Най-трудното нещо е да се изучават електрически явления в нееднородна електрическа среда. В такава среда ε има различни стойности, променящи се рязко на диелектричната граница. Да приемем, че определяме напрегнатостта на полето на границата между две среди: ε 1 =1 (вакуум или въздух) и ε 2 =3 (течност - масло). На границата, по време на прехода от вакуум към диелектрик, напрегнатостта на полето намалява три пъти, а потокът на вектора на якост намалява със същото количество (фиг. 12.25, а). Рязката промяна на вектора на напрегнатост на електростатичното поле на границата между две среди създава определени трудности при изчисляването на полетата. Що се отнася до теоремата на Гаус, при тези условия тя като цяло губи смисъла си.
Тъй като поляризуемостта и напрежението на различни диелектрици са различни, броят на полевите линии във всеки диелектрик също ще бъде различен. Тази трудност може да бъде елиминирана чрез въвеждане на нова физическа характеристика на полето, електрическа индукция D (или вектор електрическо изместване ).
Според формулата
ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =конст
Умножавайки всички части на тези равенства по електрическата константа ε 0, получаваме
ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 =ε 0 E 0 = const
Нека въведем обозначението ε 0 εE=D тогава предпоследната връзка ще приеме формата
D 1 = D 2 = D 0 = конст
Вектор D, равен на произведението на напрегнатостта на електрическото поле в диелектрика и неговата абсолютна диелектрична константа, се наричавектор на електрическо изместване
(12.45)
Единица за електрическо изместване – висулка на квадратен метър(C/m2).
Електрическото изместване е векторна величина и може също да се изрази като
D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P
(12.46)
За разлика от напрежението E, електрическото изместване D е постоянно във всички диелектрици (фиг. 12.25, b). Следователно е удобно да се характеризира електрическото поле в нехомогенна диелектрична среда не чрез интензитета E, а чрез вектора на изместване D. Вектор D описва електростатичното поле, създадено от свободни заряди (т.е. във вакуум), но с тяхното разпределение в пространството като в присъствието на диелектрик, тъй като свързаните заряди, възникващи в диелектриците, могат да причинят преразпределение на свободните заряди, създаващи полето.
Векторно поле 
се представя графично чрез линии на електрическо изместване по същия начин като полето 
изобразени чрез силови линии.
Линия на електрическо изместване - това са линии, чиито допирателни във всяка точка съвпадат по посока с вектора на електрическото изместване.
Правите на вектор E могат да започват и завършват на всякакви заряди - свободни и свързани, докато линиите на векторг- само при безплатни такси. Векторни линиигЗа разлика от линиите на напрежение, те са непрекъснати.
Тъй като векторът на електрическото изместване не изпитва прекъсване на интерфейса между две среди, всички индукционни линии, произтичащи от заряди, заобиколени от някаква затворена повърхност, ще проникнат през него. Следователно за вектора на електрическото изместване теоремата на Гаус напълно запазва значението си за нехомогенна диелектрична среда.
Теорема на Гаус за електростатично полев диелектрик : потокът на вектора на електрическото изместване през произволна затворена повърхност е равен на алгебричната сума на зарядите, съдържащи се вътре в тази повърхност.
(12.47)
Векторен поток на напрегнатост на електрическото поле.Нека малка платформа гС(фиг. 1.2) кръст електропроводи електрическо поле, чиято посока е с нормалата п
ъгъл към този сайт а. Ако приемем, че векторът на опън д
не се променя в рамките на сайта гС, да дефинираме векторен поток на напрежениепрез платформата гСкак
гЕд =д гС cos а.(1.3)
Тъй като плътността на електропроводите е равна на числената стойност на напрежението д, след това броя на електропроводите, пресичащи районагС, ще бъде числено равно на стойността на потокагЕдпрез повърхносттагС. Нека представим дясната страна на израз (1.3) като скаларно произведение на вектори дИгС= пгС, Къде п– единичен вектор нормален към повърхносттагС. За елементарна площ d Сизраз (1.3) приема формата
dЕд = д d С
В целия сайт Спотокът на вектора на опън се изчислява като интеграл по повърхността
Вектор на потока електрическа индукция. Потокът на вектора на електрическата индукция се определя подобно на потока на вектора на напрегнатостта на електрическото поле
dЕг = г d С
Има известна неяснота в дефинициите на потоците поради факта, че за всяка повърхност по две нормали с обратна посока. За затворена повърхност външната нормала се счита за положителна.
