Тема: Аритметика и геометрична прогресия
Клас: 9
Система за обучение: материал за подготовка на изучаването на теми по алгебра и подготвителен етапза доставка OGE изпит
Цел: формиране на понятията за аритметична и геометрична прогресия
Задачи: научете да разграничавате видовете прогресия, преподавайте правилно, използвайте формули
Аритметична прогресияиме на поредица от числа (условия на прогресия)
при което всеки следващ термин се различава от предходния с нов член, който също се нарича стъпка или разлика в прогресията.
По този начин, като посочите стъпката на прогресията и нейния първи член, можете да намерите всеки от нейните елементи, използвайки формулата
1) Всеки член на аритметична прогресия, започвайки от второто число, е средноаритметичното на предишния и следващия член на прогресията
Обратното също е вярно. Ако средноаритметичното на съседни нечетни (четни) членове на една прогресия е равно на члена, който стои между тях, тогава тази последователност от числа е аритметична прогресия. Използвайки това твърдение, е много лесно да проверите всяка последователност.
Освен това, чрез свойството на аритметичната прогресия, горната формула може да се обобщи до следното
Това е лесно да се провери, ако напишете условията отдясно на знака за равенство
Често се използва на практика за опростяване на изчисленията при проблеми.
2) Сумата от първите n члена на аритметична прогресия се изчислява с помощта на формулата
Запомнете добре формулата за сумата на аритметичната прогресия, тя е незаменима при изчисленията и доста често се среща в прости житейски ситуации.
3) Ако трябва да намерите не цялата сума, а част от редицата, започвайки от нейния k-ти член, тогава следната формула за сумата ще ви бъде полезна
4) От практически интерес е намирането на сумата от n членове на аритметична прогресия, започваща от k-то число. За да направите това, използвайте формулата
Намерете четиридесетия член на аритметичната прогресия 4;7;...
Решение:
Според състоянието, което имаме
Нека определим стъпката на прогресия
Използвайки добре позната формула, намираме четиридесетия член на прогресията
Аритметична прогресиясе дава от неговия трети и седми член. Намерете първия член на прогресията и сбора от десет.
Решение:
Нека запишем дадените елементи на прогресията с помощта на формулите
Аритметична прогресия се дава от знаменател и един от неговите членове. Намерете първия член на прогресията, сбора от неговите 50 члена, започвайки от 50, и сбора от първите 100.
Решение:
Нека запишем формулата за стотния елемент на прогресията
и намерете първия
Въз основа на първия намираме 50-ия член на прогресията
Намиране на сумата на частта от прогресията
и сумата от първите 100
Сборът на прогресията е 250. Намерете броя на членовете на аритметичната прогресия, ако:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Решение:
Нека напишем уравненията по отношение на първия член и стъпката на прогресията и да ги определим
Заместваме получените стойности във формулата на сумата, за да определим броя на членовете в сумата
Ние извършваме опростявания
и решаване на квадратното уравнение
От двете намерени стойности само числото 8 отговаря на условията на проблема. Така сумата от първите осем члена на прогресията е 111.
Решете уравнението
1+3+5+...+x=307.
Решение:
Това уравнение е сбор от аритметична прогресия. Нека напишем първия му член и намерим разликата в прогресията
Заместваме намерените стойности във формулата за сумата на прогресията, за да намерим броя на членовете
Както и в предишната задача, ще извършим опростявания и ще решим квадратното уравнение
Избираме по-логичната от двете стойности. Имаме, че сумата от 18 членове на прогресията с дадени стойности a1=1, d=2 е равно на Sn=307.
Примери за решаване на задачи: Аритметична прогресия
Проблем 1
Студентският екип се договори за полагане на керамични плочки на пода в залата на младежкия клуб с площ от 288 м2, като студентите полагаха всеки следващ ден с по 2 м2 повече, отколкото на втория. предишния ден, а запасите им от плочки стигнаха точно за 11 дни работа. Планирайки, че производителността на труда ще се повиши по същия начин, бригадирът определи, че ще са необходими още 5 дни, за да завърши работата. Колко кашона плочки трябва да поръча, ако 1 кашон е достатъчен за 1,2 м2 под, а за подмяна на некачествени плочки са необходими 3 кашона?
