Quando si studia il movimento meccanico in fisica, dopo aver acquisito familiarità con il movimento uniforme e uniformemente accelerato degli oggetti, si passa a considerare il movimento di un corpo ad angolo rispetto all'orizzonte. In questo articolo studieremo questo problema in modo più dettagliato.
Qual è il movimento di un corpo inclinato rispetto all'orizzontale?
Questo tipo di movimento dell'oggetto si verifica quando una persona lancia una pietra in aria, un cannone spara una palla di cannone o un portiere calcia un pallone da calcio lontano dalla porta. Tutti questi casi sono considerati dalla scienza balistica.
Il tipo notato di movimento degli oggetti nell'aria avviene lungo una traiettoria parabolica. In generale, eseguire i calcoli corrispondenti non è una questione semplice, poiché è necessario tenere conto della resistenza dell'aria, della rotazione del corpo durante il volo, della rotazione della Terra attorno al proprio asse e di alcuni altri fattori.
In questo articolo non prenderemo in considerazione tutti questi fattori, ma considereremo la questione da un punto di vista puramente teorico. Tuttavia, le formule risultanti descrivono abbastanza bene le traiettorie dei corpi che si muovono su brevi distanze.
Ottenere formule per il tipo di movimento in esame
Portiamo i corpi verso l'orizzonte in un angolo. In questo caso, prenderemo in considerazione solo un'unica forza che agisce su un oggetto volante: la gravità. Poiché agisce verticalmente verso il basso (parallelamente e contro l'asse y), quindi, considerando le componenti orizzontale e verticale del movimento, possiamo dire che la prima avrà il carattere di movimento rettilineo uniforme. E il secondo: movimento rettilineo uniformemente lento (uniformemente accelerato) con accelerazione g. Cioè, le componenti della velocità attraverso il valore v 0 (velocità iniziale) e θ (angolo di direzione del movimento del corpo) verranno scritte come segue:
v x = v 0 *cos(θ)
v y = v 0 *sin(θ)-g*t
La prima formula (per v x) è sempre valida. Per quanto riguarda il secondo, va notato una sfumatura: il segno meno è posto davanti al prodotto g*t solo se la componente verticale v 0 *sin(θ) è diretta verso l'alto. Nella maggior parte dei casi, questo è ciò che accade, tuttavia, se lanci un corpo da un'altezza, puntandolo verso il basso, nell'espressione per v y dovresti mettere un segno “+” davanti a g*t.
Integrando le formule per le componenti della velocità nel tempo, e tenendo conto dell’altezza iniziale h del volo del corpo, otteniamo le equazioni per le coordinate:
x = v 0 *cos(θ)*t
y = h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2
Calcolo dell'autonomia di volo
Se si considera in fisica il movimento di un corpo verso l'orizzonte con un angolo utile per l'applicazione pratica, risulta essere il calcolo dell'autonomia di volo. Definiamolo.
Poiché questo movimento è un movimento uniforme senza accelerazione, è sufficiente sostituirlo con il tempo di volo e ottenere il risultato desiderato. L'autonomia di volo è determinata esclusivamente dal movimento lungo l'asse x (parallelo all'orizzonte).
Il tempo che un corpo rimane nell'aria può essere calcolato impostando la coordinata y su zero. Abbiamo:
0 = h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2
Risolviamo questa equazione quadratica attraverso il discriminante, otteniamo:
D = b 2 - 4*a*c = v 0 2 *sin 2 (θ) - 4*(-g/2)*h = v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h,
t = (-b±√D)/(2*a) = (-v 0 *sin(θ)±√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/(-2* g/2) =
= (v 0 *sin(θ)+√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/g.
Nell'ultima espressione, una radice con segno meno viene scartata a causa del suo significato fisico insignificante. Sostituendo il tempo di volo t nell'espressione x, otteniamo l'autonomia di volo l:
l = x = v 0 *cos(θ)*(v 0 *sin(θ)+√(v 0 2 *sin 2 (θ) + 2*g*h))/g.