Теорема на Гаус.Нека помислим точка положителнаелектрически заряд р, разположена вътре в произволна затворена повърхност С(фиг. 1.3). Индукционен векторен поток през повърхностния елемент d Сравни 
(1.4)
Компонент d S D = d С cos аповърхностен елемент d Спо посока на индукционния векторгразглежда като елемент от сферична повърхност с радиус r, в центъра на който се намира зарядътр.
|
|
Като се има предвид, че d S D/ r 2 е равно елементарно телесноъгъл dw, под който от точката, където се намира заррвидим повърхностен елемент d С, трансформираме израз (1.4) във формата d Ег = р d w / 4 стр, откъдето след интегриране по цялото пространство около заряда, т.е. в рамките на телесния ъгъл от 0 до 4стр, получаваме
Ег = р.
Векторен поток на електрическа индукция през затворена повърхност свободна формаравен на заряда, съдържащ се в тази повърхност.
|
|
Ако произволна затворена повърхност Сне покрива точков заряд р(Фиг. 1.4), след което, след като изградихме конична повърхност с върха в точката, където се намира зарядът, разделяме повърхността Сна две части: С 1 и С 2. г Вектор на потока Спрез повърхността С 1 и С 2:
.
намираме като алгебрична сума на потоците през повърхностите рИ двете повърхности от точката, където се намира зарядът wвидим от един плътен ъгъл
. Следователно потоците са равни Тъй като при изчисляване на потока през затворена повърхност, ние използвамевъншна норма на повърхността е лесно да се види, че потокът F < 0, тогда как поток Ф1D 2D г> 0. Общ поток Ф = 0. Това означава, че
потокът на вектора на електрическата индукция през затворена повърхност с произволна форма не зависи от зарядите, разположени извън тази повърхност. р 1 , р 2 ,¼ , Ако електричното поле е създадено от система от точкови заряди qn С, която е покрита със затворена повърхност , тогава, в съответствие с принципа на суперпозиция, потокът на индукционния вектор през тази повърхност се определя като сумата от потоците, създадени от всеки от зарядите.:
Потокът на вектора на електрическата индукция през затворена повърхност с произволна форма е равен на алгебричната сума на зарядите, обхванати от тази повърхност Трябва да се отбележи, че такситеци не трябва да са точкови,необходимо условие С- заредената зона трябва да бъде изцяло покрита от повърхността. Ако в пространство, ограничено от затворена повърхност , електрическият заряд се разпределя непрекъснато, тогава трябва да се приеме, че всеки елементарен обем d V С:
(1.6)
има такса. В този случай, от дясната страна на израз (1.5), алгебричното сумиране на зарядите се заменя с интегриране върху обема, затворен вътре в затворена повърхност: Изразът (1.6) е най-общата формулировка. Теоремата на Гаус може да бъде написана и за потока на вектора на напрегнатост на електрическото поле:
.
От теоремата на Гаус следва важна собственостелектрическо поле: силовите линии започват или завършват само с електрически заряди или отиват до безкрайност. Нека подчертаем още веднъж, че въпреки факта, че напрегнатостта на електрическото поле д и електрическа индукция г зависят от местоположението в пространството на всички заряди, потоците на тези вектори през произволна затворена повърхност Ссе определят само тези заряди, които се намират вътре в повърхността С.
