Оси, проходящие через центр тяжести плоской фигуры, называют центральными осями.
Момент инерции относительно центральной оси называется центральным моментом инерции.
Теорема
Момент инерции относительно какой-либо оси равен сумме момента инерции относительно центральной оси, параллельной данной, и произведения площади фигуры на квадрат расстояния между осями.
Для доказательства этой теоремы рассмотрим произвольную плоскую фигуру, площадь которой равна А
, центр тяжести расположен в точке С
, а центральный момент инерции относительно оси x
будет I x
.
Вычислим момент инерции фигуры относительно некоторой оси x 1
, параллельной центральной оси и отстоящей от нее на расстоянии а
(рис)
.
I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA
.
Анализируя полученную формулу, отмечаем, что первое слагаемое - осевой момент инерции относительно центральной оси, второе слагаемое - статический момент площади этой фигуры относительно центральной оси (следовательно, он равен нулю), а третье слагаемое после интегрирования может быть представлено в виде произведения a 2 A , т. е. в результате получим формулу:
I x1 = I x + а 2 А - теорема доказана.
На основании теоремы можно сделать вывод, что из ряда параллельных осей осевой момент инерции плоской фигуры будет наименьшим относительно центральной оси .
Главные оси и главные моменты инерции
Представим себе плоскую фигуру, моменты инерции которой относительно осей координат I x иI y , а полярный момент инерции относительно начала координат равен I ρ . Как было установлено ранее,
I x + I y = I ρ .
Если оси координат поворачивать в своей плоскости вокруг начала координат, то полярный момент инерции останется неизменным, а осевые моменты будут изменяться, при этом их сумма останется величиной постоянной. Поскольку сумма переменных величин постоянна, то одна из них уменьшается, а другая увеличивается, и наоборот.
Следовательно, при определенном положении осей один из осевых моментов достигнет максимального значения, а другой - минимального.
Оси, относительно которых моменты инерции имеют минимальное и максимальное значения, называют главными осями инерции.
Момент инерции относительно главной оси называется главным моментом инерции.
Если главная ось проходит через центр тяжести фигуры, она называется главной центральной осью, а момент инерции относительно такой оси - главным центральным моментом инерции.
Можно сделать вывод, что если фигура симметрична относительно какой-нибудь оси, то эта ось всегда будет одной из главных центральных осей инерции этой фигуры.
Центробежный момент инерции
Центробежным моментом инерции плоской фигуры называют взятую по всей площади сумму произведений элементарных площадок на расстояние до двух взаимно перпендикулярных осей:
I xy = Σ xy dA ,
где x
, y
- расстояния от площадки dA
до осей x
и y
.
Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю.
Центробежный момент инерции входит в формулы для определения положения главных осей несимметричных сечений.
В таблицах стандартных профилей содержится характеристика, которая называется радиусом инерции сечения
, вычисляемая по формулам:
i x = √ (I x / A) , i y = √ (I y / A) , (здесь и далее знак "√" - знак корня)
где I x , I y
- осевые моменты инерции сечения относительно центральных осей; А
- площадь сечения.
Эта геометрическая характеристика используется при изучении внецентрального растяжения или сжатия, а также продольного изгиба.
Деформация кручения
Основные понятия о кручении. Кручение круглого бруса.
Кручением называют такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только крутящий момент
, т. е. силовой фактор, вызывающий круговое перемещение сечения относительно оси, перпендикулярной этому сечению, либо препятствующий такому перемещению. Другими словами - деформации кручения возникают, если к прямому брусу в плоскостях, перпендикулярных его оси приложить пару или пары сил.
Моменты этих пар сил называют скручивающими или вращающими. Вращающий момент обозначают Т
.
Такое определение условно разделяет силовые факторы деформации кручения на внешние (скручивающие, вращающие моменты Т
) и внутренние (крутящие моменты М кр
).
В машинах и механизмах кручению наиболее часто подвергаются круглые или трубчатые валы, поэтому расчеты на прочность и жесткость чаще всего производят для таких узлов и деталей.
Рассмотрим кручение круглого цилиндрического вала.
Представьте резиновый цилиндрический вал у которого жестко закреплен один из концов, а на поверхности нанесена сетка из продольных линий и поперечных окружностей. К свободному концу вала приложим пару сил, перпендикулярно оси этого вала, т. е. закрутим его вдоль оси. Если внимательно рассмотреть линии сетки на поверхности вала, то можно заметить, что:
- ось вала, которую называют осью кручения, останется прямолинейной;
- диаметры окружностей останутся такими же, а расстояние между соседними окружностями не изменится;
- продольные линии на валу обратятся в винтовые линии.
Из этого можно заключить, что при кручении круглого цилиндрического бруса (вала) справедлива гипотеза плоских сечений, а также предположить, что радиусы окружностей остаются при деформации прямыми (поскольку их диаметры не изменились). А поскольку в сечениях вала отсутствуют продольные силы, то расстояние между ними сохраняется.
Следовательно, деформация кручения круглого вала заключается в повороте поперечных сечений относительно друг друга вокруг оси кручения, причем углы поворота их прямо пропорциональны расстояниям от закрепленного сечения - чем дальше от закрепленного конца вала находится какое-либо сечение, тем на больший угол относительно оси вала оно закручивается.
Для каждого сечения вала угол поворота равен углу закручивания части вала, заключенного между этим сечением и заделкой (закрепленным концом).
Угол (рис. 1
) поворота свободного конца вала (концевого сечения) называется полным углом закручивания цилиндрического бруса (вала).
Относительным углом закручивания φ 0
называется отношение угла закручивания φ 1
к расстояниюl 1
от данного сечения до заделки (закрепленного сечения).
Если цилиндрический брус (вал) длиной l
имеет постоянное сечение и нагружен скручивающим моментом на свободном конце (т. е. состоит из однородного геометрического участка), то справедливо утверждение:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = const
- величина постоянная.
Если мы рассмотрим тонкий слой на поверхности вышеупомянутого резинового цилиндрического бруса (рис. 1 ), ограниченный ячейкой сетки cdef , то заметим, что эта ячейка при деформации перекашивается, и ее сторона, удаленная от закрепленного сечения, смещается в сторону закручивания бруса, занимая положение cde 1 f 1 .
Следует отметить, что аналогичная картина наблюдается при деформации сдвига, только в этом случае поверхность деформируется из-за поступательного перемещения сечений друг относительно друга, а не из-за вращательного перемещения, как при деформации кручения. На основании этого можно сделать вывод, что при кручении в поперечных сечениях возникают только касательные внутренние силы (напряжения), образующие крутящий момент.
Итак, крутящий момент есть результирующий момент относительно оси бруса внутренних касательных сил, действующих в поперечном сечении.
Пусть z с , у с – центральные оси сечений, – моменты инерции сечения относительно этих осей. Определим моменты инерции сечения относительно новых осей z 1 , у 1 , параллельных центральным осям и смещенных относительно них на расстояния a и d . Пусть dA – элементарная площадка в окрестности точки М с координатами y и z в центральной системе координат. Из рис. 4.3 видно, что координаты точки С в новой системе координат будут равны, .
Определим момент инерции сечения относительно оси у 1 :
|
| z c |
| y c |
| z 1 |
| y 1 |
| d |
| a |
| C |
Таким образом,
Аналогично
Изменение моментов инерции сечения при повороте осей
Найдем зависимость между моментами инерции относительно осей y , z и моментами инерции относительно осей y 1 , z 1 , повернутых на угол a . Пусть J y > J z и положительный угол a отсчитывается от оси y против часовой стрелки. Пусть координаты точки М до поворота – y , z , после поворота – y 1 , z 1 (рис. 4.4).
Из рисунка следует:
Теперь определим моменты инерции относительно осей y 1 и z 1 :
|
| M |
| z |
| z 1 |
| y 1 |
| y |
| a |
| y |
| y 1 |
| z 1 |
| z |
Аналогично:
Сложив почленно уравнения (4.13) и (4.14), получим:
т.е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей остается постоянной и не изменяется при повороте системы координат.
