Fysiikassa mekaanista liikettä tutkiessaan, tutustuttuaan esineiden tasaiseen ja tasaisesti kiihtyvään liikkeeseen, siirrytään tarkastelemaan kappaleen liikettä kulmassa horisonttiin nähden. Tässä artikkelissa tutkimme tätä asiaa yksityiskohtaisemmin.
Mikä on kehon liike kulmassa vaakatasoon nähden?
Tämän tyyppinen esineliike tapahtuu, kun henkilö heittää kiven ilmaan, tykki ampuu kanuunankuulaa tai maalivahti potkaisee jalkapallon pois maalista. Ballistiikan tiede ottaa huomioon kaikki tällaiset tapaukset.
Esineiden havaittu liike ilmassa tapahtuu parabolista lentorataa pitkin. Yleisesti ottaen vastaavien laskelmien suorittaminen ei ole yksinkertaista, koska on otettava huomioon ilmanvastus, kehon pyöriminen lennon aikana, Maan pyöriminen akselinsa ympäri ja jotkut muut tekijät.
Tässä artikkelissa emme ota huomioon kaikkia näitä tekijöitä, vaan tarkastelemme asiaa puhtaasti teoreettisesta näkökulmasta. Siitä huolimatta saadut kaavat kuvaavat varsin hyvin lyhyitä matkoja liikkuvien kappaleiden liikeradat.
Kaavojen hankkiminen tarkasteltavalle liiketyypille
Tuodaan ruumiit horisonttiin kulmassa. Tässä tapauksessa otamme huomioon vain yhden lentävään esineeseen vaikuttavan voiman - painovoiman. Koska se toimii pystysuunnassa alaspäin (samansuuntaisesti y-akselia vastaan ja sitä vasten), niin liikkeen vaaka- ja pystykomponentit huomioon ottaen voidaan sanoa, että ensimmäisellä on tasaisen suoraviivaisen liikkeen luonne. Ja toinen - tasaisesti hidas (tasaisesti kiihtynyt) suoraviivainen liike kiihtyvyydellä g. Eli nopeuskomponentit arvon v 0 (alkunopeus) ja θ (kehon liikkeen suuntakulma) kautta kirjoitetaan seuraavasti:
v x = v 0 *cos(θ)
v y = v 0 *sin(θ)-g*t
Ensimmäinen kaava (v x:lle) on aina voimassa. Toisen suhteen on syytä huomata yksi vivahde: miinusmerkki sijoitetaan tulon g*t eteen vain, jos pystykomponentti v 0 *sin(θ) on suunnattu ylöspäin. Useimmissa tapauksissa näin tapahtuu, mutta jos heittää kehon korkealta osoittaen sitä alaspäin, niin v y -lausekkeessa tulee laittaa "+"-merkki g*t:n eteen.
Kun nopeuskomponenttien kaavat on integroitu ajan mittaan ja ottaen huomioon kehon lennon alkukorkeus h, saadaan yhtälöt koordinaateille:
x = v 0 *cos(θ)*t
y = h+v 0 *sin(θ)*t-g*t2/2
Lentoetäisyyden laskeminen
Kun fysiikassa tarkastellaan kehon liikettä kohti horisonttia käytännön sovelluksen kannalta hyödyllisessä kulmassa, se osoittautuu lentoetäisyyden laskemiseksi. Määritellään se.
Koska tämä liike on tasaista liikettä ilman kiihtyvyyttä, riittää, että korvataan lentoaika ja saadaan haluttu tulos. Lentoetäisyys määräytyy yksinomaan liikkeellä x-akselia pitkin (rinnansuuntainen horisontin kanssa).
Aika, jonka kappale pysyy ilmassa, voidaan laskea asettamalla y-koordinaatiksi nolla. Meillä on:
0 = h+v 0 *sin(θ)*t-g*t2/2
Ratkaisemme tämän toisen asteen yhtälön diskriminantin avulla, saamme:
D = b 2 - 4*a*c = v 0 2 *sin 2 (θ) - 4* (-g/2)*h = v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h,
t = (-b±√D)/(2*a) = (-v 0 *sin(θ)±√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/(-2* g/2) =
= (v 0 *sin(θ)+√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/g.
