Rapporto 1 0. Come calcolare i rapporti. Come calcolare la proporzione

Le proporzioni sono una combinazione così familiare, che è probabilmente nota dalle classi primarie di una scuola comprensiva. Nel senso più generale, la proporzione è l'uguaglianza di due o più rapporti.

Cioè, se ci sono alcuni numeri A, B e C

poi la proporzione

se ci sono quattro numeri A, B, C e D

o è anche una proporzione

L'esempio più semplice in cui viene utilizzata la proporzione è il calcolo delle percentuali.

In generale, l'uso delle proporzioni è così ampio che è più facile dire dove non si applicano.

Le proporzioni possono essere utilizzate per determinare distanze, masse, volumi, nonché la quantità di qualsiasi cosa, con una condizione importante: in proporzione, dovrebbero esserci dipendenze lineari tra oggetti diversi. Di seguito, utilizzando l'esempio della costruzione di un layout Bronze Horseman, vedrai come calcolare le proporzioni dove ci sono dipendenze non lineari.

Determina quanti chilogrammi di riso saranno se prendi il 17 percento del volume totale di riso di 150 chilogrammi?

Facciamo una proporzione a parole: 150 chilogrammi è il volume totale del riso. Quindi prendiamolo al 100%. Quindi il 17% del 100% sarà calcolato come proporzione di due rapporti: Il 100 percento sta a 150 chilogrammi come il 17 percento sta a un numero sconosciuto.

Ora il numero sconosciuto viene calcolato in modo elementare

Cioè, la nostra risposta è 25,5 chilogrammi di riso.

Ci sono anche interessanti misteri associati alle proporzioni, che dimostrano che non è necessario applicare avventatamente proporzioni per tutte le occasioni.

Eccone uno, leggermente modificato:

Per la dimostrazione nell'ufficio dell'azienda, il direttore ha ordinato di creare un modello della scultura "The Bronze Horseman" senza piedistallo in granito. Una delle condizioni è che il modello deve essere realizzato con gli stessi materiali dell'originale, le proporzioni devono essere rispettate e l'altezza del modello deve essere esattamente di 1 metro. Domanda: Quale sarà il peso del layout?

Iniziamo con i libri di riferimento.

L'altezza del pilota è di 5,35 metri e il suo peso è di 8.000 kg.

Se usiamo il primo pensiero - per fare una proporzione: 5,35 metri sono correlati a 8.000 chilogrammi come 1 metro a un valore sconosciuto, allora potremmo anche non iniziare il calcolo, poiché la risposta sarà sbagliata.

Si tratta di una piccola sfumatura che deve essere presa in considerazione. Riguarda la connessione tra massa e altezza sculture non lineare, cioè non si può dire che aumentando, ad esempio, un cubo di 1 metro (osservando le proporzioni in modo che rimanga un cubo), ne aumenteremo il peso della stessa quantità.

Questo è facile da verificare con esempi:

1. incolla un cubo con una lunghezza del bordo di 10 centimetri. Quanta acqua andrà lì dentro? È logico che 10 * 10 * 10 \u003d 1000 centimetri cubi, cioè 1 litro. Ebbene, poiché hanno versato acqua lì (la densità è uguale a uno) e non un altro liquido, la massa sarà pari a 1 kg.

2. incollare un cubo simile ma con una costola lunga 20 cm Il volume d'acqua versato al suo interno sarà pari a 20 * 20 * 20 = 8000 centimetri cubi, ovvero 8 litri. Bene, il peso è naturalmente di 8 kg.

È facile vedere che la relazione tra la massa e la variazione della lunghezza dello spigolo del cubo è non lineare, anzi cubica.

Ricordiamo che il volume è il prodotto di altezza, larghezza e profondità.

Cioè, quando una figura cambia (soggetto a proporzioni / forma) di una dimensione lineare (altezza, larghezza, profondità), la massa / volume di una figura tridimensionale cambia cubicamente.

Discutiamo:

La nostra dimensione lineare è cambiata da 5,35 metri a 1 metro, quindi la massa (volume) cambierà come radice cubica di 8000/x

E prendi quel layout Cavaliere di bronzo nell'ufficio dell'azienda con un'altezza di 1 metro peserà 52 chilogrammi 243 grammi.

Ma d'altra parte, se il compito fosse impostato in questo modo " il layout deve essere realizzato con gli stessi materiali dell'originale, le proporzioni e volume 1 metro cubo "Poi, sapendo che esiste una relazione lineare tra volume e massa, useremmo semplicemente il rapporto standard, il vecchio volume rispetto al nuovo e la vecchia massa rispetto a un numero sconosciuto.

Ma il nostro bot aiuta a calcolare le proporzioni in altri casi più comuni e pratici.

Sicuramente sarà utile a tutte le casalinghe che cucinano cibo.

Si verificano situazioni in cui viene trovata una ricetta per una fantastica torta da 10 kg, ma il suo volume è troppo grande per essere preparato .. Vorrei che fosse più piccolo, ad esempio, solo due chilogrammi, ma come calcolare tutti i nuovi pesi e volumi di ingredienti?

