Често трансформирането и опростяването на математически изрази изисква преминаване от корени към степени и обратно. Тази статия говори за това как да конвертирате корен в степен и обратно. Разглежданата теория е практически примерии най-честите грешки.
Преход от степени с дробни показатели към корени
Да кажем, че имаме число със степенна степен на формата обикновена дроб- a m n . Как да напиша такъв израз като корен?
Отговорът следва от самото определение за степен!
Определение
Положително число a на степен m n е корен n от числото a m.
В този случай трябва да бъде изпълнено следното условие:
а > 0; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.
Дробна степенчислото нула се определя по подобен начин, но в този случай числото m се приема не като цяло число, а като естествено число, така че да не се получава деление на 0:
0 m n = 0 m n = 0 .
В съответствие с определението, степента a m n може да бъде представена като корен a m n .
Например: 3 2 5 = 3 2 5, 1 2 3 - 3 4 = 1 2 3 - 3 4.
Въпреки това, както вече споменахме, не трябва да забравяме за условията: a > 0; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.
По този начин изразът - 8 1 3 не може да бъде представен във формата - 8 1 3, тъй като записът - 8 1 3 просто няма смисъл - степента на отрицателните числа не е дефинирана, освен това самият корен - 8 1 3 има смисъл.
Преходът от степени с изрази в основата и дробни експоненти се извършва по подобен начин в целия диапазон от допустими стойности (наричани по-долу VA) на оригиналните изрази в основата на степента.
Например изразът x 2 + 2 x + 1 - 4 1 2 може да бъде записан като корен квадратен от x 2 + 2 x + 1 - 4. Изразът на степен x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 става изразът x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 за всички x, y, z от ODZ на този израз.
Възможна е и обратна замяна на корени със степен, когато вместо израз с корен се пишат изрази със степен. Просто обръщаме равенството от предходния параграф и получаваме:
Отново преходът е очевиден за положителни числа a. Например 7 6 4 = 7 6 4 или 2 7 - 5 3 = 2 7 - 5 3.
За минус а корените имат смисъл. Например - 4 2 6, - 2 3. Невъзможно е обаче тези корени да се представят под формата на степени - 4 2 6 и - 2 1 3.
Възможно ли е дори да се преобразуват такива изрази със степени? Да, ако направите някои предварителни промени. Нека да разгледаме кои.
Използвайки свойствата на степените, можете да преобразувате израза - 4 2 6 .
4 2 6 = - 1 2 · 4 2 6 = 4 2 6 .
Тъй като 4 > 0, можем да напишем:
В случай на нечетен корен на отрицателно число, можем да напишем:
A 2 m + 1 = - a 2 m + 1 .
Тогава изразът - 2 3 ще приеме формата:
2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .
Нека сега разберем как корените, под които се съдържат изразите, се заменят със степените, съдържащи тези изрази в основата.
Нека означим с буквата А някакъв израз. Ние обаче няма да бързаме да представим A m n във формата A m n . Нека обясним какво се има предвид тук. Например изразът x - 3 2 3, базиран на равенството от първия параграф, бих искал да представя във формата x - 3 2 3. Такава замяна е възможна само за x - 3 ≥ 0, а за останалите x от ODZ не е подходяща, тъй като за отрицателно a формулата a m n = a m n няма смисъл.
Така в разглеждания пример трансформация от формата A m n = A m n е трансформация, която стеснява ODZ и поради неточното прилагане на формулата A m n = A m n често възникват грешки.
За да преминете правилно от корена A m n към степента A m n, трябва да се спазват няколко точки:
- Ако числото m е цяло и нечетно, а n е естествено и четно, тогава формулата A m n = A m n е валидна за цялата ODZ от променливи.
- Ако m е цяло число и нечетно, а n е естествено и нечетно число, тогава изразът A m n може да бъде заменен:
- на A m n за всички стойности на променливи, за които A ≥ 0;
- on - - A m n за за всички стойности на променливи, за които A< 0 ; - Ако m е цяло и четно число и n е всяко естествено число, тогава A m n може да бъде заменено с A m n .
Нека обобщим всички тези правила в таблица и да дадем няколко примера за тяхното използване.
Нека се върнем към израза x - 3 2 3. Тук m = 2 е цяло число и четно число, а n = 3 е естествено число. Това означава, че изразът x - 3 2 3 ще бъде правилно записан във формата:
x - 3 2 3 = x - 3 2 3 .
Нека дадем друг пример с корени и мощности.
Пример. Преобразуване на корен в степен
x + 5 - 3 5 = x + 5 - 3 5, x > - 5 - - x - 5 - 3 5, x< - 5
Нека обосновем резултатите, представени в таблицата. Ако числото m е цяло и нечетно, а n е естествено и четно, за всички променливи от ODZ в израза A m n стойността на A е положителна или неотрицателна (при m > 0). Ето защо A m n = A m n .
Във втория вариант, когато m е цяло число, положително и нечетно, а n е естествено и нечетно, стойностите на A m n са разделени. За променливи от ODZ, за които A е неотрицателно, A m n = A m n = A m n . За променливи, за които A е отрицателно, получаваме A m n = - A m n = - 1 m · A m n = - A m n = - A m n = - A m n .
Нека по подобен начин разгледаме следния случай, когато m е цяло и четно число, а n е всяко естествено число. Ако стойността на A е положителна или неотрицателна, тогава за такива стойности на променливи от ODZ A m n = A m n = A m n . За отрицателно A получаваме A m n = - A m n = - 1 m · A m n = A m n = A m n .
Така в третия случай за всички променливи от ОДЗ можем да запишем A m n = A m n .
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Инженерен калкулатор онлайн
Щастливи сме да дадем на всички безплатен инженерен калкулатор. С негова помощ всеки ученик може бързо и най-важното лесно да изпълнява различни видове математически изчисленияонлайн.
Калкулаторът е взет от сайта - научен калкулатор web 2.0Прост и лесен за използване инженерен калкулатор с ненатрапчив и интуитивен интерфейс ще бъде наистина полезен за широк кръг потребители на Интернет. Сега, когато имате нужда от калкулатор, отидете на нашия уебсайт и използвайте безплатния инженерен калкулатор.
Инженерният калкулатор може да извършва както прости аритметични операции, така и доста сложни математически изчисления.
Web20calc е инженерен калкулатор, който има огромен брой функции, например как да изчислите всички елементарни функции. Калкулаторът също поддържа тригонометрични функции, матрици, логаритми и дори чертане.
Несъмнено Web20calc ще представлява интерес за тази група хора, които търсят прости решениянабира се търсачкизаявка: математическа онлайн калкулатор. Безплатно уеб приложение ще ви помогне незабавно да изчислите резултата от някакъв математически израз, например изваждане, събиране, деление, извличане на корен, повдигане на степен и т.н.
В израза можете да използвате операциите степенуване, събиране, изваждане, умножение, деление, процент и константата PI. За сложни изчисления трябва да се добавят скоби.
Характеристики на инженерния калкулатор:
1. основни аритметични действия;
2. работа с числа в стандартна форма;
3. пресмятане на тригонометрични корени, функции, логаритми, степенуване;
4. статистически изчисления: събиране, средно аритметично или стандартно отклонение;
5. използване на клетки с памет и персонализирани функции на 2 променливи;
6. работа с ъгли в радиани и градуси.
Инженерният калкулатор позволява използването на различни математически функции:
Извличане на корени (квадратен, кубичен и n-ти корен);
ex (e на степен x), експоненциален;
тригонометрични функции: синус - sin, косинус - cos, тангенс - tan;
обратни тригонометрични функции: арксинус - sin-1, аркосинус - cos-1, арктангенс - tan-1;
хиперболични функции: синус - sinh, косинус - cosh, тангенс - tanh;
логаритми: двоичен логаритъм по основа две - log2x, десетичен логаритъмоснова десет - log, натурален логаритъм - ln.
Този инженерен калкулатор включва и калкулатор на стойност с възможност за конвертиране физични величиниЗа различни системиизмервания - компютърни единици, разстояние, тегло, време и др. Използвайки тази функция, можете незабавно да конвертирате мили в километри, паундове в килограми, секунди в часове и т.н.
За да извършите математически изчисления, първо въведете последователността математически изразив съответното поле, след което щракнете върху знака за равенство и вижте резултата. Можете да въвеждате стойности директно от клавиатурата (за това зоната на калкулатора трябва да е активна, следователно би било полезно да поставите курсора в полето за въвеждане). Освен всичко друго, данните могат да се въвеждат с помощта на бутоните на самия калкулатор.
За да изградите графики, трябва да напишете функцията в полето за въвеждане, както е посочено в полето с примери, или да използвате лентата с инструменти, специално предназначена за това (за да отидете до нея, щракнете върху бутона с иконата на графиката). За да преобразувате стойности, щракнете върху Единица за работа с матрици, щракнете върху Матрица.
Примери:
\(\sqrt(16)=2\), тъй като \(2^4=16\)
\(\sqrt(-\frac(1)(125))\) \(=\) \(-\frac(1)(5)\) , тъй като \((-\frac(1)(5) ) ^3\) \(=\) \(-\frac(1)(125)\)
Как да изчислим n-тия корен?
За да изчислите корена на \(n\)-та степен, трябва да си зададете въпроса: какво число на \(n\)-та степен ще бъде дадено под корена?
например. Изчислете \(n\)-тия корен: a)\(\sqrt(16)\); б) \(\sqrt(-64)\); в) \(\sqrt(0,00001)\); d)\(\sqrt(8000)\); д) \(\sqrt(\frac(1)(81))\).
а) Какво число на \(4\) степен ще даде \(16\)? Очевидно \(2\). Ето защо:
б) Какво число на \(3\)-та степен ще даде \(-64\)?
\(\sqrt(-64)=-4\)
в) Какво число на \(5\)-та степен ще даде \(0,00001\)?
\(\sqrt(0,00001)=0,1\)
г) Какво число на \(3\) степен ще даде \(8000\)?
\(\sqrt(8000)=20\)
д) Какво число на \(4\)-та степен ще даде \(\frac(1)(81)\)?
\(\sqrt(\frac(1)(81))=\frac(1)(3)\)
Разгледахме най-простите примери с \(n\)-ия корен. За решаването на по-сложни задачи с корени от \(n\)-та степен е жизненоважно да ги познаваме.
Пример. Изчислете:
|
\(\sqrt 3\cdot \sqrt(-3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(9) -\) \(=\) |
В момента нито един от корените не може да бъде изчислен. Следователно прилагаме свойствата на корена на \(n\)-та степен и трансформираме израза. |
|
|
\(=\sqrt(3)\cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(27)\cdot \sqrt(9)-\sqrt(-32)=\) |
Нека пренаредим факторите в първия член, така че корен квадратени коренът на \(n\)-та степен стояха един до друг. Това ще улесни прилагането на свойства, защото Повечето свойства на \(n\)-ти корени работят само с корени от същата степен. |
|
|
\(=\sqrt(3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(9)-(-5)=\) |
Приложете свойството \(\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)=\sqrt[n](a\cdot b)\) и разгънете скобата |
|
|
\(=\sqrt(81)\cdot \sqrt(-27)+5=\) |
Изчислете \(\sqrt(81)\) и \(\sqrt(-27)\) |
|
|
\(=9\cdot(-3)+5 =-27+5=-22\) |
|
Свързани ли са корен n и корен квадратен?
Във всеки случай всеки корен от каквато и да е степен е просто число, макар и написано в непозната за вас форма.
n-та коренна особеност
Коренът на \(n\)-та степен с нечетно \(n\) може да бъде извлечен от всяко число, дори отрицателно (вижте примерите в началото). Но ако \(n\) е четен (\(\sqrt(a)\), \(\sqrt(a)\),\(\sqrt(a)\)…), тогава такъв корен се извлича само ако \( a ≥ 0\) (между другото, същото важи и за квадратния корен). Това се дължи на факта, че извличането на корен е обратното на повдигането на степен.
И повдигането на четна степен прави дори отрицателно число положително. Наистина, \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). Следователно не можем да получим четна степен на отрицателно число под корена. Това означава, че не можем да извлечем такъв корен от отрицателно число.
Нечетната степен няма такива ограничения - отрицателно число, повишено на нечетна степен, ще остане отрицателно: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (- 2) \ cdot (-2)=-32\). Следователно под корена на нечетна степен можете да получите отрицателно число. Това означава, че е възможно да се извлече и от отрицателно число.
От тази статия ще научите:
- какво е „извличане на корен“;
- в какви случаи се отстранява;
- принципи за намиране на коренната стойност;
- основни методи за извличане на корени от естествени и дробни числа.
Какво е "извличане на корен"
Първо, нека представим определението за „извличане на корен“.
Определение 1
Извличането на корен е процес на намиране на стойността на корена.
При извличане на корен n -та степенот числото a намираме числото b, чиято n-та степен е равна на a. Ако намерим такова число b, можем да кажем, че коренът е извлечен.
Бележка 1
Изразите „извличане на корена“ и „намиране на стойността на корена“ са еквивалентни.
В какви случаи се извлича коренът?
Определение 2Коренът n-ти от число може да бъде извлечен точно, ако a може да бъде представено като n-та степен на някакво число b.
Пример 1
4 = 2 × 2, следователно квадратният корен от числото 4 може да бъде точно взет, което е 2
Определение 3
Когато n-тият корен на число не може да бъде представен като n-та степен на b, тогава такъв корен не е извлеченаили извлича се само приблизителна стойност коренс точност до всеки десетичен знак.
Пример 2
2 ≈ 1 , 4142 .
Принципи за намиране на коренни стойности и методи за извличането им
- Използване на таблица с квадрати, таблица с кубове и др.
- Разлагане на радикален израз (число) на основни фактори
- Вземане на корен от отрицателно число
Необходимо е да се разбере по какви принципи се намира значението на корените и как се извличат.
Определение 4
Основният принцип за намиране на стойността на корените е да се основава на свойствата на корените, включително равенството: b n n = b, което е валидно за всяко неотрицателно число b.
Трябва да започнете с най-простия и очевиден метод: таблици с квадрати, кубчета и др.
Когато нямате таблица под ръка, методът за разлагане на радикално число на прости множители ще ви помогне (методът е прост).
Струва си да се обърне внимание на извличането на корена на отрицателно число, което е възможно за корени с нечетни показатели.
Нека научим как да извличаме корени от дроби, включително смесени числа, дроби и десетични знаци.
И ние бавно ще разгледаме метода за намиране на стойността на корена малко по малко - най-сложният и многоетапен.
С помощта на таблица с квадрати, кубчета и др.
Таблицата с квадрати включва всички числа от 0 до 99 и се състои от 2 зони: в първата зона можете да съставите произволно число до 99, като използвате вертикална колона с десетици и хоризонтален ред с единици, втората зона съдържа всички квадратчета на образуваните числа.
Таблица с квадрати
| Таблица с квадрати | единици | ||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
| десетки | 0 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
| 1 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 | |
| 2 | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 | 676 | 729 | 784 | 841 | |
| 3 | 900 | 961 | 1024 | 1089 | 1156 | 1225 | 1296 | 1369 | 1444 | 1521 | |
| 4 | 1600 | 1681 | 1764 | 1849 | 1936 | 2025 | 2116 | 2209 | 2304 | 2041 | |
| 5 | 2500 | 2601 | 2704 | 2809 | 2916 | 3025 | 3136 | 3249 | 3364 | 3481 | |
| 6 | 3600 | 3721 | 3844 | 3969 | 4096 | 4225 | 4356 | 4489 | 4624 | 4761 | |
| 7 | 4900 | 5041 | 5184 | 5329 | 5476 | 5625 | 5776 | 5929 | 6084 | 6241 | |
| 8 | 6400 | 6561 | 6724 | 6889 | 7056 | 7225 | 7396 | 7569 | 7744 | 7921 | |
| 9 | 8100 | 8281 | 8464 | 8649 | 8836 | 9025 | 9216 | 9409 | 9604 | 9801 | |
Има и таблици на кубчета, четвърти степени и др., които са създадени на принцип, подобен на таблицата на квадратите.
Куб маса
| Кубична маса | единици | ||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
| десетки | 0 | 0 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 |
| 1 | 1000 | 1 331 | 1 728 | 2 197 | 2 744 | 3 375 | 4 096 | 4 913 | 5 832 | 6 859 | |
| 2 | 8000 | 9 261 | 10 648 | 12 167 | 13 824 | 15 625 | 17 576 | 19 683 | 21 952 | 24 389 | |
| 3 | 27000 | 29 791 | 32 768 | 35 937 | 39 304 | 42 875 | 46 656 | 50 653 | 54 872 | 59 319 | |
| 4 | 64000 | 68 921 | 74 088 | 79 507 | 85 184 | 91 125 | 97 336 | 103 823 | 110 592 | 117 649 | |
| 5 | 125000 | 132 651 | 140 608 | 148 877 | 157 464 | 166 375 | 175 616 | 185 193 | 195 112 | 205 379 | |
| 6 | 216000 | 226 981 | 238 328 | 250 047 | 262 144 | 274 625 | 287 496 | 300 763 | 314 432 | 328 509 | |
| 7 | 343000 | 357 911 | 373 248 | 389 017 | 405 224 | 421 875 | 438 976 | 456 533 | 474 552 | 493 039 | |
| 8 | 512000 | 531 441 | 551 368 | 571 787 | 592 704 | 614 125 | 636 056 | 658 503 | 681 472 | 704 969 | |
| 729000 | 753 571 | 778 688 | 804 357 | 830 584 | 857 375 | 884 736 | 912 673 | 941 192 | 970 299 | ||
Принципът на работа на такива таблици е прост, но те често не са под ръка, което значително усложнява процеса на извличане на корени, така че трябва да знаете поне няколко метода за извличане на корени.
Разлагане на радикално число на прости множители
Най-удобният начин за намиране на коренната стойност след таблица с квадрати и кубове.
Определение 5
Методът за разлагане на радикално число на прости множители включва представяне на числото като степен с необходимия показател, което ни позволява да получим стойността на корена.
Пример 3
Нека вземем корен квадратен от 144.
Нека разложим 144 на прости множители:
Така: 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = (2 × 2) 2 × 3 2 = (2 × 2 × 3) 2 = 12 2. Следователно 144 = 12 2 = 12.
Освен това, когато използвате свойствата на степени и корени, можете да напишете трансформацията малко по-различно:
144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2 4 × 3 2 = 2 4 × 3 2 = 2 2 × 3 = 12
144 = 12 е крайният отговор.
Извличане на корени от дробни числа
Да си припомним: всякакви дробно числотрябва да се запише като обикновена дроб.
Определение 6
Следвайки свойството на корен от частно, е валидно следното равенство:
p q n = p n q n . Въз основа на това равенство е необходимо да се използва правило за извличане на корен от дроб:Коренът на дроб е равен на корена на числителя, разделен на корена на знаменателя.
Пример 4
Нека разгледаме пример за извличане на корен от десетична дроб, тъй като можете да извлечете корен от обикновена дроб с помощта на таблица.
Необходимо е да се извлече кубичният корен от 474, 552. Първо, нека си представим десетичен знакв обикновена форма: 474, 552 = 474552 / 1000. От това следва: 474552 1000 3 = 474552 3 1000 3. След това можете да започнете процеса на извличане на кубичните корени на числителя и знаменателя:
474552 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 13 × 13 × 13 = (2 × 3 × 13) 3 = 78 3 и 1000 = 10 3, тогава
474552 3 = 78 3 3 = 78 и 1000 3 = 10 3 3 = 10.
Завършваме изчисленията: 474552 3 1000 3 = 78 10 = 7, 8.
Извличане на корен от отрицателни числа
Ако знаменателят е нечетно число, тогава числото под знака за корен може да е отрицателно. От това следва: за отрицателно число - a и нечетен показател на корен 2 n - 1 е в сила следното равенство:
A 2 × n - 1 = - a 2 × n - 1
Определение 7
Правило за извличане на нечетни степени от отрицателни числа:За да извлечете корена на отрицателно число, трябва да вземете корена на противоположното положително число и да поставите знак минус пред него.
Пример 5
12 209 243 5. Първо, трябва да трансформирате израза, така че да има положително число под знака за корен:
12 209 243 5 = 12 209 243 - 5
След това трябва да замените смесеното число с обикновена дроб:
12 209 243 - 5 = 3125 243 - 5
Използвайки правилото за извличане на корени от обикновена дроб, извличаме:
3125 243 - 5 = - 3125 5 243 5
Изчисляваме корените в числителя и знаменателя:
3125 5 243 5 = - 5 5 5 3 5 5 = - 5 3 = - 1 2 3
Кратко резюме на решението:
12 209 243 5 = 12 209 243 - 5 = 3125 243 - 5 = - 3125 5 243 5 = - 5 5 5 3 5 5 = - 5 3 = - 1 2 3 .
Отговор: - 12 209 243 5 = - 1 2 3.
Побитово определяне на коренната стойност
Има случаи, когато под корена има число, което не може да бъде представено като n-та степен на определено число. Но е необходимо да се знае стойността на корена с точност до определен знак.
В този случай е необходимо да използвате алгоритъм за намиране на стойността на корена бит по бит, с който можете да получите достатъчно количествостойности на желаното число.
Пример 6
Нека да разгледаме как се случва това, използвайки примера за извличане на корен квадратен от 5.
Първо трябва да намерите стойността на цифрата на единиците. За да направите това, нека започнем да преминаваме през стойностите 0, 1, 2, . . . , 9 , докато изчисляваме 0 2 , 1 2 , . . . , 9 2 до търсената стойност, която е по-голяма от радикалното число 5. Удобно е да представите всичко това под формата на таблица:
Стойността на поредица от единици е 2 (тъй като 2 2< 5 , а 2 3 >5). Нека преминем към категорията на десетите - ще повдигнем на квадрат числата 2, 0, 2, 1, 2, 2, . . . , 2, 9, сравнявайки получените стойности с числото 5.
От 2, 2 2< 5 , а 2 , 3 2 >5, тогава стойността на десетите е 2. Нека да преминем към намиране на стойността на стотните:
Така се намира стойността на корен от пет - 2, 23. Можете да намерите коренните стойности допълнително:
2 , 236 , 2 , 2360 , 2 , 23606 , 2 , 236067 , . . .
И така, проучихме няколко от най-често срещаните начини за намиране на стойността на корена, която може да се използва във всяка ситуация.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Пак погледнах табелата... И, да тръгваме!
Да започнем с нещо просто:
Само минутка. това, което означава, че можем да го напишем така:
Разбра ли? Ето следващия за вас:
Корените на получените числа не са ли точно извлечени? Няма проблем – ето няколко примера:
Ами ако има не два, а повече множители? същото! Формулата за умножение на корени работи с произволен брой фактори:
Вече напълно сам:
Отговори:браво! Съгласете се, всичко е много лесно, основното е да знаете таблицата за умножение!
Коренно деление
Подредихме умножението на корените, сега нека преминем към свойството на делението.
Напомням, че формулата в общ изгледизглежда така:
Което означава, че коренът на частното е равен на частното на корените.
Е, нека да разгледаме някои примери:
Това е цялата наука. Ето един пример:
Всичко не е толкова гладко, колкото в първия пример, но, както можете да видите, няма нищо сложно.
Ами ако срещнете този израз:
Просто трябва да приложите формулата в обратна посока:
И ето един пример:
Може да срещнете и този израз:
Всичко е същото, само тук трябва да запомните как да превеждате дроби (ако не си спомняте, погледнете темата и се върнете!). помниш ли Сега да решим!
Сигурен съм, че сте се справили с всичко, сега нека се опитаме да вдигнем корените до степен.
степенуване
Какво се случва, ако квадратният корен се повдигне на квадрат? Просто е, запомнете значението на корен квадратен от число – това е число, чийто корен квадратен е равен на.
И така, ако повдигнем на квадрат число, чийто квадратен корен е равен, какво получаваме?
Ами разбира се!
Нека да разгледаме примери:
Просто е, нали? Ами ако коренът е на различна степен? Всичко е наред!
Следвайте същата логика и запомнете свойствата и възможните действия със степени.
Прочетете теорията по темата "" и всичко ще ви стане пределно ясно.
Ето например следния израз:
В този пример степента е четна, но какво ще стане, ако е нечетна? Отново приложете свойствата на степените и факторизирайте всичко:
Всичко изглежда ясно с това, но как да извлечете корена на число на степен? Ето например това:
Доста просто, нали? Ами ако степента е повече от две? Следваме същата логика, използвайки свойствата на степените:
Е, всичко ясно ли е? След това решете сами примерите:
А ето и отговорите:
Влизане под знака на корена
Какво ли не се научихме да правим с корените! Остава само да се упражнявате да въвеждате числото под корена!
Наистина е лесно!
Да кажем, че имаме записано число
Какво можем да направим с него? Е, разбира се, скрийте тройката под корена, като помните, че тройката е корен квадратен от!
Защо имаме нужда от това? Да, само за да разширим нашите възможности при решаване на примери:
Как ви харесва това свойство на корените? Прави ли живота много по-лесен? За мен е точно така! само Трябва да помним, че можем да въвеждаме само положителни числа под знака за квадратен корен.
Решете този пример сами -
успяхте ли Да видим какво трябва да получите:
браво! Успяхте да въведете номера под корен! Нека да преминем към нещо също толкова важно - нека да разгледаме как да сравняваме числа, съдържащи квадратен корен!
Сравнение на корените
Защо трябва да се научим да сравняваме числа, които съдържат квадратен корен?
Много просто. Често в големи и дълги изрази, срещани на изпита, получаваме ирационален отговор (помните ли какво е това? Вече говорихме за това днес!)
Трябва да поставим получените отговори на координатната линия, например, за да определим кой интервал е подходящ за решаване на уравнението. И тук възниква проблемът: в изпита няма калкулатор, а без него как можете да си представите кое число е по-голямо и кое по-малко? това е!
Например, определете кое е по-голямо: или?
Не можете да кажете веднага. Добре, нека използваме свойството disassembled за въвеждане на число под знака на корена?
Тогава продължете напред:
Е, очевидно какво по-голям бройпод знака на корена, толкова по-голям е самият корен!
Тези. ако, тогава,.
От това твърдо заключаваме, че. И никой няма да ни убеди в обратното!
Извличане на корени от големи числа
Преди това въведохме множител под знака на корена, но как да го премахнем? Просто трябва да го разделите на фактори и да извлечете това, което извлечете!
Възможно е да се поеме по различен път и да се разшири в други фактори:
Не е лошо, нали? Всеки от тези подходи е правилен, решете както желаете.
Факторингът е много полезен при решаването на такива нестандартни проблеми като този:
Да не се страхуваме, а да действаме! Нека разложим всеки фактор под корена на отделни фактори:
Сега опитайте сами (без калкулатор! Няма да бъде на изпита):
това ли е краят Нека не спираме на половината път!
Това е всичко, не е толкова страшно, нали?
проработи ли Браво, точно така!
Сега опитайте този пример:
Но примерът е труден за разбиване, така че не можете веднага да разберете как да подходите към него. Но, разбира се, можем да се справим.
Е, да започнем факторизирането? Нека веднага да отбележим, че можете да разделите число на (помнете знаците за делимост):
Сега опитайте сами (отново без калкулатор!):
Е, получи ли се? Браво, точно така!
Нека обобщим
- Корен квадратен (аритметичен корен квадратен) от неотрицателно число е неотрицателно число, чийто квадрат е равен на.
. - Ако просто вземем корен квадратен от нещо, винаги получаваме един неотрицателен резултат.
- Свойства аритметичен корен:
- При сравнение квадратни коренинеобходимо е да запомните, че колкото по-голямо е числото под знака на корена, толкова по-голям е самият корен.
Как е квадратният корен? всичко ясно ли е
Опитахме се да ви обясним без никакви проблеми всичко, което трябва да знаете на изпита за корен квадратен.
Сега е ваш ред. Пишете ни дали тази тема е трудна за вас или не.
Научихте ли нещо ново или вече всичко беше ясно?
Пишете в коментарите и успех на изпитите!