Suhde 1 0. Suhteiden laskeminen. Kuinka laskea suhde

Suhteet ovat niin tuttu yhdistelmä, joka on varmaan tuttu peruskoulun ala-asteilta. Yleisimmässä mielessä, osuus on kahden tai useamman suhteen yhtäläisyys.

Eli jos on joitain lukuja A, B ja C

sitten suhde

jos on neljä numeroa A, B, C ja D

kumpikin on myös suhde

Yksinkertaisin esimerkki suhteesta on prosenttien laskeminen.

Yleisesti ottaen mittasuhteiden käyttö on niin laajaa, että on helpompi sanoa, missä ne eivät päde.

Mittasuhteita voidaan käyttää etäisyyksien, massojen, tilavuuksien ja minkä tahansa määrän määrittämiseen yhdellä tärkeällä ehdolla: suhteessa eri objektien välillä tulisi olla lineaarisia riippuvuuksia. Alla, käyttämällä esimerkkiä Bronze Horseman -asettelun rakentamisesta, näet kuinka lasketaan suhteet, joissa on epälineaarisia riippuvuuksia.

Määritä kuinka monta kiloa riisiä tulee olemaan, jos otat 17 prosenttia 150 kilon riisin kokonaistilavuudesta?

Tehdään suhde sanoilla: 150 kiloa on riisin kokonaistilavuus. Otetaan siis se 100 %:na. Sitten 17 % 100 %:sta lasketaan suhteellisesti kahdesta suhteesta: 100 prosenttia on 150 kiloon sama kuin 17 prosenttia tuntemattomaan numeroon.

Nyt tuntematon luku lasketaan alkeellisesti

Eli vastauksemme on 25,5 kiloa riisiä.

Mittasuhteisiin liittyy myös mielenkiintoisia mysteereitä, jotka osoittavat, että mittasuhteita ei tarvitse hätiköidä soveltaa kaikkiin tilanteisiin.

Tässä yksi niistä hieman muokattuna:

Esittelyä varten yrityksen toimistossa johtaja määräsi luomaan mallin veistoksesta "Pronssiratsumies" ilman graniittijalustaa. Yksi edellytyksistä on, että mallin tulee olla samoista materiaaleista kuin alkuperäinen, mittasuhteita tulee noudattaa ja mallin korkeuden on oltava täsmälleen 1 metri. Kysymys: Mikä on asettelun paino?

Aloitetaan hakuteoksilla.

Ratsastajan korkeus on 5,35 metriä ja paino 8000 kg.

Jos käytämme aivan ensimmäistä ajatusta - tehdä suhde: 5,35 metriä liittyy 8000 kiloon, kun 1 metri tuntemattomaan arvoon, emme ehkä edes aloita laskemista, koska vastaus on väärä.

Kyse on pienestä vivahteesta, joka on otettava huomioon. Kaikki on kiinni yhteydestä painon ja korkeuden välillä veistoksia epälineaarinen, eli ei voida sanoa, että lisäämällä esimerkiksi kuutiota 1 metrillä (tarkkailemalla mittasuhteita niin, että se pysyy kuutiona), lisäämme sen painoa samalla määrällä.

Tämä on helppo tarkistaa esimerkeillä:

1. liimaa kuutio, jonka reunan pituus on 10 senttimetriä. Kuinka paljon vettä sinne menee? On loogista, että 10 * 10 * 10 \u003d 1000 kuutiosenttimetriä, eli 1 litra. No, koska he kaatoivat sinne vettä (tiheys on yhtä), eikä toista nestettä, massa on 1 kg.

2. Liimaa samanlainen kuutio, mutta jonka rivan pituus on 20 cm. Siihen kaadetaan 20 * 20 * 20 = 8000 kuutiosenttimetriä eli 8 litraa vettä. No, paino on luonnollisesti 8 kg.

On helppo nähdä, että massan ja kuution reunan pituuden muutoksen välinen suhde on epälineaarinen tai pikemminkin kuutio.

Muista, että tilavuus on korkeuden, leveyden ja syvyyden tulos.

Eli kun hahmo muuttuu (suhteista/muodosta riippuen) lineaarista kokoa (korkeus, leveys, syvyys), kolmiulotteisen hahmon massa/tilavuus muuttuu kuutioittain.

Riitelemme:

Lineaarinen mittamme on muuttunut 5,35 metristä 1 metriin, jolloin massa (tilavuus) muuttuu 8000/x kuutiojuurena

Ja hanki se asettelu Pronssi ratsastaja yrityksen toimistossa, jonka korkeus on 1 metri, painaa 52 kiloa 243 grammaa.

Mutta toisaalta, jos tehtävä olisi asetettu näin " ulkoasun tulee olla samoista materiaaleista kuin alkuperäinen, mittasuhteet ja tilavuus 1 kuutiometri "Sitten tietäen, että tilavuuden ja massan välillä on lineaarinen suhde, käyttäisimme vain standardisuhdetta, vanhaa tilavuutta uuteen ja vanhaa massaa tuntemattomaan numeroon.

Mutta bottimme auttaa laskemaan mittasuhteita muissa, yleisemmissä ja käytännöllisissä tapauksissa.

Varmasti siitä on hyötyä kaikille kotiäidille, jotka valmistavat ruokaa.

