(в переводе с греч. кругообразный ) – плоская трансцендентная кривая, которую описывает точка окружности радиуса r , катящейся по прямой без скольжения (трансцендентной кривой называется кривая, которая в прямоугольных координатах не может быть описана алгебраическим уравнением). Ее параметрическое уравнение
x
= rt
– r sin t
,
y
= r – r cos t
Точки пересечения циклоиды с прямой, по которой катится окружность (эта окружность называется производящей, а прямая, по которой она катится, – направляющей), называются точками возврата, а самые высокие точки на циклоиде, расположенные посредине между соседними точками возврата, называются вершинами циклоиды.
Первым изучать циклоиду начал Галилео Галилей . Длина одной арки циклоиды была определена в 1658 английским архитектором и математиком Кристофером Реном , автором проекта и строителем купола собора Святого Павла в Лондоне. Оказалось, что длина циклоиды равна 8-ми радиусам производящей окружности.
Одно из замечательных свойств циклоиды, давшее ей название – брахистохрона (от греческих слов «кратчайший» и «время) связано с решением задачи о наискорейшем спуске. Встал вопрос, какую форму надо придать хорошо отшлифованному (чтобы практически исключить трение) желобу, соединяющему две точки, чтобы шарик скатился вниз от одной точки к другой в кратчайшее время. Братья Бернулли доказали, что желоб должен иметь форму опрокинутой вниз циклоиды.
Родственные циклоиде кривые можно получить, рассматривая траектории точек, не находящихся на производящей окружности.
Пусть точка С 0 находится внутри окружности. Если провести через С 0 вспомогательную окружность с тем же центром, что и у производящей окружности, то при качении производящей окружности по прямой АВ маленькая окружность будет катиться по прямой A ´В ´, но ее качение будет сопровождаться скольжением, и точка С 0 описывает кривую, называемую укороченной циклоидой.
Аналогичным образом определяется удлиненная циклоида – это траектория точки, расположенной на продолжении радиуса производящей окружности, при этом качение сопровождается скольжением в противоположном направлении.
Циклоидальные кривые применяются при многих технических расчетах и свойства их используются, например, при построении профилей зубьев шестерен, в циклоидальных маятниках, в оптике и, таким образом, изучение этих кривых важно с прикладной точки зрения. Не менее важно и то, что, изучая эти кривые и их свойства, ученые 17 в. разрабатывали приемы, которые привели к созданию дифференциального и интегрального исчислений, а задача о брахистохроне явилась шагом к изобретению вариационного исчисления.
Елена Малишевская
ЛЕМНИСКАТЫ
Уравнение в полярных координатах:
r 2 = a 2 cos2θ
(x 2 + y 2) 2 = a 2 (x 2 - y 2)
Угол между AB" или A"B и осью x = 45 o
Площадь одной петли = a 2 /2
ЦИКЛОИДА
Площадь одной дуги = 3πa 2
Длина дуги одной арки = 8a
Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом а, которая катится вдоль оси х.
ГИПОЦИКЛОИДЫ С ЧЕТЫРЬМЯ ОСТРИЯМИ
Уравнение в прямоугольных координатах:
x 2/3 + y 2/3 = a 2/3
Уравнения в параметрической форме:
Площадь, ограниченная кривой = 3πa 2 /8
Длина дуги целой кривой = 6a
Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом a/4, которая катится внутри окружности радиусом a.
КАРДИОИДА
Уравнение: r = a(1 + cosθ)
Площадь, ограниченная кривой = 3πa 2 /2
Длина дуги кривой = 8a
Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом a, которая катится снаружи окружности радиусом a. Эта кривая также является частным случаем улитки Паскаля.
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
Уравнение:
y = a(e x/a + e -x/a)/2 = acosh(x/a)
Это кривая, по которой бы повисла цепь, подвешенная вертикально от точки А к В.
ТРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ РОЗА
Уравнение: r = acos3θ
Уравнение r = acos3θ подобно кривой, полученной вращением против часовой стрелки по кривой 30 o или π/6 радиан.
В общем, r = acosnθ или r = asinnθ имеет n лепестков если n является нечетным.
ЧЕТЫРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ РОЗА
Уравнение: r = acos2θ
Уравнение r = asin2θ подобно кривой, полученной вращением против часовой стрелки по кривой 45 o или π/4 радиан.
В общем r = acosnθ или r = asinnθ имеет 2n лепестков если n - четное.
ЭПИЦИКЛОИДА
Параметрические уравнения:
Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиуса b, когда она катится по внешней стороне окружности радиусом а. Кардиоида является частным случаем эпициклоиды.
ОБЩАЯ ГИПОЦИКЛОИДА
Параметрические уравнения:
Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиуса b, когда она катится по внешней стороне окружности радиусом а.
Если b = a/4, кривая является гипоциклоидой с четырьмя остриями.
ТРОХОИДА
Параметрические уравнения:
Это кривая, описываемая точкой Р на дистанции b от центра окружности с радиусом а, когда она катится по оси x.
Если b укороченной циклоидой.
Если b > a, кривая имеет форму, показанную на рис. 11-11 и называется троходой.
Если b = a, кривая есть циклоидой.
ТРАКТРИСА
Параметрические уравнения:
Это кривая, описываемая конечной точкой Р натянутой струны длиной PQ, когда другой конец Q перемещается вдоль оси х.
ВЕРЗЬЕРА (ВЕРЗИЕРА) АНЬЕЗИ (ИНОГДА ЛОКОН АНЬЕЗИ)
Уравнение в прямоугольных координатах: y = 8a 3 /(x 2 + 4a 2)
Параметрические уравнения:
В. На рисунке переменная линия OA пересекающая y = 2a и круг с радиусом a с центром (0,a) в A и B соотвественно. Любая точка P на "локоне" определяется построением линий, параллельных к осям x и y, и через B и A соответственно и определяющие точку пересечения P.
ДЕКАРТОВ ЛИСТ
Уравнение в прямоугольных координатах:
x 3 + y 3 = 3axy
Параметрические уравнения:
Площадь петли 3a 2 /2
Уравнение асимптоты: x + y + a = 0.
ЭВОЛЬВЕНТА ОКРУЖНОСТИ
Параметрические уравнения:
Эта кривая, описанная конечной точкой P струны, когда она разматывается с круга с радиусом a.
ЭВОЛЬВЕНТА ЭЛЛИПСА
Уравнение в прямоугольных координатах:
(ax) 2/3 + (by) 2/3 = (a 2 - b 2) 2/3
Параметрические уравнения:
Эта кривая является огибающей нормалью к эллипсу x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.
ОВАЛЫ КАССИНИ
Полярное уравнение: r 4 + a 4 - 2a 2 r 2 cos2θ = b 4 .
Это кривая, описываемая такой точкой P, что произведение ее расстояния от двух фиксированных точек [ расстояние 2a в сторону] есть постоянной b 2 .
Кривая, как на фигурах внизу, когда b a соответственно.
Если b = a, кривая есть лемниската
УЛИТКА ПАСКАЛЯ
Полярное уравнение: r = b + acosθ
Пусть OQ будет линией, соединяющей центр O с любой точкой Q на окружности диаметром a проходящей через O. Тогда кривая есть фокусом всех точек P, таких, что PQ = b.
Кривая, показанная на рисунках внизу когда b > a или b 
ЦИССОИДА ДИОКЛА
Уравнение в прямоугольных координатах: y 2 = x 3 /(2a - x)
Параметрические уравнения:
Это кривая, описываемая такой точкой P, что расстояние OP = расстоянию RS. Используется в задаче удвоения куба
, т.e. нахождения стороны куба, который имеет удвоенный объем заданного куба
СПИРАЛЬ АРХИМЕДА
Полярное уравнение: r = aθ
Помни-те оран-же-вые пласт-мас-со-вые ка-та-фо-ты - све-то-от-ра-жа-те-ли, при-креп-ля-ю-щи-е-ся к спи-цам ве-ло-си-пед-но-го ко-ле-са? При-кре-пим ка-та-фот к са-мо-му обо-ду ко-ле-са и про-сле-дим за его тра-ек-то-ри-ей . По-лу-чен-ные кри-вые при-над-ле-жат се-мей-ству цик-ло-ид.
Ко-ле-со при этом на-зы-ва-ет-ся про-из-во-дя-щим кру-гом (или окруж-но-стью) цик-ло-и-ды.
