Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Тождества. Тождественные преобразования выражений. 7 класс.
Найдем значение выражений при х=5 и у=4 3(х+у)= 3(5+4)=3*9=27 3х+3у= 3*5+3*4=27 Найдем значение выражений при х=6 и у=5 3(х+у)= 3(6+5)=3*11=33 3х+3у= 3*6+3*5=33
ВЫВОД: Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных значения выражений 3(х+у) и 3х+3у равны. 3(х+у) = 3х+3у
Рассмотрим теперь выражения 2х+у и 2ху. при х=1 и у=2 они принимают равные значения: 2х+у=2*1+2=4 2ху=2*1*2=4 при х=3, у=4 значения выражений разные 2х+у=2*3+4=10 2ху=2*3*4=24
ВЫВОД: Выражения 3(х+у) и 3х+3у являются тождественно равными, а выражения 2х+у и 2ху не являются тождественно равными. Определение: Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
ТОЖДЕСТВО Равенство 3(х+у) и 3х+3у верно при любых значениях х и у. Такие равенства называются тождествами. Определение: Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством. Тождествами считают и верные числовые равенства. С тождествами мы уже встречались.
Тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами. a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac
Можно привести и другие примеры тождеств: а + 0 = а а * 1 = а а + (-а) = 0 а * (- b) = - ab а- b = a + (- b) (-a) * (-b) = ab Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.
Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть. Пример 1. Приведем подобные слагаемые 5х +2х-3х=х(5+2-3)=4х
Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Пример 2. Раскроем скобки в выражении 2а + (b -3 c) = 2 a + b – 3 c
Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Пример 3. Раскроем скобки в выражении а – (4 b – с) = a – 4 b + c
Домашнее задание: п. 5, №91, 97, 99 Спасибо за урок!
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Методика подготовки учащихся к ЕГЭ по разделу "Выражения и преобразование выражений"
Данный проект разработан с целью подготовки учащихся к государственным экзаменам в 9 классе и в дальнейшем к единому государственному экзамену в 11 классе....
Итак, друзья, в прошлом уроке мы познакомились с Поняли, что означают слова "выражение не имеет смысла" . А теперь пришла пора разобраться, что же такое преобразование выражений. И самое главное – зачем оно нужно.
Что такое преобразование выражения?
Ответ прост, до неприличия.) Это любое действие с выражением. И всё. Все эти преобразования вы делали с первого класса. Любое не буквально, конечно… Об этом чуть ниже будет.)
Например, возьмём какое-нибудь суперкрутое числовое выражение Скажем, 3+2. Как его можно преобразовать? Да очень просто! Хотя бы взять да посчитать:
3+2 = 5
Вот этот расчёт детского садика и будет преобразованием выражения. Можно записать то же самое выражение по-другому:
3+2 = 2+3
А тут мы вообще ничего не считали. Просто взяли и переписали наше выражение в другом виде. Это тоже будет преобразованием выражения. Можно записать и по-другому. Например, вот так:
3+2 = 10-5
И эта запись – тоже преобразование выражения.
Или так:
3+2 = 10:2
Тоже преобразование выражения!
Если мы с вами постарше, с алгеброй дружим, то напишем:
Кто на "ты" с алгеброй, тот, даже особо не напрягаясь и ничего не считая, в уме сообразит, что слева и справа стоит обыкновенная пятёрка. Напрягитесь и попробуйте.)
А если мы совсем уж старшенькие, то можем записать и такие ужастики:
log 2 8+ log 2 4 = log 2 32
Или даже такие:
5 sin 2 x +5 cos 2 x =5 tgx·ctgx
Внушает? И таких преобразований, очевидно, можно понаделать сколько хочешь! Насколько позволяет фантазия. И набор знаний математики.)
Уловили смысл?
Любое действие над выражением, любая запись его в другом виде называется преобразованием выражения. И все дела. Всё очень просто.
Простота, конечно, дело всегда хорошее и приятное, но за любую простоту где-то надо платить, да…. Есть здесь одно существенное "но". Все эти загадочные превращения всегда подчиняются одному оч-чень важному правилу. Правило это настолько важное, что его смело можно назвать главным правилом всей математики. И нарушение этого простого правила неизбежно будет приводить к ошибкам. Вникаем?)
Предположим, мы преобразовали наше выражение как попало, от балды, как-нибудь вот так:
3+2 = 6+1
Преобразование? Конечно. Мы же записали выражение в другом виде! Но… что здесь не так?