Tilanteita syntyy, kun löytyy resepti hämmästyttävälle 10 kg:n kakulle, mutta sen tilavuus on liian suuri valmistaa .. Haluaisin sen olevan pienempi, esimerkiksi vain kaksi kiloa, mutta kuinka laskea kaikki uudet painot ja ainesosien määrät?

Tässä auttaa sinua robotti, joka pystyy laskemaan 2-kiloisen kakun uudet parametrit.

Botti auttaa myös laskelmissa ahkeralle taloa rakentaville miehille, jotka joutuvat laskemaan, kuinka paljon konkreettisia ainesosia tulee ottaa, jos heillä on vain 50 kiloa hiekkaa.

Syntaksi

XMPP-asiakaskäyttäjille: pro<строка>

jossa merkkijonossa on vaadittuja elementtejä

numero1 / numero2 - osuuden löytäminen.

Jotta näin lyhyt kuvaus ei pelkää, annamme esimerkin tässä.

200 300 100 3 400/100

Joka sanoo esimerkiksi seuraavaa:

200 grammaa jauhoja, 300 millilitraa maitoa, 100 grammaa voita, 3 munaa - pannukakkujen saanto on 400 grammaa.

Kuinka monta ainesosaa tarvitset leipoaksesi vain 100 grammaa pannukakkuja?

Kuinka helppoa se on huomata

400/100 on tyypillisen reseptin ja haluamamme tuoton suhde.

Käsittelemme esimerkkejä yksityiskohtaisemmin vastaavassa osiossa.

Esimerkkejä

Ystävä jakoi ihanan reseptin

Taikina: 200 grammaa unikonsiemeniä, 8 munaa, 200 tomusokeria, 50 grammaa raastettuja sämpylöitä, 200 grammaa jauhettuja pähkinöitä, 3 kupillista hunajaa.
Keitä unikkoa 30 minuuttia miedolla lämmöllä, jauha survin, lisää sulatettu hunaja, jauhetut keksejä, pähkinät.
Vatkaa munat tomusokerin kanssa, lisää massaan.
Sekoita taikina varovasti, kaada muottiin, paista.
Leikkaa jäähtynyt kakku kahteen kerrokseen, peitä hapanhillolla ja sitten kermalla.
Koristele hillomarjoilla.
Kerma: 1 kuppi smetanaa, 1/2 kuppia sokeria, vatkaa.

perusta matemaattinen tutkimus on kyky saada tietoa tietyistä suureista vertaamalla niitä muihin suureisiin, jotka ovat joko yhtä suuri, tai lisää tai Vähemmän kuin ne, jotka ovat tutkimuksen kohteena. Tämä tehdään yleensä sarjalla yhtälöt ja mittasuhteet. Kun käytämme yhtälöitä, määritämme etsimämme suuren etsimällä sen tasa-arvo jonkin muun jo tutun määrän tai määrien kanssa.

Usein kuitenkin käy niin, että vertaamme tuntematonta määrää muihin ei tasa-arvoinen häntä, mutta enemmän tai vähemmän hänestä. Tässä tarvitaan erilaista lähestymistapaa tietojenkäsittelyyn. Meidän on ehkä tiedettävä esim. kuinka paljon yksi arvo on suurempi kuin toinen, tai kuinka monta kertaa toinen sisältää toisen. Saadaksemme vastauksia näihin kysymyksiin, selvitämme, mikä on suhde kaksi kokoa. Yksi suhde on nimeltään aritmeettinen, ja toinen geometrinen. Vaikka on syytä huomata, että näitä molempia termejä ei hyväksytty sattumalta tai vain eron vuoksi. Sekä aritmeettiset että geometriset suhteet pätevät sekä aritmetiikkaan että geometriaan.

Koska se on osa laajaa ja tärkeää aihetta, osuus riippuu suhteista, joten näiden käsitteiden selkeä ja täydellinen ymmärtäminen on välttämätöntä.

338. Aritmeettinen suhde Tämä on erokahden määrän tai sarjan välillä. Itse määriä kutsutaan jäsenet suhteet, eli termit, joiden välillä on suhde. Näin ollen 2 on 5:n ja 3:n aritmeettinen suhde. Tämä ilmaistaan sijoittamalla miinusmerkki kahden arvon väliin, eli 5 - 3. Tietenkin termi aritmeettinen suhde ja sen erittely on käytännössä hyödytöntä, koska vain sanan korvaaminen tapahtuu ero lausekkeen miinusmerkkiin.

339. Jos aritmeettisen suhteen molemmat jäsenet moninkertaistaa tai jakaa siis samalla määrällä suhde, lopulta kerrotaan tai jaetaan tällä määrällä.
Siten, jos meillä on a - b = r
Kerro sitten molemmat puolet h:lla, (Ax. 3.) ha - hb = hr
Ja jakamalla h:lla (Ax. 4.) $\frac(a)(h)-\frac(b)(h)=\frac(r)(h)$

340. Jos aritmeettisen suhteen termit lisäävät tai vähentävät toisen vastaavia termejä, niin summan tai erotuksen suhde on yhtä suuri kuin näiden kahden suhteen summa tai erotus.
Jos a - b
Ja d-h
on kaksi suhdetta,
Sitten (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). Joka kussakin tapauksessa = a + d - b - h.
Ja (a - d) - (b - h) = (a - b) - (d - h). Joka kussakin tapauksessa = a - d - b + h.
Joten aritmeettinen suhde 11 - 4 on 7
Ja aritmeettinen suhde 5 - 2 on 3
Termien 16 - 6 summan suhde on 10, - suhteiden summa.
Jäsenten 6 - 2 eron suhde on 4, - suhteiden ero.