Il modo più semplice per analizzare questa espressione è se l'altezza iniziale è zero (h=0), quindi otteniamo una formula semplice:
l = v 0 2 *sen(2*θ)/g
Questa espressione indica che la massima autonomia di volo può essere ottenuta se il corpo viene lanciato con un angolo di 45 o (sin(2*45 o) = m1).
Altezza massima di sollevamento
Oltre alla distanza di volo è utile trovare anche l'altezza dal suolo alla quale il corpo può sollevarsi. Poiché questo tipo di movimento è descritto da una parabola, i cui rami sono diretti verso il basso, l'altezza massima di sollevamento è il suo estremo. Quest'ultimo si calcola risolvendo l'equazione per la derivata t di y:
dy/dt = d(h+v 0 *sin(θ)*t-g*t 2 /2)/dt = v 0 *sin(θ)-gt=0 =>
=> t = v 0 *sin(θ)/g.
Sostituendo questa volta nell'equazione per y, otteniamo:
y = h+v 0 *sin(θ)*v 0 *sin(θ)/g-g*(v 0 *sin(θ)/g) 2 /2 = h + v 0 2 *sin 2 (θ)/( 2*g).
Questa espressione indica che il corpo raggiungerà la sua massima altezza se viene lanciato verticalmente verso l'alto (sin 2 (90 o) = 1).
La portata massima di una pietra lanciata da una catapulta fissa è S = 22,5 m. Trova la massima portata possibile di una pietra lanciata dalla stessa catapulta montata su una piattaforma che si muove orizzontalmente a velocità costante v = 15,0 m/s. Ignora la resistenza dell'aria, calcola l'accelerazione di caduta libera g = 10,0 m/s2.
Soluzione: È noto che la massima autonomia di volo di un corpo lanciato obliquamente rispetto all'orizzontale si ottiene con un angolo di partenza pari a 45° ed è determinato dalla formula:
Consideriamo ora il volo di una pietra lanciata da una catapulta in movimento. Introduciamo un sistema di coordinate i cui assi sono: X- diretto orizzontalmente, e Y– verticalmente. L'origine delle coordinate è compatibile con la posizione della catapulta nel momento in cui viene rilasciata la pietra.
Per calcolare il vettore velocità della pietra è necessario tenere conto della velocità orizzontale della catapulta v = v o. Diciamo che una catapulta lancia una pietra obliquamente α all'orizzonte. Quindi le componenti della velocità iniziale della pietra nel nostro sistema di coordinate possono essere scritte come:
Sostituendo questa espressione nella prima equazione del sistema (3), otteniamo l'autonomia di volo della pietra:In secondo luogo, da (5) ciò non segue affatto S1 sarà massimo a α = 45°(questo è vero per (6), quando v=0).
Proponendo questo problema per le Olimpiadi repubblicane, gli autori erano convinti che nove decimi dei partecipanti avrebbero ricevuto la formula (5) e poi avrebbero sostituito in essa il valore α = 45°. Tuttavia, con nostro rammarico, ci siamo sbagliati: nessun singolo olimpionico dubitava che la massima autonomia di volo fosse sempre (!) raggiunta con un angolo di partenza pari a 45°. Questo fatto ben noto ha un’applicabilità limitata: è vero solo se:
a) non tenere conto della resistenza dell'aria;
b) il punto di decollo e quello di caduta siano allo stesso livello;
c) il proiettile è fermo.
Torniamo a risolvere il problema. Quindi dobbiamo trovare il valore dell'angolo α , al quale S1 determinato dalla formula (5), è massimo. Ovviamente puoi trovare l'estremo della funzione usando l'apparato del calcolo differenziale: trova la derivata, ponila uguale a zero e, dopo aver risolto l'equazione risultante, trova il valore desiderato α . Tuttavia, dato che il problema è stato proposto agli studenti della classe 9a, daremo la sua soluzione geometrica. Approfittiamo del fatto v = v o = 15 m/s.
Organizziamo i vettori v E v o come mostrato in fig. Poiché le loro lunghezze sono uguali, attorno ad essi si può descrivere una circonferenza con centro nel punto O. Quindi la lunghezza del segmento AC. uguale a v o + v o cos α(questo è vxo) e la lunghezza del segmento AVANTI CRISTO. uguale a v o peccato α(Questo vyo). Il loro prodotto è pari al doppio dell'area del triangolo ABC, o area del triangolo ABB1.