Диференциална форма на теоремата на Гаус.Забележете това интегрална формаТеоремата на Гаус характеризира връзката между източниците на електрическо поле (заряди) и характеристиките на електрическото поле (напрежение или индукция) в обема , електрическият заряд се разпределя непрекъснато, тогава трябва да се приеме, че всеки елементарен обем dпроизволна, но достатъчна за формирането на интегрални отношения, величина. Чрез разделяне на обема , електрическият заряд се разпределя непрекъснато, тогава трябва да се приеме, че всеки елементарен обем dза малки обеми V i, получаваме израза
валидни както като цяло, така и за всеки срок. Нека трансформираме получения израз, както следва:
(1.7)
и разгледайте границата, към която изразът от дясната страна на равенството, ограден във къдрави скоби, клони за неограничено разделяне на обема , електрическият заряд се разпределя непрекъснато, тогава трябва да се приеме, че всеки елементарен обем d. В математиката тази граница се нарича разминаваневектор (в този случай векторът на електрическата индукция г):
Векторна дивергенция гв декартови координати:
Така изразът (1.7) се трансформира във вида:
.
Като се има предвид, че при неограничено деление сумата от лявата страна на последния израз преминава в обемен интеграл, получаваме
Получената връзка трябва да бъде изпълнена за всеки произволно избран обем V. Това е възможно само ако стойностите на интеграндите във всяка точка на пространството са еднакви. Следователно дивергенцията на вектора ге свързано с плътността на заряда в същата точка чрез равенството
или за вектора на напрегнатост на електростатичното поле
Тези равенства изразяват теоремата на Гаус в диференциална форма.
Обърнете внимание, че в процеса на преход към диференциалната форма на теоремата на Гаус се получава връзка, която има общ характер:
.
Изразът се нарича формула на Гаус-Остроградски и свързва обемния интеграл на дивергенцията на вектор с потока на този вектор през затворена повърхност, ограничаваща обема.
Въпроси
1) Какво е физически смисълТеорема на Гаус за електростатичното поле във вакуум
2) В центъра на куба има точков зарядр. Какъв е потокът на вектор? д:
а) през цялата повърхност на куба; б) през една от страните на куба.
Ще се променят ли отговорите, ако:
а) зарядът не е в центъра на куба, а вътре в него ; б) зарядът е извън куба.
3) Какво представляват линейната, повърхностната, обемната плътност на заряда.
4) Посочете връзката между плътността на обема и повърхностния заряд.
5) Може ли полето извън противоположно и равномерно заредени паралелни безкрайни равнини да бъде различно от нула?
6) Електрически дипол е поставен вътре в затворена повърхност. Какъв е потокът през тази повърхност
Обща формулировка: Потокът на вектора на напрегнатост на електрическото поле през всяка произволно избрана затворена повърхност е пропорционален на електрическия заряд, съдържащ се вътре в тази повърхност.
В системата SGSE:
В системата SI:
е потокът на вектора на напрегнатост на електрическото поле през затворена повърхност.
- общият заряд, съдържащ се в обема, който ограничава повърхността.
- електрическа константа.
Този израз представлява теоремата на Гаус в интегрална форма.
В диференциална форма теоремата на Гаус съответства на едно от уравненията на Максуел и се изразява по следния начин
в системата SI:
,
в системата SGSE:
Тук е обемната плътност на заряда (в случай на наличие на среда, общата плътност на свободните и свързаните заряди) и е операторът nabla.
За теоремата на Гаус е валиден принципът на суперпозицията, т.е. потокът на вектора на интензитета през повърхността не зависи от разпределението на заряда вътре в повърхността.
Физическата основа на теоремата на Гаус е законът на Кулон или, с други думи, теоремата на Гаус е интегрална формулировка на закона на Кулон.
Теорема на Гаус за електрическа индукция (електрическо изместване).
За поле в материята електростатичната теорема на Гаус може да се напише по различен начин - чрез потока на вектора на електрическото отместване (електрическа индукция). В този случай формулировката на теоремата е следната: потокът на вектора на електрическото изместване през затворена повърхност е пропорционален на свободния електрически заряд, съдържащ се вътре в тази повърхност:
Ако разгледаме теоремата за силата на полето в веществото, тогава като заряд Q е необходимо да вземем сумата от свободния заряд, разположен вътре в повърхността, и поляризационния (индуциран, свързан) заряд на диелектрика:
,
Къде 
,
е поляризационният вектор на диелектрика.
Теорема на Гаус за магнитна индукция
Поток на вектора на магнитната индукция през всяка затворена повърхност равно на нула:
.
Това е еквивалентно на факта, че в природата няма „магнитни заряди“ (монополи), които биха създали магнитно поле, напр. електрически зарядисъздават електрическо поле. С други думи, теоремата на Гаус за магнитната индукция показва, че магнитното поле е вихрово.
Приложение на теоремата на Гаус
За изчисляване на електромагнитните полета се използват следните величини:
Обемна плътност на заряда (виж по-горе).
Плътност на повърхностния заряд
където dS е безкрайно малка повърхност.
Линейна плътност на заряда
където dl е дължината на безкрайно малък сегмент.
Нека разгледаме полето, създадено от безкрайна еднакво заредена равнина. Нека повърхностната плътност на заряда на равнината е еднаква и равна на σ. Нека си представим цилиндър с образуващи, перпендикулярни на равнината, и основа ΔS, разположена симетрично спрямо равнината. Поради симетрията. Потокът на вектора на опън е равен на . Прилагайки теоремата на Гаус, получаваме:
,
от който
в системата SSSE
Важно е да се отбележи, че въпреки своята универсалност и обобщеност, теоремата на Гаус в интегрална форма има относително ограничено приложение поради неудобството при изчисляване на интеграла. Въпреки това, в случай на симетричен проблем, неговото решение става много по-просто от използването на принципа на суперпозицията.
Нека въведем понятието векторен поток на електрическа индукция. Нека разгледаме безкрайно малка област. В повечето случаи е необходимо да знаете не само размера на сайта, но и неговата ориентация в пространството. Нека въведем концепцията за векторна област. Нека се съгласим, че под вектор на площта разбираме вектор, насочен перпендикулярно на площта и числено равен на размера на площта.
Фигура 1 - Към дефиницията на вектор - сайт
Нека наречем векторния поток 
през платформата 
точково произведение на вектори 
И 
. по този начин
Вектор на потока 
през произволна повърхност 
се намира чрез интегриране на всички елементарни потоци
(4)
Ако полето е равномерно и повърхността е равна 
разположени перпендикулярно на полето, тогава:
. (5)
Даденият израз определя броя на силовите линии, пробиващи мястото 
за единица време.
Теорема на Остроградски-Гаус. Разминаване на напрегнатостта на електрическото поле
Векторен поток на електрическа индукция през произволна затворена повърхност 
равна на алгебричната сума на свободните електрически заряди 
, покрита от тази повърхност
(6)
Израз (6) е теоремата O-Gв интегрална форма. Теорема 0-Г оперира с интегралния (общ) ефект, т.е. Ако 
не е известно дали това означава липса на заряди във всички точки на изследваната част от пространството или че сумата от положителни и отрицателни заряди, разположени в различни точки на това пространство, е равна на нула.
За да се намерят разположените заряди и тяхната величина в дадено поле, е необходима връзка, която свързва вектора на електрическата индукция 
в дадена точка със заряд в същата точка.
Да предположим, че трябва да определим наличието на заряд в дадена точка А(фиг.2)
Фигура 2 – За изчисляване на векторна дивергенция
Нека приложим теоремата O-G. Потокът на вектора на електрическата индукция през произволна повърхност, която ограничава обема, в който се намира точката А, е равно
Алгебричната сума на зарядите в обем може да бъде записана като обемен интеграл
(7)
Къде 
- такса за единица обем 
;
- елемент на обема.
Да се получи връзката между полето и заряда в точка Аще намалим обема, като свием повърхността до точка А. В този случай ние разделяме двете страни на нашето равенство на стойността 
. Преминавайки към границата, получаваме:
.
Дясната страна на получения израз по дефиниция е обемната плътност на заряда в разглежданата точка в пространството. Лявата страна представлява границата на съотношението на потока на вектора на електрическата индукция през затворена повърхност към обема, ограничен от тази повърхност, когато обемът клони към нула. Тази скаларна величина е важна характеристика на електрическото поле и се нарича векторна дивергенция 
.
Така:
,
следователно
, (8)
Къде 
- обемна плътност на заряда. 
С помощта на тази връзка просто се решава обратната задача на електростатиката, т.е. намиране на разпределени заряди върху известно поле.