È qui che ti aiuterà un bot, che sarà in grado di calcolare i nuovi parametri di una torta da 2 chilogrammi.

Inoltre, il bot aiuterà nei calcoli per gli uomini laboriosi che stanno costruendo una casa e hanno bisogno di calcolare quanti ingredienti concreti prendere se hanno solo 50 chilogrammi di sabbia.

Sintassi

Per gli utenti del client XMPP: pro<строка>

dove la stringa ha elementi richiesti

numero1 / numero2 - trovare la proporzione.

Per non aver paura di una descrizione così breve, diamo un esempio qui.

200 300 100 3 400/100

Che dice, ad esempio, quanto segue:

200 grammi di farina, 300 millilitri di latte, 100 grammi di burro, 3 uova: la resa dei pancake è di 400 grammi.

Quanti ingredienti servono per cuocere solo 100 grammi di pancake?

Com'è facile accorgersene

400/100 è il rapporto tra la ricetta tipica e la resa che vogliamo.

Prenderemo in considerazione esempi in modo più dettagliato nella sezione corrispondente.

Esempi

Un amico ha condiviso una ricetta meravigliosa

Impasto: 200 grammi di semi di papavero, 8 uova, 200 di zucchero a velo, 50 grammi di panini grattugiati, 200 grammi di arachidi, 3 tazze di miele.
Far bollire il papavero per 30 minuti a fuoco basso, macinare con un pestello, aggiungere il miele fuso, i cracker macinati, le noci.
Sbattere le uova con lo zucchero a velo, aggiungere alla massa.
Mescolare delicatamente l'impasto, versare in uno stampo, infornare.
Tagliare la torta raffreddata in 2 strati, ricoprire con marmellata acida, quindi con panna.
Guarnire con marmellata di frutti di bosco.
Crema: 1 tazza di panna acida, 1/2 tazza di zucchero, sbattere.

base la ricerca matematica è la capacità di acquisire conoscenze su determinate quantità confrontandole con altre quantità che lo sono pari, O Di più O meno rispetto a quelli oggetto di studio. Questo di solito è fatto con una serie equazioni E proporzioni. Quando usiamo le equazioni, determiniamo la quantità che stiamo cercando trovandola uguaglianza con qualche altra quantità o quantità già familiari.

Tuttavia, capita spesso di confrontare una quantità sconosciuta con altre che non uguale lei, ma più o meno lei. Qui abbiamo bisogno di un approccio diverso all'elaborazione dei dati. Potremmo aver bisogno di sapere, per esempio, Quanto un valore è maggiore dell'altro, o quante volte uno contiene l'altro. Per trovare le risposte a queste domande, scopriremo cos'è rapporto due dimensioni. Viene chiamato un rapporto aritmetica, e un altro geometrico. Anche se vale la pena notare che entrambi questi termini non sono stati adottati per caso o solo per motivi di distinzione. Entrambe le relazioni aritmetiche e geometriche si applicano sia all'aritmetica che alla geometria.

Essendo un componente di un argomento vasto e importante, la proporzione dipende dai rapporti, quindi è necessaria una comprensione chiara e completa di questi concetti.

338. Rapporto aritmetico Questo differenzatra due grandezze o una serie di grandezze. Le quantità stesse sono chiamate membri rapporti, cioè termini tra i quali esiste un rapporto. Quindi 2 è il rapporto aritmetico di 5 e 3. Questo si esprime ponendo un segno meno tra i due valori, cioè 5 - 3. Naturalmente, il termine rapporto aritmetico e la sua voce è praticamente inutile, poiché solo la sostituzione della parola si verifica differenza al segno meno nell'espressione.

339. Se entrambi i membri di una relazione aritmetica moltiplicare O dividere della stessa cifra, quindi rapporto, verrà infine moltiplicato o diviso per tale importo.
Quindi, se abbiamo a - b = r
Quindi moltiplica entrambi i membri per h , (Ax. 3.) ha - hb = hr
E dividendo per h, (Ax. 4.) $\frac(a)(h)-\frac(b)(h)=\frac(r)(h)$

340. Se i termini di un rapporto aritmetico si sommano o si sottraggono ai corrispondenti termini di un altro, allora il rapporto della somma o della differenza sarà uguale alla somma o alla differenza dei due rapporti.
Se a - b
E d-h
sono due rapporti,
Quindi (a + d) - (b + h) = (a - b) + (d - h). Che in ogni caso = a + d - b - h.
E (a - d) - (b - h) = (a - b) - (d - h). Che in ogni caso = a - d - b + h.
Quindi il rapporto aritmetico di 11 - 4 è 7
E il rapporto aritmetico 5 - 2 è 3
Il rapporto della somma dei termini 16 - 6 è 10, - la somma dei rapporti.
Il rapporto tra la differenza dei membri 6 - 2 è 4, - la differenza dei rapporti.