Si prega di notare che è il prodotto incluso nell'espressione per l'autonomia di volo (5). In altre parole, l'autonomia di volo è uguale al prodotto dell'area ΔАВВ 1 da un fattore costante 2/g.
Ora chiediamoci: quale dei triangoli inscritti in un dato cerchio ha l’area massima? Naturalmente corretto! Pertanto, il valore desiderato dell'angolo α = 60°.
Vettore AB c'è un vettore della velocità iniziale totale della pietra, è diretto ad angolo 30° all'orizzonte (di nuovo, per niente 45°).
Pertanto, la soluzione finale del problema segue dalla formula (5), nella quale dovremmo sostituire α = 60°.
Questo è un compito creativo per un master in informatica per gli scolari della FEFU.
Lo scopo del compito è scoprire come cambierà la traiettoria del corpo se si tiene conto della resistenza dell'aria. È inoltre necessario rispondere alla domanda se la distanza di volo raggiungerà ancora il suo valore massimo con un angolo di lancio di 45°, tenendo conto della resistenza dell'aria.
La sezione “Ricerca analitica” delinea la teoria. Questa sezione può essere saltata, ma dovrebbe esserti più chiara perché... O hai imparato la maggior parte di questo a scuola.
La sezione "Studio numerico" contiene la descrizione dell'algoritmo che deve essere implementato su un computer. L'algoritmo è semplice e conciso, quindi tutti dovrebbero essere in grado di farlo.
Ricerca analitica
Introduciamo un sistema di coordinate rettangolari come mostrato in figura. Nell'istante iniziale un corpo di massa M si trova all'origine. Il vettore dell'accelerazione di caduta libera è diretto verticalmente verso il basso e ha coordinate (0, - G).- vettore velocità iniziale. Espandiamo questo vettore nella sua base:
. Dove è il modulo del vettore velocità, è l'angolo di lancio. Scriviamo la seconda legge di Newton: .
L'accelerazione in ogni istante del tempo è la velocità (istantanea) di variazione della velocità, cioè la derivata della velocità rispetto al tempo: .
Pertanto la 2a legge di Newton può essere riscritta come segue:
, dove è la risultante di tutte le forze agenti sul corpo.
Poiché sul corpo agiscono la forza di gravità e la forza di resistenza dell'aria, quindi 
.
Considereremo tre casi:
1) La forza di resistenza dell'aria è 0: .
2) La forza di resistenza dell'aria è diretta in senso opposto al vettore velocità e la sua grandezza è proporzionale alla velocità: 
.
3) La forza di resistenza dell'aria è diretta in senso opposto al vettore velocità e la sua grandezza è proporzionale al quadrato della velocità: 
.
Consideriamo innanzitutto il 1° caso.
In questo caso 
, O . 
Ne consegue che 
(moto uniformemente accelerato).
Perché ( R- raggio vettore), quindi 
.
Da qui 
.
Questa formula non è altro che la formula familiare per la legge del moto di un corpo durante un moto uniformemente accelerato.
Da allora 
.
Considerando che entrambi 
, otteniamo le uguaglianze scalari dall'ultima uguaglianza vettoriale:
Analizziamo le formule risultanti.
Cerchiamo tempo di volo corpi. Equazione sì a zero, otteniamo
Da questa formula ne consegue che la massima autonomia di volo viene raggiunta a .
Ora troviamo Equazione del trattore del corpo. Per fare questo, esprimiamo T Attraverso X
E sostituiamo l'espressione risultante con T in uguaglianza per sì.
Funzione risultante sì(X) è una funzione quadratica, il suo grafico è una parabola, i cui rami sono diretti verso il basso.
In questo video è descritto il movimento di un corpo lanciato obliquamente rispetto all'orizzonte (senza tener conto della resistenza dell'aria).
Consideriamo ora il secondo caso: .
La seconda legge prende la forma 
,
da qui 
.
