Потенциална енергия на взаимодействие точкови такси

Нека два точкови заряда q 1 и q 2 са във вакуум на разстояние r един от друг. Може да се покаже, че потенциалната енергия на тяхното взаимодействие се дава по формулата:

W = kq 1 q 2 /r (3)

Приемаме формула (3) без доказателство. Трябва да се обсъдят две характеристики на тази формула.

Първо, къде е нулевото ниво на потенциална енергия? В края на краищата потенциалната енергия, както се вижда от формула (3), не може да стигне до нула. Но всъщност нулевото ниво съществува и то се намира в безкрайността. С други думи, когато зарядите са разположени безкрайно далеч един от друг, потенциалната енергия на тяхното взаимодействие се дава от равно на нула(което е логично - в този случай зарядите вече не „взаимодействат“). Второ, q 1 и q 2 отново са алгебрични количества заряди, т.е. такси, като се вземе предвид техният знак.

Например, потенциалната енергия на взаимодействие между два заряда със същото име ще бъде положителна. защо Ако ги пуснем, те ще започнат да се ускоряват и ще се отдалечават един от друг.

Тяхната кинетична енергия нараства, следователно потенциалната им енергия намалява. Но в безкрайност потенциалната енергия отива до нула и тъй като намалява до нула, това означава, че е положителна.

Но потенциалната енергия на взаимодействие между различни заряди се оказва отрицателна. Наистина, нека ги отдалечим на много голямо разстояние един от друг - така че потенциалната енергия да е нула - и да ги пуснем. Зарядите ще започнат да се ускоряват, приближавайки се един към друг и потенциалната енергия отново намалява. Но ако беше нула, тогава къде трябва да намалява? Само към отрицателни стойности.

Формула (3) също помага да се изчисли потенциалната енергия на система от заряди, ако броят на зарядите е повече от два. За да направите това, трябва да сумирате енергиите на всяка двойка заряди. Няма да пишем обща формула; Нека по-добре илюстрираме казаното прост пример, показано на фиг. 8

ориз. 8. Взаимодействие на три заряда

Ако зарядите q 1, q 2, q 3 са разположени във върховете на триъгълник със страни a, b, c, тогава потенциалната енергия на тяхното взаимодействие е равна на:

W = kq 1 q 2 /a + kq 2 q 3 /b + kq 1 q 3 /c

потенциал

От формулата W = - qEx виждаме, че потенциалната енергия на заряд q в еднородно поле е право пропорционална на този заряд. Виждаме същото от формулата W = kq 1 q 2 /r потенциалната енергия на заряд q 1, разположен в полето на точков заряд q 2, е право пропорционална на количеството заряд q 1 . Оказва се, че това общ факт: потенциалната енергия W на заряда q във всяко електростатично поле е право пропорционална на стойността на q:

Стойността q вече не зависи от заряда, е характеристика на полето и се нарича потенциал:

Да, потенциал еднородно поле E в точката на абсцисата x е равно на:

Спомнете си, че оста X съвпада с линията на силата на полето. Виждаме, че с нарастването на х потенциалът намалява. С други думи, векторът на силата на полето показва посоката, в която потенциалът намалява. За потенциала на полето на точков заряд q на разстояние r от него имаме:

Мерната единица за потенциал е добре познатият волт. От формула (5) виждаме, че B = J / C.

И така, сега имаме две характеристики на полето: сила (напрежение) и енергия (потенциал). Всеки от тях има своите предимства и недостатъци. Коя характеристика е по-удобна за използване зависи от конкретната задача.

Ако електрическо тялодейства върху електрически заредени тела, тогава той е способен да извършва работа за преместване на заредени тела. Електростатичното поле, създадено от точков заряд, е централно, т.е. силата, действаща върху точков заряд в такова поле, е насочена по правата линия, свързваща заряда на източника и тестовия заряд. По-рано показахме, че всяка централна сила е потенциална, тоест работата на тази сила не зависи от формата на траекторията, а се определя само от началното и крайното положение на тялото.