Viimeisessä lausekkeessa yksi miinusmerkillä varustettu juuri hylätään sen merkityksettömän fyysisen merkityksen vuoksi. Korvaamalla lentoajan t lausekkeeseen x, saadaan lentoetäisyys l:
l = x = v 0 *cos(θ)*(v 0 *sin(θ)+√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/g.
Helpoin tapa analysoida tämä lauseke on, jos alkukorkeus on nolla (h=0), niin saadaan yksinkertainen kaava:
l = v02*sin(2*θ)/g
Tämä lauseke osoittaa, että suurin lentoetäisyys voidaan saavuttaa, jos ruumis heitetään 45 o kulmaan (sin(2*45 o) = m1).
Suurin nostokorkeus
Lentoetäisyyden lisäksi on hyödyllistä löytää se korkeus maanpinnasta, johon keho voi nousta. Koska tämän tyyppistä liikettä kuvaa paraabeli, jonka oksat ovat alaspäin, suurin nostokorkeus on sen ääriarvo. Jälkimmäinen lasketaan ratkaisemalla yhtälö y:n t derivaatalle:
dy/dt = d(h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2)/dt = v 0 *sin(θ)-gt=0 =>
=> t = v 0 *sin(θ)/g.
Korvaamalla tämän ajan yhtälöön y, saamme:
y = h+v 0 *sin(θ)*v 0 *sin(θ)/g-g*(v 0 *sin(θ)/g) 2 /2 = h + v 0 2 *sin 2 (θ)/( 2*g).
Tämä lauseke osoittaa, että ruumis nousee maksimikorkeuteensa, jos se heitetään pystysuoraan ylöspäin (sin 2 (90 o) = 1).
Kiinteästä katapultista ammutun kiven maksimikantama on S = 22,5 m. Löydä samasta katapultista ammutun kiven suurin mahdollinen kantama vaakatasossa tasaisella nopeudella liikkuvalle tasolle asennettuna v = 15,0 m/s. Ohita ilmanvastus, laske vapaan pudotuksen kiihtyvyys g = 10,0 m/s 2.
Ratkaisu: Tiedetään hyvin, että vaakatasoon nähden kulmassa heitetyn kappaleen suurin lentoetäisyys saavutetaan lähtökulmalla, joka on yhtä suuri kuin 45° ja se määritetään kaavalla:
Tarkastellaan nyt liikkuvasta katapultista vapautuneen kiven lentoa. Otetaan käyttöön koordinaattijärjestelmä, jonka akselit ovat: X- suunnattu vaakasuoraan ja Y- pystysuoraan. Koordinaattien origo on yhteensopiva katapultin sijainnin kanssa sillä hetkellä, kun kiveä vapautetaan.
Kiven nopeusvektorin laskemiseksi on otettava huomioon katapultin vaakanopeus v = v o. Oletetaan, että katapultti heittää kiven vinoon α horisonttiin. Sitten kiven alkunopeuden komponentit koordinaattijärjestelmässämme voidaan kirjoittaa seuraavasti:
Kun tämä lauseke korvataan järjestelmän (3) ensimmäisellä yhtälöllä, saadaan kiven lentoetäisyys:Toiseksi (5) ei millään tavalla seuraa sitä S 1 on maksimissaan a = 45°(tämä pätee kohtaan (6), kun v=0).
