една по една, дадени върху повърхността на обект, се решава по следния начин. Първо се намират проекциите на повърхността, върху която се намира точката. След това чрез начертаване на свързваща линия към проекцията, където повърхността е представена с линия, се намира втората проекция на точката. Третата проекция се намира на пресечната точка на комуникационните линии.
Нека разгледаме един пример.
Дадени са три проекции на частта (фиг. 140, а). Дадена е хоризонтална проекция a на точка A, лежаща върху видимата повърхност. Трябва да намерим останалите проекции на тази точка.
На първо място, трябва да начертаете спомагателна права линия. Ако са дадени два изгледа, тогава местоположението на спомагателната линия в чертежа се избира произволно, вдясно от горния изглед, така че изгледът отляво да е на необходимото разстояние от основния изглед (фиг. 141).
Ако вече са конструирани три изгледа (фиг. 142, а), тогава местоположението на спомагателната линия не може да бъде избрано произволно; трябва да намерите точката, през която ще премине. За да направите това, достатъчно е да продължите хоризонталните и профилните проекции на оста на симетрия, докато се пресичат взаимно и през получената точка k (фиг. 142, b) начертайте прав сегмент под ъгъл 45 °, който ще бъде спомагателната права линия.
Ако няма оси на симетрия, тогава хоризонталните и профилни проекции на всяко лице, проектирани под формата на прави сегменти, продължават, докато се пресичат в точка k 1 (фиг. 142, b).
След като начертаят спомагателна линия, те започват да конструират проекции на точката (виж фиг. 140, b).
Фронталната а" и профилната проекция на точка А трябва да бъдат разположени върху съответните проекции на повърхността, към която принадлежи точка А. Тези проекции се намират. На фиг. 140, b те са подчертани в цвят. Начертайте комуникационни линии, както е показано със стрелките. В пресечните точки на комуникационните линии с повърхностните проекции се намират желаните проекции а" и а".
Конструкцията на проекции на точки B, C, D е показана на фиг. 140, в съобщителните линии със стрелки. Дадените точкови проекции са оцветени. Свързващите линии се изчертават към проекцията, върху която повърхността е изобразена като линия, а не като фигура. Затова първо намерете фронталната проекция от точка С. Проекцията на профила от точка С се определя от пресичането на комуникационните линии.
Ако повърхността не е представена с линия на никоя проекция, тогава трябва да се използва спомагателна равнина за конструиране на проекции на точки. Например, дадена е фронтална проекция d на точка А, лежаща на повърхността на конус (фиг. 143, а). През точката, успоредна на основата, се изчертава спомагателна равнина, която ще пресича конуса в кръг; челната му проекция е прав сегмент, а хоризонталната му проекция е кръг с диаметър, равен на дължината на този сегмент (фиг. 143, b). Чрез начертаване на свързваща линия към тази окръжност от точка a се получава хоризонтална проекция a на точка A.
Профилната проекция а" на точка А се намира по обичайния начин в пресечната точка на комуникационните линии.
Използвайки същата техника, можете да намерите проекциите на точка, разположена, например, върху повърхността на пирамида или топка. Когато една пирамида се пресече от равнина, успоредна на основата и минаваща през дадена точка, се образува фигура, подобна на основата. Върху проекциите на тази фигура лежат проекциите на дадена точка.
Отговорете на въпросите
1. Под какъв ъгъл е начертана спомагателната права?
2. Къде начертавате спомагателната права линия, ако са дадени изглед отпред и отгоре, но трябва да построите изглед отляво?
3. Как да определите местоположението на спомагателна линия, ако има три вида?
4. Какъв е методът за конструиране на проекции на точка въз основа на дадена точка, ако една от повърхностите на обект е представена с линия?
5. За какви геометрични тела и в какви случаи проекциите на дадена точка върху повърхността им се намират с помощта на спомагателна равнина?
Задачи към § 20
Упражнение 68
Пишете на работна книга, какви проекции на точките, обозначени с номера на изгледите, съответстват на точките, обозначени на визуалното изображение с букви в примера, посочен ви от учителя (фиг. 144, a-d).
Упражнение 69
На фиг. 145, а-б буквиобозначен само с една проекция на някои от върховете. В примера, даден ви от вашия учител, намерете останалите проекции на тези върхове и ги маркирайте с букви. В един от примерите изградете липсващите проекции на точките, посочени на ръбовете на обекта (фиг. 145, d и e). Маркирайте с цвят проекциите на ръбовете, върху които са разположени точките, на прозрачна хартия, като я поставите на страницата на учебника. Не е необходимо да рисувате отново.