Решение
Според условията на задачата е ясно, че говорим за аритметична прогресия, в която нека
а1=х, Sn=288, n=16
След това използваме формулата: Sn= (2a1+d(n-1))*n/0,86=200mmHg. Чл.
288=(2x+2*15)*16/2
Нека изчислим колко m2 учениците ще разположат за 11 дни: S11=(2*3+2*10)*11.2=143m2
288-143=145м2 остава след 11 дни работа, т.е. за 5 дни
145/1.2=121 (приблизително) кутии трябва да се поръчат за 5 дни.
121+3=124 кутии трябва да бъдат поръчани, като се вземат предвид дефектите
Отговор: 124 кутии
Проблем 2
След всяко движение на буталото на вакуумната помпа 20% от въздуха в него се отстранява от съда. Нека определим налягането на въздуха вътре в съда след шест движения на буталото, ако първоначалното налягане е 760 mm Hg. Чл.
Решение
Тъй като след всяко движение на буталото 20% от наличния въздух се отстранява от съда, остава 80% от въздуха. За да разберете налягането на въздуха в съда след следващото движение на буталото, трябва да умножите налягането на предишното движение на буталото по 0,8.
Имаме геометрична прогресия, чийто първи член е 760, а знаменателят й е 0,8. Числото, изразяващо налягането на въздуха в съда (в mm Hg) след шест движения на буталото, е седмият член на тази прогресия. То е равно на 760*0,86=200mmHg. Чл.
Отговор: 200 mmHg.
Дадена е аритметична прогресия, където петият и десетият член са равни съответно на 38 и 23. Намерете петнадесетия член на прогресията и сумата от първите десет члена.
Решение:
Намерете броя на членовете на аритметичната прогресия 5,14,23,...,, ако нейният th член е 239.
Решение:
Намерете броят на членовете на една аритметична прогресия е 9,12,15,...,, ако сборът й е 306.
Решение:
Намерете x, за което числата x-1, 2x-1, x2-5 образуват аритметична прогресия
Решение:
Нека намерим разликата между 1 и 2 членове на прогресията:
d=(2x-1)-(x-1)=x
Нека намерим разликата между 2 и 3 члена на прогресията:
d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4
защото разликата е същата, тогава условията на прогресията могат да бъдат приравнени:
При отметка и в двата случая се получава аритметична прогресия
Отговор: при x=-1 и x=4
Аритметичната прогресия е дадена от третия и седмия член a3=5; а7=13. Намерете първия член на прогресията и сбора от десет.
Решение:
Изваждаме първото от второто уравнение, в резултат намираме стъпката на прогресията
a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, тогава d=2
Заместваме намерената стойност във всяко от уравненията, за да намерим първия член на аритметичната прогресия
Изчисляваме сумата от първите десет члена на прогресията
S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100
Отговор: a1=1; S10=100
В аритметична прогресия, чийто първи член е -3,4 и чиято разлика е 3, намерете петия и единадесетия член.
Знаем, че a1 = -3,4; d = 3. Намерете: a5, a11-.
Решение.За да намерим n-тия член на аритметична прогресия, използваме формулата: an = a1+ (n – 1)d. Ние имаме:
a5 = a1 + (5 – 1)d = -3,4 + 4 3 = 8,6;
a11 = a1 + (11 – 1)d = -3,4 + 10 3 = 26,6.
Както можете да видите, в този случай решението не е трудно.
Дванадесетият член на аритметичната прогресия е 74, а разликата е -4. Намерете тридесет и четвъртия член на тази прогресия.
Казват ни, че a12 = 74; d = -4 и трябва да намерим a34-.
В тази задача не е възможно веднага да се приложи формулата an = a1 + (n – 1)d, т.к Първият член a1 е неизвестен. Този проблем може да бъде решен в няколко стъпки.