Нека накратко припомним доказателството на това най-важно твърдение. Нека точков пробен заряд q се движи в централното поле, създадено от неподвижен заряд Q (фиг. 174). Силата, действаща върху пробния заряд, се определя от закона на Кулон

Къде е векторът, начертан от заряда на източника Q до точка А, където се намира пробният заряд. Когато заряд се движи по кръгови дъги с център заряд Q (например по дъги AB, CD), работата на електрическата сила е нула, така че векторите на силата и изместването са взаимно перпендикулярни. При движение в радиална посока (например по сегменти BC, DE) работата зависи само от началното и крайното разстояние до заряда на източника. Така че работата на електростатичното поле при движение по сегментите DE и D1E1 очевидно е равна. Най-красивото доказателство за това твърдение е свързано със симетрията на полето - завъртаме нашата система около оста, минаваща през източника, така че сегментът D1E1 съвпада с сегмента DE - разпределението на полето не се променя, защо трябва полето промяна на работата?

Тъй като принципът на суперпозицията е валиден за напрегнатостта на електростатичното поле, всяко електростатично поле е потенциално. Наистина, нека точковият заряд q е в електрическо поле, създадено от система от неподвижни точкови заряди Q1, Q2, ... ,QN. Когато заряд се движи към малък вектор на изместване, по дефиниция електрическото поле ще върши работа, където

Резултантната сила, действаща върху движещ се заряд q, е равна на сумата от силите, действащи от страна на всеки от неподвижните точкови заряди Qk. Работата, извършена от тази сила, може да се изчисли с помощта на формулата

За да се изчисли работата на крайния участък от траекторията, е необходимо да се раздели траекторията на малки участъци (фиг. 175), след което с помощта на формула (1) да се изчисли работата на всеки малък участък и след това да се сумират

. (2) Всъщност тази сума е двойна, тъй като всяка получена сила е сума от сили, в съответствие с формула (1). Нека отбележим, че във формула (2) резултантната сила се променя, тъй като се изчислява в различни точки на траекторията.

Както показахме по-рано, работата на електрическото поле на точковия заряд не зависи от формата на траекторията, т.е. всеки член във формула (1) не зависи от формата на траекторията, следователно цялата сума не зависи от формата на траекторията. Следователно всяко електростатично поле е потенциално.

Следователно, за точков заряд, разположен в електростатично поле, е възможно да се въведе потенциалната енергия на взаимодействие U(x,y,z). Тази функция има следното физически смисъл: работата на електрическото поле при преместване на точков заряд от една точка с координати (x1,y1,z1) в друга, с координати (x2,y2,z2) е равна на промяната в потенциалната енергия, взета с обратен знак :

. (3) Промяна на входа това определениесъвсем логично: ако електрическото поле е извършило положителна работа (A > 0), тогава неговата енергия намалява (ΔU< 0). Для вычисления работы силы взаимодействия между двумя точечными заряженными телами достаточно подсчитать эту работу при движении вдоль радиального отрезка при изменении расстояния от r1 до r2 (Рис. 176). Если построить зависимость силы взаимодействия между зарядами от расстояния r между телами, тогда площадь под графиком этой зависимости в указанных пределах и будет равна искомой работе (Рис. 177). Зависимость силы электростатического взаимодействия от расстояния аналогична силе гравитационного взаимодействия, с одним существенным отличием: гравитационная сила всегда есть сила притяжения, а электрическая может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания. В частности два положительных заряда отталкиваются. Поэтому выражение для работы электрического поля, будет аналогично формуле для работы гравитационной силы, но иметь противоположный знак

