Le formule del doppio angolo vengono utilizzate per esprimere seni, coseni, tangenti, cotangenti di un angolo con un valore di 2 α, utilizzando le funzioni trigonometriche dell'angolo α. Questo articolo introdurrà tutte le formule del doppio angolo con le dimostrazioni. Verranno considerati esempi di applicazione delle formule. Nella parte finale verranno mostrate le formule per gli angoli tripli e quadrupli.
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Elenco delle formule del doppio angolo
Per convertire le formule del doppio angolo, dovresti ricordare che gli angoli in trigonometria hanno la forma n notazione α, dove n è un numero naturale, il valore dell'espressione è scritto senza parentesi. Pertanto, si ritiene che la notazione sin n α abbia lo stesso significato di sin (n α). Quando denotiamo sin n α, abbiamo una notazione simile (sin α) n. L'uso della notazione è applicabile a tutte le funzioni trigonometriche con potenze n.
Di seguito sono riportate le formule del doppio angolo:
sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α , cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α
Si noti che queste formule sin e cos sono applicabili con qualsiasi valore dell'angolo α. La formula della tangente del doppio angolo è valida per qualsiasi valore di α, dove t g 2 α ha senso, cioè α ≠ π 4 + π 2 · z, z è un numero intero qualsiasi. La cotangente del doppio angolo esiste per qualsiasi α, dove c t g 2 α è definito in α ≠ π 2 z.
Il coseno di un angolo doppio ha la tripla notazione di un angolo doppio. Tutti sono applicabili.
Dimostrazione delle formule del doppio angolo
La dimostrazione delle formule inizia dalle formule di addizione. Applichiamo le formule per il seno della somma:
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β e il coseno della somma cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β. Supponiamo che β = α, quindi otteniamo
sin (α + α) = sin α · cos α + cos α · sin α = 2 · sin α · cos α e cos (α + α) = cos α · cos α - sin α · sin α = cos 2 α - peccato 2α
Pertanto, le formule per il seno e il coseno del doppio angolo sin 2 α = 2 · sin α · cos α e cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α sono dimostrate.
Le restanti formule cos 2 α = 1 - 2 · sin 2 α e cos 2 α = 2 · cos 2 α - 1 portano alla forma cos 2 α = cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α, quando si sostituisce 1 con la somma dei quadrati per l'identità principale sin 2 α + cos 2 α = 1 . Otteniamo che sin 2 α + cos 2 α = 1. Quindi 1 - 2 sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α e 2 cos 2 α - 1 = 2 cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) = cos 2 α - sin 2 α.
Per dimostrare le formule per il doppio angolo di tangente e cotangente, applichiamo le uguaglianze t g 2 α = sin 2 α cos 2 α e c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α. Dopo la trasformazione, otteniamo che t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α - sin 2 α e c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α - sin 2 α 2 · peccato α · cos α . Dividere l'espressione per cos 2 α, dove cos 2 α ≠ 0 con qualsiasi valore di α quando t g α è definito. Dividiamo un'altra espressione per sin 2 α, dove sin 2 α ≠ 0 con qualsiasi valore di α, quando c t g 2 α ha senso. Per dimostrare la formula del doppio angolo per tangente e cotangente, sostituiamo e otteniamo:
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Le formule del doppio angolo permettono di esprimere le funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente, cotangente) dell'angolo `2\alpha` attraverso queste stesse funzioni dell'angolo `\alpha`.
L'elenco seguente contiene le formule base del doppio angolo più comunemente utilizzate in trigonometria. Per il coseno ce ne sono tre, sono tutti equivalenti e ugualmente importanti.
`sin \ 2\alpha=` `2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alfa-1`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)`
Le seguenti identità esprimono tutte le funzioni trigonometriche dell'angolo ` 2\alpha` tramite le funzioni tangente e cotangente dell'angolo `\alpha`.
`sin \ 2\alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha)(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos\2\alpha=` `\frac(1-tg^2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1) =` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha)(ctg \ \alpha+tg \ \alpha)`
`tg \ 2\alpha=` `\frac(2 \ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2(\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac ( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`
Le formule per coseno e seno di un doppio angolo funzionano per qualsiasi angolo `\alpha`. Le formule per la tangente di un doppio angolo valgono per quelli `\alpha` per i quali è definito `tg\2\alpha`, cioè per ` \alpha\ne\frac\pi4+\frac\pi2 n, \n \in Z`. Allo stesso modo, per la cotangente si verificano per quelli `\alpha` per i quali è definito `ctg \2\alpha`, cioè per ` \alpha\ne\frac\pi2 n, \n \in Z`.
Dimostrazione delle formule del doppio angolo
Tutte le formule del doppio angolo derivano dalle formule per la somma e la differenza degli angoli delle funzioni trigonometriche.
Prendiamo due formule per la somma degli angoli seno e coseno:
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta` e `cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`. Prendi `\beta=\alpha`, quindi `sin(\alpha+\alpha)=` `sin \ \alpha\ cos \ \alpha+cos \ \alpha\ sin \ \alpha=2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha`, simile a `cos(\alpha+\alpha)=` `cos \ \alpha\ cos \ \alpha-sin \ \alpha\ sin \ \alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, che e dimostra le formule del doppio angolo per seno e coseno.
Altre due uguaglianze per il coseno ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha ` e ` cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1` si riducono a quanto già dimostrato se sostituiamo 1 in essi con `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`. Quindi `1-2 \sin^2 \alpha=` `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha-2 \sin^2 \alpha=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha` e ` 2 \cos^2 \alpha-1=` `2 \cos^2 \alpha-(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`.
Per dimostrare le formule per la tangente di un angolo doppio e la cotangente, utilizzeremo la definizione di queste funzioni. Scriviamo `tg \ 2\alpha` e `ctg \ 2\alpha` come `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)` e `ctg \ 2\alpha= \frac (cos\2\alfa)(sen\2\alfa)`. Applicando le già provate formule del doppio angolo per seno e coseno, otteniamo `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha )(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)` e `ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha -sin^2 \alpha)(2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha)`.
Nel caso della tangente, dividiamo numeratore e denominatore della frazione finale per `cos^2 \alpha`, per la cotangente, a sua volta, per `sin^2 \alpha`.
`tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)(cos^2 \alpha-sin^2 \ alpha)=` \frac (\frac(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)(cos^2 \alpha))(\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(cos^ 2 \alpha))=` `\frac (2 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha))(1-\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=\frac ( 2\tg\\alpha)(1-tg^2 \alpha)`.
`ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(sin^2 \alpha))(\frac(2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha)( sin^2 \alpha))=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)(2 \cdot \frac(cos \alpha)( sin \alpha ))= \frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg \ \alpha)`.
Suggeriamo inoltre la visione del video per consolidare meglio il materiale teorico:
Esempi di utilizzo di formule per risolvere problemi
Le formule del doppio angolo vengono spesso utilizzate per convertire le espressioni trigonometriche. Diamo un'occhiata ad alcuni casi e a come possono essere applicati nella pratica quando si risolvono problemi specifici.
Esempio 1. Verificare la validità delle identità del doppio angolo per `\alpha=30^\circ`.
Soluzione. Le nostre formule utilizzano due angoli `\alpha` e `2\alpha`. Il valore del primo angolo è specificato nella condizione, il secondo sarà quindi `2\alpha=60^\circ`. Conosciamo anche i valori numerici di tutte le funzioni trigonometriche di questi angoli. Scriviamoli:
`sin 30^\circ=\frac 1 2`, `cos 30^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `tg 30^\circ=\frac (\sqrt 3)3`, `ctg 30 ^\circ=\sqrt 3` e
`sin 60^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `cos 60^\circ=\frac 1 2`, `tg 60^\circ=\sqrt 3`, `ctg 60^\circ=\ frac (\sqrt 3)3`.
Allora avremo
`sin 60^\circ=2 sin 30^\circ cos 30^\circ=` `2 \cdot \frac 1 2 \cdot \frac (\sqrt 3)2=\frac (\sqrt 3)2`,
`cos 60^\circ=cos^2 30^\circ-sin^2 30^\circ=` `(\frac (\sqrt 3)2)^2 \cdot (\frac 1 2)^2=\frac 1 2`,
`tg 60^\circ=\frac(2 tg 30^\circ)(1-tg^2 30^\circ)=` `\frac(2 \cdot \frac (\sqrt 3)3)(1-( \frac (\sqrt 3)3)^2)=\sqrt 3`,
`ctg 60^\circ=\frac(ctg^2 30^\circ-1)(2 \ctg 30^\circ)=` `\frac((\sqrt 3)^2-1)(2 \cdot \ sqrt 3)=\frac (\sqrt 3)3`.
Ciò dimostra la validità delle uguaglianze per l'angolo specificato nella condizione.
Esempio 2. Esprimi `sin \frac (2\alpha)3` in termini di funzioni trigonometriche dell'angolo `\frac (\alpha)6`.
Soluzione. Scriviamo l'angolo seno come segue: ` \frac (2\alpha)3=4 \cdot \frac (\alpha)6`. Quindi, applicando due volte la formula del doppio angolo, possiamo risolvere il nostro problema.
Per prima cosa utilizzeremo l'uguaglianza del seno del doppio angolo: ` sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3 `, ora applicheremo nuovamente le nostre formule rispettivamente per seno e coseno. Di conseguenza otteniamo:
` sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3=` `2 \cdot (2 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos\frac (\alpha)6) \cdot (cos^2\frac (\alpha)6-sin^2\frac (\alpha)6)=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.
Risposta. ` sin\frac (2\alpha)3=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.
Formule del triplo angolo
Queste formule, simili alle precedenti, permettono di esprimere le funzioni dell'angolo ` 3\alpha` attraverso le stesse funzioni dell'angolo `\alpha`.
`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`
Possono essere dimostrati utilizzando le uguaglianze di somma e le differenze di angolo, nonché le formule del doppio angolo a noi ben note.
`sin \ 3\alpha= sin (2\alpha+ \alpha)=` `sin 2\alpha cos \alpha+cos 2\alpha sin \alpha=` `2 sin \alpha cos \alpha cos \alpha+(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) sin \alpha=` `3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha`.
Nella formula risultante, sostituisci `sin \ 3\alpha=3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha` `cos^2\alpha` con `1-sin^2\alpha` e ottieni `sin \ 3 \alpha=3 \sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`.
Anche per il coseno di un triplo angolo:
`cos \ 3\alpha= cos (2\alpha+ \alpha)=` `cos 2\alpha cos \alpha-sin 2\alpha sin \alpha=` `(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) cos \alpha-2 sin \alpha cos \alpha sin \alpha+=` `cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha`.
Sostituendo `cos \ 3\alpha=cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha` `sin^2\alpha` nell'uguaglianza finale con `1-cos^2\alpha`, otteniamo `cos \ 3 \alpha=4cos^3 \alpha-3 \cos \ \alpha`.
Usando le identità provate per seno e coseno, possiamo dimostrare per tangente e cotangente:
`tg \ 3\alpha=\frac (sin \ 3\alpha)(cos \ 3\alpha)=` `\frac (3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \ alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)=` `\frac (\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \alpha))(\frac(cos ^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(cos^3 \alpha))=` `\frac (3 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha)-\frac( sin^ 3 \alpha )(cos^3 \alpha))(1-3\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=` `\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \ alfa)(1-3tg^2 \alfa)`;
`ctg \ 3\alpha=\frac (cos \ 3\alpha)(sin \ 3\alpha)=` `\frac (cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)=` `\frac (\frac(cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(sin^3 \alpha))(\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(sin^3 \alpha))=` `\frac (\frac( cos^3 \alpha )(sin^3 \alpha)-3 \cdot \ frac(cos \alpha)( sin \alpha ))(3\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)=` `ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha -3\ctg\\alpha)(3\ctg^2\alpha-1)`.
Per dimostrare le formule per l'angolo ` 4\alpha`, puoi rappresentarlo come ` 2 \cdot 2\alpha` e provare due volte le formule del doppio angolo.
Per ricavare uguaglianze simili per l'angolo ` 5\alpha`, puoi scriverlo come ` 3\alpha + 2\alpha` e applicare le identità della somma e della differenza degli angoli e degli angoli doppi e tripli.
Tutte le formule per gli altri angoli multipli vengono derivate in modo simile, ma nella pratica sono raramente necessarie.
In trigonometria, molte formule sono più facili da derivare che da memorizzare. Il coseno del doppio angolo è una formula meravigliosa! Permette di ottenere formule per ridurre i gradi e formule per i semiangoli.
Quindi, abbiamo bisogno del coseno del doppio angolo e dell'unità trigonometrica:
Sono anche simili: nella formula del doppio angolo del coseno è la differenza tra i quadrati del coseno e del seno, e nell'unità trigonometrica è la loro somma. Se esprimiamo il coseno dall'unità trigonometrica:
e sostituendolo nel coseno del doppio angolo, otteniamo:
Questa è un'altra formula del coseno del doppio angolo:
Questa formula è la chiave per ottenere la formula di riduzione:
Quindi, la formula per ridurre il grado del seno è:
Se in esso l'angolo alfa viene sostituito da un semiangolo alfa a metà e il doppio angolo due alfa viene sostituito da un angolo alfa, otteniamo la formula del semiangolo per il seno:
Ora possiamo esprimere il seno dall'unità trigonometrica:
Sostituiamo questa espressione nella formula del coseno del doppio angolo:
Abbiamo un'altra formula per il coseno di un doppio angolo:
Questa formula è la chiave per trovare la formula per ridurre la potenza del coseno e il semiangolo del coseno.
Pertanto, la formula per ridurre il grado del coseno è:
Se sostituiamo α con α/2 e 2α con α, otteniamo la formula per il mezzo argomento del coseno:
Poiché la tangente è il rapporto tra seno e coseno, la formula per la tangente è:
La cotangente è il rapporto tra coseno e seno. Pertanto la formula della cotangente è:
Naturalmente, nel processo di semplificazione delle espressioni trigonometriche, non ha senso derivare la formula per mezzo angolo o ridurre ogni volta un grado. È molto più semplice mettere davanti a te un foglio di carta con le formule. E la semplificazione si muoverà più velocemente e la memoria visiva attiverà la memorizzazione.
Ma vale comunque la pena derivare queste formule più volte. Allora sarai assolutamente sicuro che durante l'esame, quando non è possibile utilizzare i cheat sheet, li otterrai facilmente in caso di necessità.