1. Използвайки термина a12 и формулата за n-тия член, намираме a1:
a12 = a1 + (12 – 1)d, сега нека опростим и заместим d: a12 = a1 + 11 · (-4). От това уравнение намираме a1: a1 = a12 – (-44);
Знаем дванадесетия член от постановката на задачата, така че можем лесно да изчислим a1
a1 = 74 + 44 = 118. Нека да преминем към втората стъпка – изчисляване на a34.
2. Отново използвайки формулата an = a1 + (n – 1)d, тъй като a1 вече е известно, ще определим a34-,
a34 = a1 + (34 – 1)d = 118 + 33 · (-4) = 118 – 132 = -14.
Отговор: Тридесет и четвъртият член на аритметичната прогресия е -14.
Както можете да видите, решението на втория пример е по-сложно. Същата формула се използва два пъти за получаване на отговора. Но всичко е толкова сложно. Решението може да бъде съкратено чрез използване на допълнителни формули.
Както вече беше отбелязано, ако a1 е известно в задачата, тогава формулата за определяне на n-тия член на аритметична прогресия е много удобна за използване. Но ако условието не посочва първия член, тогава на помощ може да дойде формула, която свързва n-тия член, от който се нуждаем, и термина ak, посочен в задачата.
an = ak + (n – k)d.
Нека решим втория пример, но използвайки нова формула.
Дадено е: a12 = 74; d = -4. Намерете: a34-.
Използваме формулата an = ak + (n – k)d. В нашия случай ще бъде:
a34 = a12 + (34 – 12) · (-4) = 74 + 22 · (-4) = 74 – 88 = -14.
Отговорът на задачата беше получен много по-бързо, защото не беше необходимо да се извършват допълнителни действия и да се търси първия член на прогресията.
Използвайки горните формули, можете да решавате задачи за изчисляване на разликата в аритметична прогресия. По този начин, използвайки формулата an = a1 + (n – 1)d, можем да изразим d:
d = (an – a1) / (n – 1). Проблеми с даден първи член обаче не се срещат толкова често и могат да бъдат решени с помощта на нашата формула an = ak + (n – k)d, от която е ясно, че d = (an – ak) / (n – к). Нека да разгледаме този проблем.
Намерете разликата на аритметичната прогресия, ако е известно, че a3 = 36; а8 = 106.
Използвайки формулата, която получихме, решението на проблема може да бъде написано в един ред:
d = (a8 – a3) / (8 – 3) = (106 – 36) / 5 = 14.
Без тази формула решаването на проблема щеше да отнеме много повече време, т.к трябва да се реши система от две уравнения.
Геометрични прогресии
1. Формула на th член (общ член на прогресията).
2. Формула за сумата от първите членове на прогресията: . Кога е прието да се говори за конвергентна геометрична прогресия; в този случай можете да изчислите сумата от цялата прогресия, като използвате формулата.
3. Формула за „средно геометрично”: ако , , са три последователни члена на геометрична прогресия, то по дефиниция имаме следните отношения: или или 
.
Числова редица, всеки член на която, започвайки от втория, е равен на предишния, добавен към същото число за дадена редица, се нарича аритметична прогресия. Извиква се всеки път номерът, който се добавя към предишния номер разлика в аритметичната прогресияи се обозначава с буквата d.
И така, числовата последователност е 1; а 2; a 3; a 4; a 5; ... и n ще бъде аритметична прогресия, ако a 2 = a 1 + d;
a 3 = a 2 + d;
Казват, че е дадена аритметична прогресия с общ член и н. Запишете: дадена е аритметична прогресия (a n).
Една аритметична прогресия се счита за дефинирана, ако първият й член е известен а 1и разлика d.
Примери за аритметична прогресия
Пример 1. 1; 3; 5; 7; 9;...Ето тук а 1 = 1; d = 2.
Пример 2. 8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;... Ето а 1 = 8; d =-3.
Пример 3.-16; -12; -8; -4;... Тук а 1 = -16; d = 4.
Обърнете внимание, че всеки член на прогресията, започвайки от втория, е равен на средноаритметичното на съседните му членове.
В 1 примервтори мандат 3 =(1+5): 2 ; тези. a 2 = (a 1 + a 3) : 2; трети член 5 =(3+7): 2;
т.е. a 3 = (a 2 + a 4) : 2.