Тази работа е равна на намаляването на потенциалната енергия на взаимодействие, тоест от този израз можем да определим израза за потенциалната енергия на електростатичното взаимодействие на два точкови заряда. (4) С това определение потенциалната енергия на взаимодействие между два заряда с един и същи знак е положителна и клони към нула при безкрайно разстояние между телата. Силата на взаимодействие между заряди с противоположни знаци е насочена в противоположна посока, така че работата на тази сила ще бъде отрицателна, когато разстоянието между зарядите се увеличава. Не е необходимо обаче да правим допълнителни резерви, тъй като формула (4) автоматично отчита знаците на зарядите - ако зарядите са противоположни, тогава техният продукт (и съответно енергията) е отрицателен. Знакът на потенциалната енергия на взаимодействие на зарядите има много ясно значение. Зарядите от същия знак се отблъскват, следователно, когато се „разпръснат“ на безкрайно голямо разстояние, електрическото поле ще извърши положителна работа - следователно първоначално системата от тези заряди има способността да извършва работа, така че нейната енергия е положителна, когато; зарядите се отдалечават един от друг, енергията им намалява до нула. Зарядите с противоположни знаци се привличат един друг; за да ги отдалечат на безкрайно голямо разстояние, външните сили трябва да вършат положителна работа. В този случай енергията на двойка заряди трябва да се увеличи; следователно първоначално тя е отрицателна и когато зарядите се отдалечават един от друг, тя се увеличава до нула. Общо взето нормална ситуация– привличането отговаря на отрицателната енергия, а отблъскването – на положителната. Отбелязваме само, че тази очевидност е валидна само при избора на нулево ниво на потенциална енергия в безкрайността. Формула (4) определя потенциалната енергия на взаимодействие между две точково заредени тела. Стойностите на зарядите на тялото Q и q влизат, както може да се очаква, в тази формула симетрично. Разделянето на зарядите на източник на заряд е условно; Следователно, за предпочитане е тази формула да се напише в симетрична форма: енергията на взаимодействие на два точкови заряда q1 и q2 е равна на , (5) и има смисъла на работата, извършена от полето, когато разстоянието между зарядите се увеличава от r до безкрайност, независимо дали се движи първият заряд или вторият, или накрая и двата заряда се движат, независимо от траекториите на движение и на двата заряда. Освен това е невъзможно да се каже на кой заряд „принадлежи“ тази енергия; в бъдеще ще покажем, че енергията на взаимодействие на зарядите е част от енергията на самото електростатично поле, тоест тя е „размазана“ в цялото цялото пространство, където съществува полето, създадено от тези заряди. Ако системата се състои от повече от два заряда, тогава за да се изчисли енергията на взаимодействие на тези заряди, е необходимо да се сумират енергиите на взаимодействие на всички двойки заряди

тук Uik е енергията на взаимодействие на зарядите qi и qk, разположени на разстояние rik един от друг (фиг. 178).

40 Въпрос:

Електростатично поле – ел. поле на неподвижен заряд.

Фел, действайки върху заряда, го движи, извършвайки работа. В еднородно електрическо поле Fel = qE - постоянен

Работата на полето (електрическата сила) не зависи от формата на траекторията и при затворена траектория = нула.

ПОТЕНЦИАЛНА ЕНЕРГИЯ НА ЗАРЕДЕНО ТЯЛО В ЕДНОРОДНО ЕЛЕКТРОСТАТИЧНО ПОЛЕ

Електростатична енергия- потенциална енергия на система от заредени тела (тъй като те взаимодействат и могат да извършват работа).

Тъй като работата на полето не зависи от формата на траекторията, тогава в същото време

Сравнявайки формулите за работа, получаваме потенциалната енергия на заряда в еднородно електростатично поле

Ако полето върши положителна работа (заедно електропроводи), тогава потенциалната енергия

на заредено тяло намалява (но според закона за запазване на енергията кинетичната енергия нараства) и обратно.

ПОТЕНЦИАЛ НА ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОТО ПОЛЕ

Енергийни характеристики на ел полета.

Равно на отношението на потенциалната енергия на заряд в полето към този заряд.

Скаларна величина, която определя потенциалната енергия на заряд във всяка точка на електрическа система. полета.

Потенциалната стойност се изчислява спрямо избраното нулево ниво.

ПОТЕНЦИАЛНА РАЗЛИКА (или по друг начин НАПРЕЖЕНИЕ)

Това е потенциалната разлика в началните и крайни точкитраектория на заряда.

Напрежението между две точки (U) е равно на потенциалната разлика между тези точки и е равно на работата на полето за преместване на единичен заряд.

