Геометрична прогресия и нейната формула. Какво е геометрична прогресия? Основни понятия Намерете v2 геометрична прогресия

>>Математика: Геометрична прогресия

За удобство на читателя, този параграф е изграден точно по същия план, който следвахме в предишния параграф.

1. Основни понятия.

Определение.Числова редица, всички членове на която са различни от 0 и всеки член на която, започвайки от втория, се получава от предишния член чрез умножаването му по същото число, се нарича геометрична прогресия. В този случай числото 5 се нарича знаменател на геометрична прогресия.

Така че геометричната прогресия е числова последователност(b n), дефинирани рекурсивно от отношенията

Възможно ли е да се разгледа редица от числа и да се определи дали тя е геометрична прогресия? може. Ако сте убедени, че съотношението на който и да е член на редицата към предишния член е постоянно, тогава имате геометрична прогресия.
Пример 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Пример 2.

Това е геометрична прогресия, която има
Пример 3.

Това е геометрична прогресия, която има
Пример 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Това е геометрична прогресия, в която b 1 - 8, q = 1.

Обърнете внимание, че тази последователност също е аритметична прогресия (вижте пример 3 от § 15).

Пример 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Това е геометрична прогресия, в която b 1 = 2, q = -1.

Очевидно геометричната прогресия е нарастваща последователност, ако b 1 > 0, q > 1 (вижте пример 1), и намаляваща последователност, ако b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

За да се покаже, че последователността (b n) е геометрична прогресия, понякога е удобно следното обозначение:

Иконата замества израза „геометрична прогресия“.
Нека отбележим едно любопитно и в същото време доста очевидно свойство на геометричната прогресия:
Ако последователността е геометрична прогресия, тогава последователността от квадрати, т.е. е геометрична прогресия.
Във втората геометрична прогресия първият член е равен и равен на q 2.
Ако в геометрична прогресия изхвърлим всички членове след b n , получаваме крайна геометрична прогресия
В следващите параграфи на този параграф ще разгледаме най-много важни свойствагеометрична прогресия.

2. Формула за n-ия член на геометрична прогресия.

Помислете за геометрична прогресия знаменател q. Ние имаме:

Не е трудно да се досетите, че за всяко число n равенството е вярно

Това е формулата за n-тия член на геометрична прогресия.

Коментирайте.

Ако сте прочели важната забележка от предишния параграф и сте я разбрали, опитайте се да докажете формула (1), като използвате метода на математическата индукция по същия начин, както беше направено за формулата на n-тия член аритметична прогресия.

Нека пренапишем формулата за n-тия член на геометричната прогресия

и въвеждаме обозначението: Получаваме y = mq 2, или по-подробно,
Аргументът x се съдържа в експонентата, така че тази функция се нарича експоненциална функция. Това означава, че една геометрична прогресия може да се разглежда като експоненциална функция, дефинирана върху множеството N от естествени числа. На фиг. 96а е показана графиката на функцията Фиг. 966 - функционална графика И в двата случая имаме изолирани точки (с абсцисите x = 1, x = 2, x = 3 и т.н.), лежащи на определена крива (и двете фигури показват една и съща крива, само че са различно разположени и изобразени в различни мащаби). Тази крива се нарича експоненциална крива. Прочетете повече за експоненциална функцияи неговата графика ще се обсъжда в курса по алгебра за 11 клас.

Да се върнем към примери 1-5 от предишния параграф.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Това е геометрична прогресия, за която b 1 = 1, q = 3. Нека създадем формулата за n-тия член
2) Това е геометрична прогресия, за която нека създадем формула за n-тия член

Това е геометрична прогресия, която има Нека създадем формулата за n-тия член
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Това е геометрична прогресия, за която b 1 = 8, q = 1. Нека създадем формулата за n-тия член
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Това е геометрична прогресия, в която b 1 = 2, q = -1. Нека създадем формулата за n-тия член

Пример 6.

Като се има предвид геометрична прогресия

Във всички случаи решението се основава на формулата на n-тия член на геометричната прогресия

а) Поставяйки n = 6 във формулата за n-тия член на геометричната прогресия, получаваме

б) Имаме

Тъй като 512 = 2 9, получаваме n - 1 = 9, n = 10.

г) Имаме

Пример 7.

Разликата между седмия и петия член на геометричната прогресия е 48, сборът на петия и шестия член на прогресията също е 48. Намерете дванадесетия член на тази прогресия.

Първи етап.Изготвяне на математически модел.

Условията на проблема могат да бъдат написани накратко, както следва:

Използвайки формулата за n-тия член на геометрична прогресия, получаваме:
Тогава второто условие на проблема (b 7 - b 5 = 48) може да бъде записано като

Третото условие на проблема (b 5 + b 6 = 48) може да бъде записано като

В резултат на това получаваме система от две уравнения с две променливи b 1 и q:

което в комбинация с условие 1), написано по-горе, представлява математически модел на проблема.

Втори етап.

Работа с компилирания модел. Приравнявайки левите страни на двете уравнения на системата, получаваме:

(разделихме двете страни на уравнението с ненулевия израз b 1 q 4).

От уравнението q 2 - q - 2 = 0 намираме q 1 = 2, q 2 = -1. Замествайки стойността q = 2 във второто уравнение на системата, получаваме
Замествайки стойността q = -1 във второто уравнение на системата, получаваме b 1 1 0 = 48; това уравнение няма решения.

И така, b 1 =1, q = 2 - тази двойка е решението на компилираната система от уравнения.

Сега можем да запишем геометричната прогресия, разгледана в задачата: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Трети етап.

Отговор на проблемния въпрос. Трябва да изчислите b 12. Имаме

Отговор: b 12 = 2048.

3. Формула за сумата от членовете на крайна геометрична прогресия.

Нека е дадена крайна геометрична прогресия

Нека означим с S n сбора от неговите членове, т.е.

Нека изведем формула за намиране на това количество.

Да започнем с най-простия случай, когато q = 1. Тогава геометричната прогресия b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn се състои от n числа, равни на b 1 , т.е. прогресията изглежда като b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Сумата от тези числа е nb 1.

Нека сега q = 1. За да намерим S n, прилагаме изкуствена техника: извършваме някои трансформации на израза S n q. Ние имаме:

Когато извършвахме трансформации, ние, първо, използвахме дефиницията на геометрична прогресия, според която (виж третия ред на разсъждение); второ, те добавяха и изваждаха, поради което смисълът на израза, разбира се, не се промени (вижте четвъртия ред на разсъждение); трето, използвахме формулата за n-тия член на геометрична прогресия:

От формула (1) намираме:

Това е формулата за сумата от n членове на геометрична прогресия (за случая, когато q = 1).

Пример 8.

Дадена е крайна геометрична прогресия

а) сумата от условията на прогресията; б) сумата от квадратите на неговите членове.

b) По-горе (вижте стр. 132) вече отбелязахме, че ако всички членове на една геометрична прогресия са повдигнати на квадрат, тогава получаваме геометрична прогресия с първия член b 2 и знаменателя q 2. След това сумата от шестте члена на новата прогресия ще бъде изчислена от

Пример 9.

Намерете 8-ия член на геометричната прогресия, за който

Всъщност ние доказахме следната теорема.

Числовата последователност е геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на всеки от нейните членове, с изключение на първата теорема (и последната, в случай на крайна последователност), е равен на произведението на предходния и следващите членове (a характерно свойство на геометрична прогресия).

Аритметични и геометрични прогресии

Теоретична информация

Теоретична информация

	Аритметична прогресия	Геометрична прогресия
Определение	Аритметична прогресия a nе последователност, в която всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния член, добавен към същото число d (d- разлика в прогресията)	Геометрична прогресия b nе поредица от ненулеви числа, всеки член от който, започвайки от втория, е равен на предишния член, умножен по същото число р (р- знаменател на прогресията)
Формула за повторение	За всеки естествен п a n + 1 = a n + d	За всеки естествен п b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Формула n-ти член	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Характерно свойство
Сума от първите n члена

Примерни задачи с коментари

Задача 1

В аритметична прогресия ( a n) а 1 = -6, а 2

Според формулата на n-тия член:

а 22 = а 1+ d (22 - 1) = а 1+ 21 д

Според условието:

а 1= -6, тогава а 22= -6 + 21 d .

Необходимо е да се намери разликата в прогресиите:

d = а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Отговор: а 22 = -48.

Задача 2

Намерете петия член на геометричната прогресия: -3; 6;....

1-ви метод (използвайки формулата с n-член)

Според формулата за n-ия член на геометрична прогресия:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

защото b 1 = -3,

2-ри метод (използвайки повтаряща се формула)

Тъй като знаменателят на прогресията е -2 (q = -2), тогава:

б 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

б 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

б 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Отговор: б 5 = -48.

Задача 3

В аритметична прогресия ( a n ) a 74 = 34; 76= 156. Намерете седемдесет и петия член на тази прогресия.

За аритметична прогресия характеристичното свойство има формата .

От това следва:

Нека заместим данните във формулата:

Отговор: 95.

Задача 4

В аритметична прогресия ( a n ) a n= 3n - 4. Намерете сумата от първите седемнадесет члена.

За да се намери сумата от първите n членове на аритметична прогресия, се използват две формули:

Кой от тях е по-удобен за използване в този случай?

По условие формулата за n-тия член на първоначалната прогресия е известна ( a n) a n= 3n - 4. Можете да намерите веднага и а 1, И а 16без намиране d. Затова ще използваме първата формула.

Отговор: 368.

Задача 5

В аритметична прогресия ( a n) а 1 = -6; а 2= -8. Намерете двадесет и втория член на прогресията.

Според формулата на n-тия член:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = а 1+ 21г.

По условие, ако а 1= -6, тогава а 22= -6 + 21d. Необходимо е да се намери разликата в прогресиите:

d = а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Отговор: а 22 = -48.

Задача 6

Записани са няколко последователни члена на геометричната прогресия:

Намерете члена на прогресията, обозначен с x.

При решаването ще използваме формулата за n-тия член b n = b 1 ∙ q n - 1за геометрични прогресии. Първият член на прогресията. За да намерите знаменателя на прогресията q, трябва да вземете който и да е от дадените членове на прогресията и да разделите на предишния. В нашия пример можем да вземем и разделим на. Получаваме, че q = 3. Вместо n, заместваме 3 във формулата, тъй като е необходимо да се намери третият член на дадена геометрична прогресия.

Замествайки намерените стойности във формулата, получаваме:

Отговор : .

Задача 7

От аритметичните прогресии, дадено от формулата n-ти член, изберете този, за който условието е изпълнено а 27 > 9:

Тъй като даденото условие трябва да бъде изпълнено за 27-ия член на прогресията, ние заместваме 27 вместо n във всяка от четирите прогресии. В 4-та прогресия получаваме:

Отговор: 4.

Задача 8

В аритметична прогресия а 1= 3, d = -1,5. Посочете най-висока стойност n, за които неравенството е в сила a n > -6.

И така, нека седнем и да започнем да записваме някои числа. Например:

Можете да пишете произволни числа и може да има колкото искате (в нашия случай ги има). Колкото и числа да пишем, винаги можем да различим кое е първо, кое второ и така до последното, тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност:

Числова последователносте набор от числа, на всяко от които може да бъде присвоен уникален номер.

Например за нашата последователност:

Присвоеният номер е специфичен само за един номер в поредицата. С други думи, в редицата няма три втори числа. Второто число (като числото th) винаги е едно и също.

Числото с числото се нарича n-ти член на редицата.

Обикновено наричаме цялата последователност с някаква буква (например,), и всеки член на тази последователност е една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .

В нашия случай:

Най-често срещаните видове прогресия са аритметична и геометрична. В тази тема ще говорим за втория вид - геометрична прогресия.

Защо е необходима геометричната прогресия и нейната история?

Още в древни времена италианският математик монах Леонардо от Пиза (по-известен като Фибоначи) се е занимавал с практическите нужди на търговията. Монахът беше изправен пред задачата да определи какъв е най-малкият брой тежести, които могат да се използват за претегляне на продукт? В своите трудове Фибоначи доказва, че такава система от тегла е оптимална: Това е една от първите ситуации, в които хората трябваше да се сблъскат с геометрична прогресия, за която вероятно вече сте чували и имате поне обща концепция. След като разберете напълно темата, помислете защо такава система е оптимална?

В момента в житейската практика геометричната прогресия се проявява при инвестиране на пари в банка, когато размерът на лихвата се начислява върху сумата, натрупана в сметката за предходния период. С други думи, ако поставите пари на срочен депозит в спестовна банка, тогава след една година депозитът ще се увеличи с първоначалната сума, т.е. новата сума ще бъде равна на вноската, умножена по. След друга година тази сума ще се увеличи с, т.е. получената по това време сума отново ще бъде умножена по и т.н. Подобна ситуацияописани в задачи за изчисляване на т.нар сложна лихва– процентът се взема всеки път от сумата, която е в сметката, като се вземат предвид предишни лихви. Ще говорим за тези задачи малко по-късно.

Има много по-прости случаи, в които се прилага геометрична прогресия. Например разпространението на грип: един човек зарази друг човек, те от своя страна заразиха друг човек и по този начин втората вълна на заразата е човек, а той от своя страна зарази друг... и така нататък. .

Между другото, финансовата пирамида, същата МММ, е просто и сухо изчисление, основано на свойствата на геометричната прогресия. Интересно? Нека да го разберем.

Геометрична прогресия.

Да кажем, че имаме числова последователност:

Веднага ще отговорите, че това е лесно и името на такава редица е с разликата на нейните членове. Какво ще кажете за това:

Ако извадите предишното число от следващото, ще видите, че всеки път получавате нова разлика (и така нататък), но последователността определено съществува и се забелязва лесно - всяко следващо число е в пъти по-голямо от предишното!

Този тип числова последователност се нарича геометрична прогресияи е обозначен.

Геометричната прогресия () е числова последователност, чийто първи член е различен от нула и всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния, умножен по същото число. Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия.

Ограниченията, че първият член ( ) не е равен и не са случайни. Да приемем, че ги няма и първият член все още е равен, а q е равно на, хм.. нека бъде, тогава се оказва:

Съгласете се, че това вече не е прогресия.

Както разбирате, ще получим същите резултати, ако има число, различно от нула, a. В тези случаи просто няма да има прогресия, тъй като цялата редица от числа ще бъде или изцяло нули, или едно число, а всички останали ще бъдат нули.

Сега нека поговорим по-подробно за знаменателя на геометричната прогресия, тоест o.

Нека повторим: - това е числото колко пъти се променя всеки следващ член?геометрична прогресия.

Какво мислите, че може да бъде? Точно така, положително и отрицателно, но не нула (говорихме за това малко по-горе).

Да приемем, че нашето е положително. Нека в нашия случай, a. Каква е стойността на втория член и? Можете лесно да отговорите на това:

точно така Съответно, ако, тогава всички следващи членове на прогресията имат един и същ знак - те са положителни.

Ами ако е отрицателен? Например, a. Каква е стойността на втория член и?

Това е съвсем друга история

Опитайте се да преброите условията на тази прогресия. Колко получихте? имам. Така ако, тогава знаците на членовете на геометричната прогресия се редуват. Тоест, ако видите прогресия с редуващи се знаци за нейните членове, тогава нейният знаменател е отрицателен. Това знание може да ви помогне да се тествате, когато решавате задачи по тази тема.

Сега нека се упражняваме малко: опитайте се да определите кои числови последователности са геометрична прогресия и кои са аритметична прогресия:

Разбра ли? Нека сравним нашите отговори:

Геометрична прогресия – 3, 6.
Аритметична прогресия – 2, 4.
Не е нито аритметична, нито геометрична прогресия - 1, 5, 7.

Нека се върнем към последната ни прогресия и се опитаме да намерим нейния член, точно както в аритметичната. Както може би се досещате, има два начина да го намерите.

Ние последователно умножаваме всеки член по.

И така, членът на описаната геометрична прогресия е равен на.

Както вече се досетихте, сега вие сами ще извлечете формула, която ще ви помогне да намерите всеки член на геометричната прогресия. Или вече сте го разработили за себе си, описвайки как да намерите члена стъпка по стъпка? Ако е така, тогава проверете правилността на вашите разсъждения.

Нека илюстрираме това с примера за намиране на тия член на тази прогресия:

С други думи:

Намерете сами стойността на члена на дадената геометрична прогресия.

проработи ли Нека сравним нашите отговори:

Моля, имайте предвид, че сте получили точно същото число като в предишния метод, когато последователно умножихме по всеки предишен член на геометричната прогресия.
Нека се опитаме да "обезличим" тази формула - да я представим в общ вид и да получим:

Изведената формула е вярна за всички стойности - както положителни, така и отрицателни. Проверете това сами, като изчислите членовете на геометричната прогресия с следните условия: , А.

броихте ли Нека сравним резултатите:

Съгласете се, че би било възможно да се намери член на прогресия по същия начин като член, но има възможност за неправилно изчисляване. И ако вече сме намерили члена на геометричната прогресия, тогава какво може да бъде по-просто от използването на „скъсената“ част от формулата.

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

Съвсем наскоро говорихме за факта, че може да бъде или по-голямо, или по-малко от нула, но има специални стойности, за които геометричната прогресия се нарича безкрайно намаляваща.

Защо мислите, че е дадено това име?
Първо, нека напишем някаква геометрична прогресия, състояща се от членове.
Да кажем тогава:

Виждаме, че всеки следващ член е по-малък от предишния с коефициент, но ще има ли някакво число? Веднага ще отговорите с „не“. Затова е безкрайно намаляваща – намалява и намалява, но никога не става нула.

За да разберем ясно как изглежда това визуално, нека се опитаме да начертаем графика на нашата прогресия. И така, за нашия случай формулата приема следната форма:

На графиките, от които сме свикнали да начертаваме зависимостта, следователно:

Същността на израза не се е променила: в първия запис показахме зависимостта на стойността на член на геометрична прогресия от неговия пореден номер, а във втория запис просто взехме стойността на член на геометрична прогресия като , и обозначава поредния номер не като, а като. Всичко, което остава да се направи, е да се изгради графика.
Да видим какво имаш. Ето графиката, която измислих:

виждате ли Функцията намалява, клони към нула, но никога не я пресича, така че е безкрайно намаляваща. Нека отбележим нашите точки на графиката и в същото време какво означава координатата и:

Опитайте се да изобразите схематично графика на геометрична прогресия, ако нейният първи член също е равен. Анализирайте каква е разликата с предишната ни графика?

успяхте ли Ето графиката, която измислих:

Сега, след като сте разбрали напълно основите на темата за геометричната прогресия: знаете какво е това, знаете как да намерите нейния член и също така знаете какво е безкрайно намаляваща геометрична прогресия, нека преминем към нейното основно свойство.

Свойство на геометричната прогресия.

Спомняте ли си свойствата на членовете на аритметична прогресия? Да, да, как да намерите стойността на определен брой от прогресията, когато има предишни и последващи стойности на условията на тази прогресия. помниш ли Ето го:

Сега сме изправени пред абсолютно същия въпрос за членовете на геометричната прогресия. За да изведем такава формула, нека започнем да рисуваме и разсъждаваме. Ще видите, че е много лесно и ако забравите, можете да го извадите сами.

Нека вземем друга проста геометрична прогресия, в която знаем и. Как да намерим? С аритметичната прогресия е лесно и просто, но какво да кажем тук? Всъщност в геометрията също няма нищо сложно - просто трябва да запишете всяка стойност, дадена ни според формулата.

Може да попитате какво трябва да направим по въпроса сега? Да, много просто. Първо, нека изобразим тези формули на снимка и се опитаме да направим различни манипулации с тях, за да стигнем до стойността.

Нека се абстрахираме от числата, които ни се дават, нека се съсредоточим само върху тяхното изразяване чрез формулата. Трябва да намерим стойността, маркирана в оранжево, като знаем термините, съседни на нея. Нека се опитаме да извършим различни действия с тях, в резултат на което можем да получим.

Допълнение.
Нека се опитаме да съберем два израза и ще получим:

От този израз, както виждате, не можем да го изразим по никакъв начин, затова ще опитаме друг вариант - изваждане.

Изваждане.

Както можете да видите, ние също не можем да изразим това, затова нека се опитаме да умножим тези изрази един по друг.

Умножение.

Сега погледнете внимателно какво имаме, като умножим членовете на дадената ни геометрична прогресия в сравнение с това, което трябва да се намери:

Познайте за какво говоря? Точно така, за да намерим трябва да вземем корен квадратенот числата на геометричната прогресия, съседни на желаното, умножени едно по друго:

Ето го. Вие сами сте извели свойството на геометричната прогресия. Опитайте да напишете тази формула общ изглед. проработи ли

Забравихте условието за? Помислете защо е важно, например, опитайте се да го изчислите сами. Какво ще стане в този случай? Точно така, пълни глупости, защото формулата изглежда така:

Съответно, не забравяйте това ограничение.

Сега нека изчислим на какво се равнява

Верният отговор е! Ако не сте забравили втората възможна стойност по време на изчислението, значи сте страхотни и можете веднага да преминете към обучение, а ако сте забравили, прочетете какво се обсъжда по-долу и обърнете внимание защо и двата корена трябва да бъдат записани в отговор.

Нека начертаем и двете си геометрични прогресии - едната със стойност, а другата със стойност и да проверим дали и двете имат право на съществуване:

За да се провери дали такава геометрична прогресия съществува или не, е необходимо да се види дали всички нейни дадени членове са еднакви? Изчислете q за първия и втория случай.

Вижте защо трябва да напишем два отговора? Защото знакът на търсения термин зависи от това дали е положителен или отрицателен! И тъй като не знаем какво е, трябва да напишем и двата отговора с плюс и минус.

Сега, след като сте усвоили основните точки и сте извели формулата за свойството на геометричната прогресия, намерете, знаейки и

Сравнете вашите отговори с правилните:

Какво мислите, ако ни бяха дадени не стойностите на членовете на геометричната прогресия, съседни на желаното число, а на равно разстояние от него. Например, трябва да намерим и даден и. Можем ли да използваме формулата, която сме извели в този случай? Опитайте се да потвърдите или опровергаете тази възможност по същия начин, като опишете от какво се състои всяка стойност, както сте направили, когато първоначално сте извели формулата, при.
Какво получи?

Сега погледнете внимателно отново.
и съответно:

От това можем да заключим, че формулата работи не само със съседнитес желаните членове на геометричната прогресия, но и с равноотдалечениот това, което членовете търсят.

Така нашата първоначална формула приема формата:

Тоест, ако в първия случай казахме това, сега казваме, че може да бъде равно на всяко естествено число, което е по-малко. Основното е, че е еднакво и за двете дадени числа.

Практикувайте с конкретни примери, само бъдете изключително внимателни!

, . Намерете.
, . Намерете.
, . Намерете.

Решихте ли? Надявам се, че сте били изключително внимателни и сте забелязали малка уловка.

Нека сравним резултатите.

В първите два случая ние спокойно прилагаме горната формула и получаваме следните стойности:

В третия случай, когато внимателно изследваме серийните номера на числата, които са ни дадени, разбираме, че те не са на равно разстояние от търсеното число: това е предишното число, но е премахнато на позиция, така че е не е възможно да се приложи формулата.

Как да го решим? Всъщност не е толкова трудно, колкото изглежда! Нека запишем от какво се състои всяко дадено ни число и числото, което търсим.

Така че имаме и. Да видим какво можем да направим с тях? Предлагам да разделите на. Получаваме:

Заменяме нашите данни във формулата:

Следващата стъпка, която можем да намерим е - за това трябва да вземем кубичен корен от полученото число.

Сега нека погледнем отново какво имаме. Имаме го, но трябва да го намерим, а то от своя страна е равно на:

Намерихме всички необходими данни за изчислението. Заместете във формулата:

Нашият отговор: .

Опитайте сами да разрешите друг подобен проблем:
Дадено: ,
намирам:

Колко получихте? Имам - .

Както можете да видите, по същество имате нужда запомни само една формула- . Всички останали можете да изтеглите сами без никакви затруднения по всяко време. За да направите това, просто напишете най-простата геометрична прогресия на лист хартия и запишете на какво е равно всяко от нейните числа, съгласно описаната по-горе формула.

Сумата от членовете на геометрична прогресия.

Сега нека разгледаме формулите, които ни позволяват бързо да изчислим сумата от членовете на геометрична прогресия в даден интервал:

За да изведете формулата за сумата от членовете на крайна геометрична прогресия, умножете всички части на горното уравнение по. Получаваме:

Погледнете внимателно: какво е общото между последните две формули? Точно така, обикновени членове, например, и така нататък, с изключение на първия и последния член. Нека се опитаме да извадим 1-вото от 2-то уравнение. Какво получи?

Сега изразете члена на геометричната прогресия чрез формулата и заместете получения израз в нашата последна формула:

Групирайте израза. Трябва да получите:

Всичко, което остава да се направи, е да се изрази:

Съответно в този случай.

какво ако? Коя формула работи тогава? Представете си геометрична прогресия при. каква е тя Правилен ред еднакви числа, съответно формулата ще изглежда така:

Има много легенди както за аритметичната, така и за геометричната прогресия. Една от тях е легендата за Сет, създателят на шаха.

Много хора знаят, че играта шах е измислена в Индия. Когато хиндуисткият крал я срещна, той беше възхитен от нейното остроумие и разнообразието от възможни позиции в нея. След като научил, че е изобретен от един от неговите поданици, кралят решил лично да го награди. Той извикал изобретателя при себе си и му наредил да поиска от него всичко, което поиска, като обещал да изпълни и най-изкусното желание.

Сета поискал време за размисъл и когато на следващия ден Сета се явил пред краля, той изненадал краля с безпрецедентната скромност на молбата си. Той поиска да го предаде като първа клетка шахматна дъскажитно зърно, за второ житно зърно, за трето, за четвърто и т.н.

Кралят беше ядосан и изгони Сет, като каза, че молбата на слугата е недостойна за щедростта на краля, но обеща, че слугата ще получи своите зърна за всички квадратчета на дъската.

И сега въпросът: използвайки формулата за сумата от членовете на геометрична прогресия, изчислете колко зърна трябва да получи Сет?

Да започнем да разсъждаваме. Тъй като според условието Сет е поискал житно зърно за първото поле на шахматната дъска, за второто, за третото, за четвъртото и т.н., тогава виждаме, че задачата е за геометрична прогресия. На какво се равнява в този случай?
вярно

Общо полета на шахматната дъска. Съответно,. Имаме всички данни, всичко, което остава, е да ги включим във формулата и да изчислим.

За да си представим поне приблизително „мащаба“ на дадено число, трансформираме, използвайки свойствата на степента:

Разбира се, ако искате, можете да вземете калкулатор и да изчислите какво число ще получите в крайна сметка, а ако не, ще трябва да повярвате на думата ми: крайната стойност на израза ще бъде.
това е:

квинтилион квадрилион трилион милиард милиона хиляди.

Пфу) Ако искате да си представите огромността на това число, тогава преценете колко голям хамбар би бил необходим, за да побере цялото количество зърно.
Ако хамбарът е m висок и m широк, дължината му трябва да се простира с km, т.е. два пъти по-далеч от Земята до Слънцето.

Ако царят беше силен в математиката, той можеше да покани самия учен да преброи зърната, защото за да преброи един милион зърна, щеше да му трябва поне един ден неуморно броене, а като се има предвид, че е необходимо да се преброят квинтилиони, зърната ще трябва да се брои през целия му живот.

Сега нека решим проста задача, включваща сумата от членовете на геометрична прогресия.
Ученикът от 5А клас Вася се разболя от грип, но продължава да ходи на училище. Всеки ден Вася заразява двама души, които от своя страна заразяват още двама и т.н. В класа има само хора. След колко дни целият клас ще е болен от грип?

И така, първият член на геометричната прогресия е Вася, тоест човек. Членът на геометричната прогресия са двамата души, които е заразил в първия ден от пристигането си. Общият сбор от условията за прогресиране е равен на броя на учениците от 5A. Съответно говорим за прогресия, при която:

Нека заместим нашите данни във формулата за сумата от членовете на геометрична прогресия:

Целият клас ще се разболее до дни. Не вярвате на формули и числа? Опитайте се сами да изобразите „заразата“ на учениците. проработи ли Вижте как изглежда при мен:

Пресметнете сами за колко дни ще се разболеят учениците от грип, ако всеки зарази по един човек, а в класа има само един човек.

Каква стойност получихте? Оказа се, че всички започват да се разболяват след ден.

Както можете да видите, такава задача и рисунката за нея приличат на пирамида, в която всяка следваща „носи“ нови хора. Но рано или късно идва момент, когато последният не може да привлече никого. В нашия случай, ако си представим, че класът е изолиран, човекът от затваря веригата (). По този начин, ако човек участва във финансова пирамида, в която се дават пари, ако доведете други двама участници, тогава лицето (или като цяло) няма да доведе никого, съответно ще загуби всичко, което е инвестирало в тази финансова измама.

Всичко, което беше казано по-горе, се отнася до намаляваща или нарастваща геометрична прогресия, но, както си спомняте, имаме специален тип - безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Как да изчислим сбора на членовете му? И защо този тип прогресия има определени характеристики? Нека да го разберем заедно.

И така, първо, нека да погледнем отново този чертеж на безкрайно намаляваща геометрична прогресия от нашия пример:

Сега нека разгледаме формулата за сумата от геометрична прогресия, получена малко по-рано:
или

Към какво се стремим? Точно така, графиката показва, че клони към нула. Тоест при, ще бъде почти равно, съответно при изчисляване на израза ще получим почти. В тази връзка смятаме, че при изчисляване на сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия тази скоба може да бъде пренебрегната, тъй като ще бъде равна.

- формулата е сумата от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия.

ВАЖНО!Използваме формулата за сумата от членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия само ако условието изрично посочва, че трябва да намерим сумата безкраенброй членове.

Ако е посочено конкретно число n, тогава използваме формулата за сумата от n членове, дори ако или.

Сега нека практикуваме.

Намерете сумата на първите членове на геометричната прогресия с и.
Намерете сумата от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия с и.

Надявам се, че сте били изключително внимателни. Нека сравним нашите отговори:

Вече знаете всичко за геометричната прогресия и е време да преминете от теория към практика. Най-честите задачи с геометрична прогресия, срещани на изпита, са задачи за изчисляване на сложна лихва. Това са тези, за които ще говорим.

Задачи за изчисляване на сложна лихва.

Вероятно сте чували за така наречената формула за сложна лихва. Разбирате ли какво означава? Ако не, нека го разберем, защото след като разберете самия процес, веднага ще разберете какво общо има геометричната прогресия с него.

Всички отиваме в банката и знаем, че има различни условияза депозити: това включва срок, допълнителна поддръжка и лихва с два различни метода за изчисляване - прост и сложен.

СЪС проста лихвавсичко е повече или по-малко ясно: лихвата се начислява веднъж в края на срока на депозита. Тоест, ако кажем, че депозираме 100 рубли за една година, те ще бъдат кредитирани едва в края на годината. Съответно до края на депозита ще получим рубли.

Сложна лихва- това е вариант, в който се случва капитализация на лихвата, т.е. добавянето им към сумата на депозита и последващо изчисляване на дохода не от първоначалната, а от натрупаната сума на депозита. Писането с главни букви не се случва постоянно, а с известна честота. По правило тези периоди са равни и най-често банките използват месец, тримесечие или година.

Да приемем, че депозираме същите рубли годишно, но с месечна капитализация на депозита. какво правим

Разбираш ли всичко тук? Ако не, нека го разберем стъпка по стъпка.

Донесохме рубли в банката. До края на месеца трябва да имаме сума в сметката си, състояща се от нашите рубли плюс лихвата върху тях, тоест:

Съгласни ли сте?

Можем да го извадим от скоби и тогава получаваме:

Съгласете се, тази формула вече е по-подобна на това, което написахме в началото. Всичко, което остава, е да разбера процентите

В изложението на проблема ни се казва за годишни ставки. Както знаете, ние не умножаваме по - превръщаме процентите в десетични знаци, тоест:

нали Сега може да попитате откъде идва числото? Много просто!
Повтарям: изложението на проблема казва за ГОДИШЕНлихва, която се натрупва МЕСЕЧНО. Както знаете, съответно за година от месеци банката ще ни начисли част от годишната лихва на месец:

Разбра ли? Сега се опитайте да напишете как би изглеждала тази част от формулата, ако кажа, че лихвата се изчислява ежедневно.
успяхте ли Нека сравним резултатите:

браво! Нека се върнем към нашата задача: напишете колко ще бъде кредитирана в нашата сметка през втория месец, като се има предвид, че върху натрупаната сума на депозита се начислява лихва.
Ето какво получих:

Или с други думи:

Мисля, че вече сте забелязали закономерност и сте видели геометрична прогресия във всичко това. Напишете на какво ще се равнява неговият член или с други думи каква сума пари ще получим в края на месеца.
направи ли? Да проверим!

Както можете да видите, ако вложите пари в банката за една година при проста лихва, ще получите рубли, а ако при сложна лихва, ще получите рубли. Ползата е малка, но това се случва само през годината, но за по-дълъг период капитализацията е много по-печеливша:

Нека разгледаме друг тип задачи, включващи сложна лихва. След това, което сте разбрали, ще ви е елементарно. И така, задачата:

Компанията Звезда започва да инвестира в индустрията през 2000 г. с капитал в долари. Всяка година от 2001 г. насам получава печалба, равна на капитала от предходната година. Каква печалба ще получи фирма Звезда в края на 2003 г., ако печалбите не бяха изтеглени от обращение?

Капитал на фирма Звезда през 2000г.
- капитал на фирма Звезда 2001г.
- капитал на фирма Звезда 2002г.
- капитал на фирма Звезда 2003г.

Или можем да напишем накратко:

За нашия случай:

2000, 2001, 2002 и 2003 г.

Съответно:
рубли
Моля, обърнете внимание, че в тази задача нямаме деление нито на, нито на, тъй като процентът е даден ГОДИШНО и се изчислява ГОДИШНО. Тоест, когато четете задача за сложна лихва, обърнете внимание какъв процент е даден и в какъв период се изчислява и едва след това преминете към изчисления.
Сега знаете всичко за геометричната прогресия.

обучение.

Намерете члена на геометричната прогресия, ако е известно, че и
Намерете сумата от първите членове на геометричната прогресия, ако е известно, че и
Компанията MDM Capital започва да инвестира в индустрията през 2003 г. с капитал в долари. Всяка година от 2004 г. насам получава печалба, равна на капитала от предходната година. Фирма MSK Парични потоци"започна да инвестира в индустрията през 2005 г. в размер на $10 000, като започна да реализира печалба през 2006 г. в размер на. С колко долара е капиталът на едното дружество по-голям от капитала на другото в края на 2007 г., ако печалбата не е изтеглена от обръщение?

Отговори:

Тъй като формулировката на задачата не казва, че прогресията е безкрайна и се изисква да се намери сумата от определен брой нейни членове, изчислението се извършва по формулата:
MDM Capital Company:
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- се увеличава със 100%, тоест 2 пъти.
Съответно:
рубли
Компания MSK Cash Flows:
2005, 2006, 2007.
- се увеличава с, тоест с пъти.
Съответно:
рубли
рубли

Нека да обобщим.

1) Геометрична прогресия ( ) е числова последователност, чийто първи член е различен от нула, а всеки член, започвайки от втория, е равен на предишния, умножен по същото число. Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия.

2) Уравнението на членовете на геометричната прогресия е .

3) може да приема всякакви стойности с изключение на и.

ако, тогава всички следващи членове на прогресията имат един и същ знак - те са положителни;
ако, тогава всички следващи условия на прогресията алтернативни знаци;
когато – прогресията се нарича безкрайно намаляваща.

4) , когато – свойство на геометрична прогресия (съседни членове)

или
, при (равноотдалечени термини)

Когато го намерите, не забравяйте това трябва да има два отговора.

например,

5) Сумата от членовете на геометричната прогресия се изчислява по формулата:
или

или

ВАЖНО!Използваме формулата за сумата от членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия само ако условието изрично посочва, че трябва да намерим сумата от безкраен брой членове.

6) Проблемите със сложната лихва също се изчисляват по формулата на th член на геометрична прогресия, при условие че средствата не са изтеглени от обращение:

ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Геометрична прогресия( ) е числова редица, чийто първи член е различен от нула, а всеки член, започвайки от втория, е равен на предходния, умножен по същото число. Този номер се нарича знаменател на геометрична прогресия.

Знаменател на геометричната прогресияможе да приема всякаква стойност освен и.

Ако, тогава всички следващи членове на прогресията имат един и същ знак - те са положителни;
ако, тогава всички следващи членове на прогресията редуват знаци;
когато – прогресията се нарича безкрайно намаляваща.

Уравнение на членовете на геометричната прогресия - .

Сума от членовете на геометрична прогресияизчислено по формулата:
или

Ако прогресията е безкрайно намаляваща, тогава:

ОСТАНАЛИТЕ 2/3 АРТИКУЛА СА ДОСТЪПНИ САМО ЗА СТУДЕНТИ НА YOUCLEVER!

Станете студент на YouClever,

Подгответе се за Единния държавен изпит или Единния държавен изпит по математика на цената на „чаша кафе на месец“,

И също така получете неограничен достъп до учебника „YouClever“, подготвителната програма „100gia“ (работна книга), неограничен пробен Единен държавен изпит и Единен държавен изпит, 6000 задачи с анализ на решения и други услуги на YouClever и 100gia.

Това число се нарича знаменател на геометрична прогресия, т.е. всеки член се различава от предходния с q пъти. (Ще приемем, че q ≠ 1, иначе всичко е твърде тривиално). Лесно се вижда, че общата формула за n-тия член на геометричната прогресия е b n = b 1 q n – 1 ; членове с числа b n и b m се различават с q n – m пъти.

вече в Древен Египетпознаваше не само аритметиката, но и геометричната прогресия. Ето например една задача от папируса на Райнд: „Седем лица имат седем котки; Всяка котка изяжда седем мишки, всяка мишка изяжда седем класа царевица и от всеки клас ечемик могат да растат седем мери ечемик. Колко големи са числата в тази серия и тяхната сума?

ориз. 1. Задача на древноегипетската геометрична прогресия

Тази задача се повтаря много пъти с различни вариации сред други народи в други моменти. Например, в писмена през 13 век. „Книгата на абака“ от Леонардо от Пиза (Фибоначи) има проблем, в който се появяват 7 стари жени на път за Рим (очевидно поклонници), всяка от които има 7 мулета, всяко от които има 7 чанти, всяка от които съдържа 7 хляба, всеки от които има 7 ножа, всеки от които има 7 ножници. Проблемът пита колко обекта има.

Сумата от първите n члена на геометричната прогресия S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Тази формула може да бъде доказана например по следния начин: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

Добавете числото b 1 q n към S n и получете:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

От тук S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) и получаваме необходимата формула.

Вече върху една от глинените плочки на Древен Вавилон, датираща от 6 век. пр.н.е д., съдържа сумата 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Вярно е, че както в редица други случаи, ние не знаем как този факт е бил известен на вавилонците .

Бързото нарастване на геометричната прогресия в редица култури, по-специално в индийската, многократно се използва като визуален символ на необятността на Вселената. В известната легенда за появата на шаха владетелят дава възможност на неговия изобретател сам да избере наградата и пита за броя на пшеничните зърна, които ще се получат, ако едно се постави на първото поле на шахматната дъска, две на второто, четири на третото, осем на четвъртото и т.н., всеки път, когато числото се удвоява. Владика си помисли, че най-много говорим за няколко торби, но сгреши. Лесно е да се види, че за всичките 64 квадрата на шахматната дъска изобретателят би трябвало да получи (2 64 - 1) зърна, което се изразява като 20-цифрено число; дори ако цялата повърхност на Земята беше засята, ще са необходими поне 8 години, за да се събере необходимото количество зърна. Тази легенда понякога се тълкува като посочваща практически неограничените възможности, скрити в играта на шах.

Лесно се вижда, че това число наистина е 20-цифрено:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (по-точно изчисление дава 1,84∙10 19). Но се чудя дали можете да разберете с коя цифра завършва това число?

Геометричната прогресия може да бъде нарастваща, ако знаменателят е по-голям от 1, или намаляваща, ако е по-малък от едно. В последния случай числото q n за достатъчно голямо n може да стане произволно малко. Докато нарастващата геометрична прогресия се увеличава неочаквано бързо, намаляващата геометрична прогресия намалява също толкова бързо.

Колкото по-голямо е n, толкова по-слабо числото q n се различава от нула и колкото по-близо е сумата от n члена на геометричната прогресия S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) до числото S = b 1 / ( 1 – р). (Например Ф. Виет разсъждава по този начин). Числото S се нарича сбор от безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Въпреки това, в продължение на много векове въпросът какъв е смисълът от сумирането на ЦЯЛАТА геометрична прогресия, с нейния безкраен брой членове, не беше достатъчно ясен за математиците.

Намаляваща геометрична прогресия може да се види например в апориите на Зенон „Половин деление“ и „Ахил и костенурката“. В първия случай е ясно показано, че целият път (приемайки дължина 1) е сбор от безкраен брой сегменти 1/2, 1/4, 1/8 и т.н. Това, разбира се, е случаят от гледната точка на идеите за крайна сума безкрайна геометрична прогресия. И все пак - как е възможно това?

ориз. 2. Прогресия с коефициент 1/2

В апорията за Ахил ситуацията е малко по-сложна, защото тук знаменателят на прогресията не е 1/2, а някакво друго число. Нека например Ахил тича със скорост v, костенурката се движи със скорост u, а началното разстояние между тях е l. Ахил ще измине това разстояние за време l/v, а през това време костенурката ще измине разстояние lu/v. Когато Ахил премине през този сегмент, разстоянието между него и костенурката ще стане равно на l (u /v) 2 и т.н. Оказва се, че настигането на костенурката означава намиране на сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия с първата член l и знаменател u /v. Тази сума - отсечката, която Ахил в крайна сметка ще пробяга до мястото на срещата с костенурката - е равна на l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Но отново, как трябва да се тълкува този резултат и защо изобщо има смисъл? за дълго времене беше много ясно.

ориз. 3. Геометрична прогресия с коефициент 2/3

Архимед използва сумата от геометрична прогресия, за да определи площта на сегмент от парабола. Нека този сегментна параболата е ограничена от хордата AB и нека допирателната в точка D на параболата е успоредна на AB. Нека C е средата на AB, E е средата на AC, F е средата на CB. Нека начертаем прави, успоредни на DC през точки A, E, F, B; Нека допирателната, начертана в точка D, пресича тези прави в точки K, L, M, N. Нека начертаем и сегменти AD и DB. Нека правата EL пресича правата AD в точка G и параболата в точка H; правата FM пресича правата DB в точка Q и параболата в точка R. Според обща теорияконични сечения, DC – диаметър на параболата (т.е. сегмент, успореден на нейната ос); тя и допирателната в точка D могат да служат като координатни оси x и y, в които уравнението на параболата се записва като y 2 = 2px (x е разстоянието от D до всяка точка с даден диаметър, y е дължината на сегмент, успореден на дадена допирателна от тази точка на диаметъра до някаква точка на самата парабола).

По силата на уравнението на параболата DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA и тъй като DK = 2DL, тогава KA = 4LH. Тъй като KA = 2LG, LH = HG. Площта на сегмента ADB на парабола е равна на площта на триъгълника ΔADB и площите на сегментите AHD и DRB взети заедно. От своя страна, площта на сегмента AHD е равна на площта на триъгълника AHD и останалите сегменти AH и HD, с всеки от които можете да извършите една и съща операция - разделяне на триъгълник (Δ) и двата останали сегмента () и т.н.:

Площта на триъгълника ΔAHD е равна на половината от площта на триъгълника ΔALD (те имат обща основа AD, а височините се различават 2 пъти), което от своя страна е равно на половината от площта на триъгълника ΔAKD и следователно половината от площта на триъгълника ΔACD. Така площта на триъгълника ΔAHD е равна на една четвърт от площта на триъгълника ΔACD. По същия начин площта на триъгълника ΔDRB е равна на една четвърт от площта на триъгълника ΔDFB. И така, площите на триъгълниците ΔAHD и ΔDRB, взети заедно, са равни на една четвърт от площта на триъгълника ΔADB. Повтарянето на тази операция, когато се прилага към сегменти AH, HD, DR и RB, ще избере триъгълници от тях, чиято площ, взети заедно, ще бъде 4 пъти по-малка от площта на триъгълниците ΔAHD и ΔDRB, взети заедно, и следователно 16 пъти по-малко от площта на триъгълника ΔADB. И така нататък:

Така Архимед доказва, че „всеки сегмент, съдържащ се между права линия и парабола, съставлява четири трети от триъгълник с еднаква основа и еднаква височина“.

22.09.2018 22:00

Геометричната прогресия, заедно с аритметиката, е важна числова серия, който се изучава в училищния курс по алгебра в 9 клас. В тази статия ще разгледаме знаменателя на геометрична прогресия и как стойността му влияе върху свойствата му.

Дефиниция на геометричната прогресия

Първо, нека дефинираме това числова серия. Такъв ред се нарича геометрична прогресия рационални числа, което се формира чрез последователно умножаване на първия му елемент по постоянно число, наречено знаменател.

Например числата в редицата 3, 6, 12, 24, ... са геометрична прогресия, защото ако умножите 3 (първия елемент) по 2, получавате 6. Ако умножите 6 по 2, получавате 12 и така нататък.

Членовете на разглежданата редица обикновено се означават със символа ai, където i е цяло число, указващо номера на елемента в серията.

Горната дефиниция на прогресията може да бъде написана на математически език, както следва: an = bn-1 * a1, където b е знаменателят. Лесно е да проверите тази формула: ако n = 1, тогава b1-1 = 1 и получаваме a1 = a1. Ако n = 2, тогава an = b * a1 и отново стигаме до дефиницията на въпросната редица от числа. Подобни разсъждения могат да бъдат продължени за големи стойности на n.

Знаменател на геометричната прогресия

Числото b напълно определя какъв характер ще има цялата редица от числа. Знаменателят b може да бъде положителен, отрицателен или по-голям или по-малък от едно. Всички горепосочени опции водят до различни последователности:

b > 1. Има нарастваща серия от рационални числа. Например 1, 2, 4, 8, ... Ако елемент a1 е отрицателен, тогава цялата последователност ще се увеличи само по абсолютна стойност, но ще намалее в зависимост от знака на числата.
b = 1. Често този случай не се нарича прогресия, тъй като има обикновена поредица от еднакви рационални числа. Например -4, -4, -4.

Формула за количество

Преди да преминете към разглеждане на конкретни проблеми, като използвате знаменателя на разглеждания тип прогресия, трябва да се даде важна формула за сумата от нейните първи n елемента. Формулата изглежда така: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Можете сами да получите този израз, ако разгледате рекурсивната последователност от членове на прогресията. Също така имайте предвид, че в горната формула е достатъчно да знаете само първия елемент и знаменателя, за да намерите сумата от произволен брой членове.

Безкрайно намаляваща последователност

По-горе беше дадено обяснение какво представлява. Сега, знаейки формулата за Sn, нека я приложим към тази редица от числа. Тъй като всяко число, чийто модул не надвишава 1, клони към нула, когато се повиши до големи степени, т.е. b∞ => 0, ако -1

Тъй като разликата (1 - b) винаги ще бъде положителна, независимо от стойността на знаменателя, знакът на сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия S∞ се определя еднозначно от знака на нейния първи елемент a1.

Сега нека разгледаме няколко задачи, в които ще покажем как да приложим придобитите знания върху конкретни числа.

Задача № 1. Изчисляване на неизвестни елементи на прогресия и сбор

При дадена геометрична прогресия знаменателят на прогресията е 2, а нейният първи елемент е 3. На какво ще бъдат равни нейните 7-ми и 10-ти член и на каква е сумата от седемте й начални елемента?

Условието на задачата е съвсем просто и включва директното използване на горните формули. И така, за да изчислим номер на елемент n, използваме израза an = bn-1 * a1. За 7-ия елемент имаме: a7 = b6 * a1, като заместваме известните данни, получаваме: a7 = 26 * 3 = 192. Правим същото за 10-ия член: a10 = 29 * 3 = 1536.

Нека използваме добре познатата формула за сумата и да определим тази стойност за първите 7 елемента от редицата. Имаме: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Задача № 2. Определяне на сумата от произволни елементи на прогресия

Нека -2 е равно на знаменателя на геометричната прогресия bn-1 * 4, където n е цяло число. Необходимо е да се определи сумата от 5-ти до 10-ти елемент от тази серия включително.

Поставеният проблем не може да бъде решен директно с помощта на известни формули. Може да се реши по 2 начина различни методи. За пълнота на представяне на темата представяме и двете.

Метод 1. Идеята е проста: трябва да изчислите двете съответстващи суми на първите членове и след това да извадите другата от едната. Изчисляваме по-малката сума: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Сега изчисляваме по-голямата сума: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Обърнете внимание, че в последния израз бяха сумирани само 4 члена, тъй като 5-ият вече е включен в сумата, която трябва да се изчисли според условията на проблема. Накрая вземаме разликата: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Метод 2. Преди да заместите числата и да броите, можете да получите формула за сумата между m и n члена на въпросната серия. Продължаваме по абсолютно същия начин, както в метод 1, само че първо работим със символното представяне на сумата. Имаме: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Можете да замените известни числа в получения израз и да изчислите крайния резултат: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Задача № 3. Какво е знаменателят?

Нека a1 = 2, намерете знаменателя на геометричната прогресия, при условие че нейният безкраен сбор е 3, а е известно, че това е намаляваща редица от числа.

Въз основа на условията на проблема не е трудно да се познае коя формула трябва да се използва за решаването му. Разбира се, за безкрайно намаляващата сума на прогресията. Имаме: S∞ = a1 / (1 - b). Откъдето изразяваме знаменателя: b = 1 - a1 / S∞. Остава да заменим известните стойности и да получим необходимото число: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 или -0,333(3). Можем да проверим качествено този резултат, ако помним, че за този тип последователност модулът b не трябва да надхвърля 1. Както може да се види, |-1 / 3|

Задача № 4. Възстановяване на редица от числа

Нека са дадени 2 елемента от числова серия, например 5-ият е равен на 30, а 10-ият е равен на 60. Необходимо е да се възстанови цялата серия от тези данни, като се знае, че тя отговаря на свойствата на геометрична прогресия.

За да решите задачата, първо трябва да запишете съответния израз за всеки известен член. Имаме: a5 = b4 * a1 и a10 = b9 * a1. Сега разделете втория израз на първия, получаваме: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. От тук определяме знаменателя, като вземем корен пети от отношението на членовете, известни от условията на задачата, b = 1,148698. Заместваме полученото число в един от изразите за известния елемент, получаваме: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Така намерихме знаменателя на прогресията bn и геометричната прогресия bn-1 * 17.2304966 = an, където b = 1.148698.

Къде се използват геометричните прогресии?

Ако нямаше практическо приложение на тази числова серия, тогава нейното изследване би било сведено до чисто теоретичен интерес. Но такова приложение съществува.

По-долу са 3-те най-известни примера:

Парадоксът на Зенон, в който пъргавият Ахил не може да настигне бавната костенурка, е разрешен с помощта на концепцията за безкрайно намаляваща последователност от числа.
Ако поставите пшенични зърна на всяко поле на шахматната дъска, така че на 1-во поле да поставите 1 зърно, на 2-ро - 2, на 3-то - 3 и т.н., тогава за да запълните всички полета на дъската, ще ви трябва 18446744073709551615 зърна!
В играта "Ханойската кула", за да преместите дискове от една пръчка на друга, е необходимо да извършите 2n - 1 операции, тоест техният брой нараства експоненциално с броя на използваните дискове n.

Улица Киевян, 16 0016 Армения, Ереван +374 11 233 255