Lavoro di ricerca "problemi di taglio". Problemi di taglio e ritaglio delle figure: i raggi CB e CA coincidono

Di fronte a te c'è un pezzo di carta con l'immagine di: a) un triangolo, b) una stella a cinque punte, c) un poligono a forma di cigno che nuota. In ogni caso venire con, come piegare un pezzo di carta in modo che la forma corrispondente possa poi essere ritagliata con un taglio dritto e continuo con le forbici.

Traccia

In tutti i casi, la soluzione consiste quasi interamente in passaggi di due tipi: è necessario sommare lungo la bisettrice alcuni degli angoli associati alla figura (in modo da “ridurre” il numero di segmenti rimanenti non sulla stessa linea) , oppure lungo la perpendicolare di uno dei segmenti (per “adattarne” la lunghezza alla lunghezza desiderata).

Soluzione

Le figure seguenti mostrano come piegare le forme dalla formulazione del problema per poi ritagliarle ciascuna con un solo taglio.

Con un triangolo tutto è più o meno chiaro: aggiungiamo lungo una bisettrice, poi lungo l'altra (Fig. 1).

Anche la stella è abbastanza facile da gestire. Per prima cosa devi piegarlo a metà lungo l'asse di simmetria (un'azione del tutto naturale, poiché puoi “dimezzare” la figura in un colpo solo). Quindi - combina tra loro i due raggi della stella, aggiungendo lungo la bisettrice del suo angolo “esterno”. Successivamente, dal contorno rimarranno solo tre segmenti, che sono facili da combinare (Fig. 2).

Il cigno è la cosa più difficile. Ciò è comprensibile: una figura senza simmetrie, con un gran numero di lati; pertanto, sarà necessario un gran numero di pieghe. Lo schema per la piegatura è mostrato in Fig. 3. Le semplici linee tratteggiate rappresentano le pieghe verso il basso; le linee punto-linea rappresentano le pieghe verso l'alto. Per prima cosa devi segnare queste pieghe separatamente in modo che il foglio assuma la forma del tetto di una casa, e solo dopo piegare il foglio in una forma piatta.

Una serie di fotografie mostra l'intero processo di piegatura:

Leggete nella postfazione da dove viene questo ingegnoso sistema di pieghe.

Epilogo

Tutte le opzioni proposte nella condizione sono solo casi speciali della domanda generale, che suona così:

Dato un poligono su un foglio di carta piano, è possibile piegare questo foglio in modo che il poligono possa essere ritagliato con un taglio dritto?

Si scopre che, indipendentemente dalla forma del poligono, la risposta a questa domanda è sempre positiva: sì, puoi. (Naturalmente, ora stiamo discutendo di questo problema dal punto di vista matematico e non tocchiamo il lato “fisico” della questione: è impossibile piegare un foglio di carta troppe volte. Si ritiene che sia impossibile piegare anche carta molto sottile più di 7-8 volte, è quasi così: con un po' di sforzo si possono fare 12 pieghe, ma difficilmente si riesce a farne di più.)

Inoltre, se vengono disegnati più poligoni, il foglio può ancora essere piegato in modo che possano essere ritagliati tutti con un solo taglio (e non verrà tagliato nulla in più). Il punto è che è vero quanto segue teorema:

Si disegni un grafico arbitrario su un pezzo di carta. Quindi questo foglio può essere piegato in modo che questo grafico possa essere ritagliato con un solo taglio e non verrà tagliato nulla di superfluo.

Questo teorema ha una dimostrazione algoritmica. Cioè, la sua dimostrazione fornisce una ricetta esplicita su come costruire il sistema di pieghe richiesto.

In breve la sostanza è questa. Per prima cosa dobbiamo costruire uno scheletro dritto. Questo è un insieme di linee - le traiettorie dei vertici del poligono originale - lungo le quali si muovono durante la sua speciale compressione. La compressione funziona così: spostiamo i lati del poligono “verso l'interno” a velocità costante, in modo che ciascun lato si muova senza cambiare direzione. Come puoi facilmente vedere, inizialmente i vertici strisciano lungo le bisettrici degli angoli del poligono. Cioè, questa strana costruzione a prima vista generalizza semplicemente l'idea proposta nel suggerimento: che dovresti provare ad aggiungere lungo le bisettrici degli angoli di un poligono. Si noti che durante il processo di compressione, il poligono può “sfasciarsi” in pezzi, come è accaduto in Fig. 5.