ВРЪЗКА МЕЖДУ НАПРЕДЕЛЕНОСТТА НА ПОЛЕТО И ПОТЕНЦИАЛНАТА РАЗЛИКА

Работата, извършена от силите на електрическото поле, създадено от заряда, за да премести заряда от точка 1 до точка 2 е равно на:

Работата, извършена от силите на консервативното поле, е равна на загубата на потенциална енергия:

тогава енергията на потенциалния заряд в зарядното поле е равно на:

Стойността на константата е избрана така, че когато зарядът се отстрани до безкрайност (тоест, когато

) потенциалната енергия ще изчезне, така че

Ясно е, че различни тестови такси И в една и съща точка полетата ще имат различни потенциални енергии И

. Въпреки това отношението за всички тестове таксите ще бъдат еднакви. величина

се нарича потенциал на електрическото поле и е неговата енергийна характеристика. Потенциалът на полето на точков заряд е равен на

Ако полето е създадено от системата

точкови такси, тогава

Къде - разстояние от заряда до първоначалната позиция на зареждане ,

- разстояние от заряда към крайна позициятакса (зареждане се движи от полеви сили).

След това енергията на потенциалния заряд в областта на таксуващата система:

и потенциала

потенциалът на полето, създадено от система от заряди, е равен на алгебричната сума на потенциалите, създадени от всеки от зарядите поотделно.

Познавайки потенциала, можете да намерите потенциалната енергия на заряда в електрическо поле:

Теренна работа срещу заплащане:

Работата е равна на загубата на потенциал, умножена по заряда.

Ако зарядът се отстрани от точка до безкрайност, тогава работата, извършена от силите на полето, е равна на

следователно потенциалът е числено равен на съотношението на работата, която силите на полето извършват върху положителен заряд, когато той се отдалечава от дадена точка до безкрайност, към големината на този заряд. Потенциалът се измерва във волтове:

.

1.5.Връзка между напрежение и потенциал

Електрическото поле може да бъде описано или с помощта на векторно количество (характеристика на мощността) или използване на скалар (енергийна характеристика). Известно е, че силата е свързана с потенциалната енергия:

Къде - оператор Nabla,

.

За заредена частица в електрическо поле:

,

, Тогава

,

, Тогава

- връзка между напрежение и потенциал, или

, или

, или

- векторна проекция във всяка посока равна на скоростта на потенциално намаление по направлението , или

.

Тъй като градиентът на потенциала е насочен в посоката на неговото нарастване, а числената стойност на градиента е мярка за скоростта на това нарастване, можем да кажем, че напрегнатостта на електрическото поле е мярка за скоростта на разпадане на потенциала, или , просто, че е равно на потенциалния спад.

Да се върнем към дефиницията на полевата работа:

,

, следователно циркулацията на вектора в раздел 1=2 е равно на

. Интегралът може да бъде взет по всяка линия, свързваща точки 1 и 2, тъй като работата не зависи от пътя.

За да заобиколите затворен цикъл:

И

- стигна до теорема за циркулацията на вектора на напрегнатост на електростатичното поле.

1.6. Еквипотенциални повърхности

Въображаема повърхност, всички точки на която имат еднакъв потенциал, се нарича еквипотенциална повърхност:

Уравнение на еквипотенциална повърхност.

При движение по еквипотенциална повърхност за сегмент

потенциалът не се променя

. По този начин компонентът на вектора, допирателна към повърхността равно на нула. След това векторът е насочена нормално към еквипотенциалната повърхност във всяка точка, а линиите на напрежение във всяка точка са перпендикулярни на еквипотенциалните повърхности.

Ако еквипотенциалните повърхности са конструирани по такъв начин, че потенциалната разлика за две съседни повърхности да е еднаква, тогава плътността на еквипотенциалните повърхности може да се използва за преценка на силата на полето. Наистина, колкото по-плътни са еквипотенциалните повърхности, толкова повече

, толкова повече .

За еднородно поле еквипотенциалните повърхности са система от равнини, разположени на еднакво разстояние една от друга, перпендикулярни на посоката на полето.

