Класс: 9
Тип урока: урок закрепления и систематизации знаний.
Вид урока: Проверка, оценка и коррекция знаний и способов действий.
Цели:
- Образовательные:
– закрепление знаний в процессе решения различных заданий по указанной теме;
– формирование математического мышления;
– повысить интерес к предмету в процессе повторения пройденного материала.
– воспитание положительного отношения к учебе;
– воспитание любознательности.
– развивать умение рационально планировать работу;
– развитие самостоятельности, внимания.
Оборудование: дидактический материал для устной работы, самостоятельной работы, тестовые задания для проверки знаний, карточки с домашним заданием, учебник по алгебре Ю.Н. Макарычева.
План урока.
| Этапы урока | Время, мин | Приемы и методы |
| I. Этап актуализации знаний. Мотивация учебной проблемы | 2 | Беседа учителя |
| II. Основное содержание урока. Формирование и закрепление у учащихся представления о формуле разложения квадратного трехчлена на множители. | 10 | Объяснение учителя. Эвристическая беседа |
| III. Формирование умений и навыков. Закрепление изученного материала | 25 | Решение задач. Ответы на вопросы учащихся |
| IV. Проверка усвоения знаний. Рефлексия | 5 | Сообщение учителя. Сообщение учащихся |
| V. Домашнее задание | 3 | Задание на карточках |
Ход урока
I. Этап актуализации знаний. Мотивация учебной проблемы.
Организационный момент.
Сегодня на уроке мы проведем обобщение и систематизацию знаний по теме:
“Разложение квадратного трехчлена на множители”. Выполняя различные упражнения,
вы должны отметить для себя моменты, на которые вам
необходимо уделить особое внимание при решении уравнений и практических задач.
Это очень важно при подготовке к экзамену.
Запишите тему урока: “Разложение квадратного трехчлена на множители. Решение
примеров”.
II. Основное содержание урока. Формирование и закрепление у учащихся представления о формуле разложения квадратного трехчлена на множители.
Устная работа.
– Для успешного разложения квадратного трехчлена на множители нужно помнить как формулы нахождения дискриминанта и формулы нахождения корней квадратного уравнения, формулу разложения квадратного трехчлена на множители и применять их на практике.
1. Посмотрите на карточки “Продолжите или дополните утверждение”.
2. Посмотрите на доску.
1. Какой из предложенных многочленов не является квадратным?
1) х
2 – 4х +
3 =
0;
2) – 2х
2 +х
– 3 =
0;
3) х
4 – 2х
3 +
2 =
0;
4) 2х
3 – 2х
2 +
2 =
0;
Дайте определение квадратного трехчлена. Дайте определение корня квадратного трехчлена.
2. Какая из формул не является формулой для вычисления корней квадратного уравнения?
1) х
1,2 =
;
2) х
1,2 =
– b
+
;
3) х
1,2 =
.
3. Найти коэффициенты а, b, с квадратного трехчлена – 2х 2 + 5х + 7
1) – 2; 5; 7;
2) 5; – 2; 7;
3) 2; 7; 5.
4. Какая из формул является формулой для вычисления корней квадратного уравнения
x 2 + px+ q = 0 по теореме Виета?
1) x
1 + x
2 = p ,
x
1 · x
2 = q .
2) x
1 + x
2 =
– p ,
x
1 · x
2 = q .
3) x
1 + x
2 =
– p ,
x
1 · x
2 = – q .
5. Разложить квадратный трехчлен х 2 – 11х + 18 на множители.
Ответ: (х – 2)(х – 9)
6. Разложить квадратный трехчлен у 2 – 9у + 20 на множители
Ответ: (х – 4)(х – 5)
III. Формирование умений и навыков. Закрепление изученного материала.
1. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) 3x
2 – 8x
+ 2;
б) 6x
2 – 5x
+ 1;
в) 3x
2 + 5x
– 2;
г) -5x
2 + 6x
– 1.
2. Разложение на множители помогает нам при сокращении дробей.
3. Не используя формулу корней, найдите корни квадратного трехчлена:
а) x
2 + 3x
+ 2 = 0;
б) x
2 – 9x
+ 20 = 0.
4. Составьте квадратный трехчлен, корнями которого являются числа:
а) x
1 = 4; x
2 = 2;
б) x
1 = 3; x
2 = -6;
Самостоятельная работа.
Самостоятельно по вариантам выполнить задание с последующей проверкой. На первые два задания необходимо дать ответ “Да” или “нет”. Вызываются по одному ученику от каждого варианта (они работают на отворотах доски). После того как самостоятельная работа выполнена на доске, проводится совместная проверка решения. Учащиеся оценивают свои работы.
1-й вариант:
1. D<0. Уравнение имеет 2 корня.
2. Число 2 является корнем уравнения х 2 + 3х – 10 = 0.
3. Разложить квадратный трехчлен на множители 6x 2 – 5x + 1;
2-й вариант:
1. D>0. Уравнение имеет 2 корня.
2.Число 3 является корнем квадратного уравнения х 2 – х – 12 = 0.
3.Разложить квадратный трехчлен на множители 2х 2 – 5х + 3
IV. Проверка усвоения знаний. Рефлексия.
– Урок показал, что вы знаете основной теоретический материал этой темы. Мы обобщили знания
Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax^2+bx+c, где х – переменная, a, b и с – некоторые числа, причем а не равно нулю.
Собственно, первое что нам нужно знать, чтобы разложить злополучный трехчлен на множители – теорема. Выглядит она следующим образом: “Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена ax^2+bx+c, то ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)”. Конечно, существует и доказательство этой теоремы, но оно требует некоторых теоретических знаний (при вынесении за скобки в многочлене ax^2+bx+c множителя а получаем ax^2+bx+c=a(x^2+(b/a)x + c/a). По теореме Виетта x1+x2=-(b/a), х1*х2=с/а, следовательно b/a=-(x1+x2), с/а=х1*х2. значит, x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)-x2(x-x1)= (x-x1)(x-x2). значит, ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) . Иногда учителя заставляют учить доказательство, но если оно не востребовано, советую просто запомнить итоговую формулу.
2 шаг
Возьмем как пример трехчлен 3x^2-24x+21. Первое, что нам нужно сделать – приравнять трехчлен к нулю: 3x^2-24x+21=0. Корни полученного квадратного уравнения и будут корнями трехчлена, соответственно.
3 шаг
Решим уравнение 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. Итак, решаем. Кто не знает как решать квадратные уравнения, смотрите в мою инструкцию с 2-мя способами их решения на примере этого же уравнения. Получились корни х1=7, х2=1.
4 шаг
Теперь, когда у нас есть корни трехчлена, можно смело подставлять их в формулу =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
получаем:3x^2-24x+21=3(х-7)(х-1)
Можно избавиться от члена а, внеся его в скобки: 3x^2-24x+21=(х-7)(х*3-1*3)
в итоге получаем: 3x^2-24x+21=(х-7)(3х-3). Примечание: каждый из полученных множителей ((х-7), (3х-3) являются многочленами первой степени. Вот и все разложение =) Если сомневаетесь в полученном ответе, всегда можно его проверить, перемножив скобки.
5 шаг
Проверка решения. 3x^2-24x+21=3(х-7)(х-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Теперь мы точно знаем, что наше решение верно! Надеюсь, моя инструкция кому-нибудь поможет =) Удачи в учебе!
- В нашем случае в уравнении D >0 и мы получили по 2 корня. Если бы было D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
- Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени.
У него – квадрат, а состоит он из трех слагаемых (). Вот и получается – квадратный трехчлен.
Примеры не квадратных трехчленов:
\(x^3-3x^2-5x+6\) - кубический четырёхчлен
\(2x+1\) - линейный двучлен
Корень квадратного трехчлена:
Пример:
У трехчлена \(x^2-2x+1\) корень \(1\), потому что \(1^2-2·1+1=0\)
У трехчлена \(x^2+2x-3\) корни \(1\) и \(-3\), потому что \(1^2+2-3=0\) и \((-3)^2-6-3=9-9=0\)
Например: если нужно найти корни для квадратного трехчлена \(x^2-2x+1\), приравняем его к нулю и решим уравнение \(x^2-2x+1=0\).
\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac{2-0}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Готово. Корень равен \(1\).
Разложение квадратного трёхчлена на :
Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) можно разложить как \(a(x-x_1)(x-x_2)\), если уравнения \(ax^2+bx+c=0\) больше нуля \(x_1\) и \(x_2\) - корни того же уравнения).
Например
, рассмотрим трехчлен \(3x^2+13x-10\).
У квадратного уравнения \(3x^2+13x-10=0\) дискриминант равен 289 (больше нуля), а корни равны \(-5\) и \(\frac{2}{3}\). Поэтому \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac{2}{3})\). В верности этого утверждения легко убедится – если мы , то получим исходный трехчлен.
Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) можно представить как \(a(x-x_1)^2\), если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) равен нулю.
Например , рассмотрим трехчлен \(x^2+6x+9\).У квадратного уравнения \(x^2+6x+9=0\) дискриминант равен \(0\), а единственный корень равен \(-3\). Значит, \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (здесь коэффициент \(a=1\), поэтому перед скобкой не пишется – незачем). Обратите внимание, что тоже самое преобразование можно сделать и по .
Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) не раскладывается на множители, если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) меньше нуля.
Например , у трехчленов \(x^2+x+4\) и \(-5x^2+2x-1\) – дискриминант меньше нуля. Поэтому разложить их на множители невозможно.
Пример
. Разложите на множители \(2x^2-11x+12\).
Решение
:
Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2-11x+12=0\)
\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac{11-5}{4}=1,5;\) \(x_2=\frac{11+5}{4}=4.\)
Значит, \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
Ответ
: \(2(x-1,5)(x-4)\)
Полученный ответ, может быть, записать по-другому: \((2x-3)(x-4)\).
Пример
. (Задание из ОГЭ)
Квадратный трехчлен разложен на множители \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Найдите \(a\).
Решение:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac{-33-17}{10}=-5\)
\(x_2=\frac{-33+17}{10}=-1,6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Ответ
: \(-1,6\)
Квадратным трёхчленом называется многочлен вида ax^2 + bx + с, где x - переменная, а, b и с - некоторые числа, причем, а ≠ 0.
Чтобы разложить трехчлен на множители, нужно знать корни этого трехчлена. (далее пример на трехчлене 5х^2 + 3х- 2)
Заметим: значение квадратного трёхчлена 5х^2 + 3х - 2 зависит от значения х. Например: Если х = 0, то 5х^2 + 3х - 2 = -2
Если х = 2, то 5х^2 + 3х - 2 = 24
Если х = -1, то 5х^2 + 3х - 2 = 0
При х = -1 квадратный трёхчлен 5х^2 + 3х - 2 обращается в нуль, в этом случае число -1 называют корнем квадратного трёхчлена .
Как получить корень уравнения
Поясним, как мы получили корень этого уравнения. Для начала необходимо четко знать теорему и формулу, по которой мы будем работать:
“Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена ax^2 + bx + c, то ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)”.
Х = (-b±√(b^2-4ac))/2a \
Это формула нахождения корней многочлена является самой примитивной формулой, решая по которой вы никогда не запутаетесь.
Выражение 5х^2 + 3х – 2.
1. Приравниваем к нулю: 5х^2 + 3х – 2 = 0
2. Находим корни квадратного уравнения, для этого подставляем значения в формулу (а – коэффициент при Х^2, b – коэффициент при Х, свободный член, то есть цифра без Х):
Первый корень находим со знаком плюс перед корнем квадратным:
Х1 = (-3 + √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 + √(9 -(-40)))/10 = (-3 + √(9+40))/10 = (-3 + √49)/10 = (-3 +7)/10 = 4/(10) = 0,4
Второй корень со знаком минус перед корнем квадратным:
X2 = (-3 - √(3^2 - 4 * 5 * (-2)))/(2*5) = (-3 - √(9- (-40)))/10 = (-3 - √(9+40))/10 = (-3 - √49)/10 = (-3 - 7)/10 = (-10)/(10) = -1
Вот мы и нашли корни квадратного трехчлена. Чтобы убедиться, что они верные, можно сделать проверку: сначала подставляем первый корень в уравнение, затем второй:
1) 5х^2 + 3x – 2 = 0
5 * 0,4^2 + 3*0,4 – 2 = 0
5 * 0,16 + 1,2 – 2 = 0
2) 5х^2 + 3x – 2 = 0
5 * (-1)^2 + 3 * (-1) – 2 = 0
5 * 1 + (-3) – 2 = 0
5 – 3 – 2 = 0
Если при подстановке всех корней уравнение обращается в ноль, значит уравнение решено верно.
3. Теперь воспользуемся формулой из теоремы: ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2), помним, что Х1 и Х2 – это корни квадратного уравнения. Итак: 5х^2 + 3x – 2 = 5 * (x - 0,4) * (x- (-1))
5х^2 + 3x– 2 = 5(x - 0,4)(x + 1)
4. Чтобы убедиться в правильности разложения можно просто перемножить скобки:
5(х - 0,4)(х + 1) = 5(х^2 + x - 0,4x - 0,4) = 5(x^2 + 0,6x – 0,4) = 5x^2 +3 – 2. Что подтверждает правильность решения.
Второй вариант нахождения корней квадратного трехчлена
Еще один вариант нахождения корней квадратного трехчлена - теорема обратная теореме Виетта. Здесь корни квадратного уравнения находятся по формулам: x1 + x2 = -(b) , х1 * х2 = с . Но важно понимать, что данной теоремой можно пользоваться только в том случае, если коэффициент а = 1, то есть число, стоящее перед х^2 = 1.
Например: x^2 – 2x +1 = 0, a = 1, b = - 2, c = 1.
Решаем: х1 + х2 = - (-2), х1 + х2 = 2
Теперь важно подумать, какие числа в произведении дают единицу? Естественно это 1 * 1 и -1 * (-1) . Из этих чисел выбираем те, которые соответствую выражению х1 + х2 = 2, конечно же - это 1 + 1. Вот мы и нашли корни уравнения: х1 = 1, х2 = 1. Это легко проверить, если подставить в выражение x^2 – 2x + 1 = 0.
Это один из самых элементарных способов упростить выражение. Для применения этого метода давай вспомним распределительный закон умножения относительно сложения (не пугайся этих слов, ты обязательно знаешь этот закон, просто мог забыть его название).
Закон гласит: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить, иначе говоря, .
Так же можно проделать и обратную операцию, вот именно эта обратная операция нас и интересует. Как видно из образца, общий множитель а, можно вынести за скобку.
Подобную операцию можно проделывать как с переменными, такими как и, например, так и с числами: .
Да, это слишком элементарный пример, так же, как и приведенный ранее пример, с разложением числа, ведь все знают, что числа, и делятся на, а как быть, если вам досталось выражение посложнее:
Как узнать на что, например, делится число, неет, с калькулятором-то любой сможет, а без него слабо? А для этого существуют признаки делимости, эти признаки действительно стоит знать, они помогут быстро понять, можно ли вынести за скобку общий множитель.
Признаки делимости
Запомнить их не так сложно, скорее всего, большинство из них и так тебе были знакомы, а что-то будет новым полезным открытием, подробнее в таблице:
Примечание: В таблице не хватает признака делимости на 4. Если две последние цифры делятся на 4, то и всё число делится на 4.
Ну как тебе табличка? Советую ее запомнить!
Что ж, вернемся к выражению, может вынести за скобку да и хватит с него? Нет, у математиков принято упрощать, так по полной, выносить ВСЕ что выносится!
И так, с игреком все понятно, а что с числовой частью выражения? Оба числа нечетные, так что на разделить не удастся,
Можно воспользоваться признаком делимости на, сумма цифр, и, из которых состоит число, равна, а делится на, значит и делится на.
Зная это, можно смело делить в столбик, в результате деления на получаем (признаки делимости пригодились!). Таким образом, число мы можем вынести за скобку, так же, как y и в результате имеем:
Чтоб удостовериться, что разложили все верно, можно проверить разложение, умножением!
Также общий множитель можно выносить и в степенных выражениях. Вот тут, например, видишь общий множитель?
У всех членов этого выражения есть иксы - выносим, все делятся на - снова выносим, смотрим что получилось: .
2. Формулы сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения уже упоминались в теории, если ты с трудом помнишь что это, то тебе стоит освежить их в памяти .
Ну, а если ты считаешь себя очень умным и тебе лень читать такую тучу информации, то просто читай дальше, глянь на формулы и сразу берись за примеры.
Суть этого разложения в том, что бы заметить в имеющемся перед тобой выражении какую-то определенную формулу, применить ее и получить, таким образом, произведение чего-то и чего-то, вот и все разложение. Дальше приведены формулы:
А теперь попробуй, разложи на множители следующие выражения, используя приведенные выше формулы:
А вот что должно было получиться:
Как ты успел заметить, эти формулы - весьма действенный способ разложения на множители, он подходит не всегда, но может очень пригодиться!
3. Группировка или метод группировки
А вот тебе еще примерчик:
ну и что с ним делать будешь? Вроде бы и на что-то делится и на, а что-то на и на
Но все вместе на что-то одно не разделишь, ну нет тут общего множителя , как не ищи, что, так и оставить, не раскладывая на множители?
Тут надо смекалку проявить, а имя этой смекалке - группировка!
Применяется она как раз, когда общие делители есть не у всех членов. Для группировки необходимо найти группки слагаемых, имеющих общие делители и переставить их так, чтобы из каждой группы можно было получить один и тот же множитель.
Переставлять местами конечно не обязательно, но это дает наглядность, для наглядности же можно взять отдельные части выражения в скобки, их ставить не запрещается сколько угодно, главное со знаками не напутать.
Не очень понятно все это? Объясню на примере:
В многочлене -- ставим член - после члена - получаем
группируем первые два члена вместе в отдельной скобке и так же группируем третий и четвертый члены, вынеся за скобку знак «минус», получаем:
А теперь смотрим по отдельности на каждую из двух "кучек", на которые мы разбили выражение скобками.
Хитрость в том, чтоб разбить на такие кучки, из которых можно будет вынести максимально большой множитель, либо, как в этом примере, постараться сгруппировать члены так, чтобы после вынесения из кучек множителей за скобку у нас внутри скобок оставались одинаковые выражения.
Из обеих скобок выносим за скобки общие множители членов, из первой скобки, а из второй, получаем:
Но это же не разложение!
П осле разложения должно остаться только умножение , а пока у нас многочлен просто поделен на две части...
НО! Этот многочлен имеет общий множитель. Это
за скобку и получаем финальное произведение
Бинго! Как видишь, тут уже произведение и вне скобок нет ни сложения, ни вычитания, разложение завершено, т.к. вынести за скобки нам больше нечего.
Может показаться чудом, что после вынесения множителей за скобки у нас в скобках остались одинаковые выражения, которые опять же мы и вынесли за скобку.
И вовсе это не чудо, дело в том, что примеры в учебниках и в ЕГЭ специально сделаны так, что большинство выражений в заданиях на упрощение или разложение на множители при правильном к ним подходе легко упрощаются и резко схлопываются как зонтик при нажатии на кнопку, вот и ищи в каждом выражении ту самую кнопку.
Что-то я отвлекся, что у нас там с упрощением? Замысловатый многочлен принял более простой вид: .
Согласись, уже не такой громоздкий, как был?
4. Выделение полного квадрата.
Иногда для применения формул сокращенного умножения (повтори тему ) необходимо преобразовать имеющийся многочлен , представив одно из его слагаемых в виде суммы или разности двух членов.
В каком случае приходится это делать, узнаешь из примера:
Многочлен в таком виде не может быть разложен при помощи формул сокращенного умножения, поэтому его необходимо преобразовать. Возможно, поначалу тебе будет не очевидно какой член на какие разбивать, но со временем ты научишься сразу видеть формулы сокращенного умножения, даже если они не присутствуют не целиком, и будете довольно быстро определять, чего здесь не хватает до полной формулы, а пока - учись, студент, точнее школьник.
Для полной формулы квадрата разности здесь нужно вместо. Представим третий член как разность, получим: К выражению в скобках можно применить формулу квадрата разности (не путать с разностью квадратов!!!) , имеем: , к данному выражению можно применить формулу разности квадратов (не путать с квадратом разности!!!) , представив, как, получим: .
Не всегда разложенное на множители выражение выглядит проще и меньше, чем было до разложения, но в таком виде оно становится более подвижным, в том плане, что можно не париться про смену знаков и прочую математическую ерунду. Ну а вот тебе для самостоятельного решения, следующие выражения нужно разложить на множители.
Примеры:
Ответы:
5. Разложение квадратного трехчлена на множители
О разложении квадратного трехчлена на множители смотри далее в примерах разложения.
Примеры 5 методов разложения многочлена на множители
1. Вынесение общего множителя за скобки. Примеры.
Помнишь, что такое распределительный закон? Это такое правило:
Пример:
Разложить многочлен на множители.
Решение:
Еще пример:
Разложи на множители.
Решение:
Если слагаемое целиком выносится за скобки, в скобках вместо него остается единица!
2. Формулы сокращенного умножения. Примеры.
Чаще всего используем формулы разность квадратов, разность кубов и сумма кубов. Помнишь эти формулы? Если нет, срочно повтори тему !
Пример:
Разложите на множители выражение.
Решение:
В этом выражении несложно узнать разность кубов:
Пример:
Решение:
3. Метод группировки. Примеры
Иногда можно поменять слагаемые местами таким образом, чтобы из каждой пары соседних слагаемых можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен превратится в произведение.
Пример:
Разложите на множители многочлен.
Решение:
Сгруппируем слагаемые следующим образом:
.
В первой группе вынесем за скобку общий множитель, а во второй − :
.
Теперь общий множитель также можно вынести за скобки:
.
4. Метод выделения полного квадрата. Примеры.
Если многочлен удастся представить в виде разности квадратов двух выражений, останется только применить формулу сокращенного умножения (разность квадратов).
Пример:
Разложите на множители многочлен.
Решение: Пример:
\begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{2}}+6{x}-7=\underbrace{{{x}^{2}}+2\cdot 3\cdot x+9}_{квадрат\ суммы\ {{\left(x+3 \right)}^{2}}}-9-7={{\left(x+3 \right)}^{2}}-16= \\
=\left(x+3+4 \right)\left(x+3-4 \right)=\left(x+7 \right)\left(x-1 \right) \\
\end{array}
Разложите на множители многочлен.
Решение:
\begin{array}{*{35}{l}}
{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-1=\underbrace{{{x}^{4}}-2\cdot 2\cdot {{x}^{2}}+4}_{квадрат\ разности{{\left({{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}}-4-1={{\left({{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}-5= \\
=\left({{x}^{2}}-2+\sqrt{5} \right)\left({{x}^{2}}-2-\sqrt{5} \right) \\
\end{array}
5. Разложение квадратного трехчлена на множители. Пример.
Квадратный трехчлен - многочлен вида, где - неизвестное, - некоторые числа, причем.
Значения переменной, которые обращают квадратный трехчлен в ноль, называются корнями трехчлена. Следовательно, корни трехчлена - это корни квадратного уравнения.
Теорема.
Пример:
Разложим на множители квадратный трехчлен: .
Сначала решим квадратное уравнение:Теперь можно записать разложение данного квадратного трехчлена на множители:
Теперь твое мнение...
Мы расписали подробно как и для чего раскладывать многочлен на множители.
Мы привели массу примеров как это делать на практике, указали на подводные камни, дали решения...
А что скажешь ты?
Как тебе эта статья? Ты пользуешься этими приемами? Понимаешь их суть?
Пиши в комментриях и... готовься к экзамену!
Пока что он самый важный в твоей жизни.