Ehdottaessaan tätä ongelmaa republikaanien olympialaisiin, kirjoittajat olivat vakuuttuneita siitä, että yhdeksän kymmenesosa osallistujista saisi kaavan (5) ja korvaa sitten arvon siihen a = 45°. Valitettavasti olimme kuitenkin erehtyneet: yksikään olympialainen ei epäillyt, että suurin lentoetäisyys saavutetaan aina (!) lähtökulmalla, joka on yhtä suuri kuin 45°. Tällä hyvin tunnetulla tosiasialla on rajoitettu käyttökelpoisuus: se on totta vain, jos:
a) eivät ota huomioon ilmanvastusta;
b) lentoonlähtöpiste ja putoamispiste ovat samalla tasolla;
c) ammus on paikallaan.
Palataan ongelman ratkaisemiseen. Joten meidän on löydettävä kulman arvo α , jossa S 1 määritetään kaavalla (5), on maksimi. Voit tietysti löytää funktion ääripään differentiaalilaskennan laitteistolla: etsi derivaatta, aseta se nollaksi ja ratkaistuaan tuloksena olevan yhtälön etsi haluttu arvo α . Koska ongelma ehdotettiin 9. luokan oppilaille, annamme sen geometrisen ratkaisun. Hyödynnämme sitä tosiasiaa v = v o = 15 m/s.
Järjestetään vektorit v Ja v o kuten kuvassa näkyy. Koska niiden pituudet ovat yhtä suuret, niiden ympärille voidaan kuvata ympyrä, jonka keskipiste on pisteessä O. Sitten janan pituus A.C. yhtä kuin v o + v o cos α(Tämä on vxo) ja segmentin pituus B.C. yhtä kuin v o sin α(Tämä vyo). Niiden tulo on kaksi kertaa kolmion pinta-ala ABC, tai kolmion pinta-ala ABB 1.
Huomaa, että se on tuote, joka sisältyy lentoetäisyyden (5) lausekkeeseen. Toisin sanoen lentoetäisyys on yhtä suuri kuin alueen tulo ΔАВВ 1 vakiotekijällä 2/g.
Kysytään nyt itseltämme: millä tiettyyn ympyrään piirretyistä kolmioista on suurin pinta-ala? Luonnollisesti oikein! Siksi kulman haluttu arvo a = 60°.
Vektori AB siellä on vektori kiven kokonaisalkunopeudesta, se on suunnattu kulmaan 30° horisonttiin (jälleen, ei ollenkaan 45°).
Siten lopullinen ratkaisu ongelmaan seuraa kaavasta (5), johon meidän pitäisi korvata a = 60°.
Tämä on luova tehtävä tietojenkäsittelytieteen mestarikurssille FEFU:n koululaisille.
Tehtävän tarkoituksena on selvittää, kuinka kehon liikerata muuttuu, jos ilmanvastus otetaan huomioon. On myös tarpeen vastata kysymykseen, saavuttaako lentoetäisyys edelleen maksimiarvonsa 45°:n heittokulmassa, jos ilmanvastus otetaan huomioon.
"Analyyttinen tutkimus" -osiossa hahmotellaan teoria. Tämä osio voidaan ohittaa, mutta sen pitäisi olla enimmäkseen selvä sinulle, koska... O opit suurimman osan tästä koulussa.
Osa "Numeerinen tutkimus" sisältää kuvauksen algoritmista, joka on toteutettava tietokoneella. Algoritmi on yksinkertainen ja ytimekäs, joten kaikkien pitäisi pystyä tekemään se.
Analyyttinen tutkimus
Otetaan käyttöön suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä kuvan osoittamalla tavalla. Alkuhetkellä massakappale m sijaitsee lähtöpaikassa. Vapaan pudotuksen kiihtyvyysvektori on suunnattu pystysuunnassa alaspäin ja sillä on koordinaatit (0, - g).- alkunopeusvektori. Laajennetaan tämä vektori sen perustaksi:
. Tässä , missä on nopeusvektorin suuruus, on heittokulma. Kirjataan ylös Newtonin toinen laki: .
Kiihtyvyys kullakin ajanhetkellä on nopeuden (hetkellinen) muutosnopeus, eli nopeuden derivaatta ajan suhteen: .
Siksi Newtonin toinen laki voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:
, missä on kaikkien kehoon vaikuttavien voimien resultantti.
Koska painovoima ja ilmanvastus vaikuttavat kehoon, niin 
.
Käsittelemme kolmea tapausta:
1) Ilmanvastusvoima on 0: .
2) Ilmanvastusvoima on suunnattu vastakkaiseen suuntaan nopeusvektorin kanssa ja sen suuruus on verrannollinen nopeuteen: 
.
3) Ilmanvastusvoima on suunnattu vastakkaiseen suuntaan nopeusvektorin kanssa ja sen suuruus on verrannollinen nopeuden neliöön: 
.
Tarkastellaanpa ensin ensimmäistä tapausta.
Tässä tapauksessa 
, tai . 
Seuraa, että 
(tasaisesti kiihdytetty liike).
Koska ( r- sädevektori), sitten 
.
Täältä 
.
Tämä kaava ei ole muuta kuin tuttu kaava kappaleen liikkeen laille tasaisesti kiihdytetyn liikkeen aikana.
Siitä lähtien 
.
Ottaen huomioon, että molemmat 
, saadaan skalaariyhtälöt viimeisestä vektoriyhtälöstä:
Analysoidaan saatuja kaavoja.
Etsitään lentoaika kehot. Tasa-arvo y nollaan, saamme
Tästä kaavasta seuraa, että suurin lentoetäisyys saavutetaan .
Nyt etsitään koritraktorin yhtälö. Tätä varten me ilmaisemme t kautta x
Ja korvataan tuloksena oleva lauseke t tasa-arvoon puolesta y.
Tuloksena oleva toiminto y(x) on neliöfunktio, jonka graafi on paraabeli, jonka haarat on suunnattu alaspäin.
Tässä videossa kuvataan horisonttiin nähden kulmassa heitetyn kappaleen liikettä (ilmanvastusta huomioimatta).
Mieti nyt toista tapausta: .
Toinen laki saa muodon 
,
täältä 
.
Kirjoitetaan tämä yhtälö skalaarimuodossa:
Saimme kaksi lineaarista differentiaaliyhtälöä.
Ensimmäisellä yhtälöllä on ratkaisu
Tämä voidaan varmistaa korvaamalla tämä funktio yhtälöön for v x ja alkutilaan 
.
Tässä e = 2,718281828459... on Eulerin luku.
Toisella yhtälöllä on ratkaisu
Koska 
,
, silloin ilmanvastuksen läsnä ollessa kehon liike pyrkii olemaan tasaista, toisin kuin tapauksessa 1, jolloin nopeus kasvaa ilman rajoituksia.
Seuraava video kertoo, että laskuvarjohyppääjä liikkuu ensin kiihdytetyllä tahdilla ja alkaa sitten liikkua tasaisesti (jopa ennen laskuvarjon avautumista).
Etsitään ilmaisuja x Ja y.
Koska x(0) = 0, y(0) = 0 siis
Meidän on vielä harkittava tapausta 3, jolloin
.Newtonin toisella lailla on muoto
, tai 
.Skalaarimuodossa tämä yhtälö näyttää tältä:
Tämä epälineaaristen differentiaaliyhtälöiden järjestelmä. Tätä järjestelmää ei voida ratkaista yksiselitteisesti, joten on tarpeen käyttää numeerista simulointia.
Numeerinen tutkimus
Edellisessä osiossa näimme, että kahdessa ensimmäisessä tapauksessa kappaleen liikelaki voidaan saada eksplisiittisessä muodossa. Kolmannessa tapauksessa ongelma on kuitenkin ratkaistava numeerisesti. Numeerisilla menetelmillä saamme vain likimääräisen ratkaisun, mutta olemme melko tyytyväisiä pieneen tarkkuuteen. (Lukua π tai 2:n neliöjuuria ei muuten voida kirjoittaa täysin tarkasti, joten laskettaessa ne ottavat äärellisen määrän numeroita, ja tämä riittää.)Tarkastellaan toista tapausta, jolloin ilmanvastusvoima määritetään kaavalla . Huomaa, että milloin k= 0 saamme ensimmäisen tapauksen.
Kehon nopeus 
noudattaa seuraavia yhtälöitä:
Kiihtyvyyskomponentit on kirjoitettu näiden yhtälöiden vasemmalle puolelle 
.
Muista, että kiihtyvyys on (hetkellinen) nopeuden muutosnopeus, eli nopeuden derivaatta ajan suhteen.
Yhtälöiden oikeat puolet sisältävät nopeuskomponentit. Näin ollen nämä yhtälöt osoittavat, kuinka nopeuden muutosnopeus on suhteessa nopeuteen.
Yritetään löytää ratkaisuja näihin yhtälöihin numeerisin menetelmin. Tätä varten esittelemme aika-akselilla verkko: valitaan luku ja tarkastellaan muodon aikahetkiä: .
Tehtävämme on laskea arvot likimääräisesti 
verkon solmuissa.
Korvataan kiihtyvyys yhtälöissä ( hetkellinen nopeus nopeuden muutokset) mennessä keskinopeus nopeuden muutokset, kun otetaan huomioon kehon liike tietyn ajanjakson aikana:
Korvataan nyt saadut approksimaatiot yhtälöihimme.
Tuloksena olevien kaavojen avulla voimme laskea funktioiden arvot seuraavassa ruudukon solmussa, jos näiden funktioiden arvot edellisessä ruudukon solmussa ovat tiedossa.
Kuvattua menetelmää käyttämällä voimme saada taulukon nopeuskomponenttien likimääräisistä arvoista.
Kuinka löytää kehon liikkeen laki, ts. likimääräisten koordinaattiarvojen taulukko x(t), y(t)? Samoin!
Meillä on
Arvo vx[j] on yhtä suuri kuin funktion arvo ja sama muille taulukoille.
Nyt ei ole muuta kuin kirjoitettava silmukka, jonka sisällä lasketaan vx käyttämällä jo laskettua arvoa vx[j], ja sama muiden taulukoiden kanssa. Kierros tulee olemaan j 1 - N.
Älä unohda alustaa alkuarvoja vx, vy, x, y kaavojen mukaan, x 0 = 0, y 0 = 0.
Pascalissa ja C:ssä on funktiot sin(x) ja cos(x) sinin ja kosinin laskemiseen. Huomaa, että nämä funktiot ottavat argumentin radiaaneina.
Sinun täytyy rakentaa kaavio kehon liikkeestä aikana k= 0 ja k> 0 ja vertaa tulokseksi saatuja kaavioita. Kaaviot voidaan luoda Excelissä.
Huomaa, että laskentakaavat ovat niin yksinkertaisia, että voit käyttää vain Exceliä laskelmiin etkä edes ohjelmointikieltä.
Tulevaisuudessa sinun on kuitenkin ratkaistava CATS-tehtävä, jossa sinun on laskettava kehon lennon aika ja kantama, jossa et tule toimeen ilman ohjelmointikieltä.
Huomaa, että voit testata ohjelmasi ja tarkista kaaviot vertaamalla laskentatuloksia milloin k= 0 "Analyyttinen tutkimus" -osiossa annetuilla tarkoilla kaavoilla.
Kokeile ohjelmaasi. Varmista, että jos ilmanvastusta ei ole ( k= 0) suurin lentomatka kiinteällä alkunopeudella saavutetaan 45° kulmassa.
Entä ilmanvastus? Missä kulmassa suurin lentoetäisyys saavutetaan?
Kuvassa näkyy kehon liikeradat klo v 0 = 10 m/s, α = 45°, g= 9,8 m/s 2, m= 1 kg, k= 0 ja 1 saatu numeerisella simulaatiolla kohdassa Δ t = 0,01.
Voit tutustua Troitskin 10. luokkalaisten upeaan työhön, joka esiteltiin "Start in Science" -konferenssissa vuonna 2011. Teos on omistettu horisonttiin nähden kulmaan heitetyn tennispallon liikkeen mallintamiseen (ilma huomioiden). vastus). Käytetään sekä numeerista mallintamista että täysimittaista koetta.
Siten tämän luovan tehtävän avulla voit tutustua matemaattisen ja numeerisen mallinnuksen menetelmiin, joita käytetään aktiivisesti käytännössä, mutta joita tutkitaan vähän koulussa. Näitä menetelmiä käytettiin esimerkiksi ydin- ja avaruushankkeiden toteuttamisessa Neuvostoliitossa 1900-luvun puolivälissä.
Tässä artikkelissa tarkastellaan tilannetta, jossa ruumis heitetään kulmassa vaakatasoon nähden. Tämä voi olla kiven heittämistä käsin, ammuksen ampumista tykistä, nuolen laukaisua jousesta ja niin edelleen. Kaikki nämä tilanteet kuvataan samalla tavalla matemaattisesta näkökulmasta.
Ominaisuus liikkua kulmassa vaakatasoon nähden
Mitä yhtäläisyyksiä yllä olevien esimerkkien välillä on fysiikan näkökulmasta? Se johtuu kehoon vaikuttavien voimien luonteesta. Kehon vapaan lennon aikana siihen vaikuttaa vain kaksi voimaa:
- Painovoima.
- Windage.
Jos rungon massa on riittävän suuri ja sen muoto on terävä (ammus, nuoli), ilmanvastus voidaan jättää huomiotta.
Siten horisonttiin nähden kulmassa heitetyn kappaleen liike on ongelma, jossa esiintyy vain painovoima. Juuri tämä määrittää liikeradan muodon, jota kuvataan hyvällä tarkkuudella parabolisella funktiolla.
Liikeyhtälöt parabolisella liikeradalla. Nopeus
Ruumis heitettiin kulmaan horisonttiin nähden. Miten voit kuvailla hänen liikettä? Koska ainoa kehon lennon aikana vaikuttava voima on suunnattu alaspäin, sen vaakakomponentti on nolla. Tämä tosiasia tarkoittaa, että kohteen vaakasuora liike määräytyy yksiselitteisesti alkuolosuhteiden (heitto- tai laukauskulma θ ja nopeus v) mukaan. Kehon pystysuuntainen liike on elävä esimerkki tasaisesti kiihtyvästä liikkeestä, jossa kiihtyvyyden roolissa on vakio g (9,81 m/s2).
Yllä oleva huomioon ottaen voidaan kirjoittaa kaksi komponenttia lentävän kappaleen nopeudelle hetkellä t:
v x = v* cos(θ);
v y = v * sin(θ) - g * t
Kuten voidaan nähdä, v x -komponentti ei riipu ajasta ja pysyy vakiona koko lentoradan ajan (seuraus x-akselin suunnassa olevien ulkoisten voimien puuttumisesta). Komponentilla v y on maksimi alkuajanhetkellä. Ja sitten se alkaa laskea, kunnes siitä tulee nolla kehon maksimikohdassa. Tämän jälkeen se vaihtaa etumerkkiä ja putoamishetkellä se osoittautuu yhtä suureksi kuin alkukomponentin v y moduuli eli v*sin(θ).
Kirjoitetut yhtälöt mahdollistavat vaakatasoon nähden kulmassa heitetyn kappaleen nopeuden millä tahansa hetkellä t. Sen moduuli on yhtä suuri kuin:
v = √ (v x 2 + v y 2) = √ (v 2 * cos 2 (θ) + v 2 * sin 2 (θ) - 2 * v* sin(θ) * g * t + g 2 * t 2) =
= √ (v 2 - 2 * v * sin(θ) * g * t + g 2 * t 2)
Liikeyhtälöt parabolisella liikeradalla. Lentoalue
Ruumis heitettiin kulmaan horisonttiin nähden. Kuinka pitkälle se lentää? Aluekysymys koskee x-koordinaatin muutosta. Tämä arvo voidaan löytää integroimalla molemmat nopeuskomponentit ajan myötä. Integroinnin tuloksena saamme kaavat:
x = v*cos(θ)*t+x0;
y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + y 0
Ero koordinaattien x ja x 0 välillä on lentoetäisyys. Jos oletetaan, että x 0 = 0, niin alue on yhtä suuri kuin x, jonka löytämiseksi sinun on tiedettävä kuinka kauan t kappale on ilmassa.
Toisen yhtälön avulla voit laskea tämän ajan edellyttäen, että arvo y 0 (korkeus h, josta ruumis heitetään) tunnetaan. Kun esine suorittaa liikkeensä (putoaa maahan), sen y-koordinaatiksi tulee nolla. Lasketaan aika, jolloin tämä tapahtuu. Meillä on:
v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = 0
Edessämme on täydellinen neliöllinen tasa-arvo. Ratkaisemme sen diskriminantilla:
D = v 2 * sin 2 (θ) - 4 * (-g/2) * h = v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h;
t = (-v * sin(θ) ± √D)/(2 * (-g/2))
Hylkäämme negatiivisen juuren. Saamme seuraavan lentoajan:
t = (v * sin(θ) + √ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h))/g
Nyt korvaamme tämän arvon lentoetäisyyden yhtälössä. Saamme:
x = v * cos(θ) * (v * sin(θ)+√ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h))/g
Jos ruumis heitetään maasta, eli h = 0, tämä kaava yksinkertaistuu merkittävästi. Ja se näyttää tältä:
x = 2 * v 2 * cos(θ) * sin(θ)/g = v 2 * sin(2 * θ)/g
Viimeinen lauseke saatiin käyttämällä sinin ja kosinin trigonometristen funktioiden välistä suhdetta (pelkistyskaava).
Koska sinillä on suoran kulman maksimiarvo, suurin lentoetäisyys saavutetaan, kun ruumis heitetään (laukataan) maan pinnasta 45° kulmassa, ja tämä etäisyys on yhtä suuri:
Vaakasuoraan kulmaan heitetyn kappaleen korkeus
Määritetään nyt toinen tärkeä parametri - korkeus, johon heitetty esine voi nousta. Ilmeisesti tähän riittää, että huomioidaan vain muutos y-koordinaatissa.
Joten ruumis heitetään kulmaan horisonttiin nähden, mihin korkeuteen se lentää? Tämä korkeus vastaa nopeuskomponentin v y yhtäläisyyttä nollaan. Meillä on yhtälö:
v y = v * sin(θ) - g * t = 0
Ratkaistaan yhtälö. Saamme:
Nyt sinun on korvattava tämä aika y-koordinaatin lausekkeessa. Saamme:
y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = v 2 * sin 2 (θ)/g - g/2* v 2 * sin 2 (θ)/g 2 + h =
V 2 * sin 2 (θ)/(2 * g) + h
Tämä kaava osoittaa, että maksimikorkeus, toisin kuin lentoetäisyys, saavutetaan, jos ruumis heitetään tiukasti pystysuoraan (θ = 90). Tässä tapauksessa päästään kaavaan:
On mielenkiintoista huomata, että kaikissa tässä artikkelissa annetuissa kaavoissa ruumiinpaino ei näy. Parabolisen liikeradan ominaisuudet eivät riipu siitä, vaan vain ilman vastuksen puuttuessa.
Jos kappale heitetään kulmassa horisonttiin nähden, niin lennon aikana siihen vaikuttavat painovoima ja ilmanvastus. Jos vastusvoima jätetään huomioimatta, ainoa jäljellä oleva voima on painovoima. Siksi Newtonin toisesta laista johtuen keho liikkuu kiihtyvyydellä, joka on yhtä suuri kuin painovoiman kiihtyvyys; kiihtyvyyden projektiot koordinaattiakseleille ax = 0, ay = - g.
