Разложение обыкновенной дроби в непрерывную. Значение непрерывные дроби в словаре кольера Непрерывные дроби проект

НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ
Последовательность, каждый член которой является обычной дробью, порождает непрерывную (или цепную) дробь, если ее второй член прибавить к первому, а каждую дробь, начиная с третьей, прибавить к знаменателю предыдущей дроби. Например, последовательность 1, 1/2, 2/3, 3/4, ..., n/(n + 1), ... порождает непрерывную дробь

Где многоточие в конце указывает на то, что процесс продолжается бесконечно. В свою очередь непрерывная дробь порождает другую последовательность дробей, называемых подходящими. В нашем примере первая, вторая, третья и четвертая подходящие дроби равны

Их можно построить по простому правилу из последовательности неполных частных 1, 1/2, 2/3, 3/4, ... . Прежде всего выпишем первую и вторую подходящие дроби 1/1 и 3/2. Третья подходящая дробь равна (2*1 + 3*3)/(2*1 + 3*2) или 11/8, ее числитель равен сумме произведений числителей первой и второй подходящих дробей, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного, а знаменатель равен сумме произведений знаменателей первого и второго неполных частных, умноженных соответственно на числитель и знаменатель третьего неполного частного. Четвертая подходящая дробь получается аналогично из четвертого неполного частного 3/4 и второй и третьей подходящих дробей: (3*3 + 4*11)/(3*2 + 4*8) или 53/38. Следуя этому правилу, находим первые семь подходящих дробей: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 и 16687/11986. Запишем их в виде десятичных дробей (с шестью знаками после запятой): 1,000000; 1,500000; 1,375000; 1,397368; 1,391892; 1,392247 и 1,392208. Значением нашей непрерывной дроби будет число x, первые цифры которого 1,3922. Подходящие дроби являются лучшим приближением числа x. Причем они поочередно оказываются то меньше, то больше числа x (нечетные - больше x, а четные - меньше). Чтобы представить отношение двух положительных целых чисел в виде конечной непрерывной дроби, нужно воспользоваться методом нахождения наибольшего общего делителя. Например, возьмем отношение 50/11. Так как 50 = 4Ч11 + 6 или 11/50 = 1/(4 + 6/11), и, аналогично, 6/11 = 1/(1 + 5/6) или 5/6 = 1/(1 + 1/5), получаем:

Непрерывные дроби используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Предположим, что x - иррациональное число (т.е. непредставимо в виде отношения двух целых чисел). Тогда, если n0 - наибольшее целое число, которое меньше x, то x = n0 + (x - n0), где x - n0 - положительное число меньше 1, поэтому обратное ему число x1 больше 1 и x = n0 + 1/x1. Если n1 - наибольшее целое число, которое меньше x1, то x1 = n1 + (x1 - n1), где x1 - n1 - положительное число, которое меньше 1, поэтому обратное ему число x2 больше 1, и x1 = n1 + 1/x2. Если n2 - наибольшее целое число, которое меньше x2, то x2 = n2 + 1/x3, где x3 больше 1, и т.д. В результате мы шаг за шагом находим последовательность неполных частных n0, 1/n1, 1/n2, ... непрерывной дроби, являющихся приближениями x. Поясним сказанное на примере. Предположим, что

Max-width="" :="" height:="" auto="" width:="">
">

тогда

Первые 6 подходящих дробей равны 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Записанные в виде десятичных дробей они дают следующие приближенные значения
: 1,000; 1,500; 1,400; 1,417; 1,4137; 1,41428. Непрерывная дробь для
имеет неполные частные 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1, ... . Иррациональное число является корнем квадратного уравнения с целочисленными коэффициентами в том и только в том случае, если неполные частные его разложения в непрерывную дробь периодичны. Непрерывные дроби тесно связны со многими разделами математики, например с теорией функций, расходящимися рядами, проблемой моментов, дифференциальными уравнениями и бесконечными матрицами. Если x - радианная мера острого угла, то тангенс угла x равен значению непрерывной дроби с неполными частными 0, x/1, -x2/3, -x2/7, -x2/9, ..., а если x - положительное число, то натуральный логарифм от 1 + x равен значению непрерывной дроби с неполными частными 0, x/1, 12x/2, 12x/3, 22x/4, 22x/5, 32x/6, ... . Формальным решением дифференциального уравнения x2dy/dx + y = 1 + x в виде степенного ряда является расходящийся степенной ряд 1 + x - 1!x2 + 2!x3 - 3!x4 + ... . Этот степенной ряд можно преобразовать в непрерывную дробь с неполными частными 1, x/1, x/1, 2x/1, 2x/1, 3x/1, 3x/1, ..., а ее в свою очередь использовать для получения решения дифференциального уравнения x2dy/dx + y = 1 + x.