341. rapporto geometrico è il rapporto tra quantità, che si esprime PRIVATO se un valore è diviso per un altro.
Quindi il rapporto tra 8 e 4 può essere scritto come 8/4 o 2. Cioè, il quoziente di 8 diviso 4. In altre parole, mostra quante volte 4 è contenuto in 8.

Allo stesso modo, il rapporto di una quantità qualsiasi con un'altra può essere determinato dividendo la prima per la seconda, oppure, che è in fondo la stessa cosa, facendo della prima il numeratore della frazione e della seconda il denominatore.
Quindi il rapporto tra a e b è $\frac(a)(b)$
Il rapporto tra d + h e b + c è $\frac(d+h)(b+c)$.

342. Il rapporto geometrico si scrive anche ponendo due punti uno sopra l'altro tra i valori confrontati.
Quindi a:b è il rapporto tra a e b, e 12:4 è il rapporto tra 12 e 4. Le due quantità insieme formano coppia, in cui viene chiamato il primo termine antecedente, e l'ultimo è consequenziale.

343. Questa notazione puntata e l'altra, in forma di frazione, sono intercambiabili secondo necessità, con l'antecedente che diventa il numeratore della frazione e il conseguente il denominatore.
Quindi 10:5 è uguale a $\frac(10)(5)$ e b:d è uguale a $\frac(b)(d)$.

344. Se si attribuisce uno qualsiasi di questi tre significati: antecedente, conseguente e relazione due, quindi è possibile trovare il terzo.

Siano a= antecedente, c= conseguente, r= relazione.
Per definizione, $r=\frac(a)(c)$, cioè il rapporto è uguale all'antecedente diviso il conseguente.
Moltiplicando per c, a = cr, cioè l'antecedente è uguale al conseguente per il rapporto.
Dividi per r, $c=\frac(a)(r)$, cioè il conseguente è uguale all'antecedente diviso il rapporto.

resp. 1. Se due coppie hanno antecedenti e conseguenti uguali, anche i loro rapporti sono uguali.

resp. 2. Se i rapporti e gli antecedenti di due coppie sono uguali, allora i conseguenti sono uguali, e se i rapporti e i conseguenti sono uguali, allora gli antecedenti sono uguali.

345. Se due quantita comparate pari, allora il loro rapporto è uguale all'unità o all'uguaglianza. Il rapporto 3 * 6:18 è uguale a uno, poiché il quoziente di qualsiasi valore diviso per se stesso è uguale a 1.

Se l'antecedente della coppia Di più, del conseguente, allora il rapporto è maggiore di uno. Poiché il dividendo è maggiore del divisore, il quoziente è maggiore di uno. Quindi il rapporto di 18:6 è 3. Questo si chiama rapporto maggiore disuguaglianza.

D'altra parte, se l'antecedente meno rispetto al conseguente, allora il rapporto è minore di uno, e questo si chiama rapporto minore disuguaglianza. Quindi il rapporto 2:3 è minore di uno, perché il dividendo è minore del divisore.

346. Inversione ratio è il rapporto di due reciproci.
Quindi il rapporto dell'inverso di 6 a 3 è a, cioè:.
La relazione diretta di a con b è $\frac(a)(b)$, cioè l'antecedente diviso per il conseguente.
La relazione inversa è $\frac(1)(a)$:$\frac(1)(b)$ o $\frac(1)(a).\frac(b)(1)=\frac(b) (a)$.
cioè la cosequenza b divisa per l'antecedente a.

Quindi si esprime la relazione inversa invertendo una frazione, che mostra una relazione diretta, o, quando la notazione è fatta usando i punti, invertendo l'ordine di scrittura dei membri.
Quindi a è correlato a b nel modo opposto a b è correlato ad a.

347. Rapporto complesso questo rapporto lavori termini corrispondenti con due o più relazioni semplici.
Quindi il rapporto è 6:3, uguale a 2
E rapporto 12:4 è uguale a 3
Il rapporto composto da essi è 72:12 = 6.

Qui si ottiene una relazione complessa moltiplicando tra loro due antecedenti e anche due conseguenti di relazioni semplici.
Quindi il rapporto è composto
Dal rapporto a:b
E rapporti c:d
e il rapporto h:y
Questo è il rapporto $ach:bdy=\frac(ach)(bdy)$.
Una relazione complessa non differisce nella sua natura da qualsiasi altro rapporto. Questo termine è usato per indicare l'origine di una relazione in alcuni casi.

resp. Un rapporto complesso è uguale al prodotto di rapporti semplici.
Il rapporto a:b è uguale a $\frac(a)(b)$
Il rapporto c:d è uguale a $\frac(c)(d)$
Il rapporto h:y è uguale a $\frac(h)(y)$
E il rapporto aggiunto di questi tre sarà ach/bdy, che è il prodotto di frazioni che esprimono rapporti semplici.

348. Se nella successione delle relazioni in ciascuna coppia precedente il conseguente è l'antecedente nella successiva, allora il rapporto tra il primo antecedente e l'ultimo conseguente è uguale a quello ottenuto dai rapporti intermedi.
Quindi in una serie di rapporti
un: b
avanti Cristo
CD
d:h
il rapporto a:h è uguale al rapporto sommato dai rapporti a:b e b:c e c:d e d:h. Quindi la relazione complessa nell'ultimo articolo è $\frac(abcd)(bcdh)=\frac(a)(h)$, o a:h.

Allo stesso modo, tutte le quantità che sono sia antecedenti che conseguenti scomparire, quando il prodotto delle frazioni è semplificato ai suoi termini inferiori e nel resto la relazione complessa sarà espressa dal primo antecedente e dall'ultimo conseguente.

349. Una classe speciale di relazioni complesse si ottiene moltiplicando una relazione semplice per lui stesso o ad un altro pari rapporto. Questi rapporti sono chiamati Doppio, triplicare, quadruplicare, e così via, a seconda del numero di moltiplicazioni.

Rapporto composto da due proporzioni uguali, cioè piazza Doppio rapporto.

Fatto di tre, questo è, cubo si chiama rapporto semplice triplicare, e così via.

Allo stesso modo, il rapporto radici quadrate due grandezze si chiama rapporto radice quadrata, e il rapporto radici cubiche- rapporto radice cubica, e così via.
Quindi il rapporto semplice tra a e b è a:b
Il doppio rapporto tra a e b è a 2:b 2
Il triplo rapporto tra a e b è a 3:b 3
Il rapporto tra la radice quadrata di a e b è √a :√b
Il rapporto tra la radice cubica di a e b è 3 √a : 3 √b , e così via.
Termini Doppio, triplicare, e così via non devono essere mescolati con raddoppiato, triplicato, e così via.
Il rapporto di 6 a 2 è 6:2 = 3
Se raddoppiamo questo rapporto, cioè il doppio del rapporto, otteniamo 12:2 = 6
Triplichiamo questo rapporto, cioè questo rapporto tre volte, otteniamo 18: 2 = 9
UN Doppio rapporto, cioè piazza il rapporto è 6 2:2 2 = 9
E triplicare il rapporto, cioè il cubo del rapporto, è 6 3:2 3 = 27

350. Perché le quantità siano tra loro correlate, devono essere della stessa specie, in modo che si possa affermare con certezza se sono uguali tra loro, o se una di esse è maggiore o minore. Un piede sta a un pollice come 12 a 1: è 12 volte più grande di un pollice. Ma non si può dire, per esempio, che un'ora sia più lunga o più corta di un bastone, o che un acro sia maggiore o minore di un grado. Tuttavia, se questi valori sono espressi in numeri, allora potrebbe esserci una relazione tra questi numeri. Cioè, potrebbe esserci una relazione tra il numero di minuti in un'ora e il numero di passi in un miglio.

351. Passando a natura rapporti, il passo successivo che dobbiamo prendere in considerazione è come il cambiamento in uno o due termini che vengono confrontati tra loro influenzerà il rapporto stesso. Ricordiamo che un rapporto diretto è espresso come frazione, dove antecedet le coppie lo sono sempre numeratore, UN conseguente - denominatore. Allora sarà facile ricavare dalla proprietà delle frazioni che le variazioni del rapporto avvengono variando le quantità confrontate. Il rapporto tra le due quantità è lo stesso di Senso frazioni, ognuna delle quali rappresenta privato: il numeratore diviso per il denominatore. (Art. 341.) È stato ora dimostrato che moltiplicare il numeratore di una frazione per qualsiasi valore equivale a moltiplicare Senso per la stessa quantità e che dividere il numeratore equivale a dividere i valori di una frazione. Ecco perché,

352. Moltiplicare l'antecedente di una coppia per qualsiasi valore significa moltiplicare i rapporti per questo valore, e dividere l'antecedente significa dividere questo rapporto.
Quindi il rapporto 6:2 è 3
E il rapporto 24:2 è 12.
Qui l'antecedente e il rapporto nell'ultima coppia sono 4 volte maggiori rispetto alla prima.
La relazione a:b è uguale a $\frac(a)(b)$
E la relazione na:b è uguale a $\frac(na)(b)$.

resp. Con un noto conseguente, il più antecedente, più rapporto, e viceversa, maggiore è il rapporto, maggiore è l'antecedente.

353. Moltiplicando il conseguente di una coppia per qualsiasi valore, di conseguenza, otteniamo la divisione del rapporto per questo valore e, dividendo il conseguente, moltiplichiamo il rapporto. Moltiplicando il denominatore di una frazione, dividiamo il valore e dividendo il denominatore, il valore viene moltiplicato.
Quindi il rapporto di 12:2 è 6
E il rapporto 12:4 è 3.
Ecco il conseguente della seconda coppia in due volte di più, ma il rapporto due volte meno del primo.
Il rapporto a:b è $\frac(a)(b)$
E il rapporto a:nb è uguale a $\frac(a)(nb)$.

resp. Per un dato antecedente, maggiore è il conseguente, minore è il rapporto. Al contrario, maggiore è il rapporto, minore è il conseguente.