Scriviamo questa uguaglianza in forma scalare:
Noi abbiamo due equazioni differenziali lineari.
La prima equazione ha una soluzione
Ciò può essere verificato sostituendo questa funzione nell'equazione per vx e alla condizione iniziale 
.
Qui e = 2,718281828459... è il numero di Eulero.
La seconda equazione ha una soluzione
Perché 
,
, allora in presenza di resistenza dell'aria il movimento del corpo tende ad essere uniforme, a differenza del caso 1, quando la velocità aumenta senza limiti.
Il video seguente dice che il paracadutista si muove prima ad un ritmo accelerato, quindi inizia a muoversi in modo uniforme (anche prima che il paracadute si apra).
Troviamo le espressioni per X E sì.
Perché X(0) = 0, sì(0) = 0, quindi
Resta da considerare il caso 3, quando
.La seconda legge di Newton ha la forma
, O 
.In forma scalare, questa equazione assomiglia a:
Questo sistema di equazioni differenziali non lineari. Questo sistema non può essere risolto esplicitamente, quindi è necessario utilizzare la simulazione numerica.
Studio numerico
Nella sezione precedente abbiamo visto che nei primi due casi la legge del moto di un corpo può essere ottenuta in forma esplicita. Nel terzo caso, invece, è necessario risolvere numericamente il problema. Utilizzando metodi numerici otterremo solo una soluzione approssimativa, ma ci accontenteremo di una precisione minima. (Il numero π o la radice quadrata di 2, a proposito, non può essere scritto in modo assolutamente preciso, quindi durante il calcolo prendono un numero finito di cifre, e questo è abbastanza.)Considereremo il secondo caso, quando la forza della resistenza dell'aria è determinata dalla formula . Tieni presente che quando K= 0 si ottiene il primo caso.
Velocità del corpo 
obbedisce alle seguenti equazioni:
Le componenti dell'accelerazione sono scritte sul lato sinistro di queste equazioni 
.
Ricordiamo che l'accelerazione è il tasso (istantaneo) di variazione della velocità, cioè la derivata della velocità rispetto al tempo.
I lati destri delle equazioni contengono le componenti della velocità. Pertanto, queste equazioni mostrano come il tasso di variazione della velocità è correlato alla velocità.
Proviamo a trovare soluzioni a queste equazioni utilizzando metodi numerici. Per fare ciò, introduciamo sull'asse del tempo maglia: scegliamo un numero e consideriamo momenti di tempo della forma: .
Il nostro compito è calcolare approssimativamente i valori 
ai nodi della griglia.
Sostituiamo l'accelerazione nelle equazioni ( velocità istantanea variazioni di velocità) di velocità media variazioni di velocità, considerando il movimento di un corpo in un periodo di tempo:
Ora sostituiamo le approssimazioni ottenute nelle nostre equazioni.
Le formule risultanti ci permettono di calcolare i valori delle funzioni al nodo della griglia successivo, se sono noti i valori di queste funzioni al nodo della griglia precedente.
Utilizzando il metodo descritto, possiamo ottenere una tabella di valori approssimativi delle componenti della velocità.
Come trovare la legge del movimento del corpo, ad es. tabella dei valori approssimativi delle coordinate X(T), sì(T)? Allo stesso modo!
Abbiamo
Il valore di vx[j] è uguale al valore della funzione e lo stesso per gli altri array.
Ora non resta che scrivere un ciclo, all'interno del quale calcoleremo vx utilizzando il valore già calcolato vx[j], e lo stesso con il resto degli array. Il ciclo sarà J da 1 a N.
Non dimenticare di inizializzare i valori iniziali vx, vy, x, y secondo le formule, X 0 = 0, sì 0 = 0.
In Pascal e C ci sono le funzioni sin(x) e cos(x) per calcolare seno e coseno. Tieni presente che queste funzioni accettano un argomento in radianti.
È necessario costruire un grafico del movimento del corpo durante K= 0 e K> 0 e confrontare i grafici risultanti. I grafici possono essere creati in Excel.
