Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, желания. Всички материали са проверени с антивирусна програма.
Учебни помагала и тренажори в онлайн магазина Интеграл за 8 клас
Електронна учебна тетрадка по алгебра за 8 клас
Мултимедиен учебник за 8 клас "Алгебра за 10 минути"
Предварителна факторизация на алгебрична дроб
Преди да започнете да работите с дроби, а именно умножение и деление, е препоръчително да разложите числителя и знаменателя на множители. Това ще улесни разлагането на дробта, която се получава от математическата операция.Например, дадена дроб:
$\frac(8x+8y)(16)$.
Ние ще произвеждаме трансформация на идентичността, тоест разлагаме числителя на множители.
$\frac(8x+8y)(16)=\frac(8(x+y))(16)$.
Или, например, дадена следната дроб:
$\frac(x^2-y^2)(x+1)$.
Би било по-добре да го кажем така:
$\frac(x^2-y^2)(x+1)=\frac((x+y)(x-y))(x+1)$.
Не забравяйте за имота:
$(b-a)^2=(a-b)^2$.
Умножение на алгебрични дроби с еднакви и различни знаменатели
Умножаването на алгебрични дроби се извършва по същия начин като умножаването на обикновени дроби. Числителите и знаменателите се умножават заедно.Това може да бъде представено под формата на формула, както следва:
$\frac(a)(b)*\frac(c)(d)=\frac(ac)(bd)$
Нека да разгледаме няколко примера.
Пример 1.
Изчислете:
$\frac(5x+5y)(x-y)*\frac(x^2-y^2)(10x)$.
Нека разложим дробта на множители.
$\frac(5x+5y)(x-y)*\frac(x^2-y^2)(10x)=\frac(5(x+y))(x-y)*\frac((x-y)(x+ y) ))(10x)$.
Нека приведем двете дроби към общ знаменател (спомнете си урока: „Събиране и изваждане на дроби“, където имаше съвети как да избирате по-добре и по-лесно общ знаменател). В резултат на това получаваме дроб.
$\frac(5(x+y)(x-y)(x+y))((x-y)*10x)=\frac((x+y)^2)(2x)$
Пример 2.
Изчислете:
$\frac(7a^3b^5)(3a-3b)*\frac(6b^2-12ab+6a^2)(49a^4b^5)$.
Нека разложим на множители и намалим дробта.
$\frac(7a^3b^5)(3a-3b)*\frac(6(b^2-2ab+a^2))(49a^4b^5)=\frac(7a^3b^5*6 (b-a)^2)(3(a-b)*49a^4b^5)=\frac(2(b-a)^2)(7a(a-b))$.
Деление на алгебрични дроби с еднакви и различни знаменатели
Разделянето на дроби се извършва по същия начин като разделянето на обикновени дроби, тоест трябва да обърнете фракцията „делител“ и да умножите.$\frac(a)(b):\frac(c)(d)=\frac(ad)(bc)$
Нека да разгледаме примерите.
Пример 3.
Следвайте тези стъпки:
$\frac(x^3-1)(8y):\frac(x^2+x+1)(16y^2)$.
Нека разложим дробите на множители.
$\frac(x^3-1)(8y):\frac(x^2+x+1)(16y^2)=\frac((x-1)(x^2+x+1))( 8y):\frac(x^2+x+1)(16y^2)$.
Сега обръщаме дробта и умножаваме.
$\frac((x-1)(x^2+x+1)*16y^2)(8y*(x^2+x+1))=2y*(x-1)$.
Пример 4.
Изчислете:
$\frac(a^4-b^4)(ab+2b-3a-6):\frac(b-a)(a+2)$.
Нека разложим на множители и групираме полиномите.
$\frac(a^4-b^4)(ab+2b-3a-6):\frac(b-a)(a+2)=\frac((a^2-b^2)(a^2+ b^2))((ab+2b)-(3a+6)):\frac(b-a)(a+2)=$
$\frac((a-b)(a+b)(a^2+b^2))(b(a+2)-3(a+2)):\frac(b-a)(a+2)$.
Обръщане и умножаване на дроби.
$\frac((a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a+2))((a+2)(b-3)(b-a))=\frac(-(-(a+ b) )(a^2+b^2))((b-3))$.
Можем да умножаваме и делим аритметични дроби, например:
ако буквите a, b, c и d означават цели аритметични числа.