Упражнение 70
Намерете липсващите проекции на точки, определени от една проекция върху видимите повърхности на обекта (фиг. 146). Обозначете ги с букви. Маркирайте дадените проекции на точки с цвят. Визуалното изображение ще ви помогне да разрешите проблема. Задачата може да се изпълни както в работна тетрадка, така и на прозрачна хартия, като се насложи върху страница от учебника. В последния случай преначертайте фигурата. 146 не е необходимо.
Упражнение 71
В примера, даден ви от вашия учител, начертайте отново трите изгледа (фиг. 147). Построете липсващите проекции на посочените точки върху видимите повърхности на обекта. Маркирайте дадените проекции на точки с цвят. Обозначете всички проекции на точки с букви. За да конструирате проекции на точки, използвайте спомагателна права линия. Попълнете технически чертеж и маркирайте посочените точки върху него.
Тази статия е отговорът на два въпроса: „Какво е“ и „Как да намеря координати на проекцията на точката върху равнината"? Първо се дава необходимата информация за проекцията и нейните видове. Следва дефиниция на проекцията на точка върху равнина и графична илюстрация. След това се получава метод за намиране на координатите на проекцията на точка върху равнина. В заключение решения на примери, в които се изчисляват координатите на проекцията на дадена точка върху дадена равнина.
Навигация в страницата.
Проекция, видове проекция – необходима информация.
Когато изучавате пространствени фигури, е удобно да използвате техните изображения в чертежа. Рисунката на пространствена фигура е т.нар проекциятази фигура върху самолет. Процесът на изграждане на изображение на пространствена фигура в равнина протича по определени правила. Така че процесът на конструиране на изображение на пространствена фигура в равнина, заедно с набор от правила, по които се извършва този процес, се нарича проекцияфигури върху дадена равнина. Равнината, в която е изградено изображението, се нарича проекционна равнина.
В зависимост от правилата, по които се извършва проекцията, има централенИ паралелна проекция. Няма да навлизаме в подробности, тъй като това е извън обхвата на тази статия.
Използва се главно в геометрията специален случайпаралелна проекция - перпендикулярна проекция, което се нарича още ортогонален. В името на този тип проекция често се пропуска прилагателното „перпендикулярна“. Тоест, когато в геометрията се говори за проекция на фигура върху равнина, те обикновено имат предвид, че тази проекция е получена с помощта на перпендикулярна проекция (освен ако, разбира се, не е посочено друго).
Трябва да се отбележи, че проекцията на фигура върху равнина е набор от проекции на всички точки на тази фигура върху проекционната равнина. С други думи, за да получите проекцията на определена фигура, трябва да можете да намерите проекциите на точките на тази фигура върху равнината. Следващият параграф на статията показва точно как да намерите проекцията на точка върху равнина.
Проекция на точка върху равнина - определение и илюстрация.
Нека още веднъж подчертаем, че ще говорим за перпендикулярна проекция на точка върху равнина.
Нека направим конструкции, които ще ни помогнат да дефинираме проекцията на точка върху равнина.
Нека влезе триизмерно пространстводадени са ни точка M 1 и равнина. Нека начертаем права a през точка M1, перпендикулярна на равнината. Ако точка M 1 не лежи в равнината, тогава пресечната точка на права линия a и равнината означаваме H 1. Така точка H 1 по конструкция е основата на перпендикуляра, пуснат от точка M 1 към равнината.
Определение.
Проекция на точка M 1 върху равнината- това е самата точка М 1, ако, или точката Н 1, ако.
Това определениеСледното определение е еквивалентно на проекцията на точка върху равнина.
Определение.
Проекция на точка върху равнина– това е или самата точка, ако лежи вътре дадена равнина, или основата на перпендикуляр, пуснат от тази точка към дадена равнина.
На чертежа по-долу точка H 1 е проекцията на точка M 1 върху равнината; точка M 2 лежи в равнината, следователно M 2 е проекцията на самата точка M 2 върху равнината.
Намиране на координатите на проекцията на точка върху равнина - решения на примери.
Нека Oxyz бъде въведено в триизмерно пространство и е дадена точка 
и самолет. Нека си поставим задача: да определим координатите на проекцията на точка M 1 върху равнината.
Решението на задачата логично следва от дефиницията на проекцията на точка върху равнина.
Нека означим проекцията на точка M 1 върху равнината като H 1 . По дефиницията на проекцията на точка върху равнина, H 1 е пресечната точка на дадена равнина и права a, минаваща през точка M 1, перпендикулярна на равнината. По този начин желаните координати на проекцията на точка M 1 върху равнината са координатите на пресечната точка на права линия a и равнина.
следователно за намиране на проекционните координати на точка в самолета имате нужда от:
Нека разгледаме решенията на примерите.
Пример.
Намерете координатите на проекцията на точката 
до самолета 
.
Решение.
В постановката на проблема ни е дадено общо уравнение на равнината от вида , така че няма нужда да го композирате.
Нека напишем каноничните уравнения на правата a, която минава през точката M 1 перпендикулярно на дадената равнина. За да направим това, получаваме координатите на насочващия вектор на правата линия a. Тъй като правата a е перпендикулярна на дадена равнина, насочващият вектор на правата a е нормалният вектор на равнината . т.е. 
- насочващ вектор на права линия a. Сега можем да напишем каноничните уравнения на права в пространството, която минава през точката 
и има вектор на посоката :
.
За да се получат необходимите координати на проекцията на точката върху равнината, остава да се определят координатите на пресечната точка на линията и самолети . За това от канонични уравненияправа преминаваме към уравненията на две пресичащи се равнини, съставяме система от уравнения 
и намери решението му. Ние използваме: 
По този начин проекцията на точката до самолета има координати.
отговор:
Пример.
В правоъгълната координатна система Oxyz в тримерното пространство, точки и 
. Определете координатите на проекцията на точка M 1 върху равнината ABC.
Решение.
Нека първо напишем уравнението на равнина, минаваща през три дадени точки: 
Но нека разгледаме алтернативен подход.
Получаваме параметричните уравнения на правата a, която минава през точката и перпендикулярна на равнината ABC. Нормалният вектор на равнината има координати , следователно векторът 
е насочващият вектор на линията a. Сега можем да напишем параметричните уравнения на права в пространството, тъй като знаем координатите на точката на правата ( ) и координатите на неговия насочващ вектор ( ):
Остава да се определят координатите на пресечната точка на линията и самолети. За да направите това, заменете в уравнението на равнината:
.
Сега според параметричните уравнения Нека изчислим стойностите на променливите x, y и z при: 
.
По този начин проекцията на точка M 1 върху равнината ABC има координати.
отговор:
В заключение, нека обсъдим намирането на координатите на проекцията на определена точка върху координатни равнини и равнини, успоредни на координатни равнини.
Проекции на точка на координатните равнини Oxy, Oxz и Oyz са точки с координати 
и съответно. И проекциите на точката в самолета и 
, които са успоредни съответно на координатните равнини Oxy, Oxz и Oyz, са точки с координати 
И 
.
Нека покажем как са получени тези резултати.
Например, нека намерим проекцията на точката в самолета (други случаи са подобни на този).
Тази равнина е успоредна на координатната равнина Oyz и е нейният нормален вектор. Векторът е насочващият вектор на линия, перпендикулярна на равнината Oyz. Тогава параметричните уравнения на права, минаваща през точка M 1 перпендикулярно на дадена равнина, имат вида .
Нека намерим координатите на пресечната точка на правата и равнината. За да направим това, първо заместваме равенствата в уравнението: , и проекцията на точката
Позицията на точка в пространството може да бъде определена чрез нейните две ортогонални проекции, например хоризонтална и фронтална, фронтална и профилна. Комбинацията от произволни две ортогонални проекции ви позволява да намерите стойността на всички координати на точка, да конструирате трета проекция и да определите октанта, в който се намира. Нека разгледаме няколко типични задачи от курса по дескриптивна геометрия.
За даден комплексен чертеж на точки A и B е необходимо:
Нека първо определим координатите на точка А, които могат да бъдат записани във формата A (x, y, z). Хоризонтална проекция на точка A - точка A", с координати x, y. Нека начертаем перпендикуляри от точка A" към осите x, y и да намерим съответно A x, A y. Координатата x за точка A е равна на дължината на сегмента A x O със знак плюс, тъй като A x лежи в областта на положителните стойности на оста x. Като вземем предвид мащаба на чертежа, намираме x = 10. Координатата y е равна на дължината на сегмента A y O със знак минус, тъй като t A y лежи в областта на отрицателните стойности на y ос. Като се има предвид мащабът на чертежа, y = –30. Фронталната проекция на точка А - точка А"" има координати x и z. Нека спуснем перпендикуляра от A"" към оста z и да намерим A z. Z координатата на точка A е равна на дължината на сегмента A z O със знак минус, тъй като A z лежи в областта на отрицателните стойности на оста z. Като се вземе предвид мащабът на чертежа z = –10. Така координатите на точка А са (10, –30, –10).
Координатите на точка B могат да бъдат записани като B (x, y, z). Помислете за хоризонталната проекция на точка B - точка B". Тъй като тя лежи на оста x, тогава B x = B" и координатата B y = 0. Абсцисата x на точка B е равна на дължината на сегмента B x O със знак плюс. Като се има предвид мащабът на чертежа x = 30. Фронталната проекция на точка B е с координати x, z. Нека начертаем перпендикуляр от B"" към оста z, като по този начин намерим B z. Приложението z на точка B е равно на дължината на сегмента B z O със знак минус, тъй като B z лежи в областта на отрицателните стойности на оста z. Като вземем предвид мащаба на чертежа, определяме стойността z = –20. Така че координатите на B са (30, 0, -20). Всички необходими конструкции са представени на фигурата по-долу.
Построяване на проекции на точки
Точките A и B в равнината P 3 имат следните координати: A""" (y, z); B""" (y, z). В този случай A"" и A""" лежат на един и същ перпендикуляр на оста z, тъй като имат обща z координата. По същия начин B"" и B""" лежат на общ перпендикуляр на оста z. За да намерим профилната проекция на точка А, нанасяме по оста у стойността на съответната координата, намерена по-рано. На фигурата това се прави с помощта на кръгова дъга с радиус A y O. След това начертайте перпендикуляр от A y, докато се пресече с перпендикуляра, възстановен от точка A"" към оста z. Пресечната точка на тези два перпендикуляра определя позицията на A""".
Точка B""" лежи на оста z, тъй като ординатата y на тази точка е нула. За да намерите профилната проекция на точка B в тази задача, трябва само да начертаете перпендикуляр от B"" към оста z. пресечната точка на този перпендикуляр с оста z е B """.
Определяне на положението на точките в пространството
Визуално си представяйки пространственото оформление, съставено от проекционни равнини P 1, P 2 и P 3, местоположението на октантите, както и реда на трансформиране на оформлението в диаграми, можете директно да определите, че точка А се намира в III октант , а точка B лежи в равнината P 2.
Друг вариант за решаване на този проблем е методът на изключенията. Например координатите на точка А са (10, -30, -10). Положителната абциса x ни позволява да преценим, че точката се намира в първите четири октанта. Отрицателна y-ордината показва, че точката е във втория или третия октант. И накрая, отрицателният апликат z показва, че точка А се намира в третия октант. Следната таблица ясно илюстрира горното разсъждение.
| Октанти | Координатни знаци | ||
| х | г | z | |
| 1 | + | + | + |
| 2 | + | – | + |
| 3 | + | – | – |
| 4 | + | + | – |
| 5 | – | + | + |
| 6 | – | – | + |
| 7 | – | – | – |
| 8 | – | + | – |
Координати на точка B (30, 0, -20). Тъй като ординатата на точка B е равна на нула, тази точка се намира в равнината на проекцията P 2. Положителната абсциса и отрицателният апликат на t показват, че се намира на границата на третия и четвъртия октант.
Изграждане на визуално изображение на точки в системата от равнини P 1, P 2, P 3
С помощта на фронтална изометрична проекция изградихме пространствено оформление на III октант. Това е правоъгълен тристен, чиито лица са равнините P 1, P 2, P 3, а ъгълът (-y0x) е 45 º. В тази система сегментите по осите x, y, z ще бъдат начертани в естествен размер без изкривяване.
Нека започнем да конструираме визуално изображение на точка A (10, -30, -10) с нейната хоризонтална проекция A. След като нанесем съответните координати по абсцисната и ординатната ос, намираме точките A x и A y Пресечната точка на перпендикулярите реконструиран съответно от A x и A y към осите x и y, определя позицията на точка A". Отлагайки от A" успоредно на оста z към неговите отрицателни стойности сегмента AA", чиято дължина е 10, намираме позицията на точка A.
Визуалното изображение на точка B (30, 0, -20) се изгражда по подобен начин - в равнината P2 по осите x и z трябва да нанесете съответните координати. Пресечната точка на перпендикулярите, реконструирани от B x и B z, ще определи позицията на точка B.
Спомагателна права линия на сложен чертеж
На чертежа, показан на фиг. 4.7, а,проекционните оси са изчертани, а изображенията са свързани помежду си чрез комуникационни линии. Хоризонталните и профилните проекции са свързани с комуникационни линии с помощта на дъги, центрирани в точката ЗАпресичане на оси. На практика обаче се използва друго изпълнение на сложния чертеж.
В чертежи без оси изображенията също се поставят в проекционна връзка. Третата проекция обаче може да бъде поставена по-близо или по-далеч. Например, профилна проекция може да бъде поставена отдясно (фиг. 4.7, b, II) или наляво (фиг. 4.7, б, аз). Това е важно за спестяване на място и лесно оразмеряване.
ориз. 4.7.
Ако в чертеж, направен с помощта на безосова система, е необходимо да се начертаят комуникационни линии между изглед отгоре и изглед отляво, тогава се използва спомагателна права линия на сложния чертеж. За да направите това, приблизително на нивото на изгледа отгоре и леко вдясно от него, начертайте права линия под ъгъл 45 ° спрямо рамката на чертежа (фиг. 4.8, А). Нарича се спомагателна линия на комплексния чертеж. Процедурата за конструиране на чертеж с помощта на тази права линия е показана на фиг. 4.8, b, c.
Ако вече са конструирани три изгледа (фиг. 4.8, d), тогава позицията на спомагателната линия не може да бъде избрана произволно. Първо трябва да намерите точката, през която ще премине. За да направите това, достатъчно е да продължите до взаимното пресичане на оста на симетрия на хоризонталните и профилните проекции и през получената точка кначертайте прав сегмент под ъгъл 45° (фиг. 4.8, d). Ако няма оси на симетрия, продължете, докато се пресекат в точката к 1 хоризонтални и профилни проекции на всяко лице, проектирано като права линия (фиг. 4.8, d).
ориз. 4.8.
Необходимостта от изчертаване на комуникационни линии и следователно спомагателна права линия възниква при конструиране на липсващи проекции и при изготвяне на чертежи, на които е необходимо да се определят проекциите на точки, за да се изяснят проекциите на отделни елементи на част.
Примери за използване на спомагателната линия са дадени в следващия параграф.
Проекции на точка, разположена върху повърхността на обект
За да конструирате правилно проекции на отделни елементи на част, когато правите чертежи, трябва да можете да намерите проекции на отделни точки във всички изображения на чертежа. Например, трудно е да се начертае хоризонтална проекция на частта, показана на фиг. 4.9, без да се използват проекции на отделни точки ( A, B, C, D, Eи т.н.). Способността да се намират всички проекции на точки, ръбове и лица е необходима и за пресъздаване във въображението на формата на обект от неговите плоски изображения в чертежа, както и за проверка на правилността на завършения чертеж.
ориз. 4.9.
Нека разгледаме начините за намиране на втората и третата проекция на точка, посочена върху повърхността на обект.
Ако на чертеж на обект е дадена една проекция на точка, тогава първо трябва да намерим проекциите на повърхността, върху която се намира тази точка. След това изберете един от двата описани по-долу метода за решаване на проблема.
Първи начин
Този метод се използва, когато на поне една от проекциите тази повърхност е изобразена като линия.
На фиг. 4.10, Аизобразява цилиндър, върху чиято челна проекция е дадена проекцията а"точки а,лежащи върху видимата част от повърхността му (посочените проекции са отбелязани с двуцветни кръгове). Да се намери хоризонталната проекция на точка а,те разсъждават така: точка лежи върху повърхността на цилиндър, чиято хоризонтална проекция е кръг. Това означава, че проекцията на точка, лежаща върху тази повърхност, също ще лежи върху окръжността. Начертайте свързваща линия и маркирайте желаната точка в пресечната й точка с кръга А.Трета проекция а"
ориз. 4.10.
Ако точката IN,лежаща върху горната основа на цилиндъра, определена от неговата хоризонтална проекция б,след това начертайте комуникационни линии, докато се пресекат с прави сегменти, изобразяващи фронталните и профилни проекции на горната основа на цилиндъра.
На фиг. 4.10, b показва детайл - спирка. Да се построят проекции на точка а,дадено от неговата хоризонтална проекция а,намерете две други проекции на горната страна (върху която лежи точката А) и като начертаете свързващи линии, докато се пресекат с прави сегменти, изобразяващи това лице, определете необходимите проекции - точки а"И А".Точка INлежи върху лявото странично вертикално лице, което означава, че неговите проекции ще лежат върху проекциите на това лице. Следователно от дадена точка б"начертайте комуникационни линии (както е показано със стрелки), докато срещнат правите сегменти, представляващи това лице. Фронтална проекция с"точки С,лежащо върху наклонено (в пространството) лице се намира на линията, изобразяваща това лице, а профилът с"– в пресечната точка на комуникационната линия, тъй като профилната проекция на това лице не е линия, а фигура. Построяване на точкови проекции гпоказани със стрелки.
Втори начин
Този метод се използва, когато първият метод не може да се използва. Тогава трябва да направите следното:
- преминавам през дадена проекцияточкова проекция на спомагателна линия, разположена върху дадена повърхност;
- намерете втората проекция на тази линия;
- прехвърлете дадената проекция на точката в намерената проекция на правата (това ще определи втората проекция на точката);
- намерете трета проекция (ако е необходимо) в пресечната точка на комуникационните линии.
На фиг. 4.10 е дадена фронтална проекция а"точки а,лежащи върху видимата част на повърхността на конуса. Да се намери хоризонталната проекция през точка а"извършете фронтална проекция на спомагателна права линия, минаваща през точката Аи върха на конуса. Разберете смисъла V– проекция на пресечната точка на начертаната права с основата на конуса. Имайки фронтални проекции на точки, лежащи на права линия, можете да намерите техните хоризонтални проекции. Хоризонтална проекция sвърхът на конуса е известен. Точка bлежи върху окръжността на основата. През тези точки се начертава сегмент с права линия и към него се прехвърля точка (както е показано със стрелката) А",разбиране на точката А.Трета проекция а"точки Асе намира на пресечната точка на комуникационната линия.
Същият проблем може да бъде решен по различен начин (фиг. 4.10, Ж).
Като спомагателна права, минаваща през точка а,вземете не права линия, както в първия случай, а кръг. Този кръг се образува, ако в точка Апресичат конуса с равнина, успоредна на основата, както е показано на визуалното изображение. Фронталната проекция на този кръг ще бъде представена от сегмент с права линия, тъй като равнината на кръга е перпендикулярна на фронталната равнина на проекциите. Хоризонталната проекция на окръжност има диаметър равен на дължинататози сегмент. След като сте описали кръг с посочения диаметър, изтеглете от точката а"комуникационна линия, докато се пресече със спомагателния кръг, тъй като хоризонталната проекция Аточки Алежи на спомагателната линия, т.е. върху построената окръжност. Трета проекция ac"точки Анамерени на пресечната точка на комуникационните линии.
Използвайки същата техника, можете да намерите проекциите на точка, лежаща върху повърхност, например пирамида. Разликата ще бъде, че когато се пресича с хоризонтална равнина, не се образува кръг, а фигура, подобна на основата.
ПРОЕКТИРАНЕ НА ТОЧКА ВЪРХУ ДВЕ ПРОЕКЦИОННИ РАВНИНИ
Образуването на прав сегмент AA 1 може да бъде представено като резултат от движението на точка А във всяка равнина H (фиг. 84, а), а образуването на равнина като движение на прав сегмент AB (фиг. 84, б).
Точка - главна геометричен елементлинии и повърхности, следователно изучаването на правоъгълната проекция на обект започва с изграждането на правоъгълни проекции на точка.
В пространството на двустенния ъгъл, образуван от две перпендикулярни равнини - фронталната (вертикална) равнина на проекциите V и хоризонталната равнина на проекциите H, поставяме точка А (фиг. 85, а).
Линията на пресичане на проекционните равнини е права линия, която се нарича проекционна ос и се обозначава с буквата x.
V-равнината е изобразена тук като правоъгълник, а H-равнината като успоредник. Наклонената страна на този успоредник обикновено се чертае под ъгъл от 45° спрямо хоризонталната му страна. Дължината на наклонената страна се приема равна на 0,5 от нейната действителна дължина.
От точка A перпендикулярите се спускат върху равнините V и H. Точките a" и a на пресечната точка на перпендикулярите с проекционните равнини V и H са правоъгълни проекции на точка A. Фигурата Aaa x a" в пространството е правоъгълник. Страничната ос на този правоъгълник във визуалното изображение е намалена 2 пъти.
Нека подравним равнините H с равнината V, като завъртим V около линията на пресичане на равнините x. Резултатът е цялостен чертеж на точка А (фиг. 85, b)
За да се опрости сложният чертеж, границите на проекционните равнини V и H не са посочени (фиг. 85, c).
Перпендикулярите, прекарани от точка А към проекционните равнини, се наричат проекционни линии, а основите на тези проекционни линии - точките а и а" - се наричат проекции на точка А: а" е фронталната проекция на точка А, а е хоризонталната проекция от точка А.
Линия a" a се нарича вертикална линия на проекционна връзка.
Местоположението на проекцията на точка в сложен чертеж зависи от позицията на тази точка в пространството.
Ако точка А лежи върху хоризонталната равнина на проекциите H (фиг. 86, а), тогава нейната хоризонтална проекция a съвпада с дадената точка, а фронталната проекция a" е разположена на оста. Когато точка B е разположена на фронталната равнина на проекциите V, нейната фронтална проекция съвпада с тази точка, а хоризонталната проекция на дадена точка C, лежаща на оста X, съвпада с тази точка на точки A, B и C е показано на фиг. 86, b.
ПРОЕКТИРАНЕ НА ТОЧКА ВЪРХУ ТРИ ПРОЕКЦИОННИ РАВНИНИ
В случаите, когато е невъзможно да си представим формата на даден обект от две проекции, той се проектира върху три проекционни равнини. В този случай се въвежда профилна проекционна равнина W, перпендикулярни на равнини V и H. Визуално представяне на системата от три проекционни равнини е дадено на фиг. 87, а.
Ръбовете на тристенния ъгъл (пресечната точка на проекционните равнини) се наричат проекционни оси и се означават с x, y и z. Пресечната точка на проекционните оси се нарича начало на проекционните оси и се обозначава с буквата O. Нека пуснем перпендикуляр от точка A към проекционната равнина W и, маркирайки основата на перпендикуляра с буквата "a", ние вземете профилна проекция на точка А.
За да се получи сложен чертеж на точка А, равнините H и W се комбинират с равнина V, завъртайки ги около осите Ox и Oz. Изчерпателен чертеж на точка А е показан на фиг. 87, б и в.
Сегментите на проектиращите прави от точка А към проекционните равнини се наричат координати на точка А и се обозначават: x A, y A и z A.
Например, координатата z A на точка A, равна на сегмента a"a x (фиг. 88, a и b), е разстоянието от точка A до хоризонталната проекционна равнина H. Координатата y на точка A, равна на сегментът aa x, е разстоянието от точка А до фронталната равнина на проекциите V. Координата x A, равна на сегмента aa y - разстоянието от точка А до профилната равнина на проекциите W.
По този начин разстоянието между проекцията на точка и проекционната ос определя координатите на точката и е ключът към разчитането на нейния комплексен чертеж. От две проекции на точка могат да се определят и трите координати на точката.
Ако са дадени координатите на точка A (например x A = 20 mm, y A = 22 mm и z A = 25 mm), тогава могат да се построят три проекции на тази точка.
За да направите това, от началото на координатите O в посоката на оста Oz се отлага координатата z A и координатата y A се отлага надолу от краищата на отложените сегменти - точки a z и a y (фиг 88, а) - начертайте прави линии, успоредни на оста Ox, и ги поставете на сегменти, равни на координатата A. Получените точки a" и a са фронталната и хоризонталната проекция на точка A.
Използвайки две проекции a" и a на точка A, можете да конструирате нейната профилна проекция по три начина:
1) от началото на координатите O, начертайте спомагателна дъга с радиус Oa y, равен на координатата (фиг. 87, b и c), от получената точка a y1 начертайте права линия, успоредна на оста Oz и отделете сегмент, равен на z A ;
2) от точка a y начертайте спомагателна права линия под ъгъл 45 ° спрямо оста Oy (фиг. 88, а), получете точка a y1 и т.н.;
3) от началото на координатите O, начертайте спомагателна права линия под ъгъл 45 ° спрямо оста Oy (фиг. 88, b), получете точка a y1 и т.н.