354. Dagli ultimi due articoli risulta che antecedente di moltiplicazione le coppie di qualsiasi valore avranno lo stesso effetto sul rapporto di divisione del conseguente di questo importo, e divisione antecedente, avrà lo stesso effetto di conseguente moltiplicazione.
Quindi il rapporto 8:4 è 2
Moltiplicando l'antecedente per 2, il rapporto 16:4 è 4
Dividendo l'antecedente per 2, il rapporto 8:2 è 4.

resp. Qualunque fattore O divisore può essere trasferito dall'antecedente di una coppia al conseguente, o dal conseguente all'antecedente, senza cambiare la relazione.

Vale la pena notare che quando un fattore viene così trasferito da un termine all'altro, diventa un divisore e il divisore trasferito diventa un fattore.
Quindi il rapporto è 3,6:9 = 2
Spostando il fattore 3, $6:\frac(9)(3)=2$
lo stesso rapporto.

La relazione $\frac(ma)(y):b=\frac(ma)(by)$
Spostamento di y $ma:by=\frac(ma)(by)$
Spostare m, a:$a:\frac(m)(by)=\frac(ma)(by)$.

355. Come emerge dagli artt. 352 e 353, se l'antecedente e il conseguente sono entrambi moltiplicati o divisi per lo stesso importo, allora il rapporto non cambia.

resp. 1. Il rapporto di due frazioni, che hanno un comune denominatore, uguale al rapporto tra loro numeratori.
Quindi il rapporto a/n:b/n è lo stesso di a:b.

resp. 2. diretto il rapporto tra due frazioni che hanno un numeratore comune è uguale al loro rapporto reciproco denominatori.

356. È facile determinare il rapporto di due frazioni qualsiasi dall'articolo. Se ogni termine viene moltiplicato per due denominatori, il rapporto sarà dato da espressioni integrali. Quindi, moltiplicando i termini della coppia a/b:c/d per bd, si ottiene $\frac(abd)(b)$:$\frac(bcd)(d)$, che diventa ad:bc, riducendo i valori totali dai numeratori e dai denominatori.

356 b. Rapporto maggiore disuguaglianza aumenta il suo
Sia dato il rapporto di disuguaglianza maggiore come 1+n:1
E qualsiasi rapporto un: b
Un rapporto complesso sarà (Art. 347,) a + na:b
Ciò che è maggiore del rapporto a:b (art. 351 risp.)
Ma il rapporto minore disuguaglianza, aggiunto con un altro rapporto, riduce il suo.
Sia il rapporto della differenza minore 1-n:1
Qualsiasi dato rapporto un: b
Rapporto complesso a - na:b
Cosa è minore di a:b.

357. Se da o verso membri di qualsiasi coppiaaggiungere o sottrai altre due quantità che sono nello stesso rapporto, allora le somme o i resti avranno lo stesso rapporto.
Sia il rapporto a:b
Sarà lo stesso di c:d
Poi la relazione importi antecedenti alla somma dei conseguenti, vale a dire, a + c a b + d, è anche lo stesso.
Cioè, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Prova.

1. Per ipotesi, $\frac(a)(b)$ = $\frac(c)(d)$
2. Moltiplicare per b e per d, ad = bc
3. Aggiungi cd a entrambi i lati, ad + cd = bc + cd
4. Dividi per d, $a+c=\frac(bc+cd)(d)$
5. Dividi per b + d, $\frac(a+c)(b+d)$ = $\frac(c)(d)$ = $\frac(a)(b)$.

Rapporto differenza anche gli antecedenti alla differenza dei conseguenti sono gli stessi.

358. Se i rapporti in piu' coppie sono uguali, allora la somma di tutti gli antecedenti sta alla somma di tutti i conseguenti come ogni antecedente sta al suo conseguente.
Così il rapporto
|12:6 = 2
|10:5 = 2
|8:4 = 2
|6:3 = 2
Quindi il rapporto (12 + 10 + 8 + 6): (6 + 5 + 4 + 3) = 2.

358b. Rapporto maggiore disuguaglianzadiminuisce, aggiungendo la stessa quantità ad entrambi i membri.
Sia data una relazione a+b:a o $\frac(a+b)(a)$
Aggiungendo x a entrambi i termini, otteniamo a+b+x:a+x o $\frac(a+b)(a)$.

Il primo diventa $\frac(a^2+ab+ax+bx)(a(a+x))$
E l'ultimo è $\frac(a^2+ab+ax)(a(a+x))$.
Poiché l'ultimo numeratore è ovviamente minore dell'altro, allora rapporto dovrebbe essere inferiore. (art. 351 risp.)

Ma il rapporto minore disuguaglianza aumenta, aggiungendo lo stesso valore a entrambi i termini.
Sia la relazione data (a-b):a, o $\frac(a-b)(a)$.
Aggiungendo x a entrambi i termini, diventa (a-b+x):(a+x) o $\frac(a-b+x)(a+x)$
Portandoli a un comune denominatore,
Il primo diventa $\frac(a^2-ab+ax-bx)(a(a+x))$
E l'ultimo, $\frac(a^2-ab+ax)(a(a+x)).\frac((a^2-ab+ax))(a(a+x))$.

Poiché l'ultimo numeratore è maggiore dell'altro, allora rapporto Di più.
Se invece di aggiungere lo stesso valore porta via da due termini, è ovvio che l'effetto sul rapporto sarà opposto.

Esempi.

1. Quale è più grande: rapporto 11:9 o rapporto 44:35?

2. Quale è maggiore: il rapporto $(a+3):\frac(a)(6)$, o il rapporto $(2a+7):\frac(a)(3)$?

3. Se l'antecedente di una coppia è 65 e il rapporto è 13, qual è il conseguente?

4. Se il conseguente di una coppia è 7 e il rapporto è 18, qual è l'antecedente?

5. Che aspetto ha un rapporto complesso composto da 8:7, e 2a:5b, e anche (7x+1):(3y-2)?

6. Che aspetto ha un rapporto complesso composto da (x + y): b, e (x-y): (a + b), e anche (a + b): h? Rappresentante. (x 2 - y 2): bh.

7. Se le relazioni (5x+7):(2x-3), e $(x+2):\left(\frac(x)(2)+3\right)$ formano una relazione complessa, allora quale relazione otterrai: maggiore o minore disuguaglianza? Rappresentante. Il rapporto di maggiore disuguaglianza.

8. Qual è il rapporto formato da (x + y):a e (x - y):b, e $b:\frac(x^2-y^2)(a)$? Rappresentante. Rapporto di uguaglianza.

9. Qual è il rapporto tra 7:5 e il doppio di 4:9 e il triplo di 3:2?
Rappresentante. 14:15.

10. Qual è il rapporto composto da 3:7, e triplica il rapporto di x:y, ed estraendo la radice dal rapporto di 49:9?
Rappresentante. x3:y3.

Per risolvere la maggior parte dei problemi di matematica delle scuole superiori, è richiesta la conoscenza del proporzionamento. Questa semplice abilità ti aiuterà non solo a eseguire esercizi complessi dal libro di testo, ma anche ad approfondire l'essenza stessa della scienza matematica. Come fare una proporzione? Ora scopriamolo.

L'esempio più semplice è un problema in cui sono noti tre parametri e il quarto deve essere trovato. Le proporzioni sono, ovviamente, diverse, ma spesso è necessario trovare un numero in percentuale. Ad esempio, il ragazzo aveva dieci mele in totale. Ha dato la quarta parte a sua madre. Quante mele sono rimaste al ragazzo? Questo è l'esempio più semplice che ti permetterà di fare una proporzione. La cosa principale è farlo. In origine c'erano dieci mele. Lascia che sia al 100%. Questo abbiamo segnato tutte le sue mele. Ha dato un quarto. 1/4=25/100. Quindi, ha lasciato: 100% (era originariamente) - 25% (ha dato) = 75%. Questa cifra mostra la percentuale della quantità di frutta rimasta rispetto alla quantità di frutta che era disponibile per prima. Ora abbiamo tre numeri con cui possiamo già risolvere la proporzione. 10 mele - 100%, X mele - 75%, dove x è la quantità desiderata di frutta. Come fare una proporzione? È necessario capire di cosa si tratta. Matematicamente sembra così. Il segno uguale è per la tua comprensione.

10 mele = 100%;

x mele = 75%.

Risulta che 10/x = 100%/75. Questa è la proprietà principale delle proporzioni. Dopotutto, più x, più percentuale è questo numero rispetto all'originale. Risolviamo questa proporzione e otteniamo x=7,5 mele. Perché il ragazzo abbia deciso di dare un importo non intero, non lo sappiamo. Ora sai come fare una proporzione. La cosa principale è trovare due rapporti, uno dei quali contiene l'ignoto desiderato.

Risolvere una proporzione spesso si riduce alla semplice moltiplicazione e poi alla divisione. Ai bambini non viene insegnato nelle scuole perché è così. Mentre è importante capire che le relazioni proporzionali sono classici matematici, l'essenza stessa della scienza. Per risolvere le proporzioni, devi essere in grado di gestire le frazioni. Ad esempio, è spesso necessario convertire le percentuali in frazioni ordinarie. Cioè, un record del 95% non funzionerà. E se scrivi immediatamente 95/100, puoi effettuare solide riduzioni senza iniziare il conteggio principale. Vale la pena dire subito che se la tua proporzione risulta con due incognite, allora non può essere risolta. Nessun professore può aiutarti qui. E il tuo compito, molto probabilmente, ha un algoritmo più complesso per le azioni corrette.

Considera un altro esempio in cui non ci sono percentuali. L'automobilista ha acquistato 5 litri di benzina per 150 rubli. Pensò a quanto avrebbe pagato per 30 litri di carburante. Per risolvere questo problema, indichiamo con x la quantità di denaro richiesta. Puoi risolvere questo problema da solo e quindi controllare la risposta. Se non hai ancora capito come fare una proporzione, guarda. 5 litri di benzina sono 150 rubli. Come nel primo esempio, scriviamo 5l - 150r. Ora troviamo il terzo numero. Certo, sono 30 litri. Concordo sul fatto che una coppia di 30 l - x rubli sia appropriata in questa situazione. Passiamo al linguaggio matematico.

5 litri - 150 rubli;

30 litri - x rubli;

Risolviamo questa proporzione:

x = 900 rubli.

Questo è quello che abbiamo deciso. Nel tuo compito, non dimenticare di verificare l'adeguatezza della risposta. Succede che con una decisione sbagliata le auto raggiungano velocità irrealistiche di 5000 chilometri orari e così via. Ora sai come fare una proporzione. Inoltre puoi risolverlo. Come puoi vedere, non c'è niente di complicato in questo.

Formula di proporzione

La proporzione è l'uguaglianza di due rapporti quando a:b=c:d

rapporto 1 : 10 è uguale al rapporto di 7 : 70, che può anche essere scritto come frazione: 1 10 = 7 70 recita: "uno sta a dieci come sette sta a settanta"

Proprietà fondamentali della proporzione

Il prodotto dei termini estremi è uguale al prodotto dei termini medi (trasversalmente): se a:b=c:d , allora a⋅d=b⋅c

1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7

Inversione di proporzione: se a:b=c:d , allora b:a=d:c

1 10 7 70 10 1 = 70 7

Permutazione dei membri intermedi: se a:b=c:d , allora a:c=b:d

1 10 7 70 1 7 = 10 70

Permutazione dei membri estremi: se a:b=c:d , allora d:b=c:a

1 10 7 70 70 10 = 7 1

Risolvere una proporzione con un'incognita | L'equazione

1 : 10 = X : 70 O 1 10 = X 70

Per trovare x, devi moltiplicare trasversalmente due numeri noti e dividere per il valore opposto

X = 1 ⋅ 70 10 = 7

Come calcolare la proporzione

Compito: devi bere 1 compressa di carbone attivo per 10 chilogrammi di peso. Quante compresse devono essere assunte se una persona pesa 70 kg?

Facciamo una proporzione: 1 compressa - 10 kg X compresse - 70 kg Per trovare x, devi moltiplicare trasversalmente due numeri noti e dividere per il valore opposto: 1 compressa X compresse✕ 10 kg 70 kg X = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Risposta: 7 compresse

Compito: Vasya scrive due articoli in cinque ore. Quanti articoli scriverà in 20 ore?

Facciamo una proporzione: 2 articoli - 5 ore X articoli - 20 ore X = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Risposta: 8 articoli

Posso dire ai futuri diplomati che la capacità di fare proporzioni mi è tornata utile sia per ridurre proporzionalmente le immagini, sia nel layout HTML di una pagina web, sia nelle situazioni quotidiane.

Un rapporto (in matematica) è una relazione tra due o più numeri dello stesso tipo. I rapporti confrontano valori assoluti o parti di un tutto. I rapporti sono calcolati e scritti in modi diversi, ma i principi di base sono gli stessi per tutti i rapporti.

Passi

Parte 1

Definizione di rapporti

Usando i rapporti. I rapporti sono usati sia nella scienza che nella vita di tutti i giorni per confrontare le quantità. I rapporti più semplici riguardano solo due numeri, ma ci sono rapporti che confrontano tre o più valori. In ogni situazione in cui è presente più di una quantità, si può scrivere un rapporto. Collegando alcuni valori, i rapporti possono, ad esempio, suggerire come aumentare la quantità di ingredienti in una ricetta o sostanze in una reazione chimica.

Definizione di rapporti. Una relazione è una relazione tra due (o più) valori dello stesso tipo. Ad esempio, se una torta richiede 2 tazze di farina e 1 tazza di zucchero, il rapporto tra farina e zucchero è di 2 a 1.
- I rapporti possono essere utilizzati anche quando due quantità non sono correlate tra loro (come nell'esempio della torta). Ad esempio, se ci sono 5 ragazze e 10 ragazzi in una classe, il rapporto tra ragazze e ragazzi è di 5 a 10. Queste quantità (il numero di ragazzi e il numero di ragazze) non dipendono l'una dall'altra, cioè, i loro valori cambieranno se qualcuno lascia la classe o un nuovo studente verrà in classe. I rapporti confrontano semplicemente i valori delle quantità.
Notare i diversi modi in cui sono rappresentati i rapporti. Le relazioni possono essere rappresentate con parole o con simboli matematici.
- Molto spesso i rapporti sono espressi in parole (come mostrato sopra). Soprattutto questa forma di rappresentazione dei rapporti è usata nella vita di tutti i giorni, lontano dalla scienza.
- Inoltre, i rapporti possono essere espressi attraverso i due punti. Quando si confrontano due numeri in un rapporto, si utilizzeranno i due punti singoli (ad esempio, 7:13); quando si confrontano tre o più valori, inserire i due punti tra ogni coppia di numeri (ad esempio, 10:2:23). Nel nostro esempio di classe, potresti esprimere il rapporto tra ragazze e ragazzi in questo modo: 5 ragazze: 10 ragazzi. O così: 5:10.
- Meno comunemente, i rapporti sono espressi utilizzando una barra. Nell'esempio della classe, potrebbe essere scritto così: 5/10. Tuttavia, questa non è una frazione e tale rapporto non viene letto come frazione; inoltre, ricorda che in un rapporto i numeri non fanno parte di un unico insieme.
Parte 2
Uso dei rapporti
1. Semplifica il rapporto. Il rapporto può essere semplificato (simile alle frazioni) dividendo ogni termine (numero) del rapporto per . Tuttavia, non perdere di vista i valori del rapporto originale.
  - Nel nostro esempio, ci sono 5 ragazze e 10 ragazzi nella classe; il rapporto è 5:10. Il massimo comune divisore dei termini del rapporto è 5 (poiché sia 5 che 10 sono divisibili per 5). Dividi ogni numero di rapporto per 5 per ottenere un rapporto di 1 ragazza su 2 ragazzi (o 1:2). Tuttavia, quando si semplifica il rapporto, tenere a mente i valori originali. Nel nostro esempio, non ci sono 3 studenti in classe, ma 15. Il rapporto semplificato confronta il numero di ragazzi e il numero di ragazze. Cioè, per ogni ragazza ci sono 2 ragazzi, ma non ci sono 2 ragazzi e 1 ragazza in classe.
  - Alcune relazioni non sono semplificate. Ad esempio, il rapporto 3:56 non è semplificato perché questi numeri non hanno divisori comuni (3 è un numero primo e 56 non è divisibile per 3).
2. Usa la moltiplicazione o la divisione per aumentare o diminuire il rapporto. Un problema comune è aumentare o diminuire due valori proporzionali tra loro. Se ti viene dato un rapporto e hai bisogno di trovare un rapporto più grande o più piccolo che lo corrisponda, moltiplica o dividi il rapporto originale per un dato numero.
  - Ad esempio, un fornaio deve triplicare la quantità di ingredienti indicati in una ricetta. Se la ricetta dice che il rapporto tra farina e zucchero è 2:1 (2:1), allora il fornaio moltiplicherà ogni termine per 3 per ottenere un rapporto di 6:3 (6 tazze di farina per 3 tazze di zucchero).
  - D'altra parte, se il fornaio ha bisogno di dimezzare gli ingredienti indicati nella ricetta, dividerà ogni termine del rapporto per 2 e otterrà un rapporto di 1:½ (1 tazza di farina e 1/2 tazza di zucchero).
3. Cerca un valore sconosciuto quando vengono forniti due rapporti equivalenti. Questo è un problema in cui è necessario trovare una variabile sconosciuta in una relazione utilizzando una seconda relazione equivalente alla prima. Per risolvere tali problemi, utilizzare . Scrivi ogni rapporto come una frazione, metti un segno di uguale tra di loro e moltiplica i loro termini trasversalmente.
  - Ad esempio, dato un gruppo di studenti, in cui ci sono 2 ragazzi e 5 ragazze. Quale sarà il numero di ragazzi se il numero di ragazze viene aumentato a 20 (la proporzione viene preservata)? Innanzitutto, scrivi due rapporti: 2 ragazzi:5 ragazze e X ragazzi: 20 ragazze. Ora scrivi questi rapporti come frazioni: 2/5 e x/20. Moltiplica trasversalmente i termini delle frazioni e ottieni 5x = 40; quindi x = 40/5 = 8.
Parte 3
Errori comuni
1. Evita l'addizione e la sottrazione nei problemi di proporzioni del testo. Molti problemi con le parole assomigliano a questo: “La ricetta richiede 4 tuberi di patata e 5 carote a radice. Se vuoi aggiungere 8 patate, di quante carote hai bisogno per mantenere lo stesso rapporto?" Quando risolvono tali problemi, gli studenti spesso commettono l'errore di aggiungere la stessa quantità di ingredienti al numero originale. Tuttavia, per mantenere il rapporto, è necessario utilizzare la moltiplicazione. Ecco alcuni esempi di decisioni giuste e sbagliate:
  - Errato: “8 - 4 = 4 - quindi abbiamo aggiunto 4 tuberi di patata. Quindi, devi prendere 5 radici di carota e aggiungerne altre 4 ... Stop! I rapporti non funzionano in questo modo. Vale la pena riprovare."
  - Corretto: "8 ÷ 4 = 2 - quindi abbiamo moltiplicato il numero di patate per 2. Di conseguenza, anche 5 radici di carota devono essere moltiplicate per 2. 5 x 2 = 10 - 10 radici di carota devono essere aggiunte alla ricetta."