Kuva 1. Vaakasuuntaan nähden kulmassa heitetyn kappaleen kinemaattiset ominaisuudet
Mikä tahansa aineellisen pisteen monimutkainen liike voidaan esittää itsenäisten liikkeiden superpositiona koordinaattiakseleita pitkin, ja eri akselien suunnassa liikkeen tyyppi voi vaihdella. Meidän tapauksessamme lentävän kappaleen liike voidaan esittää kahden itsenäisen liikkeen superpositiona: tasainen liike vaaka-akselilla (X-akseli) ja tasaisesti kiihdytetty liike pystyakselilla (Y-akseli) (kuva 1) .
Siksi kehon nopeusprojektiot muuttuvat ajan myötä seuraavasti:
missä $v_0$ on alkunopeus, $(\mathbf \alpha )$ on heittokulma.
Origovalinnassamme alkukoordinaatit (kuva 1) ovat $x_0=y_0=0$. Sitten saamme:
(1)
Analysoidaan kaavoja (1). Määritetään heitetyn kappaleen liikeaika. Tätä varten asetetaan y-koordinaatiksi nolla, koska laskeutumishetkellä kehon korkeus on nolla. Täältä saamme lentoajan:
Toinen aika-arvo, jossa korkeus on nolla, on nolla, mikä vastaa heittohetkeä, ts. tällä arvolla on myös fyysinen merkitys.
Hankimme lentoetäisyyden ensimmäisestä kaavasta (1). Lentoetäisyys on x-koordinaatin arvo lennon lopussa, ts. hetkellä, joka on yhtä suuri kuin $t_0$. Korvaamalla arvon (2) ensimmäiseen kaavaan (1), saamme:
Tästä kaavasta voidaan nähdä, että suurin lentoetäisyys saavutetaan 45 asteen heittokulmalla.
Heitetyn kappaleen suurin nostokorkeus saadaan toisesta kaavasta (1). Tätä varten sinun on korvattava aika-arvo, joka on yhtä suuri kuin puolet lentoajasta (2), tähän kaavaan, koska Lentokorkeus on suurin lentoradan puolivälissä. Suorittamalla laskelmia saamme
Yhtälöistä (1) voidaan saada kehon liikeradan yhtälö, ts. yhtälö, joka yhdistää kappaleen x- ja y-koordinaatit liikkeen aikana. Tätä varten sinun on ilmaistava aika ensimmäisestä yhtälöstä (1):
ja korvaa se toiseen yhtälöön. Sitten saamme:
Tämä yhtälö on liikeradan yhtälö. Voidaan nähdä, että tämä on paraabelin yhtälö, jonka haarat ovat alaspäin, kuten neliötermin edessä oleva "-"-merkki osoittaa. On syytä muistaa, että heittokulma $\alpha $ ja sen funktiot ovat tässä yksinkertaisesti vakioita, ts. vakioluvut.
Kappale heitetään nopeudella v0 kulmassa $(\mathbf \alpha )$ vaakatasoon nähden. Lentoaika $t = 2 s$. Mihin korkeuteen Hmax keho nousee?
$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$
Kehon liikkeen lailla on muoto:
$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $
Alkunopeusvektori muodostaa kulman $(\mathbf \alpha )$ OX-akselin kanssa. Siten,
\ \ \
Kivi heitetään vuoren huipulta kulmassa = 30$()^\circ$ horisonttiin nähden alkunopeudella $v_0 = 6 m/s$. Kalteva tasokulma = 30$()^\circ$. Millä etäisyydellä heittopisteestä kivi putoaa?
$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$
Sijoitetaan koordinaattien origo heittopisteeseen, OX - kaltevaa tasoa pitkin alaspäin, OY - kohtisuoraan kaltevaa tasoa vastaan ylöspäin. Liikkeen kinemaattiset ominaisuudet:
Liikelaki:
$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \
Korvaamalla tuloksena olevan arvon $t_В$, löydämme $S$: