Тангенциальное ускорение точки формула. Тангенциальная составляющая ускорения. Естественные оси и естественный трехгранник

Разложение ускорения a (t) {\displaystyle \mathbf {a} (t)\ \ } на тангенциальное и нормальное a n {\displaystyle \mathbf {a} _{n}} ; ( τ {\displaystyle \mathbf {\tau } } - единичный касательный вектор).

Тангенциа́льное ускоре́ние - компонента ускорения , направленная по касательной к траектории движения. Характеризует изменение модуля скорости в отличие от нормальной компоненты , характеризующей изменение направления скорости. Тангенциальное ускорение равно произведению единичного вектора, направленного по скорости движения, на производную модуля скорости по времени. Таким образом, направлено в ту же сторону, что и вектор скорости при ускоренном движении (положительная производная) и в противоположную при замедленном (отрицательная производная).

Обозначается обычно символом, выбранным для ускорения, с добавлением индекса, обозначающего тангенциальную компоненту: a τ {\displaystyle \mathbf {a} _{\tau }\ \ } или a t {\displaystyle \mathbf {a} _{t}\ \ } , w τ {\displaystyle \mathbf {w} _{\tau }\ \ } , u τ {\displaystyle \mathbf {u} _{\tau }\ \ } и т. д.

Иногда используется не векторная форма, а скалярная - a τ {\displaystyle a_{\tau }\ \ } , обозначающая проекцию полного вектора ускорения на единичный вектор касательной к траектории, что соответствует коэффициенту разложения по сопутствующему базису .

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Величину тангенциального ускорения как проекцию вектора ускорения на касательную к траектории можно выразить так:

  a τ = d v d t , {\displaystyle a_{\tau }={\frac {dv}{dt}},}

  где v = d l / d t {\displaystyle v\ =dl/dt} - путевая скорость вдоль траектории, совпадающая с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент.

  Если использовать для единичного касательного вектора обозначение e τ {\displaystyle \mathbf {e} _{\tau }\ } , то можно записать тангенциальное ускорение в векторном виде:

  a τ = d v d t e τ . {\displaystyle \mathbf {a} _{\tau }={\frac {dv}{dt}}\mathbf {e} _{\tau }.}

  Вывод

  Вывод 1

  Выражение для тангенциального ускорения можно найти, продифференцировав по времени вектор скорости , представленный в виде v = v e τ {\displaystyle \mathbf {v} =v\,\mathbf {e} _{\tau }} через единичный вектор касательной e τ {\displaystyle \mathbf {e} _{\tau }} :

  a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d(v\,\mathbf {e} _{\tau })}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+v{\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+v{\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dl}}{\frac {dl}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {e} _{n}\ ,}

  где первое слагаемое - тангенциальное ускорение, а второе - нормальное ускорение .

  Здесь использовано обозначение e n {\displaystyle e_{n}\ } для единичного вектора нормали к траектории и l {\displaystyle l\ } - для текущей длины траектории ( l = l (t) {\displaystyle l=l(t)\ } ); в последнем переходе также использовано очевидное

  d l / d t = v {\displaystyle dl/dt=v\ }

  и, из геометрических соображений,

  d e τ d l = e n R . {\displaystyle {\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dl}}={\frac {\mathbf {e} _{n}}{R}}.}

  Вывод 2

  Если траектория гладкая (что предполагается), то:

  То и другое следует из того, что угол вектора к касательной будет не ниже первого порядка по . Отсюда сразу же следует искомая формула.

  Говоря менее строго, проекция v {\displaystyle \mathbf {v} \ } на касательную при малых d t {\displaystyle dt\ } будет практически совпадать с длиной вектора v {\displaystyle \mathbf {v} \ } , поскольку угол отклонения этого вектора от касательной при малых d t {\displaystyle dt\ } всегда мал, а значит косинус этого угла можно считать равным единице .

  Замечания

  Абсолютная величина тангенциального ускорения зависит только от путевого ускорения, совпадая с его абсолютной величиной, в отличие от абсолютной величины нормального ускорения, которая от путевого ускорения не зависит, зато зависит от путевой скорости.

  Движение материальной точки по криволинейной траектории всегда является ускоренным, поскольку если даже скорость не изменяется по численному значению, то всегда изменяется по направлению.