Ответ: всё не так.) Дело всё в том, что преобразования "как попало и от балды" математику не интересуют вообще.) Почему? Потому, что вся математика построена на преобразованиях, в которых меняется внешний вид, но суть выражения не меняется. Таково её жёсткое требование. И нарушение этого требования будет приводить к ошибкам. Три плюс два можно записать в каком угодно виде. В каком пример требует, в том виде и запишем. Но по своей сути это всегда должно быть пять. В каком бы виде мы эти самые 3+2 ни записали. А вот, если, вдруг, после записи выражения 3+2 в другом виде, у вас вместо пяти окажется двадцать пять, где-то вы ошиблись по дороге. Вернитесь да ляп-то и устраните.)
А теперь пришла пора мудрых зелёных мыслей.)
Запоминаем:
1. Любое действие над выражением, запись его в другом виде, называется преобразованием выражения.
2. Преобразования, не меняющие сути выражения , называются тождественными.
3. Вся математика построена на тождественных преобразованиях выражений.
Именно тождественные преобразования и позволяют нам, шаг за шагом, потихоньку-помаленьку, превращать сложный пример в простое, белое и пушистое выражение, сохраняя суть примера. Если, вдруг, в цепочке наших преобразований мы где-то ошибёмся, и на каком-то шаге сделаем НЕ ТОЖДЕСТВЕННОЕ преобразование, то дальше мы будем решать уже совсем другой пример. С другими ответами, да… Которые уже не будут иметь никакого отношения к правильным.) Нарушим тождественность и накосячим ещё где-то - приступим к решению уже третьего примера. И так далее, в зависимости от количества косяков, от задачки про поезд и автомобиль можно прийти к задачке про полтора землекопа.)
Ещё пример. Для школьников, уже вовсю изучающих алгебру. Допустим, нам надо найти значение выражения (40+7) 2 . Как можно выкрутиться, т.е. преобразовать наше злое выражение? Можно просто посчитать выражение в скобках (получим 47), перемножить столбиком само на себя и получить (если сосчитать) 2209. А можно воспользоваться формулой
(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 .
Получим: (40+7) 2 = 40 2 +2∙40∙7+7 2 = 1600+560+49 = 2209.
Но! Есть соблазн (скажем, в силу незнания формулы) при возведении в квадрат записать просто:
(40+7) 2 = 40 2 +7 2 .
К сожалению, на данном простом и, казалось бы, очевидном переходе, тождественность наших преобразований нарушается . Слева всё как надо, 2209, а вот справа – уже другое число. 1649. Посчитайте – и всё станет понятно. Вот вам типичный пример НЕ тождественного преобразования. И соответственно вылезшей ошибки. )
Вот оно и главное правило решения любых заданий: соблюдение тождественности преобразований.
Пример с числовыми выражениями 3+2 и (40+7) 2 я привёл чисто для наглядности.
А что же с алгебраическими выражениями? Всё то же самое! Только в алгебраических выражениях тождественные преобразования задаются формулами и правилами. Скажем, в алгебре есть формула:
a(b-c) = ab - ac
Значит, в любом примере мы имеем полное право вместо выражения a(b-c) смело написать альтернативное выражение ab - ac . И наоборот. Это Математика предоставляет нам на выбор эти два выражения. А уж какое из них писать - от конкретного примера зависит.
Или популярное:
a 2 - b 2 = (a - b )(a + b )
Опять же, два возможных варианта. Оба правильные.) Это тоже тождественное преобразование. Что выгоднее писать – разность квадратов или же произведение скобок – пример сам подскажет.)
Ещё пример. Одно из самых главных и нужных преобразований в математике - это основное свойство дроби. Подробнее можно (будет) по ссылочке почитать и посмотреть (когда урок сделаю), а здесь я просто напомню правило:
Если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, или неравное нулю выражение, дробь не изменится.
Вот вам пример тождественных преобразований по этому свойству:
Как вы, наверняка, догадались, эту славную цепочку можно продолжать до бесконечности...) Насколько хватит творческого порыва. Всякие там минусы, корни, пусть вас не смущают. Это всё одна и та же дробь. По своей сути. Две трети. 2/3. Просто записанная в разном виде. :) Очень важное свойство. Именно оно очень часто позволяет превращать всякие монстры-примеры в белые и пушистые.)
Конечно же, формул и правил, задающих тождественные преобразования, - много. Я бы даже сказал, очень много. Но самых главных, без которых в математике хотя бы троечного уровня обойтись нельзя , - вполне разумное количество.
Вот одни из базовых преобразований:
1. Работа с одночленами и многочленами. Приведение подобных слагаемых (или коротко – подобных);
2. Раскрытие скобок и заключение в скобки ;
3. Разложение на множители ;
4. и разложение квадратного трёхчлена .
5. Работа с дробями и дробными выражениями.
Эти пять базовых преобразований широко используются во всей математике . От элементарной до высшей. И, если вы не владеете хотя бы одной из этих пяти простых вещей, то вас неминуемо ждут большие проблемы как во всей математике средней школы, так и в старших классах, а уж в ВУЗе – тем более. Поэтому именно с них и начнём. В следующих уроках этого раздела.)
Есть и более крутые преобразования. Для продвинутых школьников и студентов.) Будь то:
6. , и всё что с ними связано;
7. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена;
8. Деление многочленов уголком или по схеме Горнера ;
9. Разложение рациональной дроби в сумму элементарных (простейших) дробей. Полезнейшая фишка для студентов при работе
Итак, всё ясно насчёт тождественности преобразований и важности её соблюдения? Отлично! Тогда пора двигаться на следующий уровень и шагать из примитивной арифметики в более серьёзную алгебру окончательно. И с блеском в глазах.)
Числа и выражения, из которых составлено исходное выражение, можно заменять тождественно равными им выражениями. Такое преобразование исходного выражения приводит к тождественно равному ему выражению.
Например, в выражении 3+x число 3 можно заменить суммой 1+2 , при этом получится выражение (1+2)+x , которое тождественно равно исходному выражению. Другой пример: в выражении 1+a 5 степень a 5 можно заменить тождественно равным ей произведением, например, вида a·a 4 . Это нам даст выражение 1+a·a 4 .
Данное преобразование, несомненно, искусственно, и обычно является подготовкой к каким-либо дальнейшим преобразованиям. Например, в сумме 4·x 3 +2·x 2 , учитывая свойства степени, слагаемое 4·x 3 можно представить в виде произведения 2·x 2 ·2·x . После такого преобразования исходное выражение примет вид 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Очевидно, слагаемые в полученной сумме имеют общий множитель 2·x 2 , таким образом, мы можем выполнить следующее преобразование - вынесение за скобки. После него мы придем к выражению: 2·x 2 ·(2·x+1) .
Прибавление и вычитание одного и того же числа
Другим искусственным преобразованием выражения является прибавление и одновременное вычитание одного и того же числа или выражения. Такое преобразование является тождественным, так как оно, по сути, эквивалентно прибавлению нуля, а прибавление нуля не меняет значения.
Рассмотрим пример. Возьмем выражение x 2 +2·x . Если к нему прибавить единицу и отнять единицу, то это позволит в дальнейшем выполнить еще одно тождественное преобразование - выделить квадрат двучлена : x 2 +2·x=x 2 +2·x+1−1=(x+1) 2 −1 .
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
Пусть даны два алгебраических выражения:
Составим таблицу значений каждого из этих выражений при различных числовых значениях буквы х.
Мы видим, что при всех тех значениях, которые давались букве х, значения обоих выражений оказывались равными. То же будет и при всяком другом значении х.
Чтобы убедиться в этом, преобразуем первое выражение. На основании распределительного закона запишем:
Произведя над числами указанные действия, получим:
Итак, первое выражение после его упрощения оказалось совершенно таким же, как и второе выражение.
Теперь ясно, что при любом значении х значения обоих выражений равны.
Выражения, значения которых равны при любых значениях входящих в них букв, называются тождественно равными или тождественными.
Значит, - тождественные выражения.
Сделаем одно важное замечание. Возьмём выражения:
Составив таблицу, подобную предыдущей, убедимся, что оба выражения при любом значении х, кроме имеют равные числовые значения. Только при второе выражение равно 6, а первое теряет смысл, так как в знаменателе получается нуль. (Вспомним, что на нуль делить нельзя.) Можно ли сказать, что эти выражения тождественны?
Мы раньше условились, что каждое выражение будем рассматривать только при допустимых значениях букв, то есть при тех значениях, при которых выражение не теряет смысла. Значит, и здесь, сравнивая два выражения, принимаем во внимание только те значения букв, которые допустимы для обоих выражений. Поэтому значение мы должны исключить. А так как при всех остальных значениях х оба выражения имеют одно и то же числовое значение, то мы вправе считать их тождественными.
На основании сказанного дадим такое определение тождественных выражений:
1. Выражения называются тождественными, если они имеют одинаковые числовые значения при всех допустимых значениях входящих в них букв.
Если два тождественных выражения соединим знаком равенства, то получим тождество. Значит:
2. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него букв.
Мы уже раньше встречались с тождествами. Так, например, тождествами являются все равенства, которыми мы выражали основные законы сложения и умножения.
Например, равенства, выражающие переместительный закон сложения
и сочетательный закон умножения
справедливы для любых значений букв. Значит, эти равенства являются тождествами.
Тождествами считаются также все верные арифметические равенства, например:
В алгебре часто приходится какое-либо выражение заменять другим, ему тождественным. Пусть, например, требуется найти значение выражения
Мы значительно облегчим вычисления, если данное выражение заменим выражением, ему тождественным. На основании распределительного закона можем записать:
Но числа в скобках дают в сумме 100. Значит, имеем тождество:
Подставив в правую часть его 6,53 вместо а, сразу (в уме) найдём числовую величину (653) данного выражения.
Замена одного выражения другим, тождественным ему, называется тождественным преобразованием этого выражения.
Напомним, что всякое алгебраическое выражение при любых допустимых значениях букв является некоторым
числом. Отсюда следует, что к алгебраическим выражениям применимы все законы и свойства арифметических действий, которые были приведены в предыдущей главе. Итак, применение законов и свойств арифметических действий преобразует данное алгебраическое выражение в тождественное ему выражение.
Тождественные преобразования
1. Понятие тождества. Основные типы тождественных преобразований и этапы их изучения.
11чучение различных преобразований выражений и формул занимает нищ.шую часть учебного времени в курсе школьной математики. Простейшие ^"«образования, опирающиеся на свойства арифметических операций, произ- 1Ч-.Я уже в начальной школе. Но основную нагрузку по формированию умений и навыков выполнения преобразований несет на себе курс школьной алгебры 1 >то связано:
с резким увеличением числа совершаемых преобразований, их разно- оПришсм;
с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий применимости;
i) с выделением и изучением обобщенных понятий тождества, тождественного преобразования, равносильного преобразования, логического следования.
Линия тождественных преобразований получает следующее развитие в курсе алгебры основной школы:
,4 б классы - раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, выне- М(Чшо множителя за скобки;
7 класс - тождественные преобразования целых и дробных выражений;
Н класс - тождественные преобразования выражений, содержащих квад- с корни;
( > класс - тождественные преобразования тригонометрических выражений и ммрижсний, содержащих степень с рациональным показателем.
Линия тождественных преобразований является одной из важных идейны ч линий курса алгебры. Поэтому обучение математике в 5-6 классах строится niKiiM образом, чтобы учащиеся уже в этих классах приобрели навыки простейших тождественных преобразований (без употребления термина «тождест- неиные преобразования»). Эти навыки формируются при выполнении упражнении на приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок и заключение в скобки, вынесение множителя за скобки и т.д. Рассматриваются также простейшие преобразования числовых и буквенных выражений. На этом уровне обучения осваиваются преобразования, которые выполняются непосредственно на основе законов и свойств арифметических действий.
К основным видам задач в 5-6-х классах, при решении которых активно используются свойства и законы арифметических действий и через которые формируются навыки тождественных преобразований, относятся:
обоснование алгоритмов выполнения действий над числами изучаемых числовых множеств;
вычисление значений числового выражения наиболее рациональным способом;
сравнение значений числовых выражений без выполнения указанных действий;
упрощение буквенных выражений;
доказательство равенства значений двух буквенных выражений и т.д.
Представьте число 153 в виде суммы разрядных слагаемых; в виде разности двух чисел, в виде произведения двух чисел.
Представьте число 27 в виде произведений трех одинаковых множителей.
Эти упражнения на представление одного и того же числа в разных формах записи содействуют усвоению понятия о тождественных преобразованиях. Вначале эти представления могут быть произвольными, в дальнейшем - целенаправленными. Например, представление в виде суммы разрядных слагаемых используется для объяснения правил сложения натуральных чисел «столбиком», представление в виде суммы или разности «удобных» чисел - для выполнения быстрых вычислений различных произведений, представление в виде произведения множителей - для упрощения различных дробных выражений.
Найдите значение выражения 928 36 + 72 36.
Рациональный способ вычисления значения данного выражения основан на использовании распределительного закона умножения относительно сложения: 928 36 + 72 36 = (928 + 72) 36 = 1000 36 = 36000.
В школьном курсе математики можно выделить следующие этапы освоения применений преобразований буквенно-числовых выражений и формул.
этап. Начала алгебры. На этом этапе используется нерасчлененная система преобразований; она представлена правилами выполнения действий над одной или обеими частями формулы.
Пример. Решить уравнения:
а) 5х - Ъх = 2; б) 5х = Зх + 2; в) 6 (2 - 4у) + 5у = 3 (1 - Зу).
Общая идея решения состоит в упрощении данных формул с помощью нескольких правил. В первом задании упрощение достигается при помощи применения тождества: 5х - Ъх = (5 - 3)х. Основанное на этом тождестве тождественное преобразование переводит данное уравнение в равносильное ему уршшомие 2х - 2.
Второе уравнение требует для своего решения не только тождественного, но н ринноеильного преобразования; в таком качестве здесь используется пра- ||н по переноса членов уравнения из одной части уравнения в другую с измененном шика. В решении уже такого простого задания, как б), используются оба пн in преобразований - и тождественное, и равносильное. Это положение со- чриниотся и для более громоздких заданий, таких, как третье.
Моль первого этапа - научить быстро решать простейшие уравнения, упрощать формулы, задающие функции, рационально проводить вычисления с опорой на свойства действий.
тит. Формирование навыков применения конкретных видов преобразова- II tilt 11онятия тождества и тождественного преобразования явно вводятся в курсе шн"сбры 7 класса. Так, например, в учебнике Ю. Н. Макарычева «Алгебра 7» ннп"шле вводится понятие тождественно равных выражений: «Два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, шпыняются тождественно равными», затем понятие тождества: «Равенство, парное при любых значениях переменных, называется тождеством».
11риводятся примеры:
В
учебнике А.Г. Мордковича «Алгебра 7»
приводится сразу и уточненное
понятие тождества: «Тождество
-
это равенство, верное при
любых допустимых
значениях входящих в его состав
переменных».
11ри введении понятия тождественного преобразования следует прежде всего покичать целесообразность изучения тождественных преобразований. Для этого можно рассмотреть различные упражнения на нахождение значения выражений.
liiiipiiMep, найти значение выражения 37,1х + 37,ly при х = 0,98, у = 0,02. Ис- пошлуя распределительное свойство умножения, выражение 37,1л + 37,1 у можно щмоиить выражением 37,1(х + у), тождественно равным ему. Ещё более впе- чи глист 1 решение следующего упражнения: найти значение выражения
()-(а-6)_ п р и. а) д = з > ^ = 2; б) а = 121, Ъ - 38; в) а = 2,52, Ъ= 1 -.
ab 9
11осле проведенных преобразований оказывается, что множество значений это- ю ныражения состоит из одного числа 4.
В учебнике Ю. Н. Макарычева «Алгебра 7» введение понятия тождест- игппого преобразования мотивируется рассмотрением примера: «Чтобы найти значение выражения ху--да при х = 2,3; у = 0,8; z = 0,2, надо выполнить 3 действия: ху - xz = 2,3 0,8 - 2,3 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38.
11собходимо отметить один тип преобразований, специфический для кур- ш алгебры и начал анализа. Это преобразования выражений, содержащих пре- переходы, и преобразования, основанные на правилах дифференциро- пниия и интегрирования. Основное отличие этих «аналитических» преобразо- ИНИИЙ от «алгебраических» преобразований состоит в характере множества, ко- трое пробегают переменные в тождествах. В алгебраических тождествах переменные пробегают числовые области, а в аналитических этими множествами ■шляются определенные множества функций. Например, правило дифференци- роишшя суммы: (Z"+g)" здесь/и g- переменные, пробегающие множе-
I I но дифференцируемых функций с общей областью определения. Внешне эти преобразования сходны с преобразованиями алгебраического типа, поэтому иногда говорят «алгебра пределов», «алгебра дифференцирования».
Тождества, изучаемые в школьном курсе алгебры и алгебраическом май-риале курса алгебры и начал анализа, можно разделить на два класса.
Первый состоит из тождеств сокращенного умножения, справедливых в
ав в.
iiioGom коммутативном кольце, и тождества -=-,а* 0, справедливого в лю-
Оом поле.
Второй класс образован тождествами, связывающими арифметические чнграции и основные элементарные функции, а также композиции элементар- Hhix функций. Большинство тождеств этого класса также имеет общую математическую основу, состоящую в том, что степенная, показательная и логарифмическая функции являются изоморфизмами различных числовых групп. Например, имеет место утверждение: существует единственное непрерывное изоморфное отображение / аддитивной группы действительных чисел в мультипликативную группу положительных действительных чисел, при котором единица о тображается в заданное число а> 0, а Ф 1; это отображение задается по- инательной функцией с основанием а: /(х) = а. Аналогичные утверждения имеются и для степенной и логарифмической функций.
Методика изучения тождеств обоих классов обладает многими общими чгртами. В целом тождественные преобразования, изучаемые в школьном курсе математики, включают:
преобразования выражений, содержащих радикалы и степени с дробим ми показателями;
преобразования выражений, содержащих предельные переходы, и преобразования, основанные на правилах дифференцирования и интегрирования.