Ако векторът 
е дадено, което означава, че неговите проекции са известни 
,
,
върху координатните оси като функция на координатите и за да се изчисли разпределената плътност на зарядите, създали дадено поле, се оказва, че е достатъчно да се намери сумата от три частни производни на тези проекции по отношение на съответните променливи. В тези точки, за които 
без такси. В точките, където 
положителен, има положителен заряд с обемна плътност, равна на 
, и в онези точки, където 
ще има отрицателна стойност, има отрицателен заряд, чиято плътност също се определя от стойността на дивергенцията.
Израз (8) представя теорема 0-Г в диференциална форма. В тази форма теоремата показва това че източниците на електрическото поле са свободни електрически заряди;силовите линии на вектора на електрическата индукция започват и завършват съответно при положителни и отрицателни заряди.
Цел на урока: Теоремата на Остроградски–Гаус е създадена от руския математик и механик Михаил Василиевич Остроградски под формата на обща математическа теорема и от немския математик Карл Фридрих Гаус. Тази теорема може да се използва при изучаване на физика на специализирано ниво, тъй като позволява по-рационални изчисления на електрическите полета.
Вектор на електрическа индукция
За да се изведе теоремата на Остроградски-Гаус, е необходимо да се въведат такива важни спомагателни понятия като вектора на електрическата индукция и потока на този вектор F.
Известно е, че електростатичното поле често се изобразява чрез силови линии. Да предположим, че определяме напрежението в точка, разположена на границата между две среди: въздух (=1) и вода (=81). В този момент, когато се движите от въздух към вода, силата на електрическото поле според формулата 
ще намалее с 81 пъти. Ако пренебрегнем проводимостта на водата, тогава броят на силовите линии ще намалее със същия фактор. При решаването на различни задачи за изчисляване на полета, поради прекъсването на вектора на напрежението на интерфейса между средата и диелектриците, се създават определени неудобства. За да ги избегнете, се въвежда нов вектор, който се нарича вектор на електрическа индукция:
Векторът на електрическата индукция е равен на произведението на вектора и електрическата константа и диелектричната константа на средата в дадена точка.
Очевидно е, че при преминаване през границата на два диелектрика броят на електрическите индукционни линии не се променя за полето на точковия заряд (1).
В системата SI векторът на електрическата индукция се измерва в кулони на квадратен метър (C/m2). Изразът (1) показва, че числовата стойност на вектора не зависи от свойствата на средата. Графично векторното поле се изобразява подобно на полето на интензитет (например за точков заряд виж фиг. 1). За векторно поле се прилага принципът на суперпозиция:
Електрически индукционен поток
Векторът на електрическата индукция характеризира електрическото поле във всяка точка на пространството. Можете да въведете друго количество, което зависи от стойностите на вектора не в една точка, а във всички точки на повърхността, ограничена от плосък затворен контур.
За да направите това, разгледайте плосък затворен проводник (верига) с повърхност S, поставен в еднородно електрическо поле. Нормалната към равнината на проводника сключва ъгъл с посоката на вектора на електрическата индукция (фиг. 2).
Потокът на електрическа индукция през повърхността S е величина, равна на произведението на модула на вектора на индукция от площта S и косинуса на ъгъла между вектора и нормалата:
Извеждане на теоремата на Остроградски–Гаус
Тази теорема ни позволява да намерим потока на вектора на електрическата индукция през затворена повърхност, вътре в която има електрически заряди.
Нека първо един точков заряд q бъде поставен в центъра на сфера с произволен радиус r 1 (фиг. 3). Тогава 
; . Нека изчислим общия индукционен поток, преминаващ през цялата повърхност на тази сфера: ; 
(). Ако вземем сфера с радиус , тогава също Ф = q. Ако начертаем сфера, която не покрива заряд q, тогава общият поток Ф = 0 (тъй като всяка линия ще влезе в повърхността и ще я напусне друг път).
Така Ф = q, ако зарядът е разположен вътре в затворената повърхност и Ф = 0, ако зарядът е разположен извън затворената повърхност. Потокът Ф не зависи от формата на повърхността. Освен това не зависи от разположението на зарядите в повърхността. Това означава, че полученият резултат е валиден не само за един заряд, но и за произволен брой произволно разположени заряди, само ако имаме предвид под q алгебричната сума на всички заряди, разположени вътре в повърхността.
Теорема на Гаус: потокът на електрическа индукция през всяка затворена повърхност е равен на алгебричната сума на всички заряди, разположени вътре в повърхността: .
От формулата става ясно, че размерът на електрическия поток е същият като този на електрическия заряд. Следователно единицата за електрически индукционен поток е кулон (C).
Забележка: ако полето е неравномерно и повърхността, през която се определя потокът, не е равнина, тогава тази повърхност може да бъде разделена на безкрайно малки елементи ds и всеки елемент може да се счита за плосък, а полето в близост до него е равномерно. Следователно, за всяко електрическо поле, потокът на вектора на електрическата индукция през повърхностния елемент е: dФ=. В резултат на интегрирането общият поток през затворена повърхност S във всяко нехомогенно електрическо поле е равен на: 
, където q е алгебричната сума на всички заряди, заобиколени от затворена повърхност S. Нека изразим последното уравнение по отношение на напрегнатостта на електрическото поле (за вакуум): .
Това е едно от основните уравнения на Максуел за електромагнитното поле, записано в интегрална форма. Той показва, че източникът на постоянното във времето електрическо поле са стационарни електрически заряди.
Приложение на теоремата на Гаус
Поле на непрекъснато разпределени заряди
Нека сега определим силата на полето за редица случаи, като използваме теоремата на Остроградски-Гаус.
1. Електрическо поле на равномерно заредена сферична повърхност.
Сфера с радиус R. Нека зарядът +q е равномерно разпределен върху сферична повърхност с радиус R. Разпределението на заряда върху повърхността се характеризира с плътността на повърхностния заряд (фиг. 4). Плътността на повърхностния заряд е съотношението на заряда към повърхността, върху която е разпределен. . В SI.
Да определим силата на полето:
а) извън сферичната повърхност,
б) вътре в сферична повърхност.
а) Вземете точка А, разположена на разстояние r>R от центъра на заредената сферична повърхност. Нека мислено начертаем през него сферична повърхност S с радиус r, която има общ център със заредената сферична повърхност. От съображения за симетрия е очевидно, че силовите линии са радиални линии, перпендикулярни на повърхността S и равномерно проникват в тази повърхност, т.е. напрежението във всички точки на тази повърхност е постоянно по величина. Нека приложим теоремата на Остроградски-Гаус към тази сферична повърхност S с радиус r. Следователно общият поток през сферата е N = E? S; N=E. От другата страна. Приравняваме: . Следователно: за r>R.
По този начин: напрежението, създадено от еднакво заредена сферична повърхност извън нея, е същото, както ако целият заряд е в центъра (фиг. 5).
б) Нека намерим напрегнатостта на полето в точки, разположени вътре в заредената сферична повърхност. Да вземем точка B на разстояние от центъра на сферата 2. Напрегнатост на полето на равномерно заредена безкрайна равнина Нека разгледаме електрическото поле, създадено от безкрайна равнина, заредена с константа на плътност във всички точки на равнината. От съображения за симетрия можем да приемем, че линиите на опън са перпендикулярни на равнината и насочени от нея в двете посоки (фиг. 6). Нека изберем точка А, разположена вдясно от равнината, и изчислим в тази точка, използвайки теоремата на Остроградски-Гаус. Като затворена повърхност избираме цилиндрична повърхност, така че страничната повърхност на цилиндъра да е успоредна на силовите линии, а основата му да е успоредна на равнината и основата да минава през точка А (фиг. 7). Нека изчислим потока на напрежение през разглежданата цилиндрична повърхност. Потокът през страничната повърхност е 0, защото линиите на напрежение са успоредни на страничната повърхност. Тогава общият поток се състои от потоците и преминаващи през основите на цилиндъра и . И двата потока са положителни =+; =; =; ==; N=2. – сечение от равнината, разположено вътре в избраната цилиндрична повърхност. Зарядът вътре в тази повърхност е q. Тогава ; – може да се приеме като точков заряд) с точка А. За да се намери общото поле, е необходимо да се сумират геометрично всички полета, създадени от всеки елемент: ; .