341. geometrinen suhde on määrien välinen suhde, joka ilmaistaan YKSITYINEN jos yksi arvo jaetaan toisella.
Joten suhde 8:4 voidaan kirjoittaa 8/4 tai 2. Eli 8:n osamäärä jaettuna 4:llä. Toisin sanoen se näyttää kuinka monta kertaa 4 sisältyy 8:aan.

Samalla tavalla minkä tahansa suuren suhde toiseen voidaan määrittää jakamalla ensimmäinen toisella tai, mikä on periaatteessa sama asia, tekemällä ensimmäisestä murtoluvun osoittaja ja toisesta nimittäjä.
Joten a:n suhde b:hen on $\frac(a)(b)$
Suhde d + h ja b + c on $\frac(d+h)(b+c)$.

342. Geometrinen suhde kirjoitetaan myös asettamalla kaksi pistettä päällekkäin vertailuarvojen väliin.
Siten a:b on a:n suhde b:hen ja 12:4 on suhde 12:aan 4:ään. Nämä kaksi suuretta yhdessä muodostavat pari, jossa ensimmäistä termiä kutsutaan edeltäjä, ja viimeinen on seurausta.

343. Tämä pisteellinen merkintä ja toinen murto-osan muodossa ovat keskenään vaihdettavissa tarpeen mukaan, jolloin edeltäjästä tulee murtoluvun osoittaja ja sen seurauksena nimittäjä.
Joten 10:5 on sama kuin $\frac(10)(5)$ ja b:d on sama kuin $\frac(b)(d)$.

344. Jos jollekin näistä kolmesta merkityksestä: edeltävä, seuraus ja suhde annetaan jokin kaksi, sitten kolmas löytyy.

Olkoon a= antesedentti, c= konsekventti, r= relaatio.
Määritelmän mukaan $r=\frac(a)(c)$, eli suhde on yhtä suuri kuin antesedentti jaettuna seurauksella.
Kun kerrotaan c:llä, a = cr, eli antesedentti on yhtä suuri kuin suhde kertaluonteisesti.
Jaa r:llä, $c=\frac(a)(r)$, eli konsertti on yhtä suuri kuin antesedentti jaettuna suhteella.

Resp. 1. Jos kahdella parilla on samat edeltäjät ja seuraukset, niin myös niiden suhteet ovat yhtä suuret.

Resp. 2. Jos kahden parin suhteet ja antecedentit ovat yhtä suuret, niin seuraukset ovat yhtä suuret, ja jos suhteet ja seuraukset ovat yhtä suuret, niin antecidentit ovat yhtä suuret.

345. Jos kahta määrää verrattiin yhtä suuri, silloin niiden suhde on yhtä suuri kuin yhtenäisyys tai yhtäläisyys. Suhde 3 * 6:18 on yhtä suuri kuin yksi, koska minkä tahansa arvon itsellään jaettuna osamäärä on 1.

Jos parin edeltäjä lisää, kuin seuraus, silloin suhde on suurempi kuin yksi. Koska osinko on suurempi kuin jakaja, osamäärä on suurempi kuin yksi. Joten suhde 18:6 on 3. Tätä kutsutaan suhteeksi suurempaa eriarvoisuutta.

Toisaalta, jos edeltäjä Vähemmän kuin seurauksena, silloin suhde on pienempi kuin yksi, ja tätä kutsutaan suhteeksi vähemmän eriarvoisuutta. Joten suhde 2:3 on pienempi kuin yksi, koska osinko on pienempi kuin jakaja.

346. Käänteinen suhde on kahden käänteisluvun suhde.
Joten käänteissuhde 6:3 on, eli:.
A:n suora suhde b:hen on $\frac(a)(b)$, eli antesedentti jaettuna konsekventilla.
Käänteinen suhde on $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ tai $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b) (a) $.
eli kosekvenssi b jaettuna antesedentillä a.

Siten käänteinen suhde ilmaistaan kääntämällä murto-osan, joka näyttää suoran suhteen, tai kun merkintä tehdään pisteillä, kääntämällä jäsenten kirjoitusjärjestystä.
Siten a liittyy b:hen päinvastoin kuin b liittyy a:han.

347. Monimutkainen suhde tämä suhde toimii vastaavia termejä kahdella tai useammalla yksinkertaisella suhteella.
Joten suhde on 6:3, yhtä suuri kuin 2
Ja suhde 12:4 on 3
Niiden suhde on 72:12 = 6.

Tässä monimutkainen relaatio saadaan kertomalla yhteen kaksi yksinkertaisten suhteiden edeltäjää ja myös kaksi seurausta.
Joten suhde muodostuu
Suhteesta a:b
Ja c:d-suhteet
ja suhde h:y
Tämä on relaatio $ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$.
Monimutkainen suhde ei eroa toisistaan luonto mistä tahansa muusta suhteesta. Tätä termiä käytetään osoittamaan suhteen alkuperä tietyissä tapauksissa.

Resp. Monimutkainen suhde on yhtä suuri kuin yksinkertaisten suhteiden tulo.
Suhde a:b on yhtä suuri kuin $\frac(a)(b)$
Suhde c:d on yhtä suuri kuin $\frac(c)(d)$
Suhde h:y on yhtä suuri kuin $\frac(h)(y)$
Ja näiden kolmen lisätty suhde on ach/bdy, joka on yksinkertaisia suhteita ilmaisevien murtolukujen tulos.

348. Jos jokaisen edellisen parin relaatiosarjassa konsekventti on edeltäjä seuraavassa, niin ensimmäisen edeltävän ja viimeisen seurauksen suhde on yhtä suuri kuin välisuhteista saatu suhde.
Siis monessa suhteessa
a:b
b:c
CD
d:h
suhde a:h on yhtä suuri kuin suhteista a:b ja b:c sekä c:d ja d:h summattu suhde. Joten kompleksisuhde viimeisessä artikkelissa on $\frac(abcd)(bcdh)=\frac(a)(h)$ tai a:h.

Samalla tavalla kaikki suureet, jotka ovat sekä edeltäjiä että seurauksia kadota, kun murtolukujen tulo yksinkertaistetaan sen alemmille ehdoille ja loppuosassa kompleksisuhde ilmaistaan ensimmäisellä antesedentillä ja viimeisellä konseventilla.

349. Monimutkaisten relaatioiden erityinen luokka saadaan kertomalla yksinkertainen relaatio luvulla hän itse tai toiselle yhtä suuri suhde. Näitä suhteita kutsutaan kaksinkertainen, kolminkertaistaa, nelinkertaistaa, ja niin edelleen kertolaskujen lukumäärän mukaan.

Suhde koostuu kaksi yhtä suuret suhteet, eli neliö- kaksinkertainen suhde.

Koostuu kolme, tuo on, kuutio yksinkertaista suhdetta kutsutaan kolminkertaistaa, ja niin edelleen.

Samoin suhde neliöjuuret kahta määrää kutsutaan suhteeksi neliöjuuri ja suhde kuution juuret-suhde kuutiojuuri, ja niin edelleen.
Joten a:n yksinkertainen suhde b on a:b
A:n ja b:n kaksoissuhde on a 2:b 2
A:n ja b:n kolminkertainen suhde on a 3:b 3
A:n neliöjuuren suhde b:hen on √a :√b
A:n kuutiojuuren suhde b:hen on 3 √a : 3 √b ja niin edelleen.
Ehdot kaksinkertainen, kolminkertaistaa, ja niin edelleen, niitä ei tarvitse sekoittaa kaksinkertaistunut, kolminkertaistunut, ja niin edelleen.
Suhde 6:2 on 6:2 = 3
Jos tämä suhde kaksinkertaistuu, eli suhde kahdesti, saadaan 12:2 = 6
Kolminkertaistamme tämän suhteen, eli tämän suhteen kolme kertaa, saamme 18: 2 = 9
MUTTA kaksinkertainen suhde, eli neliö- suhde on 6 2:2 2 = 9
Ja kolminkertaistaa suhde, eli suhteen kuutio, on 6 3:2 3 = 27

350. Jotta suuret voisivat korreloida keskenään, niiden on oltava samanlaisia, jotta voidaan varmuudella todeta, ovatko ne keskenään samanarvoisia vai onko jokin niistä suurempi vai pienempi. Jalka on tuuman verran kuin 12:1: se on 12 kertaa suurempi kuin tuuma. Mutta ei voi esimerkiksi sanoa, että tunti on pidempi tai lyhyempi kuin keppi tai acre on suurempi tai pienempi kuin aste. Jos nämä arvot kuitenkin ilmaistaan numeroita, niin näiden lukujen välillä voi olla suhde. Toisin sanoen minuuttien lukumäärän tunnissa ja askelten määrän välillä mailissa voi olla suhde.

351. Kääntyen luonto Suhteet, seuraava askel, joka meidän on otettava huomioon, on se, kuinka muutos yhdessä tai kahdessa toisiinsa verratussa termissä vaikuttaa itse suhdelukuon. Muista, että suora suhde ilmaistaan murtolukuna, missä antecedet parit ovat aina osoittaja, a seurauksena - nimittäjä. Silloin murto-osien ominaisuudesta on helppo saada selville, että suhteessa tapahtuu muutoksia vertailtuja määriä muuttamalla. Kahden suuren suhde on sama kuin merkitys murto-osia, joista jokainen edustaa yksityinen: osoittaja jaettuna nimittäjällä. (Art. 341.) Nyt on osoitettu, että murtoluvun osoittajan kertominen millä tahansa arvolla on sama kuin kertominen merkitys samalla määrällä ja osoittajan jakaminen on sama kuin murtoluvun arvojen jakaminen. Siksi,

352. Parin edeltäjän kertominen millä tahansa arvolla tarkoittaa suhdelukujen kertomista tällä arvolla ja antesedentin jakaminen on tämän suhteen jakamista.
Joten suhde 6:2 on 3
Ja suhde 24:2 on 12.
Tässä viimeisen parin edeltäjä ja suhde ovat 4 kertaa suuremmat kuin ensimmäisessä.
Relaatio a:b on yhtä suuri kuin $\frac(a)(b)$
Ja relaatio na:b on yhtä suuri kuin $\frac(na)(b)$.

Resp. Tunnetulla seurauksella, sitä enemmän edeltäjä, sitä enemmän suhde, ja päinvastoin, mitä suurempi suhde, sitä suurempi on ennakko.