Главные оси инерции и главные моменты инерции
С изменением угла поворота осей a каждая из величин и меняется, а сумма их остается неизменной. Следовательно, существует такое значение
a = a 0 , при котором моменты инерции достигают экстремальных значений, т.е. один из них достигает своего максимального значения, а другой – минимального. Для нахождения значения a 0 возьмем первую производную от (или) и приравняем ее нулю:
Покажем, что относительно полученных осей центробежный момент инерции равен нулю. Для этого приравняем правую часть уравнения (4.15) нулю: , откуда, т.е. получили ту же формулу для a 0 .
Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями. Если эти оси являются также и центральными, то они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.
Обозначим главные оси через y 0 и z 0 . Тогда
Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда является одной из главных центральных осей инерции сечения.
Пусть известны и Ix, Iy, Ixy. Параллельно осям хy проведем новую ось x 1 , y 1 .
И определим момент инерции того же сечения относительно новых осей.
X 1 = x-a ; y 1 =y-b
I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3)dA = ∫ y 2 dA – 2b ∫ ydA + b 2 ∫dA=
Ix – 2b Sx + b 2 A.
Если ось x проходит через центр тяжести сечения, то статический момент Sx =0.
I x 1 = Ix + b 2 A
Аналогично новой оси y 1 будем иметь формулу I y 1 = Iy + a 2 A
Центробежный момент инерции относительно новых осей
Ix 1 y 1 = Ixy – b Sx –a Sy + abA.
Если оси xy проходят через центр тяжести сечения, то Ix 1 y 1 = Ixy + abA
Если сечение симметрично, хотя бы одна из центральных осей совпадает с осью симметрии, то Ixy =0 , а значит Ix 1 y 1 = abA
Изменение моментов инерции при повороте осей.
Пусть известны осевые моменты инерции относительно осей xy.
Новую систему координат xy получим путем поворота старой системы на угол (a >0), если поворот против часовой стрелки.
Установим зависимость между старыми и новыми координатами площадки
y 1 =ab = ac – bc = ab- de
из треугольника acd:
ac/ad =cos α ac= ad*cos α
из треугольника oed:
de/od =sin α dc = od*sin α
Подставим эти значения в выражение для y
y 1 = ad cos α - od sin α = y cos α - x sin α .
Аналогично
x 1 = x cos α + y sin α .
Вычислим осевой момент инерции относительно новой оси x 1
Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA= ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α)dA= =cos 2 α ∫ y 2 dA – sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .
Аналогично Iy 1 = Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α .
Сложим левые и правые части полученных выражений:
Ix 1 + Iy 1 = Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).
Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy
Сумма осевых моментов инерции при повороте не меняется.
Определим центробежный момент инерции относительно новых осей. Представим значения x 1 ,y 1 .
Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α .
Главные моменты и главные оси инерции.
Главными моментами инерции называют их экстремальные значения.
Оси, относительно которых получены экстремальные значения называются главными осями инерции. Они всегда взаимно перпендикулярны.
Центробежный момент инерции относительно главных осей всегда равен 0. Так как известно, что в сечении есть ось симметрии, то центробежный момент равен 0, значит ось симметрии является главной осью. Если взять первую производную от выражения I x 1 , затем приравнять её к “0”, то получим значение угла = соответствующего положению главных осей инерции.
tg2 α 0 = - 
Если α 0 >0 ,то для определенного положения главных осей старую ось нужно повернуть против хода часовой стрелки. Одна из главных осей является max, а другая – min. При этом ось max всегда соответствует меньший угол с той случайной, осью относительно которой имеет больший осевой момент инерции. Экстремальные значения осевого момента инерции определяется по формуле:
Глава 2. Основные понятия сопротивления материалов. Задачи и методы.
При проектировании различных сооружений нужно решать различные вопросы прочности, жесткости, устойчивости.
Прочность – способность данного тела выдерживать различные нагрузки без разрушения.
Жесткость – способность конструкции воспринимать нагрузки без больших деформаций (перемещений). Предварительно допустимые значения деформации регламентируют строительные нормы и правила (СНИП).
Устойчивость
Рассмотрим сжатие гибкого стержня
Если нагрузку постепенно увеличивать, то сначала будет происходить укорочение стержня. При достижении силой F некоторой критической величины произойдет выпучивание стержня. - абсолютное укорочение.
При этом стержень не разрушается, но резко изменяет свою форму. Такое явление называется потерей устойчивости и приводит к разрушению.
Сопромат – это основы наук о прочности, жесткости, устойчивости инженерных конструкций. В сопромате используются методы теоретической механики, физики, математики. В отличии от теоретической механики сопромат учитывает изменение размеров и формы тел под действием нагрузки и температуры.
Часто при решении практических задач необходимо определять моменты инерции сечения относительно осей, различным образом ориентированных в его плоскости. При этом удобно использовать уже известные значения моментов инерции всего сечения (или отдельных составляющих его частей) относительно других осей, приводимые в технической литературе, специальных справочниках и таблицах, а также подсчитываемые по имеющимся формулам. Поэтому очень важно установить зависимости между моментами инерции одного и того же сечения относительно разных осей.
В самом общем случае переход от любой старой к любой новой системе координат может рассматриваться как два последовательных преобразования старой системы координат:
1) путем параллельного переноса осей координат в новое положение и
2) путем поворота их относительно нового начала координат. Рассмотрим первое из этих преобразований, т. е. параллельный перенос координатных осей.
Предположим, что моменты инерции данного сечения относительно старых осей (рис. 18.5) известны.
Возьмем новую систему координат оси которой параллельны прежним. Обозначим а и b координаты точки (т. е. нового начала координат) в старой системе координат
Рассмотрим элементарную площадку Координаты ее в старой системе координат равны у и . В новой системе они равны
Подставим эти значения координат в выражение осевого момента инерции относительно оси
В полученном выражении -момент инерции статический момент сечения относительно оси равен площади F сечения.
Следовательно,
Если ось z проходит через центр тяжести сечения, то статический момент и
Из формулы (25.5) видно, что момент инерции относительно любой оси, не проходящей через центр тяжести, больше момента инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести, на величину которая всегда положительна. Следовательно, из всех моментов инерции относительно параллельных осей осевой момент инерции имеет наименьшее значение относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения.
Момент инерции относительно оси [по аналогии с формулой (24.5)]
В частном случае, когда ось у проходит через центр тяжести сечения
Формулы (25.5) и (27.5) широко используются при вычислении осевых моментов инерции сложных (составных) сечений.
Подставим теперь значения в выражение центробежного момента инерции относительно осей
Если оси являются центральными, то оси моментов будут иметь вид: 
15.Зависимость между моментами инерции при повороте осей :
J x 1 =J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 =J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;
J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a ;
Угол a>0, если переход от старой системы координат к новой происходит против час.стр. J y 1 + J x 1 = J y + J x
Экстремальные (максимальное и минимальное) значения моментов инерции называются главными моментами инерции
. Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции
. Главные оси инерции взаимно перпендикулярны. Центробежные моменты инерции относительно главных осей = 0, т.е. главные оси инерции - оси, относительно которых центробежный момент инерции = 0. Если одна из осей совпадает или обе совпадают с осью симметрии, то они главные. Угол, определяющий положение главных осей: 
, если a 0 >0 Þ оси поворачиваются против час.стр. Ось максимума всегда составляет меньший угол с той из осей, относительно которой момент инерции имеет большее значение. Главные оси, проходящие через центр тяжести, называются главными центральными осями инерции
. Моменты инерции относительно этих осей: 
J max + J min = J x + J y . Центробежный момент инерции относительно главных центральных осей инерции равен 0. Если известны главные моменты инерции, то формулы перехода к повернутым осям:
J x 1 =J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 =J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min)sin2a;
Конечной целью вычисления геометрических характеристик сечения является определение главных центральных моментов инерции и положения главных центральных осей инерции. 
Радиус инерции
- 
; J x =F×i x 2 , J y =F×i y 2 .
Если J x и J y главные моменты инерции, то i x и i y - главные радиусы инерции . Эллипс, построенный на главных радиусах инерции как на полуосях, называется эллипсом инерции . При помощи эллипса инерции можно графически найти радиус инерции i x 1 для любой оси х 1 . Для этого надо провести касательную к эллипсу, параллельную оси х 1 , и измерить расстояние от этой оси до касательной. Зная радиус инерции, можно найти момент инерции сечения относительно оси х 1: . Для сечений, имеющих более двух осей симметрии (например: круг, квадрат, кольцо и др.) осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой, J xy =0, эллипс инерции обращается в круг инерции.