Dopo aver ottenuto lo scheletro, da ciascuno dei suoi vertici è necessario disegnare raggi perpendicolari a quei lati della figura originale su cui possono essere disegnati. Se il raggio incontra una linea dello scheletro, dopo averlo attraversato dovrebbe continuare non direttamente, ma lungo la sua immagine speculare rispetto a questa linea. Il sistema di piega è costituito da linee disegnate.

Maggiori informazioni su questo e su come determinare la direzione della piega (“su” o “giù”) possono essere trovate nell'articolo E. D. Demaine, M. L. Demaine, A. Lubiw, 1998. Folding and Cutting Paper. Una breve storia e un altro approccio alla risoluzione del problema si possono trovare sulla pagina di Eric Demain, uno degli autori della dimostrazione del teorema. Puoi anche leggere una storia un po' più popolare su questo teorema (purtroppo anche in inglese). E infine, ti consiglio di guardare il cartone animato "Studi matematici", in cui puoi vedere chiaramente come piegare un triangolo e una stella e poi ritagliarli con un solo taglio.

Infine, noto che da tempo vengono sollevate questioni simili a quelle discusse sopra. Ad esempio, in un libro giapponese del 1721, come uno dei problemi, ai lettori veniva chiesto di ritagliare una figura da tre rombi uniti usando un taglio (Fig. 6). Successivamente, il famoso illusionista Harry Houdini spiegò nel suo libro il metodo per ritagliare una stella. A proposito, secondo la leggenda, proprio perché una stella del genere può essere rapidamente ritagliata dalla carta o dal tessuto, ora vediamo stelle a cinque punte sulla bandiera degli Stati Uniti: la sarta Betsy Ross, che, secondo la leggenda, cucì la prima bandiera, è riuscito a convincere George Washington che sono meglio usati per la bandiera rispetto a quelli a sei punte che Washington originariamente voleva usare.

Sargsyan romano

Il lavoro di ricerca "Problemi di taglio" è stato completato dagli studenti dell'ottavo anno

Agli studenti vengono introdotte ed esplorate le tecniche per tagliare le figure nei giochi “Pentamino”, “Tangram”, puzzle e dimostrazione di teoremi.

Scaricamento:

Anteprima:

Per utilizzare le anteprime delle presentazioni, crea un account Google e accedi ad esso: https://accounts.google.com

Didascalie delle diapositive:

Anteprima:

Lavoro di ricerca sull'argomento

"Problemi di taglio"

Eseguito da: Roman Sargsyan, Anastasia Shavrova,

Studenti dell'ottavo anno

MBOU "Scuola secondaria Severomuyskaya"

Responsabile: insegnante di matematica Ogarkova I.I.

1. introduzione
2. Riferimento storico
3. Gioco "Pentamino"
4. Gioco "Tangram"
5. Problema "Torta"
6. Compito n. 4 - "Taglia il rettangolo"
7. Compito n. 5 - “Taglia due quadrati”
8. Compito n. 6 - "Taglia due quadrati-2"
9. Problema n. 7 – Croce
10. Compito n. 8 – Croce -2
11. Problema n. 9 - Quadrato 8*8
12. Problema n. 10 Area di un parallelogramma
13. Problema n. 11 Area di un trapezio
14. Problema n. 12 Area di un triangolo
15. Conclusione
16. Letteratura.

introduzione

“Risolvere i problemi è un’arte pratica come

nuotare, sciare o suonare il pianoforte;

puoi impararlo solo imitando il bene

campioni e praticando costantemente"

D.Poya

La passione per la matematica spesso inizia pensando a un problema che ti piace particolarmente. Una ricca fonte di tali problemi sono le varie Olimpiadi: scuola, città, apprendimento a distanza, internazionale. In preparazione alle Olimpiadi, abbiamo esaminato molti compiti diversi e identificato un gruppo di problemi il cui approccio alla risoluzione ci è sembrato interessante e originale. Questi sono compiti di taglio. Avevamo domande: qual è la particolarità di tali problemi, esistono metodi e tecniche speciali per risolvere i problemi di taglio.

Rilevanza (diapositiva 2)

1. I matematici scoprono nuove connessioni tra oggetti matematici. Come risultato di questo lavoro, vengono trovati metodi generali per risolvere vari problemi. E questi problemi ricevono metodi di soluzione standard, passando dalla categoria creativa alla categoria tecnica, cioè richiedendo l'uso di metodi già noti per la loro soluzione.
2. Le attività di taglio aiutano gli scolari a formare concetti geometrici il prima possibile utilizzando una varietà di materiali. Quando si risolvono tali problemi, sorge una sensazione di bellezza, legge e ordine nella natura.

Oggetto di studio: compiti di taglio

Materia di studio: una varietà di problemi di taglio, metodi e tecniche per risolverli.

Metodi di ricerca: modellazione, confronto, generalizzazione, analogie, studio delle risorse letterarie e di Internet, analisi e classificazione delle informazioni.

(Diapositiva3) Principalescopo dello studioè quello di ampliare la conoscenza sulla varietà delle attività di taglio.

Per raggiungere questo obiettivo, prevediamo di risolvere quanto segue compiti: (Diapositiva 4)

1. selezionare la letteratura necessaria
2. imparare a tagliare le forme geometriche nelle parti necessarie per comporre l'una o l'altra forma geometrica, utilizzando le loro proprietà e caratteristiche;
3. imparare a dimostrare che le aree delle figure sono uguali tagliandole in determinate parti e dimostrando che queste figure sono ugualmente composte;
4. condurre ricerche geometriche e progettazione nella risoluzione di problemi di vario tipo.
5. seleziona il materiale per la ricerca, scegli le informazioni principali, interessanti e comprensibili
6. analizzare e sistematizzare le informazioni ricevute
7. trovare vari metodi e tecniche per risolvere i problemi di taglio
8. classificare i problemi oggetto di studio
9. trovare modi per rimodellare: un triangolo in un parallelogramma equipartito; parallelogramma in un triangolo equilatero; trapezio in un triangolo equilatero.
10. Crea una presentazione elettronica del tuo lavoro

Ipotesi: Forse la varietà dei problemi di taglio, la loro natura "divertente" e la mancanza di regole e metodi generali per risolverli causano difficoltà agli scolari quando li considerano. Supponiamo che, dopo un esame più attento dei compiti di taglio, saremo convinti della loro rilevanza, originalità e utilità.

Quando risolviamo i problemi di taglio, non abbiamo bisogno della conoscenza delle basi della planimetria, ma avremo bisogno dell'ingegno, dell'immaginazione geometrica e di informazioni geometriche abbastanza semplici che siano note a tutti.

(Diapositiva 5) Contesto storico

I problemi di taglio, come una sorta di puzzle, hanno attirato l'attenzione fin dai tempi antichi. Il primo trattato, che tratta i problemi del taglio, fu scritto dal famoso astronomo e matematico arabo del Khorasan, Abu al-Wefa (940 - 998 d.C.). All'inizio del XX secolo, grazie alla rapida crescita dei periodici, la soluzione del problema di tagliare le figure in un dato numero di parti e poi comporle in una nuova figura attirò l'attenzione come mezzo per intrattenere ampi settori della società. Ora i geometri hanno preso sul serio questi problemi, soprattutto perché si basano sull'antico problema delle figure di uguali dimensioni ed equamente composte, che risale agli antichi geometri. Famosi specialisti in questo ramo della geometria erano i famosi classici della geometria divertente e creatori di puzzle Henry E. Dudeney e Harry Lindgren.

Un'enciclopedia per risolvere vari problemi di taglio è il libro "Cutting Geometry" di Harry Lindgren. In questo libro puoi trovare registrazioni per tagliare i poligoni in forme determinate

Quando si considerano soluzioni ai problemi di taglio, si capisce che non esiste un algoritmo o un metodo universale. A volte un geometra alle prime armi può superare significativamente una persona più esperta nella sua soluzione. Questa semplicità e accessibilità sono alla base della popolarità dei giochi basati, ad esempio, sulla risoluzione di tali problemi- (Diapositiva 6) pentamino"parenti" di Tetris, tangram.

(Slide7) Gioco “Pentamino” Regole del gioco

L'essenza del gioco è costruire varie sagome di oggetti su un aereo. Il gioco prevede l'aggiunta di pezzi diversi da un determinato set di pentamini. Il set del pentomino contiene 12 figure, ciascuna delle quali è composta da cinque quadrati identici, e i quadrati sono “adiacenti” tra loro solo per i lati.

Gioco "Tangram" (Diapositiva 8)

Nel gioco "tangram" è possibile formare un numero significativo di figure a partire da sette elementi base.Tutte le figure assemblate devono avere la stessa area, perché assemblato da elementi identici. Ne consegue che:

1. Ogni figura assemblata deve certamente includere tutti e sette gli elementi.
2. Quando si compone una figura, gli elementi non devono sovrapporsi tra loro, ad es. trovarsi su un solo piano.
3. Gli elementi delle figure devono essere adiacenti tra loro.

Compiti

Nel gioco del tangram ci sono 3 categorie principali di compiti:

1. Trovare uno o più modi per costruire una data figura o una prova elegante dell'impossibilità di costruire una figura.
2. Trovare un modo per rappresentare le sagome di animali, persone e altri oggetti riconoscibili con la massima espressività o umorismo (o entrambi insieme).
3. Risolvere vari problemi di geometria combinatoria derivanti dalla composizione di figure di 7 tan.

Attività 3 (Diapositiva 9)

Torta , decorato con rose, era diviso in pezzi con tre tagli dritti in modo che ogni pezzo contenesse esattamente una rosa. Qual è il maggior numero di rose che potrebbero esserci sulla torta?

Un commento. La soluzione del problema si basa sull’applicazione dell’assioma:“Una linea retta divide un piano in due semipiani.”Dovrebbero essere rappresentati tutti i possibili casi di disposizione di tre linee rette. Dalla figura diventa chiaro che il maggior numero di parti - 7 - si ottiene quando le linee si intersecano a coppie. Pertanto sulla torta non potevano esserci più di 7 rose.

Attività 4 (Diapositiva10)

Taglia il rettangolo, ax2a in parti tali che da esse fosse possibile comporre una dimensione uguale ad essa:

1) triangolo rettangolo;

2) quadrato.

La soluzione al problema è chiara dalle Figure 2 e 3.

Attività 5 (Diapositiva 11)

Taglia due quadrati1x1 e 3x3 in parti tali da poter formare un quadrato di uguali dimensioni.

Un commento. Questo compito consiste nel rimodellare una figura composta da due quadrati in un quadrato di uguali dimensioni. L'area della nuova piazza è 3 2 +1 2 , il che significa che il lato di un quadrato uguale alla somma di questi quadrati è uguale, cioè è l'ipotenusa di un rettangolo con i cateti 3 e 1. La costruzione di un tale quadrato è chiara dalla Figura 4

Attività 6 (Diapositiva 12)

Taglia due quadrati casualiin parti tali da poter formare un quadrato di eguali dimensioni.

La soluzione al problema è chiara dalla Figura 5. L'area del nuovo quadrato è a 2+b2 , il che significa che il lato di un quadrato uguale alla somma di questi quadrati è uguale a

cioè è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo con i cateti a e b.

Compito 7 (Diapositiva 13)

Attraverso composto da cinque quadrati: uno al centro e gli altri quattro adiacenti ai lati. Tagliatelo a pezzi in modo da poterne ricavare un quadrato di uguali dimensioni.

La soluzione al problema è chiara dalla Figura 6.

Compito 8 (Diapositiva 14)

Attraverso composto da cinque quadrati: uno al centro e gli altri quattro adiacenti ai lati. Come coprire la superficie di una rafia con sei di queste croci, ciascuna delle quali ha dimensioni uguali alla croce.

Un commento. La croce è sovrapposta al bordo (Fig. 7), non è necessario tagliare e incollare nuovamente le “orecchie sporgenti”: si spostano sul bordo adiacente e finiscono nei punti giusti. Avvolgendo le “orecchie sporgenti” sulle facce adiacenti, potrete così ricoprire la superficie del cubo con sei croci (Fig. 8).

Compito 9 (Diapositiva 15)

Quadrato 8x8 tagliato in quattro parti, come mostrato nella Figura 9. Dalle parti risultanti viene creato un rettangolo 13x5. L'area del rettangolo è 65 e l'area del quadrato è 64. Spiega dov'è l'errore.

Bicchiere- questo materiale è speciale e differisce dagli altri materiali da costruzione.

Questo materiale da costruzione è estremamente fragile e per la maggior parte è trasparente.

Ecco perché, prima di acquistare il vetro e lavorarci, devi iniziare a fare acquisti con lo strumento.

Ma non dovresti comprare il primo strumento che incontri, perché potrebbe essere di scarsa qualità e non sarà in grado di tagliare il vetro secondo necessità.

È molto importante determinare quale strumento ti serve, perché esistono diversi tipi di tagliavetro:

1. Rullo;
2. Diamante;
3. oleoso;

Rullo

Il tagliavetro a rullo per tagliare il vetro è dotato di uno speciale rullo incorporato, realizzato in una lega di tungsteno-cobalto molto resistente. Il diametro abituale del rullo è 6,6 mm, questo diametro del rullo consente di tagliare vetro fino a 4 mm di spessore.

Diamante

Il tagliavetro diamantato è dotato di un diamante corrispondentemente piccolo, questo diamante taglia il vetro. La durezza del diamante è ben nota e per questo da tempo viene utilizzato per il taglio del vetro.

Al giorno d'oggi, come prima, un tagliavetro diamantato è considerato lo strumento migliore per tagliare il vetro.

Grasso

Non molto tempo fa, all'elenco dei tagliavetro è stato aggiunto un tagliavetro a olio.

Si tratta essenzialmente di uno strumento a rullo migliorato che ha un serbatoio integrato nell'impugnatura per fornire lubrificante al rullo. Questo lubrificante lega le particelle che si sono formate durante il taglio del vetro garantendo al tempo stesso un movimento fluido. Questo tagliavetro può tagliare il vetro fino a 20 mm.

1. Prima di acquistare qualsiasi tipo di tagliavetro, è meglio chiedere al venditore di verificare.
2. Se sei soddisfatto dello strumento, puoi acquistarlo, ma acquista quello che ti è stato mostrato.

Come tagliare il vetro

Una lastra di vetro non è così facile da tagliare come sembra a prima vista. Per eseguire un taglio del vetro è necessaria una preparazione.

Preparazione

1. Il vetro assolutamente nuovo dovrà solo essere accuratamente pulito dalla polvere e asciugato con un giornale; il tessuto non è adatto per tale lavoro.
2. Se dovete tagliare un vecchio vetro, è opportuno prima sgrassarlo, dopodiché il vetro va lavato bene con acqua e detersivi.
3. Dopo tutte le manipolazioni di cui sopra, il vetro dovrà essere asciugato in una stanza chiusa e pulita.

Vetro tagliato

Il lavoro preparatorio comprende anche il taglio del vetro e la preparazione dei contenitori per la raccolta dei rifiuti. Dovrebbero esserci due contenitori, cioè per la raccolta dei rifiuti piccoli e per la raccolta di quelli più grandi, che potrebbero servire a qualcosa in futuro.

Quando si taglia il vetro, è meglio iniziare con un semplice vetro per finestre e poi passare a opzioni più complesse.

Tecnica del taglio del vetro

Quando si utilizza un tagliavetro diamantato, devi tenerlo nella parte inferiore del manico e tracciare una linea liscia lungo il righello, quasi senza premere sul vetro.

Quando si taglia il vetro con un tagliavetro a rulloÈ necessaria una leggera pressione e quando il tagliavetro si muove, sulla superficie del vetro appare una striscia biancastra, più profonda rispetto a quando si utilizza un utensile diamantato.

Possibili errori

Quando c’è un fiume di vetro gli errori sono due:

1. La pressione esercitata dal tagliavetro può essere eccessiva;
2. Il tagliavetro viene eseguito più volte nello stesso luogo.

Quando tagli il vetro, prova a premere lo strumento in modo uniforme lungo l'intera lunghezza del taglio.

Se noti scheggiature durante il taglio del vetro, significa solo che stai premendo troppo forte sull'utensile. Per evitare ciò, ridurre la pressione sul tagliavetro.

Non disegnare mai due volte lungo una linea di taglio, poiché ciò potrebbe danneggiare lo strumento.

La fase finale è la rottura del vetro

Il vetro sottile viene rotto a mano. Il pezzo di vetro già tagliato deve essere posizionato sul bordo del tavolo, in modo che la linea di taglio sia in alto e sporga leggermente oltre il bordo del tavolo, e la parte principale del vetro dovrebbe giacere sul tavolo.

Devi premere la lastra di vetro con una mano e con l'altra devi afferrare la parte sporgente del vetro e premere delicatamente con la mano sul vetro.

Se il bordo da tagliare è piccolo e non può essere tagliato a mano, usa una pinza.

La conoscenza della teoria del taglio dell'acciaio consente di applicare questa conoscenza nella pratica. Cioè, puoi prendere un piccolo pezzo di vetro ed esercitarti su di esso.

Dopo aver provato a tagliare il vetro nella pratica, sarai più sicuro delle tue capacità in futuro. Ci auguriamo che queste informazioni siano utili. Vi auguriamo buona fortuna e pazienza!

Un punto è un oggetto astratto che non ha caratteristiche di misurazione: né altezza, né lunghezza, né raggio. Nell'ambito dell'attività, solo la sua posizione è importante

Il punto è indicato da un numero o da una lettera latina maiuscola (maiuscola). Diversi punti - con numeri diversi o lettere diverse in modo che possano essere distinti

punto A, punto B, punto C

A B C

punto 1, punto 2, punto 3

1 2 3

Puoi disegnare tre punti “A” su un foglio di carta e invitare il bambino a tracciare una linea attraverso i due punti “A”. Ma come capire attraverso quali? A A A

Una linea è un insieme di punti. Viene misurata solo la lunghezza. Non ha larghezza né spessore

Indicato con lettere latine minuscole (piccole).

linea a, linea b, linea c

abc

La linea potrebbe essere

1. chiuso se l'inizio e la fine sono nello stesso punto,
2. aperto se il suo inizio e la sua fine non sono collegati

linee chiuse

linee aperte

Hai lasciato l'appartamento, hai comprato il pane al negozio e sei tornato all'appartamento. Che linea hai ottenuto? Esatto, chiuso. Sei tornato al punto di partenza. Sei uscito di casa, hai comprato il pane al negozio, sei entrato nell'ingresso e hai iniziato a parlare con il tuo vicino. Che linea hai ottenuto? Aprire. Non sei tornato al punto di partenza. Sei uscito di casa e hai comprato il pane al negozio. Che linea hai ottenuto? Aprire. Non sei tornato al punto di partenza.

1. autointersecanti
2. senza autointersezioni

linee autointersecanti

linee senza autointersezioni

1. Dritto
2. rotto
3. storto

linee rette

linee spezzate

linee curve

Una linea retta è una linea che non è curva, non ha né inizio né fine, può essere continuata all'infinito in entrambe le direzioni

Anche quando è visibile un piccolo tratto di linea retta, si presuppone che essa continui indefinitamente in entrambe le direzioni

Indicato con una lettera latina minuscola (piccola). O due lettere latine maiuscole (maiuscole) - punti che giacciono su una linea retta

linea retta a

UN

retta AB

B A

Diretto potrebbe essere

1. si intersecano se hanno un punto in comune. Due linee possono intersecarsi solo in un punto.
   • perpendicolari se si intersecano ad angolo retto (90°).
2. Paralleli, se non si intersecano, non hanno un punto comune.

linee parallele

linee che si intersecano

Linee perpendicolari

Un raggio è una parte di una linea retta che ha un inizio ma non una fine; può essere continuato indefinitamente in una sola direzione

Il raggio di luce nell'immagine ha come punto di partenza il sole.

Sole

Un punto divide una retta in due parti: due raggi A A

Il raggio è designato da una lettera latina minuscola (piccola). Oppure due lettere latine maiuscole (maiuscole), dove la prima è il punto da cui inizia il raggio, e la seconda è il punto che giace sul raggio

raggio a

UN

trave AB

B A

I raggi coincidono se

1. situato sulla stessa retta
2. iniziare da un certo punto
3. diretto in una direzione

i raggi AB e AC coincidono

i raggi CB e CA coincidono

C B A

Un segmento è una parte di una linea limitata da due punti, cioè ha sia un inizio che una fine, il che significa che la sua lunghezza può essere misurata. La lunghezza di un segmento è la distanza tra i suoi punti iniziale e finale

Attraverso un punto puoi tracciare un numero qualsiasi di linee, comprese le linee rette

Attraverso due punti: un numero illimitato di curve, ma solo una linea retta

linee curve passanti per due punti

B A

retta AB

B A

Un pezzo è stato “tagliato” dalla linea retta e ne è rimasto un segmento. Dall'esempio sopra puoi vedere che la sua lunghezza è la distanza più breve tra due punti. ✂ SI LA ✂

Un segmento è indicato da due lettere latine maiuscole (maiuscole), dove la prima è il punto in cui inizia il segmento e la seconda è il punto in cui termina il segmento

segmento AB

B A

Problema: dov'è la retta, la semiretta, il segmento, la curva?

Una linea spezzata è una linea composta da segmenti collegati consecutivamente che non formano un angolo di 180°

Un segmento lungo è stato “spezzato” in più segmenti brevi

Le maglie di una linea spezzata (simili alle maglie di una catena) sono i segmenti che compongono la linea spezzata. I collegamenti adiacenti sono collegamenti in cui la fine di un collegamento è l'inizio di un altro. I collegamenti adiacenti non dovrebbero trovarsi sulla stessa linea retta.

I vertici di una linea spezzata (simili alle cime delle montagne) sono il punto da cui inizia la linea spezzata, i punti in cui si collegano i segmenti che formano la linea spezzata e il punto in cui termina la linea spezzata.

Una linea spezzata viene designata elencando tutti i suoi vertici.

linea spezzata ABCDE

vertice della polilinea A, vertice della polilinea B, vertice della polilinea C, vertice della polilinea D, vertice della polilinea E

collegamento interrotto AB, collegamento interrotto BC, collegamento interrotto CD, collegamento interrotto DE

il collegamento AB e il collegamento BC sono adiacenti

il collegamento BC e il collegamento CD sono adiacenti

il collegamento CD e il collegamento DE sono adiacenti

A B C D E 64 62 127 52

La lunghezza di una linea spezzata è la somma delle lunghezze dei suoi collegamenti: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Compito: quale linea spezzata è più lunga, UN che ha più vertici? La prima linea ha tutte le maglie della stessa lunghezza, cioè 13 cm. La seconda linea ha tutte le maglie della stessa lunghezza, cioè 49 cm. La terza linea ha tutte le maglie della stessa lunghezza, cioè 41 cm.

Un poligono è una linea poligonale chiusa

I lati del poligono (le espressioni ti aiuteranno a ricordare: “vai in tutte e quattro le direzioni”, “corri verso casa”, “da quale lato del tavolo ti siederai?”) sono gli anelli di una linea spezzata. I lati adiacenti di un poligono sono collegamenti adiacenti di una linea spezzata.

I vertici di un poligono sono i vertici di una linea spezzata. I vertici adiacenti sono i punti finali di un lato del poligono.

Un poligono si denota elencando tutti i suoi vertici.

polilinea chiusa senza autointersezione, ABCDEF

poligono ABCDEF

vertice del poligono A, vertice del poligono B, vertice del poligono C, vertice del poligono D, vertice del poligono E, vertice del poligono F

il vertice A e il vertice B sono adiacenti

il vertice B e il vertice C sono adiacenti

il vertice C e il vertice D sono adiacenti

il vertice D e il vertice E sono adiacenti

il vertice E e il vertice F sono adiacenti

il vertice F e il vertice A sono adiacenti

lato poligono AB, lato poligono BC, lato poligono CD, lato poligono DE, lato poligono EF

il lato AB e il lato BC sono adiacenti

il lato BC e il lato CD sono adiacenti

Il lato CD e il lato DE sono adiacenti

il lato DE e il lato EF sono adiacenti

il lato EF e il lato FA sono adiacenti

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Il perimetro di un poligono è la lunghezza della linea spezzata: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Un poligono con tre vertici è chiamato triangolo, con quattro - quadrilatero, con cinque - pentagono, ecc.

All'attenzione dei tutor di matematica e degli insegnanti di vari elettivi e club, viene offerta una selezione di problemi di taglio geometrico divertenti ed educativi. L'obiettivo di un tutor che utilizza tali problemi nelle sue lezioni non è solo quello di interessare lo studente a combinazioni interessanti ed efficaci di celle e figure, ma anche di sviluppare il suo senso delle linee, degli angoli e delle forme. L'insieme dei problemi è rivolto principalmente ai bambini delle classi 4-6, sebbene sia possibile utilizzarlo anche con gli studenti delle scuole superiori. Gli esercizi richiedono che gli studenti abbiano una concentrazione di attenzione elevata e stabile e sono perfetti per sviluppare e allenare la memoria visiva. Consigliato agli insegnanti di matematica che preparano gli studenti agli esami di ammissione alle scuole di matematica e alle classi che pongono requisiti speciali al livello di pensiero indipendente e alle capacità creative del bambino. Il livello dei compiti corrisponde al livello di ingresso delle Olimpiadi alla “seconda scuola” del Liceo (seconda scuola di matematica), alla Piccola Facoltà di Meccanica e Matematica dell'Università Statale di Mosca, alla Scuola Kurchatov, ecc.

Nota per l'insegnante di matematica:
In alcune soluzioni ai problemi, che potete visualizzare cliccando sul puntatore corrispondente, è indicato solo uno dei possibili esempi di taglio. Ammetto pienamente che potresti ritrovarti con qualche altra combinazione corretta, non c'è bisogno di averne paura. Controlla attentamente la soluzione del tuo bambino e, se soddisfa le condizioni, sentiti libero di affrontare il compito successivo.

1) Prova a tagliare la figura mostrata in figura in 3 parti di forma uguale:

: Le forme piccole sono molto simili alla lettera T

2) Ora taglia questa figura in 4 parti di forma uguale:

Suggerimento per l'insegnante di matematica: È facile intuire che le figure piccole saranno composte da 3 celle, ma non sono molte le figure con tre celle. Ne esistono solo due tipi: un angolo e un rettangolo 1×3.

3) Taglia questa figura in 5 pezzi di forma uguale:

Trova il numero di celle che compongono ciascuna di queste figure. Queste figure assomigliano alla lettera G.

4) Ora devi tagliare una figura di dieci celle in 4 disuguale rettangolo (o quadrato) tra loro.

Istruzioni per l'insegnante di matematica: seleziona un rettangolo, quindi prova a inserirne altri tre nelle celle rimanenti. Se non funziona, cambia il primo rettangolo e riprova.

5) Il compito si complica: bisogna tagliare la figura in 4 diversi nella forma figure (non necessariamente rettangoli).

Suggerimento per l'insegnante di matematica: per prima cosa disegna separatamente tutti i tipi di figure di forme diverse (ce ne saranno più di quattro) e ripeti il ​​​​metodo di enumerazione delle opzioni come nell'attività precedente.
:

6) Taglia questa figura in 5 figure da quattro celle di forme diverse in modo che in ciascuna di esse sia dipinta solo una cella verde.

Suggerimento per l'insegnante di matematica: Prova ad iniziare a tagliare dal bordo superiore di questa figura e capirai subito come procedere.
:

7) In base all'attività precedente. Trova quante figure di forme diverse ci sono, composte esattamente da quattro celle? Le figure possono essere girate e girate, ma non è possibile sollevare il tavolo (dalla sua superficie) su cui giace. Cioè, le due cifre indicate non verranno considerate uguali, poiché non possono essere ottenute l'una dall'altra mediante rotazione.

Suggerimento per l'insegnante di matematica: Studia la soluzione del problema precedente e prova a immaginare le diverse posizioni di queste figure quando girano. Non è difficile indovinare che la risposta al nostro problema sarà il numero 5 o più. (In effetti, anche più di sei). Ci sono 7 tipi di figure descritte.

8) Taglia un quadrato di 16 celle in 4 pezzi di forma uguale in modo che ciascuno dei quattro pezzi contenga esattamente una cella verde.

Suggerimento per l'insegnante di matematica: L'aspetto delle piccole figure non è un quadrato o un rettangolo, e nemmeno un angolo di quattro celle. Quindi in quali forme dovresti provare a tagliare?

9) Taglia la figura raffigurata in due parti in modo che le parti risultanti possano essere piegate in un quadrato.

Suggerimento per l'insegnante di matematica: Ci sono 16 celle in totale, il che significa che il quadrato avrà dimensioni 4x4. E in qualche modo devi riempire la finestra nel mezzo. Come farlo? Potrebbe esserci una sorta di cambiamento? Quindi, poiché la lunghezza del rettangolo è pari a un numero dispari di celle, il taglio dovrebbe essere effettuato non con un taglio verticale, ma lungo una linea spezzata. In modo che la parte superiore sia tagliata da un lato della cella centrale e la parte inferiore dall'altro.

10) Taglia un rettangolo 4x9 in due pezzi in modo che possano essere piegati in un quadrato.

Suggerimento per l'insegnante di matematica: Ci sono 36 celle in totale nel rettangolo. Pertanto, il quadrato avrà dimensioni 6x6. Poiché il lato lungo è composto da nove celle, tre di esse devono essere tagliate. Come proseguirà questo taglio?

11) La croce di cinque celle mostrata nella figura deve essere tagliata (è possibile tagliare le celle stesse) in pezzi da cui si può piegare un quadrato.

Suggerimento per l'insegnante di matematica: È chiaro che non importa come tagliamo lungo le linee delle celle, non otterremo un quadrato, poiché le celle sono solo 5. Questo è l'unico compito in cui è consentito il taglio non dalle cellule. Sarebbe comunque bene lasciarli come guida. per esempio, vale la pena notare che dobbiamo in qualche modo rimuovere le rientranze che abbiamo, vale a dire negli angoli interni della nostra croce. Come fare questo? Ad esempio, tagliando alcuni triangoli sporgenti dagli angoli esterni della croce...