Энциклопедия Кольера. - Открытое общество . 2000 .

Смотреть что такое "НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ" в других словарях:

См. Дробь … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

График функции натурального логарифма. Функция медленно приближается к положительной бесконечности при увеличении x и быстро приближается к отрицательной бесконечности, когда x стремится к 0 («медленно» и «быстро» по сравнению с любой степенной… … Википедия

Арифметика. Роспись Пинтуриккьо. Апартаменты Борджиа. 1492 1495. Рим, Ватиканские дворцы … Википедия

Данная статья часть обзора История математики. Научные достижения индийской математики широки и многообразны. Уже в древние времена учёные Индии на своём, во многом оригинальном пути развития достигли высокого уровня математических знаний.… … Википедия

Раздел теории чисел, в к ром изучаются приближения нуля значениями функций от конечного числа целочисленных аргументов. Первоначальные задачи Д. п. касались рациональных приближений к действительным числам, но развитие теории привело к задачам, в … Математическая энциклопедия

История науки … Википедия

Данная статья часть обзора История математики. Арабский халифат (750 г.) Математика Востока, в отличие от древнегреческой математики, в … Википедия

- (родился 14 мая 1821 года умер 26 ноября 1894 года в Петербурге) ординарный академик Императорской Академии Наук, действительный тайный советник. П. Л. Чебышев, профессор императорского С. Петербургского университета Тайный советник, доктор… … Большая биографическая энциклопедия

Данная статья часть обзора История математики. Муза геометрии (Лувр) … Википедия

Данная статья часть обзора История математики. Статья посвящена состоянию и развитию математики в Древнем Египте в период примерно с XXX по III век до н. э. Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II… … Википедия

Книги

Математическое просвещение , Бончковский Р.Н. , Этот сборник, как и предыдущие сборники «Математическое просвещение», содержит научные статьи по элементарной математике и простейшим вопросам высшей математики. Сборник рассчитан на весьма… Категория: Математика и естественные науки Серия: Издатель: ЁЁ Медиа ,
Математическое просвещение. Выпуск 7 , Бончковского Р. Н. , Этот сборник, как и предыдущие сборники «Математическое просвещение», содержит научные статьи по элементарной математике и простейшим вопросам высшей математики. Сборник рассчитан на весьма… Категория:

Последовательность, каждый член которой является обычной дробью, порождает непрерывную (или цепную) дробь, если ее второй член прибавить к первому, а каждую дробь, начиная с третьей, прибавить к знаменателю предыдущей дроби. Например, последовательность 1, 1/2, 2/3, 3/4, ..., n/(n + 1), ... порождает непрерывную дробь

Https:="">
">

тогда

- отношение двух чисел, разделенных одно на другое, вида а/в; например, 3/4. В этом выражении а - числитель, а в - знаменатель. Если а и в - целые числа, то частное - простая дробь. Если а меньше в, то дробь правильная...
Научно-технический энциклопедический словарь
- практика выплат комиссионных зарегистрированным представителям после того, как они прекратили деятельность в качестве брокеров/дилеров или наследникам после смерти зарегистрированного представителя...
Большой экономический словарь
- Начисление процента, или дисконтирование, будущих поступлений на постоянном базисе. При годовой ставке 100 r, через N лет сумма займа вырастет в N раз по сравнению с первоначальной суммой...
Экономический словарь
- Рухин, 1961, - ритмы, не разделенные выдержанными перерывами в осадконакоплении и обязательно имеющие регрессивную часть...
Геологическая энциклопедия
- среды, в которых скорость распространения упругих волн непрерывно возрастает с глубиной. Изучение их в сейсморазведке играет большую роль...
Геологическая энциклопедия
- см. Дни последовательно-исчисляемые...
Морской словарь
- в теоретических финансовых расчетах - проценты, начисляемые за бесконечно малые промежутки времени.Синонимы: Непрерывное начислениеСм. также: Стоимость кредита ...
Финансовый словарь
- см. Дробь...
- см. Дробь...
Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона
- числа или функции, возникающие при обрыве непрерывной дроби...
Большая Советская энциклопедия
- 1. Арх., Орл., Сиб. Плясать, прерывисто пристукивая ногами о землю. СРНГ 8, 189; СОГ 1989, 75; ФСС,12. 2. Волг. Пристукивать ногами от холода. Глухов 1988, 3...
- Сиб. То же, что бить дроби 1. ФСС, 53...
Большой словарь русских поговорок
- Заваливать/ завалить на дробях кого. Жарг. студ. Отвергать, отклонять кого-л. по несущественной причине. НРЛ-82; Мокиенко 2003, 26...
Большой словарь русских поговорок
- прил., кол-во синонимов: 1 целый...
Словарь синонимов

"НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ" в книгах

Непрерывные выборы Путина

Из книги автора

Непрерывные выборы Путина Для поддержания персональной популярности Путина в народе его команда немедленно реагирует на малейшее изменение обстановки. «Перманентные выборы» приобрели дополнительное значение в начале нулевых, когда череда «цветных революций» смела

Непрерывные и радикальные инновации

Из книги Невесомое богатство. Определите стоимость вашей компании в экономике нематериальных активов автора Тиссен Рене

Непрерывные и радикальные инновации Сегодня всем уже известна теория кривой роста. Многие годы она была (и продолжает оставаться) одним из инструментов, позволяющих определить положение компании на любом этапе ее развития. У каждого товара и услуги собственный цикл

4. 5. Непрерывные потоки

Из книги Основы кибернетики предприятия автора Форрестер Джей

4. 5. Непрерывные потоки При построении модели промышленно-сбытовой системы мы предполагаем, что ее основой - по крайней мере вначале - являются непрерывные потоки и взаимодействия переменных. Дискретность событий может быть учтена при анализе информационных систем с

Непрерывные инновации и устойчивый успех – вот приз победителю

Из книги В здоровом бизнесе – здоровый дух. Как великие компании вырабатывают иммунитет к кризисам автора Карлгаард Рич

Непрерывные инновации и устойчивый успех – вот приз победителю Теперь, когда вы получили представление о каждой из трех сторон треугольника успеха, я сложу их вместе. Если ваша цель состоит в том, чтобы создать компанию, способную постоянно придумывать и внедрять

Непрерывные угрозы

Из книги В сибирских лагерях. Воспоминания немецкого пленного. 1945-1946 автора Герлах Хорст

Непрерывные угрозы Всю ту ночь мы находились у русских на мушке. Они заперли нас, а потом подошли другие и ругались, что двери закрыты. Вокруг не прекращалось какое-то движение, все вещи перетряхивались и просматривались: сундуки, ящики, коробки. Их содержимое выкидывалось

Глава I. НЕПРЕРЫВНЫЕ КОНФЛИКТЫ И НЕНАДЕЖНЫЕ ПЕРЕМИРИЯ

Из книги Религиозные войны автора Ливе Жорж

Глава I. НЕПРЕРЫВНЫЕ КОНФЛИКТЫ И НЕНАДЕЖНЫЕ ПЕРЕМИРИЯ В 1559 г. удар копья Монтгомери, убивший короля Генриха II, «меняет лицо Франции». Сможет ли наследник трона Франциск II обуздать силы, готовые разбушеваться при малейшем ослаблении королевской власти? С одной стороны,

Подходящие дроби

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ПО) автора БСЭ

3.2.1. Двоичные дроби

автора Григорьев А. Б.

3.2.1. Двоичные дроби Для начала - немного математики. В школе мы проходим два вида дробей простые и десятичные. Десятичные дроби, по сути дела, представляют собой разложение числа по степеням десяти. Так, запись 13,6704 означает число, равное 1?101 + 3?100 + 6?10-1 + 7?10-2 + 0?10-3 + 4?10-4. Но

3.2.5. Бесконечные дроби

Из книги О чём не пишут в книгах по Delphi автора Григорьев А. Б.

3.2.5. Бесконечные дроби Из школы мы все помним, что не каждое число может быть записано конечной десятичной дробью. Бесконечные дроби бывают двух видов: периодичные и непериодичные. Примером непериодичной дроби является число?, периодичной - число? или любая другая

Что могут дать продолжительные, непрерывные усилия

Из книги Правила. Законы достижения успеха автора Кэнфилд Джек

Что могут дать продолжительные, непрерывные усилия Стоила ли овчинка выделки? О да! Книга в конечном счете разошлась в 8 миллионах экземпляров на 39 языках.Произошло ли это в мгновение ока? О нет! В список бестселлеров мы попали через год после выхода книги в свет – через

Дроби

Из книги 50 лучших головоломок для развития левого и правого полушария мозга автора Филлипс Чарльз

Дроби «Дроби» – это новое агентство, предлагающее уроки математики. Дизайнер Фредди Матисс представил варианты логотипа для агентства в виде загадки: A превращается в Б с помощью простого преобразования; если вы выполните такое же преобразование для пятиугольника

Шестая особенность: движения связанные и непрерывные с образованием единой ци

Из книги Секретные техники Тайцзи-цюань стиля Чэнь автора Цзячжэнь Чэнь

Шестая особенность: движения связанные и непрерывные с образованием единой ци В трактатах о гимнастиках приведены следующие требования.1) Движения туда и обратно должны иметь излом и смену. Наступление и отступление должны иметь переворот.2) Подобрав, тут же отпускают,

Непрерывные инновации

автора Теллис Джерард

Непрерывные инновации Рынки и технологии постоянно меняются и когда-то успешные товары выходят из употребления. Позиции даже самых сильных компаний весьма уязвимы из-за технологических и рыночных изменений. Поэтому для удержания рыночного лидерства компаниям

Непрерывные инновации: обратная связь

Из книги Воля и видение. Как те, кто приходит позже остальных, в итоге заправляют рынками автора Теллис Джерард

Непрерывные инновации: обратная связь Опыт Intel показывает, что постоянные инновации не только сдерживают конкурентов, но и генерируют прибыль для новых инноваций. Рынок микропроцессоров значительно динамичнее рынка бритвенных систем. Рисунок 7–3 иллюстрирует тенденции

1.4. Дискретные и непрерывные системы

Из книги Феномен науки. Кибернетический подход к эволюции автора Турчин Валентин Фёдорович

1.4. Дискретные и непрерывные системы Состояние системы определяется через совокупность состояний всех ее подсистем, т. е. в конечном счете элементарных подсистем. Элементарные подсистемы бывают двух типов: с конечным и бесконечным числом возможных состояний. Подсистемы

Сокращение с помощью разложения в непрерывную дробь

Подходящие дроби. Приближение вещественных чисел

Литература: 1. Виноградов И.М. Элементы высшей математики.

Часть третья. Основы теории чисел. Учебник для вузов.

М.: Высш. шк. 1999. – с. 335 – 340.

Грибанов В.У. Сборник упражнений по теории чисел.

– М.: Просвещение, 1964.

Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории

чисел: Учебное пособие. – СПб.: Изд. «Лань»,2008.- 224с.

Краткие сведения из теории

Если - обыкновенная несократимая дробь, правильная или неправильная, то с помощью алгоритма Евклида можно эту дробь представить в виде:

a = bq 0 + a 1 ,

b = a 1 q 1 + a 2 ,

a 1 = a 2 q 2 + a 3 ,

…………….

a n-2 = a n-1 q n-1 + a n ,

a n-1 = a n q n .

Здесь q 0 , q 1 , q 2 , q 3 ,…, q n – неполные частные;

a 1 , a 2 ,a 3 ,…., a n - остатки.

Правую часть такого разложения можно представить в виде:

= q 0 +

…………

+ ,

Выражение, написанное в правой части, называется конечной непрерывной или цепной дробью.

Кратко написанное равенство можно записать так:

= (q 0 , q 1 , q 2 , q 3 ,…, q n)

Дроби = , = q 0 + , = q 0 + ,…… называются подходящими. Числитель и знаменатель этих дробей можно вычислить по рекуррентным формулам:

P -2 = 0; Q -2 =1: P -1 = 1; Q -1 = 0;

при k≥0; P k = q k P k -1 + P k -2 ; Q k = q k Q k -1 + Q k -2 . (1)

По определению P n = a , Q n = b.

Процесс вычислений удобно оформить в виде таблицы:

k	-2	-1				……	n-1	n
q k			q 0	q 1	q 2	……	q n-1	q n
P k			P 0	P 1	P 2	……	P n-1	P n
Q k			Q 0	Q 1	Q 2	……	Q n-1	Q n

Между подходящими дробями и самой дробью имеют место соотношения:

< < < ….. < < …… < < <

Для оценки погрешности при замене дроби подходящей дробью , будем применять следующую формулу:

‌‌‌ - .

Пример. Заменить дробь = подходящейдробью с погрешностью0,001.

Разложим дробь с помощью алгоритма Евклида:

Если возьмем для замены дробь , то погрешность замены будет

0,006, что более заданной 0,001, поэтому дробь не подходит.

Берем дробь для которой погрешность 0,0003 < 0,001.

Пример. По данной конечной непрерывной дроби найти соответствующую обыкновенную дробь. Пусть = (2; 1; 1; 3; 1; 2).

Решение. По соответствующим значениям q k , используя рекуррентные формулы, определим соответствующие значения числителя и знаменателя подходящих дробей P k , Q k . При k=n получим P n = a , Q n =b .

k	-2	-1
q k
P k			a=64
Q k			b=25

k = 0; P 0 = q 0 P -1 + P -2 = 2×1 + 0 = 2; Q 0 = q 0 Q -1 + Q -2 = 2×0 + 1 = 1;

k = 1; P 1 = q 1 P 0 + P -1 = 1×2 + 1 = 3; Q 1 = q 1 Q 0 + Q -1 = 1×1 + 0 = 1;

k = 2; P 2 = q 2 P 1 + P 0 = 1×3 + 2 = 5; Q 2 = q 2 Q 1 + Q 0 = 1×1 + 1 = 2;

k = 3; P 3 = q 3 P 2 + P 1 = 3×5 + 3 = 18; Q 3 = q 3 Q 2 + Q 1 = 3×2 + 1 = 7;

k = 4; P 4 = q 4 P 3 + P 2 = 1×18 + 5 = 23; Q 4 = q 4 Q 3 + Q 2 = 1×7 + 2 = 9;

k = 5; P 5 = q 5 P 4 + P 3 = 2×23 + 18 = 64; Q 5 = q 5 Q 4 + Q 3 = 2×9 + 7 = 25.

Ответ: = .

Пример. Пусть дана дробь . Используя алгоритм Евклида разложения в непрерывную дробь, сократить эту дробь.


			q 0 =2

		q 1 =3

	q 2 =1

q 3 =2

Получили 525 = 231 2 +63;

231 = 63 + 42;

63 = 42 1 + 21;

42 = 21 2. Имеем НОД (525;231)=21.

Полученное разложение позволяет сделать сокращенную запись

= (2; 3; 1; 2). Найдем для этого разложения подходящие дроби, используя формулы (1).

Рассмотрим последовательность

А что будет получаться при дальнейшем возрастании n? Существует ли предел Чему может равняться этот предел?

Рассмотрим положительное число х, определяемое как предел выражения

Перенесем единицу влево:

Это равенство равносильно такому:

откуда (х-1 (2+x-1) = 1 и, следовательно, или

Выражение в правой части называется цепной или непрерывной дробью. В общем виде ее можно записать так:

где а, b, с, d, вообще говоря, различные целые числа.

Если, начиная с некоторого места, повторяются одинаковые числа (или одинаковые конечные последовательности чисел), то непрерывная дробь называется периодической . Выше показано, что число может быть записано в виде периодической непрерывной дроби, хотя, как известно, это число, как и всякое другое иррациональное число, невозможно записать в виде десятичной периодической дроби .

Если десятичную периодическую дробь оборвать на каком-либо месте, мы получим ее приближенное значение (с недостатком). Например:

Оборвав непрерывную дробь, мы тоже получим ее приближенное значение в виде рационального числа. Мы видели, что и т. д. Эти дроби называют подходящими дробями для данной непрерывной дроби; в самом деле, каждая следующая подходящая дробь все ближе подходит к предельному значению данной дроби, или, иначе, дает все более точное приближение этого значения.

Можно доказать, что подходящие дроби четного порядка всегда меньше их предельного значения, а подходящие дроби нечетного порядка больше их предельного значения. Например, нетрудно проверить, что

В статье "О непрерывных дробях" (1737) Эйлер впервые указал приемы преобразования таких дробей и показал связь непрерывных периодических дробей с квадратными уравнениями и квадратическими иррациональностями. Там же показано выражение основания натуральных логарифмов, числа е * (е = 2,71828182845...), с помощью непериодической непрерывной дроби

* (Число е можно определить как . Оно играет, как и число π, важную роль в анализе и его приложениях. )

Вот еще некоторые простые разложения в непрерывные дроби, найденные Эйлером:

Разлагая в бесконечную цепную дробь е и е 2 , Эйлер, по существу, доказал иррациональность этих чисел, т. е. невозможность равенств , где m, n, р, q - произвольные натуральные числа.

Пользуясь этим, И. Г. Ламберт несколько лет спустя получил представление некоторых функций в форме бесконечных непрерывных дробей, например