Tieni presente che le formule di calcolo sono così semplici che puoi utilizzare solo Excel per i calcoli e non utilizzare nemmeno un linguaggio di programmazione.
Tuttavia, in futuro dovrai risolvere un problema in CATS, in cui devi calcolare il tempo e l'autonomia del volo di un corpo, dove non puoi fare a meno di un linguaggio di programmazione.
Tieni presente che puoi test il tuo programma e controlla i tuoi grafici confrontando i risultati dei calcoli quando K= 0 con le formule esatte riportate nella sezione “Studio analitico”.
Sperimenta il tuo programma. Assicurarsi che se non c'è resistenza dell'aria ( K= 0) la massima autonomia di volo ad una velocità iniziale fissa si ottiene con un angolo di 45°.
E la resistenza dell'aria? A quale angolo si raggiunge la massima autonomia di volo?
La figura mostra le traiettorie del corpo a v 0 = 10 m/s, α = 45°, G= 9,8 m/s², M= 1kg, K= 0 e 1 ottenuti mediante simulazione numerica a Δ T = 0,01.
Puoi familiarizzare con il meraviglioso lavoro degli alunni della decima elementare di Troitsk, presentato alla conferenza "Start in Science" nel 2011. Il lavoro è dedicato alla modellazione del movimento di una pallina da tennis lanciata ad angolo rispetto all'orizzonte (tenendo conto dell'aria resistenza). Vengono utilizzati sia la modellazione numerica che l'esperimento su scala reale.
Pertanto, questo compito creativo consente di conoscere i metodi di modellazione matematica e numerica, che vengono utilizzati attivamente nella pratica, ma sono poco studiati a scuola. Ad esempio, questi metodi furono utilizzati nell’implementazione di progetti nucleari e spaziali nell’URSS a metà del XX secolo.
In questo articolo considereremo l'analisi di una situazione in cui un corpo viene lanciato obliquamente rispetto all'orizzontale. Potrebbe essere lanciare una pietra a mano, sparare un proiettile da un cannone, lanciare una freccia da un arco e così via. Tutte queste situazioni sono descritte allo stesso modo da un punto di vista matematico.
Caratteristica del movimento ad angolo rispetto all'orizzontale
Quali sono le somiglianze tra gli esempi precedenti da un punto di vista fisico? Sta nella natura delle forze che agiscono sul corpo. Durante il volo libero di un corpo, su di esso agiscono solo due forze:
- Gravità.
- Spostamento d'aria.
Se la massa del corpo è sufficientemente grande e la sua forma è appuntita (proiettile, freccia), la resistenza dell'aria può essere trascurata.
Pertanto, il movimento di un corpo lanciato obliquamente rispetto all'orizzonte è un problema in cui appare solo la gravità. È questo che determina la forma della traiettoria, che è descritta con buona precisione da una funzione parabolica.
Equazioni del moto lungo una traiettoria parabolica. Velocità
Il corpo è stato gettato obliquamente rispetto all'orizzonte. Come descriveresti il suo movimento? Poiché l'unica forza che agisce durante il volo di un corpo è diretta verso il basso, la sua componente orizzontale è nulla. Questo fatto significa che il movimento orizzontale dell'oggetto è determinato univocamente dalle condizioni iniziali (angolo di lancio o tiro θ e velocità v). Il movimento verticale di un corpo è un vivido esempio di movimento uniformemente accelerato, dove il ruolo dell'accelerazione è giocato dalla costante g (9,81 m/s2).
Tenendo conto di quanto sopra, possiamo scrivere due componenti per la velocità di un corpo volante al tempo t:
v x = v * cos(θ);
v y = v * sin(θ) - g * t
Come si vede, la componente vx non dipende dal tempo e rimane costante lungo tutta la traiettoria di volo (conseguenza dell'assenza di forze esterne nella direzione dell'asse x). La componente v y ha un massimo nell'istante iniziale. E poi inizia a diminuire fino a diventare zero nel punto massimo di decollo del corpo. Successivamente cambia segno e al momento della caduta risulta pari al modulo della componente iniziale v y, cioè v*sin(θ).