  В общем случае ускорение при криволинейном движении можно представить в виде векторной суммы касательного (или тангенциального) ускорения t и нормального ускорения n : = t + n - рис. 1.4.

  Касательное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по модулю. Значение этого ускорения будет:

  Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Численное значение этого ускорения, где r - радиус соприкасающейся окружности, т.е. окружности, проведенной через три бесконечно близкие точки B ¢, A, B , лежащих на кривой (рис. 1.5). Вектор n направлен по нормали к траектории к центру кривизны (центру соприкасающейся окружности).

  Численное значение полного ускорения

  где - угловая скорость.

  где -угловое ускорение.

  Угловое ускорение численно равно изменению угловой скорости за единицу времени.

  В заключение приведём таблицу, в которой устанавливается аналогия между линейными и угловыми кинематическими параметрами движения.

  Конец работы -

  Эта тема принадлежит разделу:

  Краткий курс физики

  Министерство образования и науки Украины.. одесская национальная морская академия..

  Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

  Что будем делать с полученным материалом:

  Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

  Твитнуть

  Все темы данного раздела:

  Основные единицы СИ
  В настоящее время общепринятой является Международная система единиц - СИ. Эта система содержит семь основных единиц: метр, килограмм, секунда, моль, ампер, кельвин, кандела и две дополнительные -

  Механика
  Механика - наука о механическом движении материальных тел и происходящих при этом взаимодействиях между ними. Под механическим движением понимают изменение с течением времени взаимного пол

  Законы Ньютона
  Динамика - раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под воздействием приложенных к ним сил. В основе механики лежат законы Ньютона. Первый закон Ньютона

  Закон сохранения импульса
  Рассмотрим вывод закона сохранения импульса на основе второго и третьего законов Ньютона.

  Связь между работой и изменением кинетической энергии
  Рис. 3.3 Пусть тело массой т движется вдоль оси х под

  Связь между работой и изменением потенциальной энергии
  Рис. 3.4 Эту связь мы установим на примере работы силы тяжес

  Закон сохранения механической энергии
  Рассмотрим замкнутую консервативную систему тел. Это означает, что на тела системы не действуют внешние силы, а внутренние силы по своей природе являются консервативными. Полной механическ

  Соударения
  Рассмотрим важный случай взаимодействия твёрдых тел - соударения. Соударением (ударом) называется явление конечного изменения скоростей твёрдых тел за весьма малые промежутки времени при их непо

  Основной закон динамики вращательного движения
  Рис. 4.3 Для вывода этого закона рассмотрим простейший случа

  Закон сохранения момента импульса
  Рассмотрим изолированное тело, т.е. такое тело на которое не действует внешний момент сил. Тогда Mdt = 0 и из (4.5) следует d(Iw)=0, т.е. Iw=const. Если изолированная система состоит

  Гироскоп
  Гироскопом называется симметричное твёрдое тело, вращающееся вокруг оси, совпадающей с осью симметрии тела, проходящей через центр масс, и соответствующей наибольшему собственному моменту инерции.

  Общая характеристика колебательных процессов. Гармонические колебания
  Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. В технике устройства, использующие колебательные процессы могут выполнять оп

  Колебания пружинного маятника
  Рис. 6.1 Укрепим на конце пружины тело массой m, которое мож

  Энергия гармонического колебания
  Рассмотрим теперь на примере пружинного маятника процессы изменения энергии в гармоническом колебании. Очевидно, что полная энергия пружинного маятника W=Wk+Wp, где кинетическая

  Сложение гармонических колебаний одинакового направления
  Решение ряда вопросов, в частности, сложение нескольких колебаний одинакового направления, значительно облегчается, если изображать колебания графически, в виде векторов на плоскости. Полученная та

  Затухающие колебания
  В реальных условиях в системах, совершающих колебания, всегда присутствуют силы сопротивления. В результате система постепенно расходует свою энергию на выполнение работы против сил сопротивления и

  Вынужденные колебания
  В реальных условиях колеблющаяся система постепенно теряет энергию на преодоление сил трения, поэтому колебания являются затухающими. Чтобы колебания были незатухающими, необходимо каким-то образом

  Упругие (механические) волны
  Процесс распространения возмущений в веществе или поле, сопровождающийся переносом энергии, называется волной. Упругие волны - процесс распространения в упругой среде механически

  Интерференция волн
  Интерференцией называется явление наложения волн от двух когерентных источников, в результате которого происходит перераспределение интенсивности волн в пространстве, т.е. возникают интерференци

  Стоячие волны
  Частным случаем интерференции является образование стоячих волн. Стоячие волны возникают при интерференции двух встречных когерентных волн с одинаковой амплитудой. Такая ситуация может возни

  Эффект Допплера в акустике
  Звуковыми волнами называют упругие волны с частотами от 16 до 20000 Гц, воспринимаемые органами слуха человека. Звуковые волны в жидких и газообразных средах являются продольными. В твёрды

  Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
  Рассмотрим в качестве простейшей физической модели идеальный газ. Идеальным называется такой газ, для которого выполняются следующие условия: 1) размеры молекул настолько малы, ч

  Распределение молекул по скоростям
  Рис.16.1 Предположим, чтонам удалось измерить скорости всех

  Барометрическая формула
  Рассмотрим поведение идеального газа в поле силы тяжести. Как известно, по мере подъёма от поверхности Земли давление атмосферы уменьшается. Найдём зависимость давления атмосферы от высоты

  Распределение Больцмана
  Выразим давление газа на высотах h иh0 через соответствующее число молекул в единице объёмап ип0, считая, что на разных высотахT=const: P =

  Первое начало термодинамики и его применение к изопроцессам
  Первое начало термодинамики - это обобщение закона сохранения энергии с учётом тепловых процессов. Его формулировка: количество теплоты, сообщённое системе, расходуется на выполнение работы

  Число степеней свободы. Внутренняя энергия идеального газа
  Числом степеней свободы называется число независимых координат, которыми описывается движение тела в пространстве. Материальная точка имеет три степени свободы, поскольку при её движении в п

  Адиабатный процесс
  Адиабатным называется процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой. В адиабатном процессеdQ = 0, поэтому первое начало термодинамики применительно к этому процессу прин

  Обратимые и необратимые процессы. Круговые процессы (циклы). Принцип действия тепловой машины
  Обратимыми называются такие процессы, которые удовлетворяют следующим условиям. 1. После прохождения этих процессов и возвращения термодинамической системы в исходное состояние в

  Идеальная тепловая машина Карно
  Рис. 25.1 В 1827 г. французский военный инженер С. Карно, ре

  Второе начало термодинамики
  Первое начало термодинамики, которое является обобщением закона сохранения энергии с учётом тепловых процессов, не указывает на направленность протекания различных процессов в природе. Так, первое

  Невозможен процесс, единственным результатом которого была бы передача теплоты от холодного тела к горячему
  В холодильной машине теплота передаётся от холодного тела (морозильной камеры) в более нагретую окружающую среду. Казалось бы, что это противоречит второму началу термодинамики. На самом деле проти

  Энтропия
  Введём теперь новый параметр состояния термодинамической системы - энтропию, которая принципиально отличается от других параметров состояния направленностью своего изменения. Элементарное измене

  Дискретность электрического заряда. Закон сохранения электрического заряда
  Источником электростатического поля служит электрический заряд - внутренняя характеристика элементарной частицы, определяющая ее способность вступать в электромагнитные взаимодействия.

  Энергия электростатического поля
  Найдём вначале энергию заряженного плоского конденсатора. Очевидно, что эта энергия численно равна работе, которую нужно совершить, чтобы разрядить конденсатор.

  Основные характеристики тока
  Электрическим током называется упорядоченное (направленное) движение заряженных частиц. Сила тока численно равна заряду, прошедшему через поперечное сечение проводника за единицу

  Закон Ома для однородного участка цепи
  Однородным называется участок цепи, не содержащий источника ЭДС. Ом экспериментально установил, что сила тока на однородном участке цепи пропорциональна напряжению и обратно пропорц

  Закон Джоуля - Ленца
  Джоуль и независимо от него Ленц экспериментально установили, что количество теплоты, выделенной в проводнике с сопротивлением R за время dt, пропорционально квадрату силы тока, сопротивлен

  Правила Кирхгофа
  Рис. 39.1 Для расчёта сложных цепей постоянного тока применя

  Контактная разность потенциалов
  Если два разнородных металлических проводника привести в контакт, то электроны получают возможность переходить из одного проводника в другой и обратно. Равновесное состояние такой системы

  Эффект Зеебека
  Рис. 41.1 В замкнутой цепи из двух разнородных металлов на г

  Эффект Пельтье
  Второе термоэлектрическое явление - эффект Пельтъе состоит в том, что при пропускании электрического тока через контакт двух разнородных проводников в нём происходит выделение или поглощени

  Даны основные формулы кинематики материальной точки, их вывод и изложение теории.

  Содержание

  См. также: Пример решения задачи (координатный способ задания движения точки)

  Основные формулы кинематики материальной точки

  Приведем основные формулы кинематики материальной точки. После чего дадим их вывод и изложение теории.

  Радиус-вектор материальной точки M в прямоугольной системе координат Oxyz :
  ,
  где - единичные векторы (орты) в направлении осей x, y, z .

  Скорость точки:
  ;
  .
  .
  Единичный вектор в направлении касательной к траектории точки:
  .

  Ускорение точки:
  ;
  ;
  ;
  ; ;
  

  Тангенциальное (касательное) ускорение:
  ;
  ;
  .

  Нормальное ускорение:
  ;
  ;
  .
  

  Единичный вектор, направленный к центру кривизны траектории точки (вдоль главной нормали):
  .

  
  .

  Радиус-вектор и траектория точки

  Рассмотрим движение материальной точки M . Выберем неподвижную прямоугольную систему координат Oxyz с центром в некоторой неподвижной точке O . Тогда положение точки M однозначно определяются ее координатами (x, y, z) . Эти координаты являются компонентами радиус-вектора материальной точки.

  Радиус-вектор точки M - это вектор , проведенный из начала неподвижной системы координат O в точку M .
  ,
  где - единичные векторы в направлении осей x, y, z .

  При движении точки, координаты изменяются со временем . То есть они являются функциями от времени . Тогда систему уравнений
  (1)
  можно рассматривать как уравнение кривой, заданной параметрическими уравнениями. Такая кривая является траекторией точки.

  Траектория материальной точки - это линия, вдоль которой происходит движение точки.

  Если движение точки происходит в плоскости, то можно выбрать оси и системы координат так, чтобы они лежали в этой плоскости. Тогда траектория определяется двумя уравнениями
  
  В некоторых случаях, из этих уравнений можно исключить время . Тогда уравнение траектории будет иметь зависимость вида:
  ,
  где - некоторая функция. Эта зависимость содержит только переменные и . Она не содержит параметр .

  Скорость материальной точки

  Скорость материальной точки - это производная ее радиус-вектора по времени.

  Согласно определению скорости и определению производной:
  
  Производные по времени, в механике, обозначают точкой над символом. Подставим сюда выражение для радиус-вектора:
  ,
  где мы явно обозначили зависимость координат от времени. Получаем:
  
  ,
  где
  ,
  ,
  
  - проекции скорости на оси координат. Они получаются дифференцированием по времени компонент радиус-вектора
  .

  Таким образом
  .
  Модуль скорости:
  .

  Касательная к траектории

  С математической точки зрения, систему уравнений (1) можно рассматривать как уравнение линии (кривой), заданной параметрическими уравнениями. Время , при таком рассмотрении, играет роль параметра. Из курса математического анализа известно, что направляющий вектор для касательной к этой кривой имеет компоненты:
  .
  Но это есть компоненты вектора скорости точки. То есть скорость материальной точки направлена по касательной к траектории .

  Все это можно продемонстрировать непосредственно. Пусть в момент времени точка находится в положении с радиус-вектором (см. рисунок). А в момент времени - в положении с радиус-вектором . Через точки и проведем прямую . По определению, касательная - это такая прямая , к которой стремится прямая при .
  Введем обозначения:
  ;
  ;
  .
  Тогда вектор направлен вдоль прямой .
  

  При стремлении , прямая стремится к касательной , а вектор - к скорости точки в момент времени :
  .
  Поскольку вектор направлен вдоль прямой , а прямая при , то вектор скорости направлен вдоль касательной .
  То есть вектор скорости материальной точки направлен вдоль касательной к траектории.

  Введем направляющий вектор касательной единичной длины :
  .
  Покажем, что длина этого вектора равна единице. Действительно, поскольку
  , то:
  .

  Тогда вектор скорости точки можно представить в виде:
  .

  Ускорение материальной точки

  Ускорение материальной точки - это производная ее скорости по времени.

  Аналогично предыдущему, получаем компоненты ускорения (проекции ускорения на оси координат):
  ;
  ;
  ;
  .
  Модуль ускорения:
  .

  Тангенциальное (касательное) и нормальное ускорения

  Теперь рассмотрим вопрос о направлении вектора ускорения по отношению к траектории. Для этого применим формулу:
  .
  Дифференцируем ее по времени, применяя правило дифференцирования произведения:
  .

  Вектор направлен по касательной к траектории. В какую сторону направлена его производная по времени ?

  Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся тем, что длина вектора постоянна и равна единице. Тогда квадрат его длины тоже равен единице:
  .
  Здесь и далее, два вектора в круглых скобках обозначают скалярное произведение векторов. Продифференцируем последнее уравнение по времени:
  ;
  ;
  .
  Поскольку скалярное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы перпендикулярны друг другу. Так как вектор направлен по касательной к траектории, то вектор перпендикулярен к касательной.

  Первую компоненту называют тангенциальным или касательным ускорением:
  .
  Вторую компоненту называют нормальным ускорением:
  .
  Тогда полное ускорение:
  (2) .
  Эта формула представляет собой разложение ускорения на две взаимно перпендикулярные компоненты - касательную к траектории и перпендикулярную к касательной.

  Поскольку , то
  (3) .

  Тангенциальное (касательное) ускорение

  Умножим обе части уравнения (2) скалярно на :
  .
  Поскольку , то . Тогда
  ;
  .
  Здесь мы положили:
  .
  Отсюда видно, что тангенциальное ускорение равно проекции полного ускорения на направление касательной к траектории или, что тоже самое, на направление скорости точки.

  Тангенциальное (касательное) ускорение материальной точки - это проекция ее полного ускорения на направление касательной к траектории (или на направление скорости).

  Символом мы обозначаем вектор тангенциального ускорения, направленный вдоль касательной к траектории. Тогда - это скалярная величина, равная проекции полного ускорения на направление касательной. Она может быть как положительной, так и отрицательной.

  Подставив , имеем:
  .

  Подставим в формулу:
  .
  Тогда:
  .
  То есть тангенциальное ускорение равно производной по времени от модуля скорости точки. Таким образом, тангенциальное ускорение приводит к изменению абсолютной величины скорости точки . При увеличении скорости, тангенциальное ускорение положительно (или направлено вдоль скорости). При уменьшении скорости, тангенциальное ускорение отрицательно (или направлено противоположно скорости).

  Теперь исследуем вектор .

  

  Рассмотрим единичный вектор касательной к траектории . Поместим его начало в начало системы координат. Тогда конец вектора будет находиться на сфере единичного радиуса. При движении материальной точки, конец вектора будет перемещаться по этой сфере. То есть он будет вращаться вокруг своего начала. Пусть - мгновенная угловая скорость вращения вектора в момент времени . Тогда его производная - это скорость движения конца вектора. Она направлена перпендикулярно вектору . Применим формулу для вращающегося движения. Модуль вектора:
  .

  Теперь рассмотрим положение точки для двух близких моментов времени. Пусть в момент времени точка находится в положении , а в момент времени - в положении . Пусть и - единичные векторы, направленные по касательной к траектории в этих точках. Через точки и проведем плоскости, перпендикулярные векторам и . Пусть - это прямая, образованная пересечением этих плоскостей. Из точки опустим перпендикуляр на прямую . Если положения точек и достаточно близки, то движение точки можно рассматривать как вращение по окружности радиуса вокруг оси , которая будет мгновенной осью вращения материальной точки. Поскольку векторы и перпендикулярны плоскостям и , то угол между этими плоскостями равен углу между векторами и . Тогда мгновенная скорость вращения точки вокруг оси равна мгновенной скорости вращения вектора :
  .
  Здесь - расстояние между точками и .

  Таким образом мы нашли модуль производной по времени вектора :
  .
  Как мы указали ранее, вектор перпендикулярен вектору . Из приведенных рассуждений видно, что он направлен в сторону мгновенного центра кривизны траектории. Такое направление называется главной нормалью.

  Нормальное ускорение

  Нормальное ускорение
  
  направлено вдоль вектора . Как мы выяснили, этот вектор направлен перпендикулярно касательной, в сторону мгновенного центра кривизны траектории.
  Пусть - единичный вектор, направленный от материальной точки к мгновенному центру кривизны траектории (вдоль главной нормали). Тогда
  ;
  .
  Поскольку оба вектора и имеют одинаковое направление - к центру кривизны траектории, то
  .

  Из формулы (2) имеем:
  (4) .
  Из формулы (3) находим модуль нормального ускорения:
  .
  

  Умножим обе части уравнения (2) скалярно на :
  (2) .
  .
  Поскольку , то . Тогда
  ;
  .
  Отсюда видно, что модуль нормального ускорения равен проекции полного ускорения на направление главной нормали.

  Нормальное ускорение материальной точки - это проекция ее полного ускорения на направление, перпендикулярное к касательной к траектории.

  Подставим . Тогда
  .
  То есть нормальное ускорение вызывает изменение направления скорости точки, и оно связано с радиусом кривизны траектории .

  Отсюда можно найти радиус кривизны траектории:
  .

  И в заключении заметим, что формулу (4) можно переписать в следующем виде:
  .
  Здесь мы применили формулу для векторного произведения трех векторов:
  ,
  в которую подставили
  .

  Итак, мы получили:
  ;
  .
  Приравняем модули левой и правой частей:
  .
  Но векторы и взаимно перпендикулярны. Поэтому
  .
  Тогда
  .
  Это известная формула из дифференциальной геометрии для кривизны кривой.

  См. также:

  т. е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

  Вторая составляющая ускорения, равная

  называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением ).

  Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная состав­ляющая ускорения - быстроту изменения скорости по направлению (направлена к цен­тру кривизны траектории).

  В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движе­ние можно классифицировать следующим образом:

  1) , а n = 0 - прямолинейное равномерное движение;

  2) , а n = 0 - прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения

  Если начальный момент времени t 1 =0, а начальная скорость v 1 =v 0 , то, обозначив t 2 =t и v 2 =v, получим , откуда

  Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t, найдем, что длина пути, пройденного точкой, в случае равнопеременного движения

  · 3) , а n = 0- прямолинейное движение с переменным ускорением;

  · 4) , а n = const. При скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы a n =v 2 /r следует, что радиус кривизны должен быть посто­янным. Следовательно, движение по окружности является равномерным;

  · 5) , - равномерное криволинейное движение;

  · 6) , - криволинейное равнопеременное движение;

  · 7) , - криволинейное движение с переменным ускорением.

  2) Твёрдое тело, движущееся в трёхмерном пространстве, максимально может иметь шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных

  Элементарное угловое перемещение – это вектор, направленный вдоль оси по правилу правого винта и численно равный углу

  Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

  Единица - ради­ан в секунду (рад/с).

  Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

  При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору (рис.8), при замедлен­ном - противонаправлен ему (рис.9).

  Тангенциальная составляющая ускорения

  Нормальная составляющая ускорения

  При движении точки по кривой линейная скорость направлена

  по касательной к кривой и по модулю равна произведению

  угловой скорости на радиус кривизны кривой.(связь)

  3) Первый закон Ньютона : всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние . Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью . Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции .

  Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами отсчета . Инерциальной системой отсчета является такая система отсчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета.

  Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - от­вечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

  Масса тела - физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса ) и гравитационные (гравитационная масса ) свойства. В настоящее время можно считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точностью, не меньшей 10 –12 их значения).

  Итак, сила - это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

  Векторная величина

  численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материаль­ной точки.

  Подставляя (6.6) в (6.5), получим

  Это выражение - более общая формулировка второго закона Ньютона : скорость изме­нения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Выражение называется уравнением движения материальной точки .

  Третий закон Ньютона

  Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим зако­ном Ньютона : всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки:

  F 12 = – F 21 , (7.1)

  где F 12 - сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй;

  F 21 - сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и явля­ются силами одной природы.

  Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Это следует из того, что и для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия между материальными точками.

  Си́ла упру́гости - сила, возникающая при деформации тела и противодействующая этой деформации.

  В случае упругих деформаций является потенциальной. Сила упругости имеет электромагнитную природу, являясь макроскопическим проявлением межмолекулярного взаимодействия. В простейшем случае растяжения/сжатия тела сила упругости направлена противоположно смещению частиц тела, перпендикулярно поверхности.

  Вектор силы противоположен направлению деформации тела (смещению его молекул).

  Закон Гука

  В простейшем случае одномерных малых упругих деформаций формула для силы упругости имеет вид: где k - жёсткость тела, x - величина деформации.

  СИЛА ТЯЖЕСТИ, сила P, действующая на любое тело, находящееся вблизи земной поверхности, и определяемая как геометрическая сумма силы притяжения Земли F и центробежной силы инерции Q, учитывающей эффект суточного вращения Земли. Направление силы тяжести - вертикаль в данной точке земной поверхности.

  существова­нием силы трения , которая препятствует скольжению соприкасающихся тел друг относительно друга. Силы трения зависят от относительных скоростей тел.

  Различают внешнее (сухое) и внутреннее (жидкое или вязкое) трение. Внешним трением называется трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении. Если соприкасающиеся тела неподвижны друг относительно друга, говорят о трении покоя, если же происходит относительное перемещение этих тел, то в зависимости от характера их относительного движения говорят о трении скольжения , качения или верчения .

  Внутренним трением называется трение между частями одного и того же тела, например между различными слоями жидкости или газа, скорости которых меняются от слоя к слою. В отличие от внешнего трения здесь отсутствует трение покоя. Если тела скользят относительно друг друга и разделены прослойкой вязкой жидкости (смазки), то трение происходит в слое смазки. В таком случае говорят о гидродинамическом трении (слой смазки достаточно толстый) и граничном трении (толщина смазоч­ной прослойки »0,1 мкм и меньше).

  опытным путем установили следующий закон : сила трения скольжения F тр пропорциональна силе N нормального давления, с которой одно тело действует на другое:

  F тр = f N ,

  где f - коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей.

  f = tga 0 .

  Таким образом, коэффициент трения равен тангенсу угла a 0 , при котором начинается скольжение тела по наклонной плоскости.

  Для гладких поверхностей определенную роль начинает играть межмолекулярное притяжение. Для них применяется закон трения скольжения

  F тр = f ист (N + Sp 0) ,

  где р 0 - добавочное давление, обусловленное силами межмолекулярного притяжения, которые быстро уменьшаются с увеличением расстояния между частицами; S - пло­щадь контакта между телами; f ист - истинный коэффициент трения скольжения.

  Сила трения качения определяется по закону, установленному Кулоном:

  F тр =f к N/r , (8.1)

  где r - радиус катящегося тела; f к - коэффициент трения качения, имеющий размер­ность dim f к =L. Из (8.1) следует, что сила трения качения обратно пропорциональна радиусу катящегося тела.

  Жидким (вязким) называется трение между твердым телом и жидкой или газообразной средой или ее слоями.

  где - импульс системы. Таким образом, производная по времени от им­пульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

  Последнее выражение и является законом сохранения импульса : импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

  Центром масс (или центром инерции ) системы материальных точек называется воображаемая точка С ,положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее ра­диус-вектор равен

  где m i и r i - соответственно масса и радиус-вектор i -й материальной точки; n - число материальных точек в системе; – масса системы. Скорость центра масс

  Учитывая, что pi = m i v i , a есть импульс р системы, можно написать

  т. е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

  Подставив выражение (9.2) в уравнение (9.1), получим

  т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе. Выражение (9.3) представляет собойзакон движения центра масс.

  В соответствии с (9.2) из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается непо­движным.

  5) Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r , проведенного из точ­ки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 25):

  Здесь М - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F. Модуль момента силы

  где a- угол между r и F; r sina = l - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О - плечо силы.

  Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина M z , равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z (рис. 26). Значение момента М z не зависит от выбора положения точки О на оси z.

  Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:

  Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энер­гий его элементарных объемов:

  Используя выражение (17.1), получаем

  где J z - момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

  Из сравнения формулы (17.2) с выражением (12.1) для кинетической энергии тела движущегося поступательно (T=mv 2 /2), следует, что момент инерции - мера инертности тела при вращательном движении. Формула (17.2) справедлива для тела вращающегося вокруг неподвижной оси.

  В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

  где m - масса катящегося тела; v c - скорость центра масс тела; Jc - момент инер­ции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; w - угловая скорость тела.

  6) Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы . Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, которая составляет некоторый угол  с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы F s на направление перемещения (F s = F cos), умноженной на перемещение точки приложения силы:

  В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому формулой (11.1) пользоваться нельзя. Если, однако, рассмотреть элементар­ное перемещение dr, то силу F можно считать постоянной, а движение точки ее приложения - прямолинейным. Элементарной работой силы F на перемещении dr называется скалярная величина

  где  - угол между векторами F и dr; ds = |dr| - элементарный путь; F s - проекция вектора F на вектор dr (рис. 13).

  Работа силы на участке траектории от точки 1 до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сумма приводится к интегралу

  Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности :

  За время dt силаF совершает работу Fdr, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени

  т. е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N - величина скалярная.

  Единица мощности -ватт (Вт): 1 Вт - мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).

  Кинетическая энергия механической системы - это энергия механического движения этой системы.

  Сила F, действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа dA силы F на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии dT тела, т. е.

  Используя второй закон Ньютона и умножая на перемещение dr получаем

  Потенциальная энергия - механическая энергия системы тел, определяемая их вза­имным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

  Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными , а силы, действующие в них, - консервативными . Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипатнвной ; ее примером является сила трения.

  Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой т, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна

  где высота h отсчитывается от нулевого уровня, для которого П 0 =0. Выражение (12.7) вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли.

  Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положительна!). Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина h" ), П= -mgh".

  Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации:

  где F x уп p - проекция силы упругости на ось х ; k - коэффициент упругости (для пружины - жесткость ), а знак минус указывает, что F x уп p направлена в сторону, противоположную деформации x .

  По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю силе уп­ругости и противоположно ей направлена, т. е.

  Элементарная работа dA, совершаемая силой F x при бесконечно малой деформации dx, равна

  а полная работа

  идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела

  Потенциальная энергия системы является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.

  При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2

  т. е. изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состоя­ния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (13.2) следует, что

  d (T +П) = 0,

  т. е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Выражение (13.3) представляет собой закон сохранение механической энергии : в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия со­храняется, т. е. не изменяется со временем.

  
  

  Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

  Рисунок 1 – Тангенциальное ускорение

  Направление вектора тангенциального ускорения совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему, из рис. 1. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

  Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения, показано на рис. 1. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается n . Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

  Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:

  (9)

  (10)

  Направление полного ускорения также определяется правилом сложения векторов:

  (11)

  1.1.5 Поступательное и вращательное движение абсолютно твёрдого тела

  Движение тела считается поступательным , если любой отрезок прямой линии, жестко связанный с телом, всё время перемещается параллельно самому себе. При поступательном движении все точки тела совершают одинаковые перемещения, проходят одинаковые пути, имеют равные скорости и ускорения, описывают одинаковые траектории.

  Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси – движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых находятся на одной прямой, перпендикулярной плоскостям этих окружностей. Сама эта прямая является осью вращения.

  При вращении тела радиус окружности, описываемой точкой этого тела, повернётся за интервал времени на некоторый угол. Вследствие неизменности взаимного расположения точек тела на такой же угол повернуться за тоже время радиусы окружностей, описываемых любыми другими точками тела. Этот угол является величиной, характеризующей вращательное движение всего тела в целом. Отсюда можно сделать вывод, что для описания вращательного движения абсолютно твёрдого тела вокруг неподвижной оси надо знать только одну переменную – угол, на который повернётся тело за определённое время.

  Связь между линейной и угловой скоростями для каждой точки твёрдого тела даётся формулой:

  (12)