Нека разгледаме еквипотенциалната повърхност на точков заряд. Потенциал на точков заряд (фиг. 1.4)

Така еквипотенциалната повърхност на този заряд ще бъде сфера с радиус центриран в точката на зареждане. Силовите линии, както установихме по-рано, се отклоняват радиално от заряда, ако той

, или конвергират към заряда, ако е „-“. Тоест векторът перпендикулярни на еквипотенциални повърхности.

Потенциална енергия на заряд в електрическо поле.Работа, извършена от силите на електрическото поле при преместване на положителен точков заряд рот позиция 1 до позиция 2, представете си това като промяна в потенциалната енергия на този заряд:

Къде У p1 и У n2 – потенциални енергии на заряда рв позиции 1 и 2. С малко движение на заряда рв полето, създадено от положителен точков заряд Q, промяната в потенциалната енергия е

При окончателното движение на заряда рот позиция 1 до позиция 2, разположени на разстояния r 1 и r 2 от заряда Q,

Ако полето е създадено от система от точкови заряди Q 1 ,Q 2 ,¼ , Q n , тогава промяната в потенциалната енергия на заряда рв това поле:

Дадените формули ни позволяват да намерим само промянапотенциална енергия на точков заряд р, а не самата потенциална енергия. За да се определи потенциалната енергия, е необходимо да се договори в коя точка на полето тя трябва да се счита за равна на нула. За потенциалната енергия на точков заряд рразположен в електрическо поле, създадено от друг точков заряд Q, получаваме

Къде В– произволна константа. Нека потенциалната енергия е нула на безкрайно голямо разстояние от заряда Q(при r® ¥ ), след това постоянен В= 0 и предишният израз приема формата

В този случай потенциалната енергия се определя като работата по преместване на заряд от полевите сили от дадена точка до безкрайно отдалечена. В случай на електрическо поле, създадено от система от точкови заряди, потенциалната енергия на заряда р:

Потенциална енергия на система от точкови заряди.В случай на електростатично поле потенциалната енергия служи като мярка за взаимодействието на зарядите. Нека в пространството има система от точкови заряди Q i(аз = 1, 2, ... , п). енергия взаимодействие на всички птаксите ще се определят от отношението

Къде r ij -разстоянието между съответните заряди, а сумирането се извършва по такъв начин, че взаимодействието между всяка двойка заряди се отчита веднъж.

Потенциал на електростатичното поле.Полето на консервативна сила може да бъде описано не само чрез векторна функция, но еквивалентно описание на това поле може да се получи чрез дефиниране на подходяща скаларна величина във всяка негова точка. За електростатично поле това количество е потенциал на електростатично поле, определена като съотношението на потенциалната енергия на тестовия заряд рдо размера на този заряд, й = Уп/ р, от което следва, че потенциалът е числено равен на потенциалната енергия, притежавана от единица положителен заряд в дадена точка от полето. Мерната единица за потенциал е волт (1 V).

Потенциал на точковия заряд Qв хомогенна изотропна среда с диелектрична константа д :

Принцип на суперпозиция.Потенциалът е скаларна функция, за нея е валиден принципът на суперпозицията. И така, за потенциала на полето на система от точкови заряди Q 1, Q 2 ¼ ,Qпимаме

Къде rаз- разстояние от полева точка с потенциал й, за зареждане Q i. Ако зарядът е произволно разпределен в пространството, тогава

Къде r- разстояние от елементарния обем d х,г г,г zкъм точка ( х, г, z), където се определя потенциалът; V- обемът на пространството, в което се разпределя зарядът.

Потенциал и работа на силите на електричното поле.Въз основа на определението за потенциал може да се покаже, че работата, извършена от силите на електрическото поле при преместване на точков заряд рот една точка на полето до друга е равна на произведението от големината на този заряд и потенциалната разлика в началната и крайната точка на пътя, А=р (й 1 - й 2 ) .
Ако по аналогия с потенциалната енергия приемем, че в точки, безкрайно отдалечени от електрически заряди - източници на поле, потенциалът равно на нула, тогава работата на силите на електрическото поле при преместване на заряд рот точка 1 до безкрайност може да се представи като А ¥ = рй 1 .
По този начин потенциалът в дадена точка на електростатичното поле е физическо количество, числено равна на работата, извършена от силите на електрическото поле при преместване на единичен положителен точков заряд от дадена точка в полето до безкрайно отдалечена: й = А ¥ / р.
В някои случаи потенциалът на електрическото поле е по-ясно дефиниран като физическа величина, числено равна на работата на външните сили срещу силите на електрическото поле при преместване на единица положителен точков заряд от безкрайност до дадена точка. Удобно е последната дефиниция да се напише по следния начин:

IN съвременна наукаи технологията, особено когато се описват явления, случващи се в микрокосмоса, единица работа и енергия, наречена електрон-волт(eV). Това е работата, извършена при преместване на заряд, равен на заряда на електрона, между две точки с потенциална разлика от 1 V: 1 eV = 1,60 × 10 - 1 9 кл × 1 V = 1,60 × 10 - 1 9 Дж.

Въпроси

1) Определете потенциала на дадена полева точка и потенциалната разлика между две полеви точки.

2) Дайте графики на силата на полето и потенциала спрямо разстоянието за еднакво заредена сферична повърхност. Дайте тяхното обяснение и обосновка.

Енергията на система от точкови заряди като сума от енергията на двойното взаимодействие на зарядите (и принципа на суперпозиция)

Потенциална енергия на заряд в електрическо поле.Работа, извършена от силите на електрическото поле при преместване на положителен точков заряд р от позиция 1 до позиция 2, представете си това като промяна в потенциалната енергия на този заряд:

При окончателното движение на заряда рот позиция 1 до позиция 2, разположени на разстояния r 1 и r 2 от заряда Q,

Ако полето е създадено от система от точкови заряди Q 1 , Q 2 ¼, Q n , тогава промяната в потенциалната енергия на заряда р в това поле:

Къде В– произволна константа. Нека потенциалната енергия е нула на безкрайно голямо разстояние от заряда Q(при r ® ¥), тогава константата В = 0 и предишният израз приема формата

Потенциална енергия на система от точкови заряди.В случай на електростатично поле потенциалната енергия служи като мярка за взаимодействието на зарядите. Нека в пространството има система от точкови заряди Q аз (аз = 1, 2, ... ,п). енергия взаимодействие на всички птаксите ще се определят от отношението

Къде r ij - разстоянието между съответните заряди, а сумирането се извършва по такъв начин, че взаимодействието между всяка двойка заряди се отчита веднъж.

Потенциал на електростатичното поле.Полето на консервативна сила може да бъде описано не само чрез векторна функция, но еквивалентно описание на това поле може да се получи чрез дефиниране на подходяща скаларна величина във всяка негова точка. За електростатично поле това количество е потенциал на електростатичното поле, определена като съотношението на потенциалната енергия на тестовия заряд рспрямо величината на този заряд, j = Уп/ р, от което следва, че потенциалът е числено равен на потенциалната енергия, притежавана от единица положителен заряд в дадена точка от полето. Мерната единица за потенциал е волт (1 V).

Потенциал на точковия заряд Q в хомогенна изотропна среда с диелектрична константа e:

Къде r аз- разстояние от полева точка с потенциал j до заряда Q аз. Ако зарядът е произволно разпределен в пространството, тогава

Къде r - разстояние от елементарния обем d х,г г,г zкъм точка ( х, г, z), където се определя потенциалът; V- обемът на пространството, в което се разпределя зарядът.

Потенциал и работа на силите на електричното поле.Въз основа на определението за потенциал може да се покаже, че работата, извършена от силите на електрическото поле при преместване на точков заряд рот една точка на полето до друга е равна на произведението от големината на този заряд и потенциалната разлика в началната и крайната точка на пътя, А = р(j 1 - j 2). Ако по аналогия с потенциалната енергия приемем, че в точки, безкрайно отдалечени от електрически заряди - източници на поле, потенциалът е нула, тогава работата на силите на електрическото поле при движение на заряд рот точка 1 до безкрайност може да се представи като А ¥ = р j 1. По този начин потенциалът в дадена точка на електростатичното поле е физическа величина, числено равна на работата, извършена от силите на електрическото поле при преместване на единица положителен точков заряд от дадена точка в полето до безкрайно отдалечена: j = А ¥ / р. В някои случаи потенциалът на електрическото поле е по-ясно дефиниран като физическа величина, числено равна на работата на външните сили срещу силите на електрическото поле при преместване на единица положителен точков заряд от безкрайност до дадена точка. Удобно е последната дефиниция да се напише по следния начин:

В съвременната наука и технологии, особено когато се описват явления, случващи се в микрокосмоса, единица работа и енергия, т.нар. електрон-волт(eV). Това е работата, извършена при преместване на заряд, равен на заряда на електрона, между две точки с потенциална разлика от 1 V: 1 eV = 1,60 × 10 -19 C × 1 V = 1,60 × 10 -19 J.

Интегрално представяне на енергията на непрекъснато разпределение на заряда, c сравнение със случая на енергия на система от точкови заряди

Нека има заряд в обемен елемент. За да определите енергията на взаимодействие на всички елементи в обем V, можете да използвате формула (12.4). , преминавайки в него от сумата към интеграла:

Къде е потенциалът, създаден от всички заряди в точката, където се намира зарядът.

При първото зареждане формулите (12.4) и (12.5) изглеждат подобни, особено след като (12.5) е „изведено“ от (12.4). Между тях обаче има фундаментална разлика. Формула (12.4) отчита само енергията на взаимодействие между заредените топки, но не взема предвид енергията на взаимодействие между елементите на зарядите, разположени на всяка топка. И (12.5) взема предвид както първото, така и второто.

Като се има предвид горното, енергията на взаимодействие на зарядите може да бъде записана във формата:

Количеството е енергията на заредените топки, като се вземе предвид взаимодействието на зарядите един с друг върху всяка топка. Собствената енергия зависи от законите за разпределение на зарядите върху топката и стойностите на зарядите. Ако има самотна топка, тогава.

Тогава (12.7)

Това означава, че собствената енергия на точков заряд е равна на безкрайност.

Но при . Това води до сериозни затруднения при използването на модела на точков заряд.

Електрическа енергия на зареден самотен проводник и кондензатор

Ако изолиран проводник има заряд q, тогава около него има електрическо поле, чийто потенциал на повърхността на проводника е равен на , а капацитетът е C. Нека увеличим заряда с количеството dq. При прехвърляне на заряд dq от безкрайност трябва да се извърши работа, равна на . Но потенциалът на електростатичното поле на даден проводник в безкрайност е нула. Тогава

При прехвърляне на заряд dq от проводник към безкрайност, същата работа се извършва от силите на електростатичното поле. Следователно, когато зарядът на проводника се увеличи с количеството dq, потенциалната енергия на полето се увеличава, т.е.

Чрез интегриране на този израз намираме потенциалната енергия на електростатичното поле на зареден проводник, когато зарядът му нараства от нула до q:

Прилагайки връзката, можем да получим следните изрази за потенциалната енергия W:

Енергията на електростатичното поле, изразена като обемен интеграл от векторите на интензитета E и електрическото изместванег .

Израз на силата, действаща върху проводник, потопен в течен или газообразен диелектрик, по отношение на обемната енергийна плътност на електрическото поле в близост до проводника.

При наличието на среда изчисляването на силите, действащи върху проводници и диелектрици, става по-сложно.

Първо, изразът за обемната сила става несправедлив, дори ако имаме предвид плътността на молекулния заряд. Това се дължи на факта, че има средна макроскопична плътност, която не отчита поляризацията на отделните молекули. Междувременно в нееднородно електрическо поле върху поляризирана молекула действа сила. Човек може да се опита да осредни тази сила спрямо обема, но такава процедура среща значителни трудности. Нека използваме енергийния метод за изчисляване на силите.