Възниква въпросът дали тези равенства не остават валидни, ако a, b, c и d означават: 1) произволни аритметични числа и 2) произволни относителни числа.
На първо място, ще трябва да разгледате сложни дроби, например:
Тези примери вече са достатъчни, за да се провери валидността на равенствата, свързани с умножението и деленето на дроби, когато числата a, b, c и d са произволна (цела или дробна) аритметика. Имайте предвид, че има само 2 основни равенства, а именно:
Сега остава да разгледаме дали тези равенства ще останат валидни, ако някои от числата a, b, c и d се приемат за отрицателни: ако например a отрицателно число, b, c и d са положителни, тогава дробта е отрицателна и дробта е положителна; следователно, например, разделянето на трябва да доведе до отрицателно число, но виждаме, че според нашето предположение изразът трябва да изразява отрицателно число, т.е. равенството е оправдано и в този случай. Също така е лесно да се разгледат други допускания за знаците на a, b, c и d. Резултатът от това разглеждане е убеждението за валидността на равенствата
и за случая, когато a, b, c и d изразяват някакви относителни числа, т.е., за умножението и деленето на алгебрични дроби, същите правила остават в сила както за аритметичните.
Вече можем да извършваме умножение и деление на алгебрични дроби. Най-голямата трудност тук е въпросът за намаляване на дроби, получени след умножение или деление. Ако алгебричните дроби са мономиални, тогава намаляването на получения резултат няма да представлява никакви затруднения, но ако дробите са алгебрични, тогава е необходимо първо да се факторизират числителя и знаменателя на всяка от тези дроби.
Този урок ще обхване правилата за умножение и деление на алгебрични дроби, както и примери за прилагане на тези правила. Умножаването и деленето на алгебрични дроби не се различава от умножението и деленето на обикновени дроби. В същото време наличието на променливи води до малко по-сложни начини за опростяване на получените изрази. Въпреки факта, че умножаването и деленето на дроби е по-лесно от добавянето и изваждането им, изучаването на тази тема трябва да се подхожда изключително отговорно, тъй като в нея има много клопки, на които обикновено не се обръща внимание. Като част от урока не само ще изучаваме правилата за умножаване и деление на дроби, но и ще анализираме нюансите, които могат да възникнат при използването им.
Тема:Алгебрични дроби. Аритметични действия върху алгебрични дроби
Урок:Умножение и деление на алгебрични дроби
Правилата за умножение и деление на алгебрични дроби са абсолютно подобни на правилата за умножение и деление на обикновени дроби. Да им напомним:
Тоест, за да се умножат дроби, е необходимо да се умножат техните числители (това ще бъде числителят на продукта) и техните знаменатели (това ще бъде знаменателят на продукта).
Делението с дроб е умножение с обърната дроб, т.е. за да се разделят две дроби, е необходимо първата от тях (дивидента) да се умножи по обърнатата втора (делител).
Въпреки простотата на тези правила, много хора правят грешки в редица специални случаи, когато решават примери по тази тема. Нека разгледаме по-отблизо тези специални случаи:
Във всички тези правила използвахме следния факт: .
Нека решим няколко примера за умножение и деление на обикновени дроби, за да запомним как да използваме тези правила.
Пример 1
Забележка:Когато съкращаваме дроби, използвахме разлагането на число на основни фактори. Нека ви го напомним прости числа
са онези естествени числа, които се делят само на и на себе си. Останалите номера се извикват композитен
. Числото не е нито просто, нито съставно. Примери за прости числа: 
.
Пример 2
Нека сега разгледаме един от частните случаи с обикновени дроби.
Пример 3
Както можете да видите, умножаването и разделянето на обикновени дроби, ако правилата се прилагат правилно, не е трудно.
Нека да разгледаме умножението и деленето на алгебрични дроби.
Пример 4
Пример 5
Обърнете внимание, че е възможно и дори необходимо да се намалят дроби след умножение по същите правила, които по-рано разгледахме в уроците, посветени на намаляване на алгебрични дроби. Нека разгледаме няколко прости примериза специални случаи.
Пример 6
Пример 7
Нека сега разгледаме малко повече сложни примериза умножение и деление на дроби.
Пример 8
Пример 9
Пример 10
Пример 11
Пример 12
Пример 13
Преди това разглеждахме дроби, в които и числителят, и знаменателят бяха мономи. В някои случаи обаче е необходимо да се умножат или разделят дроби, чиито числители и знаменатели са полиноми. В този случай правилата остават същите, но за намаляване е необходимо да се използват съкратени формули за умножение и скоби.
Пример 14
Пример 15
Пример 16
Пример 17
Пример 18
Пример.
Намерете произведението на алгебрични дроби и .
Решение.
Преди да умножим дроби, разлагаме на множители полинома в числителя на първата дроб и знаменателя на втората. За това ще ни помогнат съответните съкратени формули за умножение: x 2 +2·x+1=(x+1) 2 и x 2 −1=(x−1)·(x+1) . По този начин,.
Очевидно получената фракция може да бъде намалена 
(обсъдихме този процес в статията за намаляване на алгебрични дроби).
Остава само да напишете резултата под формата на алгебрична дроб, за която трябва да умножите монома по полинома в знаменателя: 
.
Обикновено решението се записва без обяснение като последователност от равенства: 
отговор:
.
Понякога с алгебрични дроби, които трябва да бъдат умножени или разделени, трябва да извършите някои трансформации, за да направите операцията по-лесна и по-бърза.
Пример.
Разделете алгебрична дроб на дроб.
Решение.
Нека опростим формата на алгебрична дроб, като се отървем от дробния коефициент. За да направим това, ние умножаваме нейния числител и знаменател по 7, което ни позволява да направим основното свойство на алгебрична дроб, имаме 
.
Сега стана ясно, че знаменателят на получената дроб и знаменателят на дробта, на която трябва да разделим, са противоположни изрази. Нека сменим знаците на числителя и знаменателя на дробта, имаме 
.
В тази статия продължаваме да изследваме основните операции, които могат да се извършват с алгебрични дроби. Тук ще разгледаме умножението и делението: първо ще изведем необходимите правила, а след това ще ги илюстрираме с решения на задачи.
Как правилно да разделяме и умножаваме алгебрични дроби
За да умножим алгебрични дроби или да разделим една дроб на друга, трябва да използваме същите правила като за обикновените дроби. Да си припомним формулировката им.
Когато трябва да умножим едно обикновена дробот друга, извършваме отделно умножение на числителите и отделно на знаменателите, след което записваме крайната дроб, като поставяме съответните продукти на място. Пример за такова изчисление:
2 3 4 7 = 2 4 3 7 = 8 21
И когато трябва да разделим обикновени дроби, правим това, като умножим по обратната дроб на делителя, например:
2 3: 7 11 = 2 3 11 7 = 22 7 = 1 1 21
Умножаването и деленето на алгебрични дроби следва същите принципи. Нека формулираме правило:
Определение 1
За да умножите две или повече алгебрични дроби, трябва да умножите числителите и знаменателите отделно. Резултатът ще бъде дроб, чийто числител ще бъде произведението на числителите, а знаменателят ще бъде произведението на знаменателите.
В буквална форма правилото може да бъде записано като a b · c d = a · c b · d. Тук a, b, c и dще представлява определени полиноми, и b и dне може да бъде нула.
Определение 2
За да разделите една алгебрична дроб на друга, трябва да умножите първата дроб по реципрочната на втората.
Това правило може да се запише и като a b: c d = a b · d c = a · d b · c. Букви a, b, c и dтук означава полиноми, от които a, b, c и dне може да бъде нула.
Нека отделно да се спрем на това какво е обратна алгебрична дроб. Това е дроб, която, когато се умножи по първоначалното, води до едно. Тоест такива дроби ще бъдат подобни на реципрочни числа. В противен случай можем да кажем, че реципрочната алгебрична дроб се състои от същите стойности като оригиналната, но нейният числител и знаменател сменят местата си. И така, по отношение на дробта a · b + 1 a 3, дробта a 3 a · b + 1 ще бъде обратната.
Решаване на задачи с умножение и деление на алгебрични дроби
В този параграф ще разгледаме как правилно да приложим горните правила на практика. Нека започнем с прост и ясен пример.
Пример 1
Състояние:умножете дробта 1 x + y по 3 · x · y x 2 + 5 и след това разделете едната дроб на другата.
Решение
Нека първо направим умножението. Според правилото трябва да умножите числителите и знаменателите отделно:
1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 1 3 x y (x + y) (x 2 + 5)
Получихме нов полином, който трябва да бъде намален до стандартен изглед. Да завършим изчисленията:
1 3 x y (x + y) (x 2 + 5) = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y
Сега нека видим как правилно да разделим една дроб на друга. Според правилото трябва да заменим това действие, като умножим по реципрочната дроб x 2 + 5 3 x x y:
1 x + y: 3 x y x 2 + 5 = 1 x + y x 2 + 5 3 x y
Нека намалим получената дроб до стандартна форма:
1 x + y x 2 + 5 3 x y = 1 x 2 + 5 (x + y) 3 x y = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2
отговор: 1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y ; 1 x + y: 3 x y x 2 + 5 = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2.
Доста често процесът на деление и умножение на обикновени дроби води до резултати, които могат да бъдат съкратени, например 2 9 · 3 8 = 6 72 = 1 12. Когато правим тези неща с алгебрични дроби, можем също да получим редуцируеми резултати. За да направите това, е полезно първо да разложите числителя и знаменателя на оригиналния полином на отделни множители. Ако е необходимо, прочетете отново статията за това как да направите това правилно. Нека да разгледаме пример за задача, в която ще трябва да съкратите дроби.
Пример 2
Състояние:умножете дробите x 2 + 2 · x + 1 18 · x 3 и 6 · x x 2 - 1 .
Решение
Преди да изчислим продукта, разлагаме на множители числителя на първата първоначална дроб и знаменателя на втората. За да направим това, имаме нужда от съкратени формули за умножение. Изчисляваме:
x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 · x 18 · x 3 · x - 1 · x + 1
Имаме дроб, който може да бъде намален:
x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1 = x + 1 3 x 2 (x - 1)
Написахме как се прави това в статия, посветена на намаляването на алгебрични дроби.
Като умножим монома и полинома в знаменателя, получаваме резултата, от който се нуждаем:
x + 1 3 x 2 (x - 1) = x + 1 3 x 3 - 3 x 2
Ето препис на цялото решение без обяснение:
x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 · x 18 · x 3 · x - 1 · x + 1 = = x + 1 3 · x 2 · (x - 1) = x + 1 3 · x 3 - 3 · x 2
отговор: x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 3 x 3 - 3 x 2 .
В някои случаи е удобно да се трансформират оригиналните дроби преди умножение или деление, за да се направят по-бързи и по-лесни по-нататъшни изчисления.
Пример 3
Състояние:разделете 2 1 7 · x - 1 на 12 · x 7 - x .
Решение: Нека започнем с опростяване на алгебричната дроб 2 1 7 · x - 1, за да се отървем от дробния коефициент. За да направите това, умножаваме и двете части на фракцията по седем (това действие е възможно поради основното свойство на алгебричната дроб). В резултат на това ще получим следното:
2 1 7 x - 1 = 7 2 7 1 7 x - 1 = 14 x - 7
Виждаме, че знаменателят на дробта 12 x 7 - x, на която трябва да разделим първата дроб, и знаменателят на получената дроб са изрази, противоположни един на друг. Променяйки знаците на числителя и знаменателя 12 x 7 - x, получаваме 12 x 7 - x = - 12 x x - 7.
След всички трансформации най-накрая можем да преминем директно към деленето на алгебрични дроби:
2 1 7 x - 1: 12 x 7 - x = 14 x - 7: - 12 x x - 7 = 14 x - 7 x - 7 - 12 x = 14 x - 7 x - 7 - 12 x = = 14 - 12 x = 2 7 - 2 2 3 x = 7 - 6 x = - 7 6 x
отговор: 2 1 7 x - 1: 12 x 7 - x = - 7 6 x .
Как да умножим или разделим алгебрична дроб на полином
За да извършим такова действие, можем да използваме същите правила, които дадохме по-горе. Първо трябва да представите полинома под формата на алгебрична дроб с единица в знаменателя. Това действие е подобно на конвертирането естествено числов обикновена дроб. Например, можете да замените полинома x 2 + x − 4на x 2 + x − 4 1. Получените изрази ще бъдат идентично равни.
Пример 4
Състояние:разделете алгебричната дроб на полинома x + 4 5 · x · y: x 2 - 16.
Решение
x + 4 5 x y: x 2 - 16 = x + 4 5 x y: x 2 - 16 1 = x + 4 5 x y 1 x 2 - 16 = = x + 4 5 x · y · 1 (x - 4) · x + 4 = (x + 4) · 1 5 · x · y · (x - 4) · (x + 4) = 1 5 · x · y · x - 4 = = 1 5 x 2 y - 20 x y
отговор: x + 4 5 x y: x 2 - 16 = 1 5 x 2 y - 20 x y.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter