1. 5. Закон Больцмана о распределении частиц во внешнем потенциальном поле.
@
Если воспользоваться выражением р = nkT, то можно привести барометрическую формулу к виду:
з
десь n – концентрация молекул на высоте h, n 0 – то же у поверхности Земли. Так как М = m 0 N A , где m 0 – масса одной молекулы , а R = k N A , то мы получим П = m 0 gh – это потенциальная энергия одной молекулы в поле тяготения. Поскольку kT
‹ε пост ›, то концентрация молекул на определенной высоте зависит от соотношения П и ‹ε пост ›Полученное выражение называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа (с которой связана концентрация) больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.
1. 6. Распределение Максвелла молекул идеального газа по скоростям. @
При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории отмечалось, что молекулы имеют различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы меняется со временем по модулю и по направлению. Из-за хаотичности теплового движения молекул все направления являются равновероятными, а средняя квадратичная скорость остается постоянной. Мы можем записатьП
остоянство ‹υ кв › объясняется тем, что в газе устанавливается стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется определенному статистическому закону. Этот закон теоретически был выведен Д.К.Максвеллом. Он рассчитал функцию f(), называемую функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон всех возможных скоростей молекул на малые интервалы, равные d, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(), имеющих скорость, заключенную в этом интервале (Рис.1.4.). 
Функция f(v) определяет относительное число молекул, скорости которых лежат в интервале от до + d. Это число - dN()/N= f()d. Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел вид для функции f()
Д
анное выражение - это закон о распределении молекул идеального газа по скоростям. Конкретный вид функции зависит от рода газа, массы его молекул и температуры (рис.1.5). Функция f()=0 при =0 и достигает максимума при некотором значении в, а затем асимптотически стремится к нулю. Кривая несимметрична относительно максимума. Относительное число молекул dN()/N, скорости которых лежат в интервале d и равное f()d, находится как площадь заштрихованной полоски основанием dv и высотой f(), показанной на рис.1.4. Вся площадь, ограниченная кривой f() и осью абсцисс равна единице, потому что, если просуммировать все доли молекул, имеющих всевозможные значения скорости , то получается единица. Как показано на рис.1.5, с ростом температуры кривая распределения смещается вправо, т.е. растет число быстрых молекул, но площадь под кривой остается постоянной, т.к. N = const.
Скорость в, при которой функция f() достигает максимума, называется наиболее вероятной скоростью. Из условия равенства нулю первой производной функции f(v) ′ = 0 следует, что
Н
а рисунке 1.4. отмечена еще одна характеристика – средняя арифметическая скорость молекулы. Она определяется по формуле:
Опыт, проведенный немецким физиком О.Штерном, экспериментально подтвердил справедливость распределения Максвелла (рисунок 1.5.). Прибор Штерна состоит из двух коаксиальных цилиндров. Вдоль оси внутреннего цилиндра со щелью проходит платиновая проволока, покрытая слоем серебра. Если пропустить по проволоке ток,она нагревается и серебро испаряется. Атомы серебра, вылетая через щель, попадают на внутреннюю поверхность второго цилиндра. Если прибор будет вращаться, то атомы серебра осядут не против щели, а сместятся от точки О на некоторое расстояние. Исследование количество осадка позволяет оценить распределение молекул по скоростям. Оказалось, что распределение соответствует максвелловскому.
2. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
2.1. Внутренняя энергия. @
Важной характеристикой любой термодинамической системы является ее внутренняя энергия – энергия хаотического теплового движения частиц системы - молекул, атомов и энергия их взаимодействия. К внутренней энергии не относится кинетическая энергия движения системы как целого и потенциальная энергия системы во внешних полях. Внутренняя энергия системы в определенном состоянии не зависит от того , как система пришла в это состояние (т.е. от пути перехода), а определяется только значениями термодинамических параметров в этих состояниях. В термодинамике имеются и другие функции, удовлетворяющие этим условиям, их называют функциями состояния системы. Таким образом, внутренняя энергия – это функция состояния.Для дальнейших рассуждений нам понадобится понятие числа степеней свободы – это число независимых переменных (координат), полностью определяющих положение системы в пространстве. Например, молекулу одноатомного газа можно рассматривать как материальную точку, обладающую тремя степенями свободы поступательного движения (координаты x,y,z) (рис.2.1. а). Молекула двухатомного газа, рассматриваемая в классической механике как совокупность двух материальных точек, жестко связанных между собой, имеет уже 5 степеней свободы. У нее имеется 3 степени свободы поступательного движения центра масс и 2 степени вращательного, связанного с поворотами на углы и (рис. 2.1. б). Эти углы полярный угол θ и азимутальный угол φ, определяют ориентацию оси молекулы. В данном случае, на первый взгляд кажется, что необходимо также задавать угол поворота ψ молекулы относительно собственной оси. Но вращение двухатомной молекулы вокруг своей собственной оси ничего не меняет в положении молекулы, так как структуры у материальных точек атомов нет и, поэтому, этот угол не нужен для задания положения такой молекулы в пространстве. Трехатомные молекулы (рис. 2.1.в), в которых атомы связаны жестко между собой, имеют 6 степеней свободы, так как здесь уже необходим дополнительный угол ψ.
Если расстояния между атомами меняются , т.е. атомы в молекуле колеблются, то для задания этих расстояний необходимы дополнительные координаты - колебательные степени свободы и общее число степеней свободы будет больше 6. Для много-атомных молекул число степеней может быть намного больше 6.
Р 
Рис.2.1. Степени свободы: а) одноатомной молекулы;б) двухатомной молекулы;в) трех- и многоатомной молекулы.
анее мы получили формулу для средней кинетической энергии поступательного движения одно-атомной молекулы идеального газа следующее выражение: ‹ε 0 › = 3kT/2. Но у одно-атомной молекулы имеется 3 степени свободы поступательного движения и ни одна не имеет преимущества перед другими. Поэтому на каждую степень в среднем должна приходиться одинаковая энергия, равная 1/3 общей: ‹ε 1 › = kT/2. Так как, очевидно, что все степени свободы равноценны, то в классической статистической физике существует закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Он формулируется так: для статистической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная кТ/2, а на каждую колебательную степень свободы – кТ. Колебательная степень свободы обладает вдвое большей энергией, так как на нее приходится не только кинетическая, но и потенциальная энергия взаимодействия. Таким образом, средняя энергия любой молекулы ‹ε› = ikT/2, где i - это сумма поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы.
Из этого закона получаем, что внутренняя энергия U М одного моля идеального газа равна U М =ikTN A /2 = iRT/2, а внутренняя энергия U газа массы m равна U = ikTN/2 = iRTm/2M (здесь мы учитываем, что потенциальная энергия взаимодействия молекул равна 0, общее число молекул в одном моле равно N A , N= mN A /M и kN A =R).
2.2. Первое начало термодинамики. @
Обмен энергией между термодинамической системой и внешней средой может осуществляться двумя качественно различными способами: путем совершения работы и путем теплообмена.
Изменение энергии системы, происходящее под действием сил измеряется работой. Если термодинамическая система совершает работу против внешних сил, то работа считается положительной (А>0). Если работу над системой совершают внешние силы , то она считается отрицательной (А
Изменение энергии системы, происходящее в результате теплообмена, определяется количеством переданной или отнятой теплоты Q. При теплообмене тела систем должны находится в тепловом контакте, т.е. молекулы этих систем должны иметь возможность сталкиваться при своем движении и обмениваться своей кинетической энергией. Если энергия (теплота) передается системе, то Q>0, если она от системы отнимается, то Q
ΔU = Q – A или Q = ΔU + A
В дифференциальной форме (для малых изменений величин) это запишется следующим образом:
δQ = dU + δA ,
где δQ - бесконечно малое количество теплоты, dU – бесконечно малое изменение внутренней энергии, δA – элементарная работа. Это уравнение выражает первое начало термодинамики: теплота, подводимая к системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение работы против внешних сил. Знак δ в δQ и δА означают, что данные элементарные приращения не являются полными дифференциалами и, следовательно, А и Q не являются функциями состояния.
П
усть газ заключен в цилиндрический сосуд, закрытый легко скользящим поршнем площадью S. Найдем работу газа при расширении его объема δA
=
Fdl
=
pSdl
=
pdV
, где F – сила, с которой газ действует на поршень, dl – перемещение поршня. Если зависимость р(V) изобразить графически , то общая работа при изменении объема от V 1 доV 2 равна площади фигуры, ограниченной кривой р(V), осью абсцисс и прямыми V= V 1 и V= V 2 (рис.2.2.). Графически можно изображать лишь равновесные процессы, и все количественные выводы термодинамики строго применимы только к равновесным процессам. При достаточно медленном протекании реальные процессы можно приближенно считать равновесными. Первое начало термодинамики выполняется во всех процессах, связанных с обменом энергией и совершением работы.
2. 3. Теплоемкость. @
Одним из основных свойств тел, которое широко используется в термодинамике, является теплоемкость. Теплоемкостью тела называется физическая величина, численно равная отношению теплоты δQ, сообщаемой телу, к изменению температуры тела в рассматриваемом термодинамическом процессе. Теплоемкость тела зависит от его химического состава, массы и термодинамического состояния, а также от вида процесса, в котором поступает теплота. Тепловые свойства однородных тел характеризуются понятиями удельной и молярной теплоемкостей.
Удельная теплоемкость вещества – величина, численно равная количеству теплоты, необходимому для нагревания единицы массы вещества на 1 Кельвин при данном процессе , единица измерения – Дж/(кг∙К)
М
олярная теплоемкость – величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания одного моля вещества на 1К, т.е. С =сМ, где М – молярная масса вещества. Теплоемкости одного и того же вещества при разных термодинамических процессах нагревания различаются.
Найдем молярную теплоемкость системы в изобарном процессе, для этого возьмем один моль газа и сообщим ему количество теплоты δQ М. Согласно определению молярной теплоемкости и первому началу термодинамики можем
записать (здесь δА М - работа одного моля газа)
Если газ нагревается при постоянном объеме, то dV=0 и δА М =0. Сообщаемая газу теплота идет только на увеличение его внутренней энергии и теплоемкость для изохорного процесса
Откуда следует, что
И
з уравнения Менделеева – Клапейрона для изобарного процесса можно получить pdV М = RdT. Таким образом, pdV М /dT = R. Из этой формулы следует физический смысл газовой постоянной: она численно равна работе (δА М = pdV М), совершаемой одним молем идеального газа, при его изобарном нагревании на 1 К. После замены получаем:
Э
то выражение называется уравнением Майера, оно показывает, что молярная теплоемкость при постоянном давлении С р всегда больше, чем теплоемкость при постоянном объеме C v на величину, равную молярной газовой постоянной. Это объясняется тем, что при постоянном объеме все подводимое тепло идет только на увеличение внутренней энергии, т.е. повышение Т, а при постоянном давлении кроме этого требуется еще дополнительное количество теплоты на совершение работы газом против внешних сил при его расширении.
При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов предполагается, что молекулы распределены по объему равномерно. Это возможно только при отсутствии внешних сил. На самом деле в земных условиях молекулы испытывают на себе действие поля тяжести, т. е. находятся во внешнем потенциальном поле. В результате действия двух факторов, поля тяжести и теплового движения, в газе устанавливается некоторое распределение молекул по высоте.
Найдем закон, описывающий зависимость давления газа от высоты над поверхностью земли. Известно, что гидростатическое давление жидкости на глубине h равно
где - плотность жидкости. Поскольку жидкости мало сжимаемы, можно считать их плотность практически независящей от глубины. Газы, в отличие от жидкостей, довольно легко сжимаемы, поэтому их плотность существенно зависит от высоты. Но и для газов можно пользоваться подобной формулой, если перепад высот небольшой. Предполагая, что высота h точки наблюдения от поверхности земли получила элементарное приращение dh, получим приращение давления
.
Из уравнения Клапейрона-Менделеева выразим плотность
.
, 
.
Интегрируя в предположении, что температура не зависит от высоты, получим так называемую барометрическую формулу :
,
где p 0 , p - давление у поверхности земли и на высоте h соответственно.
Аналогичная формула получается для зависимости концентрации молекул от высоты. Т.к. n~p, получаем, что
.
Показатель экспоненты можно представить в виде
,
где - потенциальная энергия молекулы в поле тяжести Земли. Используя это выражение, получим, что
.
Больцман показал, что эта формула является универсальной, описывающей распределение частиц по значениям потенциальной энергии в любом внешнем потенциальном поле. Это соотношение называют законом распределения Больцмана .
Средняя длина свободного пробега молекул.
Длина свободного пробега молекулы - это среднее расстояние (обозначаемое ), которое частица пролетает за время свободного пробега от одного столкновения до следующего.
Длина свободного пробега каждой молекулы различна, поэтому в кинетической теории вводится понятие средней длины свободного пробега (<λ>). Величина <λ> является характеристикой всей совокупности молекул газа при заданных значениях давления и температуры.
Формула
Где - эффективное сечение молекулы, - концентрация молекул.
Явления переноса в газах.
- Распространение молекул примеси в газе от источника называется диффузией .
В состоянии равновесия температура Т и концентрация n во всех точках системы одинакова. При отклонении плотности от равновесного значения в некоторой части системы возникает движение компонент вещества в направлениях, приводящих к выравниванию концентрации по всему объему системы. Связанный с этим движением перенос вещества обусловлен диффузией . Диффузионный поток будет пропорционален градиенту концентрации:
| . |
- Если какое-либо тело движется в газе, то оно сталкивается с молекулами газа и сообщает им импульс. С другой стороны, тело тоже будет испытывать соударения со стороны молекул, и получать собственный импульс, но направленный в противоположную сторону. Газ ускоряется, тело тормозится, то есть на тело действуют силы трения. Такая же сила трения будет действовать и между двумя соседними слоями газа, движущимися с разными скоростями. Это явление носит название внутреннее трение или вязкость газа , причём сила трения пропорциональна градиенту скорости:
- В состоянии равновесия в среде, содержащей заряженные частицы, потенциал электрического поля в каждой точке соответствует минимуму энергии системы. При наложении внешнего электрического поля возникает неравновесное движение электрических зарядов в таком направлении, чтобы минимизировать энергию системы в новых условиях. Связанный с этим движением перенос электрического заряда называется электропроводностью , а само направленное движение зарядов - электрическим током.
В процессе диффузии при теплопроводности и электропроводности происходит перенос вещества, а при внутреннем трении – перенос энергии. В основе этих явлений лежит один и тот же механизм – хаотическое движение молекул. Общность механизма, обуславливающего все эти явления переноса, приводит к тому, что их закономерности должны быть похожи друг на друга.
Барометрическая формула зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести. Для идеального газа имеющего постоянную температуру T и находящегося в однородном поле тяжести во всех точках его объёма ускорение свободного падения g одинаково барометрическая формула имеет следующий вид: где p давление газа в слое расположенном на высоте h p0 давление на нулевом уровне h = h0 M молярная масса газа R газовая постоянная T абсолютная температура. Из барометрической формулы следует что концентрация молекул n или...
45.Барометрическая формула. Закон Больцмана для распределения частиц во внешнем потенциальном поле.
Барометрическая формула зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести. Для идеального газа , имеющего постоянную температуру T и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения g одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:
где p давление газа в слое, расположенном на высоте h , p 0 давление на нулевом уровне (h = h 0 ), M молярная масса газа, R газовая постоянная , T абсолютная температура . Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул n (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:
где M молярная масса газа, R газовая постоянная.
Барометрическая формула показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Величина
, определяющая быстроту спада плотности, представляет собой отношение потенциальной энергии частиц к их средней кинетической энергии, пропорциональной
kT
. Чем выше температура
T
, тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести
mg
(при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжести
mg
может изменяться за счёт двух величин: ускорения
g
и массы частиц
m
.
Следовательно, в смеси газов, находящейся в поле тяжести, молекулы различной массы по-разному распределяются по высоте.
Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил в условиях теплового равновесия. При этом концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия. Так, число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности Земли, и давление, в силу соотношения P = nkT , падает.
Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот. Давление и плотность пропорциональны друг другу, поскольку температура в нашем случае постоянна. Давление с уменьшением высоты должно возрастать, потому что нижнему слою приходится выдерживать вес всех расположенных сверху атомов.
Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT , заменим P и P 0 в барометрической формуле (2.4.1) на n и n 0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:
|
(2.5.1) |
где n 0 и n - число молекул в единичном объёме на высоте h = 0 и h .
Так как а , то (2.5.1) можно представить в виде
|
(2.5.2) |
С уменьшением температуры число молекул на высотах, отличных от нуля, убывает. При T = 0 тепловое движение прекращается, все молекулы расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, наоборот, молекулы оказываются распределёнными по высоте почти равномерно, а плотность молекул медленно убывает с высотой. Так как mgh это потенциальная энергия U , то на разных высотах U = mgh различна. Следовательно, (2.5.2) характеризует распределение частиц по значениям потенциальной энергии:
|
(2.5.3) |
это закон распределения частиц по потенциальным энергиям распределение Больцмана. Здесь n 0 число молекул в единице объёма там, где U = 0.
На рисунке 2.11 показана зависимость концентрации различных газов от высоты. Видно, что число более тяжелых молекул с высотой убывает быстрее, чем легких.
Рис. 2.11
Из (2.5.3) можно получить, что отношение концентраций молекул в точках с U 1 и i>U 2 равно:
|
(2.5.4) |
Больцман доказал, что соотношение (2.5.3) справедливо не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать |
|||
| 42675. | Изучение конструкции и поверки измерительного преобразователя давления типа "Сапфир – 22ДИ" | 35.5 KB | |
| Березники 2003 Цель работы ознакомиться с принципом действия и конструкцией измерительного преобразователя типа Сапфир22ДИ; выполнить проверку измерительного преобразователя типа Сапфир22ДИ; приобрести навыки в определении давления при помощи измерительных преобразователей типа Сапфир. Стенды предназначены для проведения лабораторных работ по поверке автоматического миллиамперметра КСУ2 в комплекте с преобразователем давления Сапфир22ДИ. На втором стенде установлены автоматический миллиамперметр КСУ2 клеммы Миллиамперметр... | |||
| 42676. | Изучение конструкции и поверки вторичного прибора РП160 | 40.5 KB | |
| Цель работы ознакомление с работой измерительной системы измерения температуры в комплекте пирометр сопротивления заменён магазином сопротивления нормирующий преобразователь НПСЛ вторичный прибор РП160. Порядок проведения работы: Ознакомились со схемой подключения магазина сопротивления нормирующего преобразователя вторичного прибора; Установили магазином сопротивления сопротивление 4171 атм. соответствующее температуре 50С значение температуры считали по шкале прибора РП160; Рассчитали значение... | |||
| 42677. | Изучение и исследование термоэлектрического метода измерения температур | 96 KB | |
| При этом студенты овладевают методикой поверки автоматического потенциометра КСП4 в комплекте с образцовым потенциометром УПИП60М градуировки шкалы. магазин сопротивлений R4 R10 и клеммы для подключения образцового потенциометра УПИП60М. Поверка автоматического потенциометра КСП4. Для поверки градуировки шкалы автоматического потенциометра КСП4 собирают схему по рисунку. | |||
| 42678. | Изучение работы жидкостного U – образного манометра и комплекта приборов для измерения давления пневматической ветви ГСП | 403.5 KB | |
| Березники 2007 Цель работы в процессе выполнения лабораторной работы студенты закрепляют знания по разделу Измерение давления и Дистанционная передача сигнала измерительной информации теоретического курса Технические измерения и приборы. Студенты знакомятся с принципом действия устройством преобразователя измерительного разности давления пневматического 13ДД11 в комплекте с вторичным прибором РПВ4. Стенд предназначен для выполнения лабораторной работы по изучению работы измерительного преобразователя разности давления... | |||
| 42680. | 278 KB | ||
| Ознакомиться c основными процедурами, предшествующим установлению ресурса ВС; методами схематизации процессов нагружения. Оформить отчет №1 по лабораторной работе в виде рукописного конспекта, с необходимыми иллюстрациями. В отчете дайте развернутые ответы на все вопросы, которые приведены ниже. | |||
| 42681. | Исследование процесса испытания конструкционных материалов при случайном режиме нагружения | 40 KB | |
| Ознакомиться c гипотезами накопления повреждений; Стандартизированными спектрами нагружения используемых при изучении усталостных характеристик летательных аппаратов. ВОПРОСЫ В чем заключается смысл концепции линейного накопления повреждений при усталости Основные недостатки линейной гипотезы накопления повреждений В чем заключается смысл модифицированных гипотез... | |||
| 42682. | Автоматические системы контроля технического состояния самолета. Деформационный рельеф плакированных сплавов как показатель истории нагруженности | 1.63 MB | |
| Ознакомиться с проблемами концентрации напряжения и коэффициентами которые определяют ее; принципами построения автоматизированной системой контроля технического состояния самолета; деформационным рельефом который является показателем поврежденности конструкции самолета. На распечатанном рисунке самолета А380 формат А2 нанести примеры применения систем контроля целостности конструкции. ВОПРОСЫ В чем... | |||
| 42683. | Основные приемы работы в СУБД Microsoft Access | 292 KB | |
| Основные приемы работы в СУБД Microsoft ccess Приложение ccess является программой входящий в пакет Microsoft Office и предназначено для работы с базами данных. База данных. В общем смысле термин база данных можно применить к любой совокупности связанной информации объединенной вместе по определенному признаку организованных по определенным правилам предусматривающим общие принципы описании хранения и манипулирования данными которые относятся к определенной предметной области. Система управления базами данных СУБД прикладное... | |||
Некоторые представления о распределении молекул сразу же следуют из хаотичности теплового движения. Это относится к распределению молекул по направлениям скоростей или к распределению молекул по объему для случая, когда на газ не действуют какие-либо силы. Однако имеется множество случаев, для которых заранее не очевидны следствия допущения о хаотичности теплового движения.
Прежде всего, возникает вопрос о распределении молекул по величинам скоростей. Каков процент быстрых, средних по скорости, медленных молекул? Далее, может встать задача: найти, как изменится равномерное распределение молекул по плотностям при внесении газа в поле сил, скажем, в поле тяжести, или в электрическое или магнитное поле, если молекулы обладают электрическими или магнитными свойствами. На эти и подобные вопрось! отвечает закон
Больдмана, который можно вывести, используя аппарат теории вероятностей.
Рассмотрим небольшой объем пространства - кубик со сторонами построенный в точке Пусть в этом кубике находится значительное число молекул. Среди них мы отберем те, которые имеют компоненты скорости, лежащие в пределах от до от и от до Величины таковы, чтобы в указанном интервале скоростей находилось большое количество молекул. Это нужно для того, чтобы к этим малым объемам можно было применять законы статистической физики (физически бесконечно малые объемы). В дальнейшем будем говорить о таких молекулах, что они обладают координатами около и скоростями около Еще раз подчеркнем, что говорить о количестве молекул, обладающих точно заданной скоростью, нельзя, так как вероятность встретить такую молекулу бесконечно мала. Так как кинетическая энергия молекулы определяется значением скорости, а потенциальная энергия молекулы во внешнем поле зависит от координат молекулы в пространстве, то все выделенные нами молекулы имеют практически одну и ту же энергию
Закон Больцмана, обоснование которого следует искать в курсах теоретической физики, дает общее выражение для числа молекул, обладающих координатами около и скоростями около это число равно
здесь А - постоянная, которая может быть найдена для конкретной задачи, абсолютная температура постоянная Больцмана.
Энергия, входящая в экспоненту, является суммой кинетической энергии поступательного движения молекулы и ее потенциальной энергии во внешнем поле: Поэтому
Формула распространяется и на случай, когда молекула обладает и другими формами энергии, например вращательной или колебательной. Тогда эти составляющие энергии надо внести в
Закон Больцмана, или, как еще говорят, распределение Больцмана, показывает, что наибольшей энергии соответствует наименьшее число частиц, скорости и координаты которых лежат в заданном интервале.
Закон Больцмана мы применим для решения двух важных вопросов, касающихся распределения частиц с высотой и распределения молекул по скоростям.
При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории предполагалось, что если на молекулы газа не действуют внешние силы, то молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул, с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором концентрация молекул газа и его давление с высотой убывают. Выведем закон изменения давления газа с высотой, предполагая при этом, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте hравно р, то на высотеh+dhоно равно р +dp(рис.1.2). Приdh> 0,dр < 0, т.к. давление с высотой убывает. Разность давлений р и (р +dр) равна гидростатическому давлению столба газа авсd, заключенного в объеме цилиндра высотойdhи площадью с основанием равным единице. Это запишется в следующем виде:p- (p+dp) =gρdh, -dp=gρdhилиdp= ‑gρdh, гдеρ– плотность газа на высотеh. Воспользуемся уравнением состояния идеального газа рV=mRT/Mи выразим плотностьρ=m/V=pM/RT. Подставим это выражение в формулу дляdр:
dp= -pMgdh/RTилиdp/p= -Mgdh/RT
Интегрирование
данного уравнения дает следующий
результат:
Здесь
С – константа и в данном случае удобно
обозначить постоянную интегрирования
черезlnC. Потенцируя
полученное выражение, находим, что
При условии h=0 получим, что С=р 0 , где р 0 -давление на высотеh=0.
Д
анное
выражение называется барометрической
формулой. Она позволяет найти атмосферное
давление в зависимости от высоты, или
высоту, если известно давление.
Зависимость давления от высоты демонстрирует рисунок 1.3. Прибор для определения высоты над уровнем моря называется высотомером или альтиметром. Он представляет собой барометр, проградуированный в значениях высоты.
1. 5. Закон Больцмана о распределении частиц во внешнем потенциальном поле. @
Если
воспользоваться выражением р = nkT,
то можно привести барометрическую
формулу к виду:
з
десьn– концентрация молекул
на высотеh,n 0 – то же у поверхности Земли. Так как М
=m 0 N A
, гдеm 0 – масса
одной молекулы, аR=kN A ,
то мы получим П =m 0 gh– это потенциальная энергия одной
молекулы в поле тяготения. ПосколькуkT~‹ε пост ›,
то концентрация молекул на определенной
высоте зависит от соотношения П и
‹ε пост ›
Полученное выражение называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа (с которой связана концентрация) больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.
1. 6. Распределение Максвелла молекул идеального газа по скоростям. @
При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории отмечалось, что молекулы имеют различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы меняется со временем по модулю и по направлению. Из-за хаотичности теплового движения молекул все направления являются равновероятными, а средняя квадратичная скорость остается постоянной. Мы можем записать
Постоянство ‹υ кв › объясняется тем, что в газе устанавливается стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется определенному статистическому закону. Этот закон теоретически был выведен Д.К.Максвеллом. Он рассчитал функциюf(), называемую функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон всех возможных скоростей молекул на малые интервалы, равныеd, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекулdN(), имеющих скорость, заключенную в этом интервале (Рис.1.4.).
Функция f(v) определяет относительное число молекул, скорости которых лежат в интервале от до + d. Это число - dN()/N= f()d.Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел вид для функции f()
Д
анное
выражение - это закон о распределении
молекул идеального газа по скоростям.Конкретный
вид функции зависит от рода газа, массы
его молекул и температуры (рис.1.5).
Функция f()=0
при =0
и достигает максимума при некотором
значении в,
а затем асимптотически стремится к
нулю. Кривая несимметрична относительно
максимума. Относительное число молекул
dN()/N,
скорости которых лежат в интервале d
и равное f()d,
находится как площадь заштрихованной
полоски основанием dv
и высотой f(),
показанной на рис.1.4. Вся площадь,
ограниченная кривой f()
и осью абсцисс равна единице, потому
что, если просуммировать все доли
молекул, имеющих всевозможные значения
скорости, то получается единица. Как
показано на рис.1.5, с ростом температуры
кривая распределения смещается вправо,
т.е. растет число быстрых молекул, но
площадь под кривой остается постоянной,
т.к. N
= const.
Скорость в, при которой функция f() достигает максимума, называется наиболее вероятной скоростью. Из условия равенства нулю первой производной функцииf(v) ′ = 0 следует, что
Н
а
рисунке 1.4. отмечена еще одна характеристика
– средняя арифметическая скорость
молекулы. Она определяется по формуле:
Опыт, проведенный
немецким физиком О.Штерном, экспериментально
подтвердил справедливость распределения
Максвелла (рисунок 1.5.). Прибор Штерна
состоит из двух коаксиальных цилиндров.
Вдоль оси внутреннего цилиндра со щелью
проходит платиновая проволока, покрытая
слоем серебра. Если пропустить по
проволоке ток,она нагревается и серебро
испаряется. Атомы серебра, вылетая
через щель, попадают на внутреннюю
поверхность второго цилиндра. Если
прибор будет вращаться, то атомы серебра
осядут не против щели, а сместятся от
точки О на некоторое расстояние.
Исследование количество осадка позволяет
оценить распределение молекул по
скоростям. Оказалось, что распределение
соответствует максвелловскому.