Но да-вай-те вер-нём-ся в наш век и пе-ре-ся-дем на бо-лее совре-мен-ную тех-ни-ку. На пу-ти бай-ка по-пал-ся ка-му-шек, ко-то-рый за-стрял в про-тек-то-ре ко-ле-са. Про-вер-нув-шись несколь-ко кру-гов с ко-ле-сом, ку-да по-ле-тит ка-мень, ко-гда вы-ско-чит из про-тек-то-ра? Про-тив на-прав-ле-ния дви-же-ния мо-то-цик-ла или по на-прав-ле-нию?
Как из-вест-но, сво-бод-ное дви-же-ние те-ла на-чи-на-ет-ся по ка-са-тель-ной к той тра-ек-то-рии, по ко-то-рой оно дви-га-лось. Ка-са-тель-ная к цик-ло-и-де все-гда на-прав-ле-на по на-прав-ле-нию дви-же-ния и про-хо-дит через верх-нюю точ-ку про-из-во-дя-щей окруж-но-сти. По на-прав-ле-нию дви-же-ния по-ле-тит и наш ка-му-шек.
Помни-те, как Вы ка-та-лись в дет-стве по лу-жам на ве-ло-си-пе-де без зад-не-го кры-ла? Мок-рая по-лос-ка на ва-шей спине яв-ля-ет-ся жи-тей-ским под-твер-жде-ни-ем толь-ко что по-лу-чен-но-го ре-зуль-та-та.
Век XVII - это век цик-ло-и-ды. Луч-шие учё-ные изу-ча-ли её уди-ви-тель-ные свой-ства.
Ка-кая тра-ек-то-рия при-ве-дёт те-ло, дви-жу-ще-е-ся под дей-стви-ем си-лы тя-же-сти, из од-ной точ-ки в дру-гую за крат-чай-шее вре-мя ? Это бы-ла од-на из пер-вых за-дач той на-у-ки, ко-то-рая сей-час но-сит на-зва-ние ва-ри-а-ци-он-ное ис-чис-ле-ние.
Ми-ни-ми-зи-ро-вать (или мак-си-ми-зи-ро-вать) мож-но раз-ные ве-щи - дли-ну пу-ти, ско-рость, вре-мя. В за-да-че о бра-хи-сто-хроне ми-ни-ми-зи-ру-ет-ся имен-но вре-мя (что под-чёр-ки-ва-ет-ся са-мим на-зва-ни-ем: греч. βράχιστος - наи-мень-ший, χρόνος - вре-мя).
Пер-вое, что при-хо-дит на ум, - это пря-мо-ли-ней-ная тра-ек-то-рия. Да-вай-те так-же рас-смот-рим пе-ре-вёр-ну-тую цик-ло-и-ду с точ-кой воз-вра-та в верх-ней из за-дан-ных то-чек. И, сле-дуя за Га-ли-лео Га-ли-ле-ем, - чет-вер-тин-ку окруж-но-сти , со-еди-ня-ю-щую на-ши точ-ки.
По-че-му же Га-ли-лео Га-ли-лей рас-смат-ри-вал чет-вер-тин-ку окруж-но-сти и счи-тал, что это наи-луч-шая в смыс-ле вре-ме-ни тра-ек-то-рия спус-ка? Он впи-сы-вал в неё ло-ма-ные и за-ме-тил, что при уве-ли-че-нии чис-ла зве-ньев вре-мя спус-ка умень-ша-ет-ся. От-сю-да Га-ли-лей есте-ствен-ным об-ра-зом пе-ре-шёл к окруж-но-сти, но сде-лал невер-ный вы-вод, что эта тра-ек-то-рия наи-луч-шая сре-ди всех воз-мож-ных. Как мы ви-де-ли, наи-луч-шей тра-ек-то-ри-ей яв-ля-ет-ся цик-ло-и-да.
Через две дан-ные точ-ки мож-но про-ве-сти един-ствен-ную цик-ло-и-ду с усло-ви-ем, что в верх-ней точ-ке на-хо-дит-ся точ-ка воз-вра-та цик-ло-и-ды. И да-же ко-гда цик-ло-и-де при-хо-дит-ся под-ни-мать-ся, чтобы прой-ти через вто-рую точ-ку, она всё рав-но бу-дет кри-вой наи-ско-рей-ше-го спус-ка !
Ещё од-на кра-си-вая за-да-ча, свя-зан-ная с цик-ло-и-дой, - за-да-ча о та-у-то-хроне. В пе-ре-во-де с гре-че-ско-го ταύτίς озна-ча-ет «тот же са-мый», χρόνος, как мы уже зна-ем - «вре-мя».
Сде-ла-ем три оди-на-ко-вые гор-ки с про-фи-лем в ви-де цик-ло-и-ды, так, чтобы кон-цы го-рок сов-па-да-ли и рас-по-ла-га-лись в вер-шине цик-ло-и-ды . По-ста-вим три бо-ба на раз-ные вы-со-ты и да-дим от-маш-ку. Уди-ви-тель-ней-ший факт - все бо-бы при-едут вниз од-новре-мен-но !
Зи-мой Вы мо-же-те по-стро-ить во дво-ре гор-ку изо льда и про-ве-рить это свой-ство вжи-вую.
За-да-ча о та-у-то-хроне со-сто-ит в на-хож-де-нии та-кой кри-вой, что, на-чи-ная с лю-бо-го на-чаль-но-го по-ло-же-ния, вре-мя спус-ка в за-дан-ную точ-ку бу-дет оди-на-ко-вым.
Хри-сти-ан Гюй-генс до-ка-зал, что един-ствен-ной та-у-то-хро-ной яв-ля-ет-ся цик-ло-и-да.
Ко-неч-но же, Гюй-ген-са не ин-те-ре-со-вал спуск по ле-дя-ным гор-кам. В то вре-мя учё-ные не име-ли та-кой рос-ко-ши за-ни-мать-ся на-у-ка-ми из люб-ви к ис-кус-ству. За-да-чи, ко-то-рые изу-ча-лись, ис-хо-ди-ли из жиз-ни и за-про-сов тех-ни-ки то-го вре-ме-ни. В XVII ве-ке со-вер-ша-ют-ся уже даль-ние мор-ские пла-ва-ния. Ши-ро-ту мо-ря-ки уме-ли опре-де-лять уже до-ста-точ-но точ-но, но уди-ви-тель-но, что дол-го-ту не уме-ли опре-де-лять со-всем. И один из пред-ла-гав-ших-ся спо-со-бов из-ме-ре-ния ши-ро-ты был ос-но-ван на на-ли-чии точ-ных хро-но-мет-ров.
Пер-вым, кто за-ду-мал де-лать ма-ят-ни-ко-вые ча-сы, ко-то-рые бы-ли бы точ-ны, был Га-ли-лео Га-ли-лей. Од-на-ко в тот мо-мент, ко-гда он на-чи-на-ет их ре-а-ли-зо-вы-вать, он уже стар, он слеп, и за остав-ший-ся год сво-ей жиз-ни учё-ный не успе-ва-ет сде-лать ча-сы. Он за-ве-ща-ет это сы-ну, од-на-ко тот мед-лит и на-чи-на-ет за-ни-мать-ся ма-ят-ни-ком то-же лишь пе-ред смер-тью и не успе-ва-ет ре-а-ли-зо-вать за-мы-сел. Сле-ду-ю-щей зна-ко-вой фигу-рой был Хри-сти-ан Гюй-генс.
Он за-ме-тил, что пе-ри-од ко-ле-ба-ния обыч-но-го ма-ят-ни-ка, рас-смат-ри-вав-ше-го-ся Га-ли-ле-ем, за-ви-сит от из-на-чаль-но-го по-ло-же-ния, т.е. от ам-пли-ту-ды. За-ду-мав-шись о том, ка-ко-ва долж-на быть тра-ек-то-рия дви-же-ния гру-за, чтобы вре-мя ка-че-ния по ней не за-ви-се-ло от ам-пли-ту-ды, он ре-ша-ет за-да-чу о та-у-то-хроне. Но как за-ста-вить груз дви-гать-ся по цик-ло-и-де ? Пе-ре-во-дя тео-ре-ти-че-ские ис-сле-до-ва-ния в прак-ти-че-скую плос-кость, Гюй-генс де-ла-ет «щёч-ки», на ко-то-рые на-ма-ты-ва-ет-ся ве-рев-ка ма-ят-ни-ка, и ре-ша-ет ещё несколь-ко ма-те-ма-ти-че-ских за-дач. Он до-ка-зы-ва-ет, что «щёч-ки» долж-ны иметь про-филь той же са-мой цик-ло-и-ды, тем са-мым по-ка-зы-вая, что эво-лю-той цик-ло-и-ды яв-ля-ет-ся цик-ло-и-да с те-ми же па-ра-мет-ра-ми.
Кро-ме то-го, пред-ло-жен-ная Гюй-ген-сом кон-струк-ция цик-ло-и-даль-но-го ма-ят-ни-ка поз-во-ля-ет по-счи-тать дли-ну цик-ло-и-ды. Ес-ли си-нюю ни-точ-ку, дли-на ко-то-рой рав-на че-ты-рём ра-ди-у-сам про-из-во-дя-ще-го кру-га, мак-си-маль-но от-кло-нить, то её ко-нец бу-дет в точ-ке пе-ре-се-че-ния «щёч-ки» и цик-ло-и-ды-тра-ек-то-рии, т.е. в вер-шине цик-ло-и-ды-«щёч-ки». Так как это по-ло-ви-на дли-ны ар-ки цик-ло-и-ды, то пол-ная дли-на рав-на вось-ми ра-ди-у-сам про-из-во-дя-ще-го кру-га.
Хри-сти-ан Гюй-генс сде-лал цик-ло-и-даль-ный ма-ят-ник, и ча-сы с ним про-хо-ди-ли ис-пы-та-ния в мор-ских пу-те-ше-стви-ях, но не при-жи-лись. Впро-чем, так же, как и ча-сы с обыч-ным ма-ят-ни-ком для этих це-лей.
От-че-го же, од-на-ко, до сих пор су-ще-ству-ют ча-со-вые ме-ха-низ-мы с обык-но-вен-ным ма-ят-ни-ком? Ес-ли при-гля-деть-ся, то при ма-лых от-кло-не-ни-ях, как у крас-но-го ма-ят-ни-ка, «щёч-ки» цик-ло-и-даль-но-го ма-ят-ни-ка по-чти не ока-зы-ва-ют вли-я-ния. Со-от-вет-ствен-но, дви-же-ние по цик-ло-и-де и по окруж-но-сти при ма-лых от-кло-не-ни-ях по-чти сов-па-да-ют.
5. Параметрическое уравнение циклоиды и уравнение в декартовых координатах
Допустим, что у нас дана циклоида, образованная окружностью радиуса а с центром в точке А.
Если выбрать в качестве параметра, определяющего положение точки, угол t=∟NDM на который успел повернуться радиус, имевший в начале качения вертикально е положение АО, то координаты х и у точки М выразятся следующим образом:
х= OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t,
y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t
Итак параметрические уравнения циклоиды имеют вид:
При изменении t от -∞ до +∞ получится кривая, состоящая из бесчисленного множества таких ветвей, какая изображена на данном рисунке.
Так же, помимо параметрического уравнения циклоиды, существует и ее уравнение в декартовых координатах:
Где r – радиус окружности, образующей циклоиду.
6. Задачи на нахождение частей циклоиды и фигур, образованных циклоидой
Задача №1. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды, уравнение которой задано параметрически
и осью Ох.
Решение. Для решения данной задачи, воспользуемся известными нам фактами из теории интегралов, а именно:
Площадь криволинейного сектора.
Рассмотрим некоторую функцию r = r(ϕ), определенную на [α, β].
ϕ 0 ∈ [α, β] соответствует r 0 = r(ϕ 0) и, значит, точка M 0 (ϕ 0 , r 0), где ϕ 0 ,
r 0 - полярные координаты точки. Если ϕ будет меняться, «пробегая» весь[α, β], то переменная точка M опишет некоторую кривую AB, заданную
уравнением r = r(ϕ).
Определение 7.4. Криволинейным сектором называется фигура, ограниченная двумя лучами ϕ = α, ϕ = β и кривой AB, заданной в полярных
координатах уравнением r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.
Справедлива следующая
Теорема. Если функция r(ϕ) > 0 и непрерывна на [α, β], то площадь
криволинейного сектора вычисляется по формуле:
Эта теорема была доказана ранее в теме определенного интеграла.
Исходя из приведенной выше теоремы, наша задача о нахождении площади фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды, уравнение которой задано параметрические x= a (t – sin t) , y= a (1 – cos t) , и осью Ох, сводится к следующему решению.
Решение. Из уравнения кривой dx = a(1−cos t) dt. Первая арка циклоиды соответствует изменению параметра t от 0 до 2π. Следовательно,
Задача №2. Найти длину одной арки циклоиды
Так же в интегральном исчислении изучалась следующая теорема и следствие из нее.
Теорема. Если кривая AB задана уравнением y = f(x), где f(x) и f ’ (x) непрерывны на , то AB является спрямляемой и
Следствие. Пусть AB задана параметрически
L AB = 
(1)
Пусть функции x(t), y(t) непрерывно-дифференцируемые на [α, β]. Тогда
формулу (1) можно записать так
Сделаем замену переменных в этом интеграле x = x(t), тогда y’(x)= ;
dx= x’(t)dt и, следовательно:
А теперь вернемся к решении нашей задачи.
Решение. Имеем , а поэтому
Задача №3. Надо найти площадь поверхности S, образованной от вращения одной арки циклоиды
L={(x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – cost), 0≤ t ≤ 2π}
В интегральном исчислении существует следующая формула для нахождения площади поверхности тела вращения вокруг оси х кривой, заданной на отрезке параметрически: x=φ(t), y=ψ(t) (t 0 ≤t ≤t 1)
Применяя эту формулу для нашего уравнения циклоиды получаем:
Задача №4. Найти объем тела, полученного при вращении арки циклоиды
Вдоль оси Ох.
В интегральном исчислении при изучении объемов есть следующее замечание:
Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию задана параметрическими уравнениями и функции в этих уравнениях удовлетворяют условиям теоремы о замене переменной в определенном интеграле, то объем тела вращения трапеции вокруг оси Ох, будет вычисляться по формуле
Воспользуемся этой формулой для нахождения нужного нам объема.
Задача решена.
Заключение
Итак, в ходе выполнения данной работы были выяснены основные свойства циклоиды. Так же научились строить циклоиду, выяснила геометрический смысл циклоиды. Как оказалось циклоида имеет огромное практическое применение не только в математике, но и в технологических расчетах, в физике. Но у циклоиды есть и другие заслуги. Ею пользовались ученые XVII века при разработке приемов исследования кривых линий, - тех приемов, которые привели в конце концов к изобретению дифференциального и интегрального исчислений. Она же была одним из «пробных камней», на которых Ньютон, Лейбниц и их первые исследователи испытывали силу новых мощных математических методов. Наконец, задача о брахистохроне привела к изобретению вариационного исчисления, столь нужного физикам сегодняшнего дня. Таким образом, циклоида оказалась неразрывно связанной с одним из самых интересных периодов в истории математики.
Литература
1. Берман Г.Н. Циклоида. – М., 1980
2. Веров С.Г. Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды // Квант. – 1975. - №5
3. Веров С.Г. Тайны циклоиды// Квант. – 1975. - №8.
4. Гаврилова Р.М., Говорухина А.А., Карташева Л.В., Костецкая Г.С.,Радченко Т.Н. Приложения определенного интеграла. Методические указания и индивидуальные задания для студентов 1 курса физического факультета. - Ростов н/Д: УПЛ РГУ, 1994.
5. Гиндикин С.Г. Звездный век циклоиды // Квант. – 1985. - №6.
6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. – М.,1969
Такая линия и называется «огибающей». Всякая кривая линия есть огибающая своих касательных.
Материя и движение, и тот метод, который они составляют, дают возможность каждому реализовать свои потенциальные возможности в познании истины. Разработка методики развития диалектико-материалистической формы мышления и овладение аналогичным ему методом познания является вторым шагом на пути решения проблемы развития и реализации возможностей Человека. Фрагмент XX Возможности...
Обстановке могут заболеть неврастенией – неврозом, основу клинической картины которого составляет астеническое состояние. И в случае неврастении, и в случае декомпенсации неврастенической психопатии существо душевной (психологической) защиты сказывается уходом от трудностей в раздражительную слабость с вегетативными дисфункциями: либо от нападения человек бессознательно «отбивается»больше...
Различных видах деятельности; развитии пространственного воображения и пространственных представлений, образного, пространственного, логического, абстрактного мышления школьников; формировании умений применять геометро-графические знания и умения для решения различных прикладных задач; ознакомлении с содержанием и последовательностью этапов проектной деятельности в области технического и...
Дуги. Спиралями являются также эвольвенты замкнутых кривых, например эвольвента окружности. Названия некоторым спиралям даны по сходству их полярных уравнений с уравнениями кривых в декартовых координатах, например: · параболическая спираль (а - r)2 = bj, · гиперболическая спираль: r = а/j. · Жезл: r2 = a/j · si-ci-cпираль, параметрические уравнения которой имеют вид: , }