Le equazioni scritte permettono di determinare la velocità di un corpo lanciato ad angolo rispetto all'orizzontale in qualsiasi momento t. Il suo modulo sarà uguale a:
v = √ (v x 2 + v y 2) = √ (v 2 * cos 2 (θ) + v 2 * sin 2 (θ) - 2 * v* sin(θ) * g * t + g 2 * t 2) =
= √ (v 2 - 2 * v * sin(θ) * g * t + g 2 * t 2)
Equazioni del moto lungo una traiettoria parabolica. Autonomia di volo
Il corpo è stato gettato obliquamente rispetto all'orizzonte. Quanto volerà lontano? Il problema dell'intervallo riguarda il cambiamento della coordinata x. Questo valore può essere trovato integrando entrambe le componenti di velocità nel tempo. Come risultato dell'integrazione otteniamo le formule:
x = v * cos(θ) * t + x 0 ;
y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + y 0
La differenza tra le coordinate x e x 0 è l'autonomia di volo. Se assumiamo che x 0 = 0, allora l'intervallo sarà uguale a x, per scoprirlo è necessario sapere per quanto tempo t il corpo rimarrà nell'aria.
La seconda equazione permette di calcolare questo tempo, a condizione che sia noto il valore y 0 (l'altezza h dalla quale viene lanciato il corpo). Quando l'oggetto completa il suo movimento (cade a terra), la sua coordinata y diventerà zero. Calcoliamo il tempo in cui ciò accadrà. Abbiamo:
v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = 0
Davanti a noi c'è un'uguaglianza quadratica completa. Lo risolviamo attraverso il discriminante:
D = v 2 * sin 2 (θ) - 4 * (-g/2) * h = v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h;
t = (-v * sin(θ) ± √D)/(2 * (-g/2))
Scartiamo la radice negativa. Otteniamo il seguente orario di volo:
t = (v * sin(θ) + √ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h))/g
Ora sostituiamo questo valore nell'equazione per l'autonomia di volo. Noi abbiamo:
x = v * cos(θ) * (v * sin(θ)+√ (v 2 * sin 2 (θ) + 2 * g * h))/g
Se il corpo viene lanciato da terra, cioè h = 0, questa formula sarà notevolmente semplificata. E sembrerà:
x = 2 * v 2 * cos(θ) * sin(θ)/g = v 2 * sin(2 * θ)/g
L'ultima espressione è stata ottenuta utilizzando la relazione tra le funzioni trigonometriche di seno e coseno (formula di riduzione).
Poiché il seno ha un valore massimo per un angolo retto, la massima autonomia di volo si ottiene quando il corpo viene lanciato (sparato) dalla superficie terrestre con un angolo di 45°, e questa autonomia è pari a:
Altezza di un corpo lanciato obliquamente rispetto all'orizzontale
Ora determiniamo un altro parametro importante: l'altezza alla quale può salire un oggetto lanciato. Ovviamente per questo è sufficiente considerare solo la variazione della coordinata y.
Quindi, un corpo viene lanciato obliquamente rispetto all'orizzonte, a quale altezza volerà? Questa altezza corrisponderà all'uguaglianza della componente di velocità v y a zero. Abbiamo l'equazione:
v y = v * sin(θ) - g * t = 0
Risolviamo l'equazione. Noi abbiamo:
Ora devi sostituire questa volta nell'espressione la coordinata y. Noi abbiamo:
y = v * sin(θ) * t - g * t 2 /2 + h = v 2 * sin 2 (θ)/g - g/2* v 2 * sin 2 (θ)/g 2 + h =
V 2 * sin 2 (θ)/(2 * g) + h
Questa formula indica che l'altezza massima, in contrasto con l'autonomia di volo, si ottiene se il corpo viene lanciato rigorosamente in verticale (θ = 90). In questo caso arriviamo alla formula:
È interessante notare che in tutte le formule riportate in questo articolo il peso corporeo non compare. Le caratteristiche di una traiettoria parabolica non dipendono da essa, ma solo dall'assenza di resistenza dell'aria.
Se un corpo viene lanciato obliquamente rispetto all'orizzonte, durante il volo subisce l'azione della forza di gravità e della forza di resistenza dell'aria. Se si trascura la forza di resistenza, l’unica forza rimasta è la gravità. Pertanto, per la 2a legge di Newton, il corpo si muove con un’accelerazione pari all’accelerazione di gravità; proiezioni dell'accelerazione sugli assi coordinati ax = 0, ay = - g.
Figura 1. Caratteristiche cinematiche di un corpo lanciato ad angolo rispetto all'orizzontale
Qualsiasi movimento complesso di un punto materiale può essere rappresentato come una sovrapposizione di movimenti indipendenti lungo gli assi delle coordinate e nella direzione dei diversi assi il tipo di movimento può differire. Nel nostro caso, il moto di un corpo volante può essere rappresentato come la sovrapposizione di due moti indipendenti: moto uniforme lungo l'asse orizzontale (asse X) e moto uniformemente accelerato lungo l'asse verticale (asse Y) (Fig. 1) .
Le proiezioni della velocità del corpo cambiano quindi nel tempo come segue:
dove $v_0$ è la velocità iniziale, $(\mathbf \alpha )$ è l'angolo di lancio.
Con la nostra scelta dell'origine, le coordinate iniziali (Fig. 1) sono $x_0=y_0=0$. Quindi otteniamo:
(1)
Analizziamo le formule (1). Determiniamo il tempo di movimento del corpo lanciato. Per fare ciò, impostiamo la coordinata y uguale a zero, perché al momento dell'atterraggio l'altezza del corpo è zero. Da qui otteniamo il tempo di volo:
Il secondo valore temporale in cui l'altezza è zero è zero, che corrisponde al momento del lancio, cioè questo valore ha anche un significato fisico.
Otteniamo l'autonomia di volo dalla prima formula (1). L'autonomia di volo è il valore della coordinata x alla fine del volo, cioè al tempo pari a $t_0$. Sostituendo il valore (2) nella prima formula (1), otteniamo:
Da questa formula si può vedere che la massima autonomia di volo si ottiene con un angolo di lancio di 45 gradi.
L'altezza massima di sollevamento del corpo lanciato può essere ottenuta dalla seconda formula (1). Per fare ciò, è necessario sostituire in questa formula un valore temporale pari alla metà del tempo di volo (2), perché È a metà della traiettoria che l'altitudine di volo è massima. Effettuando i calcoli, otteniamo
Dalle equazioni (1) si ottiene l’equazione della traiettoria del corpo, cioè un'equazione che mette in relazione le coordinate xey di un corpo durante il movimento. Per fare ciò, è necessario esprimere il tempo dalla prima equazione (1):
e sostituirlo nella seconda equazione. Quindi otteniamo:
Questa equazione è l'equazione della traiettoria del movimento. Si può vedere che questa è l'equazione di una parabola con i rami rivolti verso il basso, come indicato dal segno “-” davanti al termine quadratico. Va tenuto presente che l'angolo di lancio $\alpha $ e le sue funzioni qui sono semplicemente costanti, cioè numeri costanti.
Un corpo viene lanciato con velocità v0 con un angolo $(\mathbf \alpha )$ rispetto all'orizzontale. Tempo di volo $t = 2 s$. A quale altezza Hmax si solleverà il corpo?
$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$
La legge del moto del corpo ha la forma:
$$\sinistra\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $
Il vettore velocità iniziale forma un angolo $(\mathbf \alpha )$ con l'asse OX. Quindi,
\ \ \
Un sasso viene lanciato dalla cima di una montagna con un angolo = 30$()^\circ$ rispetto all'orizzonte con una velocità iniziale di $v_0 = 6 m/s$. Angolo del piano inclinato = 30$()^\circ$. A quale distanza dal punto di lancio cadrà la pietra?
$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$
Posizioniamo l'origine delle coordinate nel punto di lancio, OX - lungo il piano inclinato verso il basso, OY - perpendicolare al piano inclinato verso l'alto. Caratteristiche cinematiche del movimento:
Legge del movimento:
$$\sinistra\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \
Sostituendo il valore risultante $t_В$, troviamo $S$: