Неравенствое запис, в който числа, променливи или изрази са свързани със знак<, >, или . Тоест неравенството може да се нарече сравнение на числа, променливи или изрази. Знаци < , > , ⩽ И ⩾ се наричат знаци за неравенство.
Видове неравенства и как се четат:
Както се вижда от примерите, всички неравенства се състоят от две части: лява и дясна, свързани с един от знаците за неравенство. В зависимост от знака, свързващ частите на неравенствата, те се делят на строги и нестроги.
Строги неравенства- неравенства, чиито части са свързани със знак< или >. Нестроги неравенства- неравенства, в които частите са свързани със знака или.
Нека разгледаме основните правила за сравнение в алгебрата:
- Всяко положително число, по-голямо от нула.
- Всякакви отрицателно числопо-малко от нула.
- От две отрицателни числа по-голямо е това, чиято абсолютна стойност е по-малка. Например, -1 > -7.
- аИ bположителен:
а - b > 0,
това аповече b (а > b).
- Ако разликата от две неравни числа аИ bотрицателен:
а - b < 0,
това апо-малко b (а < b).
- Ако числото е по-голямо от нула, то е положително:
а> 0, което означава а- положително число.
- Ако числото е по-малко от нула, то е отрицателно:
а < 0, значит а- отрицателно число.
Еквивалентни неравенства- неравенства, които са следствие от други неравенства. Например ако апо-малко b, Това bповече а:
а < bИ b > а- еквивалентни неравенства
Свойства на неравенствата
- Ако добавите едно и също число към двете страни на неравенство или извадите едно и също число от двете страни, получавате еквивалентно неравенство, т.е.
Ако а > b, Това а + c > b + c И а - c > b - c
От това следва, че е възможно да се прехвърлят членове на неравенството от една част в друга с противоположен знак. Например добавяне към двете страни на неравенството а - b > c - d от d, получаваме:
а - b > c - d
а - b + d > c - d + d
а - b + d > c
- Ако двете страни на неравенството се умножат или разделят на едно и също положително число, тогава се получава еквивалентно неравенство, т.е.
- Ако двете страни на неравенството се умножат или разделят на едно и също отрицателно число, тогава ще се получи неравенството, противоположно на даденото, т.е. Следователно, когато се умножават или разделят двете части на неравенството с отрицателно число, знакът на неравенството трябва да се промени на противоположното.
Това свойство може да се използва за промяна на знаците на всички членове на неравенство чрез умножаване на двете страни по -1 и промяна на знака на неравенството на противоположния:
-а + b > -c
(-а + b) · -1< (-c) · -1
а - b < c
Неравенство -а + b > -c равносилно на неравенство а - b < c
Общински бюджет учебно заведение"Качалинская средно училище № 2"
Иловлински район, Волгоградска област
Разработване на урок с помощта на интерактивна дъска
алгебра за ученици от 8 клас
по темата"Числени неравенства"
учител по математика
Постоева Ж.В.
Станица Качалинская
2009 г
Разработен е урок на тема „Числени неравенства” за ученици от 8 клас по учебника „Алгебра” на Ю.Н.Макаричев.
Цели:
Продължете да подобрявате уменията си в използването на формули за съкратено умножение. Изведете метод за сравняване на числа и буквални изрази. Да се постигне от учениците способност да прилагат знания за изпълнение на задачи от стандартен тип ( тренировъчни упражнения), реконструктивно-вариативен тип, творчески тип;
Развитие на умения за прилагане на знанията в конкретна ситуация; развитие логическо мислене, умения за сравняване, обобщаване, правилно формулиране на задачи и изразяване на мисли; развитие самостоятелна дейностстуденти.
Култивиране на интерес към предмета чрез съдържание учебен материал, възпитаване на такива качества на характера като общуване при работа в група, постоянство в постигането на целите.
Тип урок: изучаване на нов материал.
форма: урок - изследване.
Оборудване:
Интерактивна дъскаи мултимедийно оборудване
Структура на урока
Етап на урока
Екранна снимка на прозореца на програмата Бележник
За работа в час учениците се настаняват в групи от по 3-4 човека.
Съобщение за темата на урока
Съобщаване на целите и задачите на урока.
Активиране на знанията и уменията на учениците, необходими за възприемане на нови знания.
Чрез примери се повтарят формулите за съкратено умножение и сравнение на различни числа:
Обикновени дробис еднакви числители,
Обикновени дроби с различни знаменатели,
Правилно и неправилни дроби.
Естествено
Десетични знаци
Обикновени дроби
първиномерът беше по-малко второ, а разликата беше отрицателен .
Устна работа за сравняване на различни числа:
Естествено
Десетични знаци
Обикновени дроби
и сравняване на получените разлики с нула.
За сравнение са взети следните числа, така че първиномерът беше повече второ, а разликата беше положителен .
Зад завесата се крие заключение, до което учениците трябва да стигнат сами.
Устна работа за сравняване на различни числа:
Десетични знаци
Обикновени дроби
и сравняване на получените разлики с нула.
За сравнение са взети следните числа, така че първиномерът беше равни второ, а разликата беше равно на нула .
Зад завесата се крие заключение, до което учениците трябва да стигнат сами.
Учителят предлага да се направи устно упражнение за сравняване на числата, ако разликата им е известна.
Ако учениците се затрудняват да отговорят, зад екрана има подсказка, която могат да използват.
Това упражнение се изпълнява и устно. Учениците трябва да аргументират отговора си.
Учител: кой може да формулира: кога едно число е по-голямо от друго;
когато едно число е по-малко от друго
когато две числа са равни.
Кой може да ми каже какво да направя, за да сравня две числа?
Скрито зад завесата е изявление за това как да се сравняват числата, което се разкрива, след като учениците отговорят.
За доказателство е даден пример - сравняване на два буквални израза. Доказателството се извършва заедно с учениците, докато учителят постепенно отваря завесата.
Учителят отново се връща към формулирането на метода за сравняване на числа.
Упражнение No 728 е дадено за прилагане на знания Учениците изпълняват задачи а) и б) упражнения в тетрадките и на дъската с коментар на решението. Задачи в) и г) се изпълняват самостоятелно в групи.
Учителят преглежда решенията по групи и отговаря на въпросите на учениците.
Задача а) учениците решават на дъската и в тетрадките, б) трябва да я решат устно с коментари, в) - самостоятелно.
Учениците изпълняват задачи а) и б) групово. Учителят преглежда решенията и един от групата обяснява решението.
Задача г) се изпълнява на дъската с коментари.
За затвърждаване на новия материал на учениците се задават въпроси и след отговора им иззад екрана се изваждат правила за повторение. визуално възприятие.
Обобщение на урока: коментари за работата на учениците в клас, оценяване, запис домашна работав дневници.
Неравенствата играят важна роля в математиката. В училище основно се занимаваме с числови неравенства, с чието определение ще започнем тази статия. И тогава ще изброим и обосновем свойства на числените неравенства, на които се основават всички принципи на работа с неравенства.
Нека веднага да отбележим, че много свойства на числените неравенства са сходни. Затова ще представим материала по същата схема: формулираме свойство, даваме неговата обосновка и примери, след което преминаваме към следващото свойство.
Навигация в страницата.
Числени неравенства: определение, примери
Когато въведохме понятието неравенство, забелязахме, че неравенствата често се определят от начина, по който са написани. Така че нарекохме неравенства смислени алгебрични изрази, съдържащи знаците, които не са равни на ≠, по-малко от<, больше >, по-малко или равно на ≤ или по-голямо или равно на ≥. Въз основа на горната дефиниция е удобно да се даде дефиниция на числово неравенство:
Срещата с числовите неравенства се случва в часовете по математика в първи клас, непосредствено след запознаването с първите естествени числа от 1 до 9 и запознаването с операцията сравнение. Вярно е, че там те се наричат просто неравенства, като се пропуска определението за „числово“. За по-голяма яснота няма да навреди да дадем няколко примера за най-простите числени неравенства от този етап на тяхното изследване: 1<2 , 5+2>3 .
И по-нататък от естествени числазнанието се простира до други видове числа (цели числа, рационални числа, реални числа), изследват се правилата за тяхното съпоставяне, което значително разширява видовото разнообразие на числените неравенства: −5>−72, 3>−0,275·(7−5,6) , .
Свойства на числените неравенства
На практика работата с неравенства позволява редица свойства на числените неравенства. Те следват от понятието неравенство, което въведохме. По отношение на числата тази концепция се дава от следното твърдение, което може да се счита за дефиниция на отношенията „по-малко от“ и „повече от“ върху набор от числа (често се нарича дефиниция на разликата на неравенството):
Определение.
- номер а повече брой b тогава и само ако разликата a−b е положително число;
- числото a е по-малко от числото b тогава и само ако разликата a−b е отрицателно число;
- числото a е равно на числото b тогава и само ако разликата a−b е нула.
Това определение може да бъде преработено в дефиницията на отношенията „по-малко или равно на“ и „по-голямо или равно на“. Ето неговата формулировка:
Определение.
- номер a е по-голямо или равно на b тогава и само ако a−b е неотрицателно число;
- a е по-малко или равно на b тогава и само ако a−b е неположително число.
Ще използваме тези дефиниции при доказване на свойствата на числените неравенства, към прегледа на които пристъпваме.
Основни свойства
Започваме прегледа с три основни свойства на неравенствата. Защо са основни? Защото те са отражение на свойствата на неравенствата в най-общ смисъл, а не само по отношение на числените неравенства.
Числени неравенства, записани със знаци< и >, характеристика:
Що се отнася до числените неравенства, записани с помощта на слабите знаци за неравенство ≤ и ≥, те имат свойството рефлексивност (а не антирефлексивност), тъй като неравенствата a≤a и a≥a включват случая на равенство a=a. Те също се характеризират с антисиметрия и транзитивност.
И така, числените неравенства, записани със знаците ≤ и ≥, имат следните свойства:
- рефлексивност a≥a и a≤a са верни неравенства;
- антисиметрия, ако a≤b, тогава b≥a, и ако a≥b, тогава b≤a.
- транзитивност, ако a≤b и b≤c, тогава a≤c, и също така, ако a≥b и b≥c, тогава a≥c.
Доказателството им е много подобно на вече дадените, така че няма да се спираме на тях, а ще преминем към други важни свойства на числовите неравенства.
Други важни свойства на числовите неравенства
Нека допълним основните свойства на числените неравенства с поредица от резултати, които имат голям практическо значение. Методите за оценка на стойностите на изразите се основават на тях; принципите се основават на тях решения на неравенстваи т.н. Затова е препоръчително да ги разберете добре.
В този раздел ще формулираме свойствата на неравенствата само за един знак за строго неравенство, но си струва да се има предвид, че подобни свойства ще бъдат валидни за противоположния знак, както и за признаци на нестроги неравенства. Нека обясним това с пример. По-долу формулираме и доказваме следното свойство на неравенствата: ако a
За удобство ще представим свойствата на числените неравенства под формата на списък, докато ще дадем съответното твърдение, ще го напишем официално с букви, ще дадем доказателство и след това ще покажем примери за употреба. И в края на статията ще обобщим всички свойства на числените неравенства в таблица. да тръгваме!
Последица. Почленно умножение на еднакви верни неравенства от вида a
Добавянето (или изваждането) на което и да е число към двете страни на истинско числово неравенство дава вярното числено неравенство. С други думи, ако числата a и b са такива, че a
За да го докажем, нека съставим разликата между лявата и дясната страна на последното числено неравенство и да покажем, че то е отрицателно при условие a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Тъй като по условие а
Ние не се спираме на доказателството на това свойство на числените неравенства за изваждане на число c, тъй като в множеството от реални числа изваждането може да бъде заменено с добавяне на −c.
Например, ако добавите числото 15 към двете страни на правилното числово неравенство 7>3, ще получите правилното числово неравенство 7+15>3+15, което е едно и също нещо, 22>18.
Ако двете страни на валидно числово неравенство се умножат (или разделят) по едно и също положително число c, получавате валидно числено неравенство. Ако двете страни на неравенството се умножат (или разделят) по отрицателно число c и знакът на неравенството е обърнат, тогава неравенството ще бъде вярно. В буквален вид: ако числата a и b удовлетворяват неравенството a b·c.
Доказателство. Нека започнем със случая, когато c>0. Нека компенсираме разликата между лявата и дясната страна на доказваното числово неравенство: a·c−b·c=(a−b)·c . Тъй като по условие а 0 , тогава произведението (a−b)·c ще бъде отрицателно число като произведение на отрицателно число a−b и положително число c (което следва от ). Следователно a·c−b·c<0
, откуда a·c Ние не се спираме на доказателството на разглежданото свойство за деление на двете страни на истинско числово неравенство с едно и също число c, тъй като делението винаги може да бъде заменено с умножение по 1/c. Нека да покажем пример за използване на анализираното свойство върху конкретни числа. Например, можете да имате и двете страни на правилното числено неравенство 4<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. От току-що обсъденото свойство за умножаване на двете страни на числово равенство по число следват два практически ценни резултата. Затова ги формулираме под формата на следствия. Всички свойства, разгледани по-горе в този параграф, се обединяват от факта, че първо се дава правилно числово неравенство, а от него чрез някои манипулации с частите на неравенството и знака се получава друго правилно числово неравенство. Сега ще представим блок от свойства, в които първоначално са дадени не едно, а няколко правилни числени неравенства, а от съвместното им използване се получава нов резултат след събиране или умножаване на техните части. Ако числата a, b, c и d удовлетворяват неравенствата a
Нека докажем, че (a+c)−(b+d) е отрицателно число, това ще докаже, че a+c Чрез индукция това свойство се разширява до член по член добавяне на три, четири и като цяло всеки краен брой числови неравенства. И така, ако за числата a 1, a 2, …, a n и b 1, b 2, …, b n са верни следните неравенства: a 1 a 1 +a 2 +…+a n . Например, дадени са ни три правилни числови неравенства с еднакъв знак −5<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Можете да умножите числови неравенства на един и същи знак член по член, двете страни на които са представени с положителни числа. По-специално, за две неравенства a
За да го докажете, можете да умножите двете страни на неравенството a
Това свойство е вярно и за умножението на всеки краен брой истински числени неравенства с положителни части. Тоест, ако a 1, a 2, …, a n и b 1, b 2, …, b n са положителни числа и a 1 a 1 a 2…a n . Отделно, заслужава да се отбележи, че ако нотацията за числови неравенства съдържа неположителни числа, тогава тяхното умножение по термин може да доведе до неправилни числени неравенства. Например числени неравенства 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство.
В края на статията, както обещахме, ще съберем всички проучени имоти в таблица на свойствата на числените неравенства:
Референции.
- Моро М.И.. Математика. Учебник за 1 клас. начало училище В 2 ч. Част 1. (Първо полугодие) / М. И. Моро, С. И. Волкова, С. В. Степанова - 6 изд. - М.: Образование, 2006. - 112 с.: ил.+Добавяне. (2 отделни л. ил.). - ISBN 5-09-014951-8.
- Математика: учебник за 5 клас. общо образование институции / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21 изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
- Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
Урок 8 клас на тема „Числени неравенства“
Цели:
Образователни: запознайте се с определението на понятията „повече“ и „по-малко“, числови неравенства, научете как да ги прилагате при доказване на неравенства;
Развитие: развиват способността да използват теоретични знания при решаване на практически проблеми, способността да анализират и обобщават получените данни; развийте познавателен интерес към математиката, разширете хоризонтите си;
Образователни: формиране на положителна мотивация за учене.
Напредък на урока:
1. Подготовка и мотивация.
Днес започваме да изучаваме важната и актуална тема „Числени неравенства“. Ако леко променим думите на великия китайски учител Конфуций (живял преди повече от 2400 години), можем да формулираме задачата на нашия урок: „Чувам и забравям. Виждам и помня. Да и разбирам.Нека заедно формулираме целта на урока. (Учениците формулират цел, учителят допълва).
Изучете числените неравенства и тяхната дефиниция и научете как да ги прилагате на практика.
На практика често се налага да сравняваме стойности. Например площта на Русия (17 098 242 ) и площта на френската територия (547 030 ) , дължината на река Ока (1500 км) и дължината на река Дон (1870 км).
2.Актуализиране на основни знания .
Момчета, нека си припомним всичко, което знаем за неравенствата.
Момчета, погледнете дъската и сравнете:
3.6748 и 3.675
36.5810 и 36.581
и 0,45
5,5 и
15 и -23
115 и -127
Какво е неравенството?
неравенство -връзка между числа (или всеки математически израз, способен да приеме числова стойност), показваща кое е по-голямо или по-малко от друго.
Знаците за неравенство (›; ‹) се появяват за първи път през 1631 г., но понятието неравенство, подобно на понятието равенство, възниква в древни времена. В развитието на математическата мисъл, без сравняване на количествата, без понятията „повече“ и „по-малко“, беше невъзможно да се достигне до концепцията за равенство, идентичност или уравнение.
Какви правила са използвани за сравняване на числа?
а) от две положителни числа по-голямо е това, чийто модул е по-голям;
б) от две отрицателни числа по-голямо е това, чийто модул е по-малък;
в) всяко отрицателно число е по-малко от положително число;
г) всяко положително число, по-голямо от нула;
д) всяко отрицателно число е по-малко от нула.
Какво правило използваме, за да сравняваме числата, разположени на координатна права?
(На координатна права по-голямото число е представено от точка, разположена отдясно, а по-малкото число от точка, разположена отляво.)
Имайте предвид, че в зависимост от конкретния тип числа използвахме един или друг метод за сравнение. Неудобно е. За нас би било по-лесно да имаме универсален начин за сравняване на числа, който да обхваща всички случаи.
3. Изучаване на нов материал.
Подредете числата във възходящ ред: 8; 0; -3; -1,5.
Кое е най-малкото число? Кое е най-голямото число?
Какви числа могат да бъдат заменени вместо тяхаИb?
a – b =8
a – b =-3
a – b =-8
a – b =1,5
a – b = 0
Моля, имайте предвид, че когато извадите по-малко число от по-голямо число, получавате положително число; Когато извадите по-голямо число от по-малко число, получавате отрицателно число.
Универсален начин за сравняване на числа се основава на определението за числови неравенства: Числоаповече бройb, ако разликатаа – b– положително число; числото a е по-малко от числотоb, ако разликатаа – b– отрицателно число. Имайте предвид, че ако разликатаа – b= 0, тогава числата a иbса равни.
4. Затвърдяване на нов материал.
Сравнете числата a иb, ако:
А) а –b= - 0,8 (и по-малкоb, защото разлика – отрицателно число)
Б) а –b= 0 (a =b)
Б) а –b= 5.903 (и повечеb, защото разлика – положително число).
Решете с обяснение на дъската № 724, 725 (устно), 727 (ако времето позволява), 728 (а, г), 729 (в, г), 730, 732.
5. Обобщение на урока. D/z. научих деф. № 726, 728 (a, d), 729 (c, d), 731.
Момчета, днес в клас повторихме вече изучения материал за неравенствата и научихме много за неравенствата.
1) Какво е „неравенство“?
2) Как да сравним две числа?
3) Момчета, вдигнете ръце, кой имаше трудности в урока?