Нека да разгледаме няколко типични задачи. Нека намерим силата, действаща върху диелектрична топка, поставена в слабо нехомогенно поле. Последното условие означава, че полето трябва да се променя малко в зависимост от размера на топката. Тогава диполният момент на топката ще бъде приблизително същият като в еднородно поле: където E е външното поле (при липса на топка). Тъй като моментът на топката е пропорционален на полето, тя се държи като квазиеластичен дипол и следователно нейната енергия в полето е . Нека сега извършим виртуално движение на топката във външно нехомогенно поле и запишем енергийния баланс: където е силата, действаща върху топката от полето:

(19.1)

т.е. диелектрикът се изтегля в силно поле. Ако (слаб диелектрик), тогава изразът (19.1) е валиден за диелектрик с произволна форма, тъй като в този случай взаимодействието на отделни секции на диелектрика, които са поляризирани независимо един от друг, може да бъде пренебрегнато. Тогава обемната сила, действаща върху диелектрика, е

(19.2)

определя се от промяната в енергийната плътност на електрическото поле, когато се въведе диелектрик.

В допълнение към силата, действаща в нееднородно електрическо поле върху диелектрика като цяло, в него възникват и вътрешни напрежения, наречени стрикционни сили. Помислете за диелектрична плоча, поставена в плосък кондензатор (фиг. 11.5). Ясно е, че под действието на стрикционните сили плочата е леко

ориз. 11.5. Към изчисляването на стрикционните сили.

се простира покрай полето. Нека се опитаме да изчислим стрикционните сили в този пример. Да използваме енергийния метод. Когато плочата е леко разтегната, промяната в енергията на полето се състои от две части. Първо, в слоя енергията на полето във вакуум се заменя с енергията на полето в средата. Тук полето във вакуумната междина не се променя, когато диелектрикът се деформира, тъй като приемаме заряда на кондензатора непроменен (виж по-горе). ). Второ, необходимо е да се вземе предвид промяната в енергията в целия обем на веществото поради промени в неговата плътност, от която зависи проницаемост: Къде Частичната производна се взема тук при постоянна температура, за да се елиминира зависимостта от температурата. Общият енергиен баланс на единица площ на диелектрика има формата

Оттук и напрежението, действащо върху диелектрика

(19.4)

може да се разглежда като разликата в напрежението между външната и вътрешната страна диелектрик, където E е електрическото поле вътре в последния.

Обикновено строгото налягане е количеството

(19.5)

Това налягане не допринася за силата, действаща върху диелектрика като цяло, при условие че е заобиколен от вакуум.

Нека накрая разгледаме произволна система от заредени тела, потопени в хомогенен течен диелектрик. Както вече знаем, такава среда отслабва полето два пъти, без да променя конфигурацията му. От тук по-специално следва, че енергията на полето също е няколко пъти по-малка, отколкото във вакуум. Това означава, че работата на движещите се заряди и силите между телата също намаляват с коефициент. На пръв поглед това заключение изглежда тривиално: тъй като полето намалява с фактор, тогава силата на неговото влияние върху заряда трябва да намалее със същата сума. Но под полето в средата разбираме средното поле, докато локалното поле, действащо върху заряда, зависи от формата на кухината, тоест от формата на зареденото тяло. За да разберем какво се случва тук, нека се върнем към предишния пример. Нека сега диелектрикът е течен и запълва целия кондензатор. Можем обаче да си представим, че между диелектрика и кондензаторната пластина има много

тънък процеп, в който полето е равно, така че всички предишни съображения остават валидни. В този случай налягането на полето директно върху плочата е равно, т.е. същото като във вакуум, вместо очакваното отслабване с фактор. Този пример потвърждава, че силата, упражнявана от полето върху заредено тяло, наистина зависи от формата на тялото.

Въпреки това, течен диелектрик, като правило, има механичен контакт с тялото и също така действа върху него с определена сила, която в разглеждания пример се дава от израз (19.4). И накрая, необходимо е да се вземе предвид допълнителното налягане в течността, което възниква поради електрическото поле и е равно на стриктното налягане (19.5). По този начин, общото налягане върху плочата

(19.6)

според енергийните съображения.

Нека подчертаем още веднъж, че такъв прост резултат се получава само за течен хомогенен диелектрик. Механичният контакт на проводници с твърд диелектрик по правило е несигурен. В допълнение, вътрешните еластични напрежения сега зависят не от локалното стриктно налягане, а от силите, действащи върху целия диелектрик.