Этот результат можно получить выполнив лишь два действия,-если воспользоваться выражением х (у-z), тождественно равным выражению xy-xz: х (у-Z) = 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.
Мы упростили вычисления, заменив выражение xy-xz тождественно равным выражением х (у - z).
Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения».
Освоение различных видов преобразований на этом этапе начинается с введения формул сокращенного умножения. Затем рассматриваются преобразования, связанные с операцией возведения в степень, с различными классами элементарных функций - показательных, степенных, логарифмических, тригонометрических. Каждый из этих типов преобразований проходит этап изучения, на котором внимание сосредоточивается на усвоении их характерных особенностей.
По мере накопления материала появляется возможность выделить и на этой основе ввести понятия тождественного и равносильного преобразований.
Следует заметить, что понятие тождественного преобразования дается в школьном курсе алгебры не в полной общности, а только в применении к выражениям. Преобразования разделяются на два класса: тождественные преобразования - это преобразования выражений, а равносильные - преобразования формул. В случае, когда возникает потребность в упрощении одной части формулы, в этой формуле выделяется выражение, которое и служит аргументом применяемого тождественного преобразования. Например, уравнения 5х - Зх - 2 и 2х = 2 считаются не просто равносильными, а одинаковыми.
В учебниках алгебры Ш.А. Алимова и др. понятие тождества явно не вводится в 7-8-х классах и только в 9 классе в теме «Тригонометрические тождества» при решении задачи 1: «Доказать, что при афкк, к < eZ , справедливо равенство 1 + ctg 2 а = -\-» вводится это понятие. Здесь учащимся поясняется, что sin а
указанное равенство «справедливо для всех допустимых значений а, т.е. таких, при которых его левая и правая части имеют смысл. Такие равенства называют тождествами, а задачи на доказательства таких равенств называют задачами на доказательство тождеств».
III этап. Организация целостной системы преобразований (синтез).
Основная цель этого этапа состоит в формировании гибкого и мощного аппарата, пригодного для использования в решении разнообразных учебных заданий.
Развертывание второго этапа изучения преобразований происходит на протяжении всего курса алгебры основной школы. Переход к третьему этапу осуществляется при итоговом повторении курса в ходе осмысления уже известного материала, усвоенного по частям, по отдельным типам преобразований.
В курсе алгебры и начал анализа целостная система преобразований, в основном уже сформированная, продолжает постепенно совершенствоваться. К ней также добавляются некоторые новые виды преобразований (например, относящиеся к тригонометрическим и логарифмическим функциям), однако они только обогащают её, расширяют её возможности, но не меняют её структуру.
Методика изучения этих новых преобразований практически не отличается от применяемой в курсе алгебры.
Необходимо отметить один тип преобразований, специфический для курен алгебры и начал анализа. Это преобразования выражений, содержащих предельные переходы, и преобразования, основанные на правилах дифференцирования и интегрирования. Основное отличие этих «аналитических» преобразо- 1иший от «алгебраических» преобразований состоит в характере множества, ко- горое пробегают переменные в тождествах. В алгебраических тождествах переменные пробегают числовые области, а в аналитических этими множествами мияяются определенные множества функций. Например, правило дифференци- рования суммы: ( f + g )" = f + g "; здесь fug - переменные, пробегающие множе- ет но дифференцируемых функций с общей областью определения. Внешне эти преобразования сходны с преобразованиями алгебраического типа, поэтому иногда говорят «алгебра пределов», «алгебра дифференцирования».
Тождества, изучаемые в школьном курсе алгебры и алгебраическом материале курса алгебры и начал анализа, можно разделить на два класса.
Первый состоит из тождеств сокращенного умножения, справедливых в
любом коммутативном кольце, и тождества - =-,а*0, справедливого в лю-
ас с
Второй класс образован тождествами, связывающими арифметические операции и основные элементарные функции, а также композиции элементарных функций. Большинство тождеств этого класса также имеет общую матема- гическую основу, состоящую в том, что степенная, показательная и логарифмическая функции являются изоморфизмами различных числовых групп. Например, имеет место утверждение: существует единственное непрерывное изоморфное отображение / аддитивной группы действительных чисел в мультипликативную группу положительных действительных чисел, при котором единица отображается в заданное число а> 0, а Ф 1; это отображение задается показательной функцией с основанием я: / (х) = а*. Аналогичные утверждения имеются и для степенной и логарифмической функций.
Методика изучения тождеств обоих классов обладает многими общими чертами. В целом тождественные преобразования, изучаемые в школьном курсе математики, включают:
преобразования алгебраических выражений;
преобразования выражений, содержащих радикалы и степени с дробными показателями;
преобразования тригонометрических выражений;
преобразования выражений, содержащих степени и логарифмы;
преобразования выражений, содержащих предельные переходы, и преобразования, основанные на правилах, дифференцирования и интегрирования.
2. Особенности организации системы заданий при изучении тождественных преобразований
Основной принцип организации любой системы заданий - предъявление их от простого к сложному с учетом необходимости преодоления учениками посильных трудностей и создания проблемных ситуаций. Этот основной прин- цип требует конкретизации применительно к особенностям данного учебного материала. Приведем пример системы упражнений по теме: «Квадрат суммы и
разности двух чисел».
I la этом основная система упражнений заканчивается. Такая система должна обеспечить усвоение базисного материала.
Следующие упражнения (17-19) позволяют акцентировать внимание учащихся на типичных ошибках и способствуют развитию интереса и их творческих 1 пособиостей.
В каждом конкретном случае число упражнений в системе может быть меньше или больше, но последовательность их выполнения должна быть такой же.
Для описания различных систем заданий в методике математики исполь- lyri oi ещё понятие цикла упражнений. Цикл упражнений характеризуется тем, по соединяются в последовательность упражнения нескольких аспектов изучении и приемов расположения материала. По отношению к тождественным преобразованиям представление о цикле можно дать следующим образом.
11икл упражнений связан с изучением одного тождества, вокруг которого группируются другие тождества, находящиеся с ним в естественной связи. В " остан цикла наряду с исполнительными входят задания, требующиераспозна- < ii in ни применимости рассматриваемого тождества. Изучаемое тождество применяется для проведения вычислений на различных числовых областях.
Задания в каждом цикле разбиты на две группы. К первой относятся задания, ш.шолняемые при первоначальном знакомстве с тождеством. Они выполняются на нескольких уроках, объединенных одной темой. Вторая группа упражнений связывает изучаемое тождество с различными приложениями. Упражнения из этой группы обычно разбросаны по различным темам.
Описанная структура цикла относится к этапу формирования навыков применения конкретных видов преобразований. На заключительном этапе - (Тане синтеза, циклы видоизменяются. Во-первых, объединяются обе группы шдапий, образующие «развернутый» цикл , причем из первой группы исключаются наиболее простые по формулировкам или по сложности выполнения запиши. Оставшиеся типы заданий усложняются. Во-вторых, происходит слияние циклов, относящихся к различным тождествам, в силу этого повышается роль действий по распознаванию применимости того или иного тождества.
11рннсдем конкретный пример цикла.
Пример. Цикл заданий для тождества х -у 2 = (х-у)(х +у).
Выполнение первой группы заданий этого цикла происходит в следую-
щих условиях. Ученики только что ознакомились с формулировкой тождества (вернее, с двумя формулировками: «Разность квадратов двух выражений равна произведению суммы и разности данных выражений» и «Произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений»), его записью в виде формулы, доказательством. После этого приведено несколько образцов использования преобразования, основанного на этом тождестве. Наконец, ученики приступают к самостоятельному выполнению упражнений.
Первая группа заданий
Вторая группа заданий
(Задания каждой группы можно представить студентам с помощью мультимедийного проектора)
Проведем методический анализ этой системы типов заданий.
Задание а0 имеет целью фиксировать структуру изучаемого тождества. Это достигается заменой букв (х и у) в записи тождества другими буквами. Задания этого типа позволяют уточнить связь между словесным выражением и символической формой тождества.
Задание а 2) ориентировано на установление связи данного тождества с числовой системой. Преобразуемое выражение является здесь не чисто буквенным, а буквенно-числовым. Для описания производимых действий необходимо использовать понятие замещения буквы числом в тождестве. Развитие навыков
применения операции замещения и углубление представления о ней осуществ- ш I гм при выполнении заданий типа г 2).
Следующий шаг в освоении тождества иллюстрируется заданием аз). В ном задании предложенное для преобразования выражение не имеет вида раз- пип н квадратов; преобразование становится возможным лишь тогда, когда. ч(чп1к заметит, что число 121 можно представить в виде квадрата числа. Таким иПриюм, выполнение этого задания производится не в один шаг, а в два: на пер- iiiiu происходит распознавание возможности приведения данного выражения к мпду разности квадратов, на втором производится преобразование, использующее тождество.
11а первых порах освоения тождества производится запись каждого шага:
I " I /с 2 = 11 2 - & 2 = (11 - £)(11 + к), в дальнейшем некоторые операции по распознаванию выполняются учениками устно.
В примере дг) требуется установить связи данного тождества и других, относящихся к действиям с одночленами; в д 3) следует применить тождество для разности квадратов дважды; в ж) ученикам придется преодолеть определенный психологический барьер, осуществляя выход в область иррациональных чисел.
Задания типа б) направлены на формирование навыков замены произведении (,v - у)(х + у) на разность х 2 - у 2 . Аналогичную роль играют задания типа в). В примерах типа г) требуется выбрать одно из направлений преобразований.
В целом задания первой группы ориентированы на усвоение структуры шждества, операции замещения в простейших наиболее важных случаях и представления об обратимости преобразований, осуществляемых тождеством,
Основные особенности и цели, раскрытые нами при рассмотрении первой | руины заданий цикла, относятся к любому циклу упражнений, формирующему штыки использования тождества. Для любого вновь вводимого тождества пер- иим группа заданий в цикле должна сохранять описанные здесь особенности; различия могут быть только в количестве заданий.
1 Вторая группа заданий в цикле, в отличие от первой, направлена на возможно более полное использование и учет специфики именно данного тожде- t i пи. Задания этой группы предполагают уже сформированными навыки использования тождества для разности квадратов (в наиболее простых случаях); цпи, заданий этой группы - углубить понимание тождества за счет рассмотрении разнообразных приложений его в различных ситуациях, в сочетании с использованием материала, относящегося к другим темам курса математики.
Рассмотрим решение задания л):
х 3 - 4х= 15 о х 3 - 9х = 15 - 5х о х(х~3)(х + 3) = 5(3 -х) ох = 3, или \{\ 1-3) = -5. Уравнение х(х + 3) = -5 действительных корней не имеет, поэтому \ 3 - единственный корень уравнения.
Мы видим, что использование тождества для разности квадратов составляет ч п и I ь часть в решении примера, являясь ведущей идеей проведения преобразований.
Циклы заданий, связанных с тождествами для элементарных функций, имеют свои особенности, которые обусловлены тем, что, во-пеувых . соответст- иутощие тождества изучаются в связи с изучением функционального материала и, /и>-«тоуых, они появляются позже тождеств первой группы и изучаются с
использованием уже сформированных навыков проведения тождественных преобразований. Значительная часть использования тождественных преобразований, связанных с элементарными функциями, приходится на решение иррациональных и трансцендентных уравнений. В циклы, относящиеся к усвоению тождеств, входят только наиболее простые уравнения, но уже здесь целесообразно проводить работу по усвоению приема решения таких уравнений: сведение его путем замены неизвестного к алгебраическому уравнению.
Последовательность шагов при этом способе решения такова:
а) найти функцию <р, для которой данное уравнение/(х) = 0 представимо в виде F (ср(лг)) = 0;
б) произвести подстановку у = ср(х) и решить уравнение F(y) = 0;
в) решить каждое из уравнений <р(х) = где {у к } - множество корней уравнения F(y) = 0.
Новым вопросом, который необходимо учитывать при изучении тождеств с элементарными функциями, является рассмотрение области определения. Приведем примеры трех заданий:
а) Построить график функции у = 4 log 2 x .
б) Решить уравнение lg х + lg (х - 3) = 1.
в) На каком множестве формула lg (х - 5) + lg (х + 5) = lg (х 2 - 25) является тождеством?
Типичная ошибка, которую совершают ученики в решении задания а) состоит в использовании равенства а 1ое й без учета условия Ъ > 0. В данном случае в итоге искомый график оказывается имеющим вид параболы вместо верного ответа - правой ветви параболы. В задании б) показан один из источников получения сложных систем уравнений и неравенств, когда необходимо учитывать области определения функций, а в задании в) - упражнение, которое может служить подготовительным.
Идея, которой объединены эти задания - необходимость изучения области определения функции, может выявиться только при сопоставлении таких, разнородных по внешней форме заданий. Значение этой идеи для математики очень велико. Она может служить основой нескольких циклов упражнений - по каждому из классов элементарных функций.
В заключение заметим, что изучение тождественных преобразований в школе имеет большое воспитательное значение. Умение делать какие-то выкладки, проводить расчеты, в течение длительного времени с неослабным вниманием следить за некоторым объектом необходимо людям самых разнообразных профессий, независимо от того, работают ли они в сфере умственного или физического труда. Специфика раздела «Тождественные преобразования выражений» такова, что он открывает широкие возможности для выработки у учащихся этих важных профессионально-значимых умений.