353. Kertomalla parin seuraus millä tahansa arvolla, tuloksena saadaan suhde jaettua tällä arvolla, ja jakamalla seurauksen, kerromme suhteen. Kertomalla murto-osan nimittäjä jaamme arvon, ja jakamalla nimittäjä, arvo kerrotaan.
Joten suhde 12:2 on 6
Ja suhde 12:4 on 3.
Tässä on toisen parin tulos kahdesti enemmän, mutta suhde kahdesti vähemmän kuin ensimmäinen.
Suhde a:b on $\frac(a)(b)$
Ja suhde a:nb on yhtä suuri kuin $\frac(a)(nb)$.

Resp. Tietylle edeltäjälle, mitä suurempi on seuraus, sitä pienempi suhde. Toisaalta mitä suurempi suhde, sitä pienempi on seuraus.

354. Kahdesta viimeisestä artiklasta seuraa, että kertolaskujen edeltäjä pareilla millä tahansa arvolla on sama vaikutus suhteeseen kuin seurauksen jako tällä määrällä ja edeltävä jako, sillä on sama vaikutus kuin seurauksena oleva kertolasku.
Joten suhde 8:4 on 2
Kun edeltäjä kerrotaan kahdella, suhde 16:4 on 4
Jakamalla edeltäjä kahdella, suhde 8:2 on 4.

Resp. Minkä tahansa tekijä tai jakaja voidaan siirtää parin edeltäjästä konsekventtiin tai konsekventista antesedenttiin relaatiota muuttamatta.

On syytä huomata, että kun tekijä näin siirretään termistä toiseen, siitä tulee jakaja ja siirretystä jakajasta tulee tekijä.
Joten suhde on 3,6:9 = 2
Muutetaan kerrointa 3, $6:\frac(9)(3)=2$
sama suhde.

Relaatio $\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(by)$
Siirretään y $ma:by=\frac(ma)(by)$
Siirretään m, a:$a:\frac(m)(by)=\frac(ma)(by)$.

355. Kuten artikloista käy ilmi. 352 ja 353, jos ennakko ja seuraus kerrotaan tai jaetaan samalla määrällä, suhde ei muutu.

Resp. 1. Suhde kaksi murto-osia, joilla on yhteinen nimittäjä, sama kuin niiden suhde osoittajia.
Siten suhde a/n:b/n on sama kuin a:b.

Resp. 2. suoraan kahden murtoluvun, joilla on yhteinen osoittaja, suhde on yhtä suuri kuin niiden käänteissuhde nimittäjiä.

356. Esineestä on helppo määrittää minkä tahansa kahden jakeen suhde. Jos jokainen termi kerrotaan kahdella nimittäjällä, suhde saadaan integraalilausekkeilla. Näin ollen, kun parin a/b:c/d ehdot kerrotaan bd:llä, saadaan $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$, josta tulee ad:bc vähentämällä kokonaisarvot osoittajista ja nimittäjistä.

356 b. Suhde suurempaa eriarvoisuutta lisääntyy hänen
Olkoon suurempi epäyhtälösuhde 1+n:1
Ja mikä tahansa suhde a:b
Monimutkainen suhde on (Art. 347) a + na:b
Mikä on suurempi kuin suhde a:b (Art. 351 vs.)
Mutta suhde vähemmän eriarvoisuutta, lisätty toisella suhteella, vähentää hänen.
Olkoon pienemmän eron suhde 1-n:1
Mikä tahansa suhde a:b
Kompleksisuhde a - na:b
Mikä on pienempi kuin a:b.

357. Jos minkä tahansa parin jäsenille tai jäseniltälisätä tai vähennä kaksi muuta määrää, jotka ovat samassa suhteessa, niin summilla tai jäännöksillä on sama suhde.
Olkoon suhde a:b
Se on sama kuin c:d
Sitten suhde määriä Seurausten summan edeltäjä, eli a + c - b + d, on myös sama.
Eli $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Todiste.

1. Oletuksena $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. Kerro b:llä ja d:llä, ad = bc
3. Lisää cd molemmille puolille, ad + cd = bc + cd
4. Jaa d:llä, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. Jaa b + d:llä, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Suhde ero seurausten eron edeltäjät ovat myös samat.

358. Jos useiden parien suhteet ovat yhtä suuret, niin kaikkien edeltäjien summa on kaikkien seurausten summa, kuten mikä tahansa edeltäjä on sen seuraus.
Siis suhde
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Näin ollen suhde (12 + 10 + 8 + 6): (6 + 5 + 4 + 3) = 2.

358b. Suhde suurempaa eriarvoisuuttavähenee, lisäämällä sama määrä molemmille jäsenille.
Olkoon annettu relaatio a+b:a tai $\frac(a+b)(a)$
Lisäämällä x molempiin termeihin saadaan a+b+x:a+x tai $\frac(a+b)(a)$.

Ensimmäisestä tulee $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$
Ja viimeinen on $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$.
Koska viimeinen osoittaja on selvästi pienempi kuin toinen, niin suhde pitäisi olla vähemmän. (Art. 351 vastaavasti)

Mutta suhde vähemmän eriarvoisuutta lisääntyy, lisäämällä saman arvon molempiin termeihin.
Olkoon annettu relaatio (a-b):a tai $\frac(a-b)(a)$.
Lisäämällä x molempiin termeihin, siitä tulee (a-b+x):(a+x) tai $\frac(a-b+x)(a+x)$
Tuo ne yhteiselle nimittäjälle,
Ensimmäisestä tulee $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$
Ja viimeinen, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$.

Koska viimeinen osoittaja on suurempi kuin toinen, niin suhde lisää.
Jos sen sijaan, että lisäisit saman arvon ottaa mukaan kahdesta termistä on selvää, että vaikutus suhteeseen on päinvastainen.

Esimerkkejä.

1. Kumpi on suurempi: suhde 11:9 vai suhde 44:35?

2. Kumpi on suurempi: suhde $(a+3):\frac(a)(6)$ vai suhde $(2a+7):\frac(a)(3)$?

3. Jos parin ennakko on 65 ja suhde on 13, mikä on seuraus?

4. Jos parin seuraus on 7 ja suhde on 18, mikä on ennakko?

5. Miltä näyttää kompleksisuhde, joka koostuu suhteista 8:7 ja 2a:5b sekä (7x+1):(3y-2)?

6. Miltä näyttää kompleksisuhde, joka koostuu (x + y): b, ja (x-y): (a + b) ja myös (a + b): h? Rep. (x 2 - y 2):bh.

7. Jos suhteet (5x+7):(2x-3) ja $(x+2):\left(\frac(x)(2)+3\right)$ muodostavat kompleksisen suhteen, niin mikä relaatio saatko: enemmän vai vähemmän eriarvoisuutta? Rep. Suuremman epätasa-arvon suhde.

8. Mikä on (x + y):a:n ja (x - y):b:n ja $b:\frac(x^2-y^2)(a)$:n suhde? Rep. Tasa-arvosuhde.

9. Mikä on suhde 7:5 ja kaksinkertaistaa 4:9 ja kolminkertaistaa 3:2?
Rep. 14:15.

10. Mikä on suhde, joka koostuu suhteesta 3:7 ja kolminkertaistamalla x:y-suhde ja erottamalla juuren suhteesta 49:9?
Rep. x3:y3.

Useimpien lukion matematiikan ongelmien ratkaisemiseksi tarvitaan tietoa suhteellisuudesta. Tämä yksinkertainen taito auttaa sinua paitsi suorittamaan monimutkaisia harjoituksia oppikirjasta, myös sukeltamaan matemaattisen tieteen olemukseen. Kuinka tehdä osuus? Otetaan nyt selvää.

Yksinkertaisin esimerkki on ongelma, jossa tunnetaan kolme parametria ja neljäs on löydettävä. Suhteet ovat tietysti erilaisia, mutta usein sinun on löydettävä jokin luku prosentteina. Esimerkiksi pojalla oli yhteensä kymmenen omenaa. Neljännen osan hän antoi äidilleen. Kuinka monta omenaa pojalla on jäljellä? Tämä on yksinkertaisin esimerkki, jonka avulla voit tehdä osuuden. Pääasia on tehdä se. Omenoita oli alun perin kymmenen. Olkoon se 100%. Tällä merkitsimme kaikki hänen omenat. Hän antoi neljäsosan. 1/4 = 25/100. Joten hän on jättänyt: 100% (se oli alun perin) - 25% (hän antoi) = 75%. Tämä kuva näyttää prosenttiosuuden hedelmämäärästä, joka on jäljellä ensimmäisenä saatavilla olevasta hedelmämäärästä. Nyt meillä on kolme numeroa, joilla voimme jo ratkaista osuuden. 10 omenaa - 100%, X omenat - 75%, missä x on haluttu hedelmämäärä. Kuinka tehdä osuus? On välttämätöntä ymmärtää, mikä se on. Matemaattisesti se näyttää tältä. Yhtäläisyysmerkki on ymmärryksesi vuoksi.

10 omenaa = 100 %;

x omenat = 75 %.

Osoittautuu, että 10/x = 100 %/75. Tämä on mittasuhteiden tärkein ominaisuus. Loppujen lopuksi, mitä enemmän x, sitä enemmän prosenttia on tämä luku alkuperäisestä. Ratkaisemme tämän suhteen ja saamme x=7,5 omenaa. Emme tiedä, miksi poika päätti antaa ei-kokonaisluvun. Nyt tiedät kuinka tehdä suhde. Tärkeintä on löytää kaksi suhdetta, joista toinen sisältää halutun tuntemattoman.

Suhteen ratkaiseminen on usein yksinkertaista kertolaskua ja sitten jakamista. Lapsille ei opeteta kouluissa, miksi näin on. Vaikka on tärkeää ymmärtää, että suhteelliset suhteet ovat matematiikan klassikoita, tieteen ydin. Suhteiden ratkaisemiseksi sinun on osattava käsitellä murto-osia. Esimerkiksi prosentit on usein muutettava tavallisiksi murtoluvuiksi. Eli ennätys 95 % ei toimi. Ja jos kirjoitat heti 95/100, voit tehdä vakavia vähennyksiä aloittamatta päälaskentaa. On syytä sanoa heti, että jos osuutesi osoittautui kahdella tuntemattomalla, sitä ei voida ratkaista. Kukaan professori ei voi auttaa sinua tässä. Ja tehtävälläsi on todennäköisesti monimutkaisempi algoritmi oikeille toimille.

Harkitse toista esimerkkiä, jossa ei ole prosenttiosuuksia. Autoilija osti 5 litraa bensiiniä 150 ruplalla. Hän ajatteli, kuinka paljon hän maksaisi 30 litrasta polttoainetta. Tämän ongelman ratkaisemiseksi merkitsemme x:llä tarvittavan rahamäärän. Voit ratkaista tämän ongelman itse ja tarkistaa vastauksen. Jos et ole vielä keksinyt kuinka tehdä suhteet, katso. 5 litraa bensiiniä on 150 ruplaa. Kuten ensimmäisessä esimerkissä, kirjoitetaan 5l - 150r. Etsitään nyt kolmas numero. Tietenkin se on 30 litraa. Hyväksy, että 30 l - x ruplapari on sopiva tässä tilanteessa. Siirrytään matemaattiseen kieleen.

5 litraa - 150 ruplaa;

30 litraa - x ruplaa;

Ratkaisemme tämän osuuden:

x = 900 ruplaa.

Näin päätimme. Älä unohda tarkistaa tehtävässäsi vastauksen riittävyyttä. Tapahtuu, että väärällä päätöksellä autot saavuttavat epärealistiset 5000 kilometrin tuntinopeudet ja niin edelleen. Nyt tiedät kuinka tehdä suhde. Voit myös ratkaista sen. Kuten näette, tässä ei ole mitään monimutkaista.

Suhdekaava

Suhde on kahden suhteen yhtäläisyys, kun a:b=c:d

suhde 1 : 10 on yhtä suuri kuin suhde 7 : 70, joka voidaan kirjoittaa myös murtolukuna: 1 10 = 7 70 lukee: "yksi on kymmeneen, kuten seitsemän on seitsemäänkymmeneen"

Suhteen perusominaisuudet

Ääritermin tulo on yhtä suuri kuin keskitermien tulo (ristikkäin): jos a:b=c:d , niin a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Suhteiden inversio: jos a:b=c:d , niin b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Keskijäsenten permutaatio: jos a:b=c:d , niin a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Äärijäsenien permutaatio: jos a:b=c:d , niin d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Suhteen ratkaiseminen yhdellä tuntemattomalla | Yhtälö

1 : 10 = x : 70 tai 1 10 = x 70

Löytääksesi x, sinun on kerrottava kaksi tunnettua lukua ristikkäin ja jaettava vastakkaisella arvolla

x = 1 ⋅ 70 10 = 7

Kuinka laskea suhde

Tehtävä: sinun täytyy juoda 1 tabletti aktiivihiiltä 10 painokiloa kohden. Kuinka monta tablettia pitäisi ottaa, jos henkilö painaa 70 kg?

Tehdään suhde: 1 tabletti - 10 kg x tabletit - 70 kg Löytääksesi x, sinun on kerrottava kaksi tunnettua numeroa ristiin ja jaettava vastakkaisella arvolla: 1 tabletti x tabletteja✕ 10 kg 70 kg x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Vastaus: 7 tablettia

Tehtävä: Vasya kirjoittaa kaksi artikkelia viidessä tunnissa. Kuinka monta artikkelia hän kirjoittaa 20 tunnissa?

Tehdään suhde: 2 artikkelia - 5 tuntia x artikkelit - 20 tuntia x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Vastaus: 8 artikkelia

Tuleville ylioppilaille voin sanoa, että kyky tehdä mittasuhteita oli minulle hyödyllinen sekä kuvien suhteellisessa pienentämisessä, että verkkosivun HTML-asettelossa ja arjen tilanteissa.

Suhde (matematiikassa) on kahden tai useamman samantyyppisen luvun välinen suhde. Suhteet vertaavat absoluuttisia arvoja tai kokonaisuuden osia. Suhteet lasketaan ja kirjoitetaan eri tavoin, mutta perusperiaatteet ovat samat kaikille suhteille.

Askeleet

Osa 1

Suhteiden määritelmä

Suhteiden käyttäminen. Suhteita käytetään sekä tieteessä että arkielämässä määrien vertailuun. Yksinkertaisimmat suhteet viittaavat vain kahteen numeroon, mutta on suhteita, jotka vertaavat kolmea tai useampaa arvoa. Missä tahansa tilanteessa, jossa on useampi kuin yksi suure, voidaan kirjoittaa suhde. Linkittämällä joitain arvoja suhteet voivat esimerkiksi ehdottaa, miten reseptin ainesosien tai kemiallisen reaktion aineiden määrää voidaan lisätä.

Suhteiden määritelmä. Relaatio on kahden (tai useamman) samanlaisen arvon välinen suhde. Jos esimerkiksi kakku vaatii 2 kupillista jauhoja ja 1 kupillisen sokeria, jauhojen suhde sokeriin on 2:1.
- Suhteita voidaan käyttää myös silloin, kun kaksi määrää eivät liity toisiinsa (kuten kakkuesimerkissä). Esimerkiksi, jos luokassa on 5 tyttöä ja 10 poikaa, niin tyttöjen ja poikien suhde on 5:10. Nämä suuret (poikien ja tyttöjen määrä) eivät riipu toisistaan, eli heidän arvonsa muuttuvat, jos joku lähtee luokasta tai uusi oppilas tulee tunnille. Suhteet yksinkertaisesti vertaavat määrien arvoja.
Huomaa eri tavat, joilla suhteet esitetään. Suhteet voidaan esittää sanoilla tai matemaattisilla symboleilla.
- Hyvin usein suhteet ilmaistaan sanoilla (kuten yllä on esitetty). Erityisesti tätä suhteiden esitystapaa käytetään jokapäiväisessä elämässä, kaukana tieteestä.
- Suhteet voidaan myös ilmaista kaksoispisteellä. Kun vertaat kahta lukua suhteessa, käytät yhtä kaksoispistettä (esimerkiksi 7:13); kun vertaat kolmea tai useampaa arvoa, laita kaksoispiste jokaisen numeroparin väliin (esimerkiksi 10:2:23). Luokkaesimerkissämme voit ilmaista tyttöjen ja poikien suhteen seuraavasti: 5 tyttöä: 10 poikaa. Tai näin: 5:10.
- Harvemmin suhdeluvut ilmaistaan vinoviivalla. Luokkaesimerkissä se voitaisiin kirjoittaa näin: 5/10. Tämä ei kuitenkaan ole murto-osa, eikä tällaista suhdetta lueta murto-osaksi; Lisäksi muista, että suhteessa numerot eivät ole osa yhtä kokonaisuutta.
Osa 2
Suhteiden käyttäminen
1. Yksinkertaista suhdetta. Suhdesuhdetta voidaan yksinkertaistaa (samanlailla kuin murtoluvut) jakamalla suhteen jokainen termi (luku) luvulla. Älä kuitenkaan unohda alkuperäisiä suhdearvoja.
  - Esimerkissämme luokassa on 5 tyttöä ja 10 poikaa; suhde on 5:10. Suhteen termien suurin yhteinen jakaja on 5 (koska sekä 5 että 10 ovat jaollisia 5:llä). Jaa kukin suhdeluku viidellä saadaksesi suhteen 1 tyttö ja 2 poikaa (tai 1:2). Kuitenkin, kun yksinkertaistat suhdetta, pidä alkuperäiset arvot mielessä. Esimerkissämme luokassa ei ole 3 oppilasta, vaan 15. Yksinkertaistettu suhdeluku vertaa poikien ja tyttöjen määrää. Eli jokaista tyttöä kohden on 2 poikaa, mutta luokassa ei ole 2 poikaa ja 1 tyttö.
  - Jotkut suhteet eivät ole yksinkertaistettuja. Esimerkiksi suhdetta 3:56 ei yksinkertaisteta, koska näillä luvuilla ei ole yhteisiä jakajia (3 on alkuluku ja 56 ei ole jaollinen kolmella).
2. Käytä kerto- tai jakolaskua lisätäksesi tai pienentääksesi suhdetta. Yleinen ongelma on lisätä tai vähentää kahta toisiinsa verrannollista arvoa. Jos sinulle annetaan suhde ja sinun on löydettävä sitä vastaava suurempi tai pienempi suhde, kerro tai jaa alkuperäinen suhde jollakin annetulla luvulla.
  - Esimerkiksi leipurin on kolminkertaistettava reseptissä annettujen ainesten määrä. Jos reseptin mukaan jauhojen ja sokerin suhde on 2:1 (2:1), leipuri kertoo jokaisen termin kolmella saadakseen suhteen 6:3 (6 kupillista jauhoja 3 kupilliseen sokeria).
  - Toisaalta, jos leipurin on puolitettava reseptissä annetut ainekset, leipuri jakaa jokaisen suhdetermin kahdella ja saa suhteen 1:½ (1 kuppi jauhoja 1/2 kupilliseen sokeria).
3. Etsi tuntematon arvo, kun on annettu kaksi ekvivalenttia suhdetta. Tämä on ongelma, jossa sinun on löydettävä tuntematon muuttuja yhdestä suhteesta käyttämällä toista relaatiota, joka vastaa ensimmäistä. Tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi käytä . Kirjoita kukin suhde murtolukuna, laita yhtäsuuruusmerkki niiden väliin ja kerro niiden termit ristiin.
  - Esimerkiksi opiskelijaryhmä, jossa on 2 poikaa ja 5 tyttöä. Mikä on poikien määrä, jos tyttöjen määrä nostetaan 20:een (osuus säilyy)? Kirjoita ensin kaksi suhdetta - 2 poikaa:5 tyttöä ja X pojat: 20 tyttöä. Kirjoita nyt nämä suhteet murtolukuina: 2/5 ja x/20. Kerro murtoluvut ristiin ja saa 5x = 40; siis x = 40/5 = 8.
Osa 3
Yleiset virheet
1. Vältä yhteen- ja vähennyslaskua tekstisuhdeongelmissa. Monet sanatehtävät näyttävät tältä: ”Resepti vaatii 4 perunan mukulaa ja 5 juuriporkkanaa. Jos haluat lisätä 8 perunaa, kuinka monta porkkanaa tarvitset, jotta suhde pysyy samana?" Tällaisia tehtäviä ratkoessaan opiskelijat tekevät usein sen virheen, että lisäävät alkuperäiseen numeroon saman määrän ainesosia. Suhteen säilyttämiseksi sinun on kuitenkin käytettävä kertolaskua. Tässä esimerkkejä oikeista ja vääristä päätöksistä:
  - Väärin: "8 - 4 = 4 - joten lisäsimme 4 perunan mukulaa. Joten, sinun täytyy ottaa 5 porkkanajuurta ja lisätä niihin 4 lisää ... Stop! Suhteet eivät toimi näin. Kannattaa yrittää uudelleen."
  - Oikein: "8 ÷ 4 = 2 - joten kerroimme perunoiden lukumäärän kahdella. Vastaavasti 5 porkkanajuurta on myös kerrottava kahdella. 5 x 2 = 10 - 10 porkkanajuurta on lisättävä reseptiin."