Така че формулата е валидна:
Но всъщност всеки член на една аритметична прогресия, започвайки от втория, е равен на средното аритметично не само на съседните му членове, но и равноотдалечениот неговите членове, т.е.
Да се обърнем пример 2. Номер -1 е четвъртият член на аритметична прогресия и е еднакво отдалечен от първия и седмия член (a 1 = 8 и 7 = -10).
Според формула (**) имаме:
Нека изведем формулата п-член на аритметичната прогресия.
И така, получаваме втория член на аритметичната прогресия, ако добавим разликата към първия d; получаваме третия член, ако добавим разликата към втория dили добавете две разлики към първия член d; получаваме четвъртия член, ако добавим разликата към третия dили добавете три разлики към първата dи така нататък.
Познахте: a 2 = a 1 + d;
a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d;
a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d;
…………………….
a n = a n-1 + d = a 1 + (n-1) d.
Получената формула a n = а 1 + (п-1) d (***)
наречен формулапчлен на аритметичната прогресия.
Сега нека поговорим как да намерим сумата от първите n члена на аритметична прогресия. Нека означим тази сума с S n.
Пренареждането на местата на членовете не променя стойността на сумата, така че тя може да бъде записана по два начина.
S n= a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n и
S n = a n + a n-1 + a n-2 + a n-3 + …...+ a 4 + a 3 + a 2 + a 1
Нека добавим тези две равенства член по член:
2S n= (a 1 + a n) + (a 2 + a n-1) + (a 3 + a n-2) + (a 4 + a n-3) + …
Стойностите в скоби са равни една на друга, тъй като те са суми от еднакво разположени членове на серията, което означава, че можем да напишем: 2S n = n· (a 1 + a n).
Получаваме формулата сумите на първияпусловия на аритметична прогресия.
Ако заменим a n със стойността a 1 + (n-1) d с помощта на формула (***), получаваме друга формула за сумата от първия пусловия на аритметична прогресия.
Разбирането на много теми от математиката и физиката е свързано със знанието за свойствата на числовите серии. Учениците в 9-ти клас, когато изучават предмета "Алгебра", разглеждат една от важните поредици от числа - аритметична прогресия. Представяме основните формули на аритметичната прогресия (9. клас), както и примери за използването им при решаване на задачи.
Алгебрична или аритметична прогресия
Числовата серия, която ще бъде разгледана в тази статия, се нарича две по различни начинипредставени в заглавието на този параграф. И така, под аритметична прогресия в математиката имаме предвид следното числова серия, в която всеки две съседни числа се различават с една и съща сума, наречена разлика. Числата в такава серия обикновено се обозначават с букви с по-нисък целочислен индекс, например a1, a2, a3 и т.н., където индексът показва номера на елемента от серията.
Като вземем предвид горната дефиниция на аритметична прогресия, можем да запишем следното равенство: a2-a1 =...=an-an-1=d, тук d е разликата на алгебричната прогресия, а n е всяко цяло число. Ако d>0, тогава можем да очакваме, че всеки следващ член на серията ще бъде по-голям от предишния, в този случай говорим за нарастваща прогресия. Ако d
Формули за аритметична прогресия (9 клас училище)
Разгледаната редица от числа, тъй като е подредена и се подчинява на някои математически закон, има две свойства, важни за употребата му:
Първата формула е лесна за разбиране, тъй като тя е пряко следствие от факта, че всеки член на разглежданата серия се различава от съседния със същата разлика.
Втората формула за аритметична прогресия може да се получи, като се отбележи, че сумата a1+an се оказва еквивалентна на сумите a2+an-1, a3+an-2 и т.н. Наистина, тъй като a2 = d+a1, an-2 = -2*d+an, a3 = 2*d+a1 и an-1 = -d+an, замествайки тези изрази в съответните суми, намираме, че те ще бъдат същите. Факторът n/2 във втората формула (за Sn) се появява поради факта, че сумите от тип ai+1+an-i се оказват точно n/2, тук i е цяло число в диапазона от 0 до n/2 - 1.
Според оцелелите исторически доказателства, формулата за сумата Sn е получена за първи път от Карл Гаус (известният немски математик), когато му е дадена задача от своя учител в училище да събере първите 100 числа.
Примерен проблем №1: намерете разликата
Проблемите, в които въпросът е поставен, както следва: познаването на формулите на аритметична прогресия, как да се намери d (d), са най-простите, които могат да бъдат само за тази тема.
Нека дадем пример: дадена числова последователност -5,-2, 1, 4, ..., е необходимо да се определи нейната разлика, т.е. d.
Това може да стане възможно най-лесно: трябва да вземете два елемента и да извадите по-малкия от по-големия. В този случай имаме: d = -2 - (-5) = 3.
За да сте сигурни в получения отговор, се препоръчва да проверите останалите разлики, тъй като представената последователност може да не отговаря на условието за алгебрична прогресия. Имаме: 1-(-2)=3 и 4-1=3. Тези данни показват, че сме получили правилния резултат (d=3) и доказахме, че поредицата от числа в постановката на задачата наистина представлява алгебрична прогресия.
Примерна задача № 2: намерете разликата, като знаете два члена на прогресията
Нека разгледаме друга интересна задача, която пита как да намерим разликата. В този случай формулата за аритметична прогресия трябва да се използва за n-тия член. И така, задачата: дадени са първото и петото число от редица, която отговаря на всички свойства на алгебрична прогресия, например, това са числата a1 = 8 и a5 = -10. Как да намеря разликата d?
Трябва да започнете да решавате този проблем, като запишете общ изгледформули за n-тия елемент: an = a1+d*(-1+n). Сега можете да отидете по два начина: или веднага да замените числата и да работите с тях, или да изразите d и след това да преминете към конкретни a1 и a5. Използвайки последния метод, получаваме: a5 = a1+d*(-1+5) или a5 = 4*d+a1, което означава, че d = (a5-a1)/4. Сега можете спокойно да замените известните данни от условието и да получите крайния отговор: d = (-10-8)/4 = -4,5.
Имайте предвид, че в този случай разликата в прогресията се оказа отрицателна, тоест има намаляваща последователност от числа. Необходимо е да се обърне внимание на този факт при решаване на задачи, за да не се объркат знаците „+“ и „-“. Всички посочени по-горе формули са универсални, така че винаги трябва да се следват, независимо от знака на числата, с които се извършват операциите.
Пример за решаване на задача № 3: намерете a1, като знаете разликата и елемента
Нека променим малко постановката на проблема. Нека има две числа: разликата d=6 и 9-тия елемент от прогресията a9 = 10. Как да намерим a1? Формулите за аритметична прогресия остават непроменени, нека ги използваме. За числото a9 имаме следния израз: a1+d*(9-1) = a9. Откъдето лесно получаваме първия елемент от редицата: a1 = a9-8*d = 10 - 8*6 = -38.
Пример за решаване на задача № 4: намерете a1, като знаете два елемента
Тази версия на проблема е сложна версия на предишната. Същността е същата, необходимо е да се изчисли a1, но сега разликата d не е известна и вместо нея е даден друг елемент от прогресията.
Пример за този тип задача е следният: намерете първото число от редица, за която е известно, че е аритметична прогресия и че нейните 15-ти и 23-ти елементи са съответно 7 и 12.
Необходимо е да се реши тази задача, като се напише израз за n-тия член за всеки елемент, известен от условието, имаме: a15 = d*(15-1)+a1 и a23 = d*(23-1)+a1. Както виждате, имаме две линейни уравнения, които трябва да бъдат разрешени спрямо a1 и d. Нека направим това: извадете първото от второто уравнение, тогава ще получим следния израз: a23-a15 = 22*d - 14*d = 8*d. При извеждането на последното уравнение стойностите на a1 бяха пропуснати, защото се анулират при изваждане. Замествайки известните данни, намираме разликата: d = (a23-a15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.
Стойността на d трябва да бъде заменена във всяка формула за известен елемент, за да се получи първият член на редицата: a15 = 14*d+a1, от което: a1=a15-14*d = 7-14*0,625 = -1,75 .
Нека проверим получения резултат; намираме a1 чрез втория израз: a23 = d*22+a1 или a1 = a23-d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.
Пример за решаване на задача № 5: намерете сумата от n елемента
Както можете да видите, до този момент за решението е използвана само една формула за аритметична прогресия (9-ти клас). Сега представяме задача, чиито решения изискват познаване на втората формула, тоест за сумата Sn.
Има следната подредена поредица от числа -1,1, -2,1, -3,1,..., трябва да изчислите сумата от първите 11 елемента.
От тази редица е ясно, че тя е намаляваща и a1 = -1,1. Разликата му е равна на: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Сега нека дефинираме 11-тия член: a11 = 10*d + a1 = -10 + (-1,1) = -11,1. След като завършите подготвителните изчисления, можете да използвате формулата, отбелязана по-горе, за сумата, която имаме: S11 =11*(-1,1 +(-11,1))/2 = -67,1. Тъй като всички условия бяха отрицателни числа, то техният сбор също има съответния знак.
Пример за решаване на задача № 6: намерете сумата от елементи от n до m
Може би този тип проблеми са най-трудните за повечето ученици. Нека дадем типичен пример: дадена е поредица от числа 2, 4, 6, 8..., трябва да намерите сумата от 7-ми до 13-ти член.
Формулите за аритметична прогресия (клас 9) се използват точно както във всички предишни задачи. Препоръчително е да решите този проблем стъпка по стъпка:
Да стигнем до решението. Точно както в предишния случай, ще извършим подготвителни изчисления: a6 = 5*d+a1 = 10+2 = 12, a13 = 12*d+a1 = 24+2 = 26.
Нека изчислим две суми: S13 = 13*(2+26)/2 = 182, S6 = 6*(2+12)/2 = 42. Вземете разликата и получете желания отговор: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140. Обърнете внимание, че при получаването на тази стойност сумата от 6 елемента на прогресията беше използвана като субтрахенд, тъй като 7-ият член е включен в сумата S7-13.
Математиката има своя собствена красота, също като рисуването и поезията.
Руски учен, механик N.E. Жуковски
Много често срещани задачи в приемни изпитив математиката са проблеми, свързани с понятието аритметична прогресия. За да разрешите успешно такива задачи, трябва да имате добри познания за свойствата на аритметичната прогресия и да имате определени умения за тяхното прилагане.
Нека първо си припомним основните свойства на аритметичната прогресия и да представим най-важните формули, свързани с това понятие.
Определение. Числова последователност, в който всеки следващ член се различава от предходния с едно и също число, наречена аритметична прогресия. В този случай числотонаречена разлика в прогресията.
За аритметична прогресия са валидни следните формули:
, (1)
Къде . Формула (1) се нарича формула на общия член на аритметичната прогресия, а формула (2) представлява основното свойство на аритметичната прогресия: всеки член на прогресията съвпада със средното аритметично на съседните му членове и .
Имайте предвид, че именно поради това свойство разглежданата прогресия се нарича „аритметична“.
Горните формули (1) и (2) са обобщени, както следва:
(3)
За изчисляване на суматапърви условия на аритметична прогресияобикновено се използва формулата
(5) където и .
Ако вземем предвид формулата (1), то от формула (5) следва
Ако означим , тогава
Къде . Тъй като , формули (7) и (8) са обобщение на съответните формули (5) и (6).
по-специално, от формула (5) следва, Какво
Малко известно на повечето ученици е свойството на аритметичната прогресия, формулирано чрез следната теорема.
Теорема.Ако , тогава
Доказателство.Ако , тогава
Теоремата е доказана.
например използвайки теоремата, може да се покаже, че
Нека да преминем към разглеждане на типични примери за решаване на задачи по темата „Аритметична прогресия“.
Пример 1.Нека бъде. Намери .
Решение.Прилагайки формула (6), получаваме . Тъй като и , тогава или .
Пример 2.Нека е три пъти по-голямо и когато се раздели на частното, резултатът е 2, а остатъкът е 8. Определете и .
Решение.От условията на примера следва системата от уравнения
Тъй като , , и , то от системата от уравнения (10) получаваме
Решението на тази система от уравнения е и .
Пример 3.Намерете дали и .
Решение.Съгласно формула (5) имаме или . Въпреки това, използвайки свойство (9), получаваме .
Тъй като и , Тогава от равенството уравнението следваили .
Пример 4.Намерете дали.
Решение.Съгласно формула (5) имаме
Въпреки това, използвайки теоремата, можем да напишем
От тук и от формула (11) получаваме .
Пример 5. Дадено: . Намери .
Решение.От тогава. Въпреки това, следователно.
Пример 6.Нека и . Намери .
Решение.Използвайки формула (9), получаваме . Следователно, ако , тогава или .
Тъй като и тогава тук имаме система от уравнения
Решавайки кое, получаваме и .
Естествен коренуравненияе .
Пример 7.Намерете дали и .
Решение.Тъй като съгласно формула (3) имаме, че , то системата от уравнения следва от условията на задачата
Ако заместим изразавъв второто уравнение на системата, тогава получаваме или .
корени квадратно уравнениесаИ .
Нека разгледаме два случая.
1. Нека , тогава . Тъй като и , тогава .
В този случай, съгласно формула (6), имаме
2. Ако , тогава , и
Отговор: и.
Пример 8.Известно е, че и. Намери .
Решение.Като вземем предвид формула (5) и условието на примера, записваме и .
Това предполага системата от уравнения
Ако умножим първото уравнение на системата по 2 и след това го добавим към второто уравнение, получаваме
Съгласно формула (9) имаме. В тази връзка следва от (12)или .
Тъй като и , тогава .
Отговор: .
Пример 9.Намерете дали и .
Решение.Тъй като , и по условие , тогава или .
От формула (5) е известно, какво . От тогава.
следователно тук имаме система от линейни уравнения
От тук получаваме и . Като вземем предвид формула (8), пишем .
Пример 10.Решете уравнението.
Решение.от дадено уравнениеследва, че. Нека приемем, че , и . В такъв случай.
Съгласно формула (1) можем да запишем или .
Тъй като , тогава уравнение (13) има единствения подходящ корен .
Пример 11.Намерете максималната стойност при условие, че и .
Решение.Тъй като , тогава разглежданата аритметична прогресия е намаляваща. В тази връзка изразът приема максималната си стойност, когато е числото на минималния положителен член на прогресията.
Нека използваме формула (1) и факта, това и . Тогава получаваме това или .
Тъй като , тогава или . Въпреки това, в това неравенствонай-голямото естествено число, Ето защо .
Ако стойностите на и се заменят във формула (6), получаваме.
Отговор: .
Пример 12.Определете сбора на всички двуцифрени естествени числа, което при разделяне на 6 оставя остатък от 5.
Решение.Нека означим с множеството от всички двуцифрени естествени числа, т.е. . След това ще изградим подмножество, състоящо се от онези елементи (числа) на множеството, които, когато се разделят на числото 6, дават остатък от 5.
Лесен за монтаж, какво . очевидно, че елементите на множествотообразуват аритметична прогресия, в който и .
За да установим кардиналността (броя елементи) на множеството, приемаме, че . Тъй като и , следва от формула (1) или . Като вземем предвид формула (5), получаваме .
Горните примери за решаване на проблеми в никакъв случай не могат да претендират за изчерпателност. Тази статия е написана въз основа на анализа съвременни методирешения типични задачипо дадена тема. За по-задълбочено изучаване на методите за решаване на проблеми, свързани с аритметичната прогресия, е препоръчително да се обърнете към списъка с препоръчителна литература.
1. Колекция от задачи по математика за кандидати в колежи / Изд. M.I. Сканави. – М.: Мир и образование, 2013. – 608 с.
2. Супрун В.П. Математика за гимназисти: допълнителни раздели училищна програма. – М.: Lenand / URSS, 2014. – 216 с.
3. Медински М.М. Пълен курселементарна математика в задачи и упражнения. книга 2: Числови последователностии прогресия. – М.: Едитус, 2015. – 208 с.
Все още имате въпроси?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.