In questo articolo considereremo in dettaglio su un piano e nello spazio tridimensionale. Cominciamo con la definizione di rette perpendicolari, mostriamo la notazione e forniamo esempi. Successivamente, presentiamo una condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità di due rette e analizziamo in dettaglio le soluzioni ai problemi caratteristici.
Navigazione della pagina.
Linee perpendicolari - informazioni di base.
Esempio.
Sono dati tre punti nel sistema di coordinate rettangolari Oxy. Le rette AB e AC sono perpendicolari?
Soluzione.
I vettori e sono i vettori di direzione delle rette AB e AC. Facendo riferimento all'articolo, calcoliamo 
. I vettori e sono perpendicolari, poiché 
. Pertanto è soddisfatta la condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità delle rette AB e AC. Pertanto le rette AB e AC sono perpendicolari.
Risposta:
Sì, le linee rette sono perpendicolari.
Esempio.
Sono etero e 
perpendicolare?
Soluzione.
Il vettore direttivo è una linea retta ed è il vettore direttivo di una linea retta . Calcoliamo il prodotto scalare dei vettori e: 
. È diverso da zero, quindi i vettori di direzione delle linee non sono perpendicolari. Cioè, la condizione di perpendicolarità delle linee non è soddisfatta, quindi le linee originali non sono perpendicolari.
Risposta:
No, le linee non sono perpendicolari.
Allo stesso modo, condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità delle rette aeb nel sistema di coordinate rettangolari Oxyz nello spazio tridimensionale ha la forma 
, Dove 
E 
sono i vettori direzione delle rette a e b, rispettivamente.
Esempio.
Sono le linee definite nel sistema di coordinate rettangolari Oxyz nello spazio tridimensionale perpendicolare alle equazioni 
E ?
Soluzione.
I numeri ai denominatori delle equazioni canoniche di una linea nello spazio sono le coordinate corrispondenti del vettore direttivo della linea. E le coordinate del vettore direttivo della retta, che è specificato dalle equazioni parametriche della retta nello spazio, sono i coefficienti del parametro. Così, 
e sono i vettori di direzione delle rette date. Scopriamo se sono perpendicolari: 
. Poiché il prodotto scalare è zero, questi vettori sono perpendicolari. Ciò significa che la condizione di perpendicolarità delle linee date è soddisfatta.
Risposta:
Le linee rette sono perpendicolari.
Per verificare la perpendicolarità di due rette in un piano esistono altre condizioni necessarie e sufficienti per la perpendicolarità.
Teorema.
Affinché le rette a e b siano perpendicolari in un piano, è necessario e sufficiente che il vettore normale della retta a sia perpendicolare al vettore normale della retta b.
La condizione dichiarata di perpendicolarità delle rette è conveniente da usare se, utilizzando le equazioni delle rette date, si possono facilmente trovare le coordinate dei vettori normali delle rette. Questa affermazione corrisponde all'equazione generale della linea retta della forma 
, l'equazione di una linea in segmenti e l'equazione di una linea con un coefficiente angolare.
Esempio.
Assicurati che sia dritto 
e perpendicolare.
Soluzione.
Date le equazioni delle rette, è facile trovare le coordinate dei vettori normali di queste rette. – vettore linea normale . Riscriviamo l'equazione nella forma 
, da dove sono visibili le coordinate del vettore normale di questa linea: .
I vettori e sono perpendicolari, poiché il loro prodotto scalare è uguale a zero: 
. Pertanto è soddisfatta la condizione necessaria e sufficiente della perpendicolarità delle rette date, cioè che siano veramente perpendicolari.
In particolare, se una retta a su un piano è determinata dall'equazione di una retta con coefficiente angolare della forma , e di una retta b della forma , allora i vettori normali di queste rette hanno coordinate e , rispettivamente , e la condizione per la perpendicolarità di queste rette si riduce alla seguente relazione tra i coefficienti angolari.
Dritto incrociato
Intersezione dritta
Posizione relativa delle linee
Proiezione di linee rette
Livelli diretti
Disegni al tratto complessi
Filtri coordinati
Proiezione ortogonale di un punto su un piano
Costruzione di oggetti sorgente
La prima fase per risolvere il problema è costruire gli oggetti iniziali come primitive di AutoCAD in base alle dimensioni prese dal disegno. Gli oggetti possono essere punti, segmenti di linea, superfici.
Il disegno originale viene fornito, di regola, in forma senza asse. È necessario contrassegnare su questo disegno gli assi del sistema di coordinate cartesiane (sistema di riferimento), rispetto al quale è possibile misurare le coordinate dei punti dell'oggetto. La direzione degli assi deve essere impostata secondo quella accettata in AutoCAD. Il punto di origine nel disegno può essere scelto arbitrariamente, poiché non influisce sulle differenze nelle coordinate dei punti, cioè non cambia la posizione relativa e la forma degli oggetti specificati nel disegno.
Nella fig. La Figura 14 mostra un disegno del triangolo ABC, contenente le sue proiezioni orizzontale e frontale. Gli assi delle coordinate sono contrassegnati sul campo di disegno. Le coordinate dei punti possono essere misurate con un righello con una precisione di 1 mm. Quindi, le coordinate del punto A sono (x = 10, y = 50, z = 22).
Costruiamo il punto A (vedi Fig. 14) come oggetto AutoCAD.
q Accedere alla finestra della vista dall'alto o alla finestra dell'assonometria; in queste finestre il sistema di coordinate corrisponde al sistema mostrato nel disegno.
Q punto \ 10, 50, 22.
Q Risultato: in tutte le finestre è apparsa l'immagine di un punto sotto forma di indicatore, una croce.
Il marker che segna il punto è definito nel prototipo. Puoi modificare il tipo e la dimensione del marcatore:
q Formato\Stile punto.
Costruiamo un segmento di retta AC:
Q linea \ 10, 50, 22 \ 50,30,50.
Risultato: il segmento è costruito. Viene visualizzato in tutte le finestre, pertanto si ottengono tre proiezioni ortogonali e una proiezione assonometrica (isometria).
Per costruire una proiezione ortogonale di un punto su un piano, quando l'angolo di proiezione è a=90 0, (Fig. 15), è sufficiente installare un sistema di coordinate (UCS) su questo piano, determinare le coordinate del punto proiettato in questo sistema di coordinate e impostare la coordinata z uguale a zero. Ad esempio, se l'UCS è installato sul piano D e il punto A ha coordinate in questo UCS (50,60,70), la proiezione ortogonale del punto A sul piano D sarà il punto A D (50,60,0).
Le proiezioni ortogonali vengono costruite utilizzando i cosiddetti filtri di coordinate: uno strumento che permette di prendere le coordinate necessarie da un punto specificato. Quindi, se applichi un filtro .xy, verranno prese solo le coordinate del punto X E sì e la coordinata mancante z il sistema richiederà di specificare ulteriormente; Per costruire una proiezione ortogonale, la coordinata z deve essere impostata su zero. I filtri possono essere richiamati premendo la combinazione di tasti Maiusc+Psch\Punto Filtri.
Costruiamo il punto A D, che è una proiezione ortogonale del punto A sul piano D (vedi Fig. 15):
q impostare un contrassegno di punto;
q impostare l'UCS sul piano di proiezione D;
Q punto\ Shift+PSh \ Filtri \ .xy \ abilita l'aggancio agli oggetti Shift+PSh \ Node ( Nodo);
q puntare il mirino sul punto proiettato A;
q alla richiesta “Z richiesto” inserire zero – il punto A D è stato costruito.
La proiezione di un segmento sarà anch'essa un segmento, per costruire il quale è necessario prendere i punti del segmento proiettato, applicando le coordinate filter.xy e lo snap all'oggetto Punto finale ( Definitivo). Lascia che ci sia un segmento; devi costruire la sua proiezione ortogonale in un dato piano:
q impostare l'UCS sul piano di proiezione.
Q linea\ seleziona un filtro (Shift+PSH \ Filtri \ .xy);
q abilitare l'aggancio agli oggetti (Shift+PSh\ Definitivo) \ indicare la fine del segmento proiettato \ alla richiesta “z richiesto” inserire zero;
q ripetere gli stessi passaggi per il secondo punto finale del segmento \ ПШ – viene costruita la proiezione del segmento.
2.3.2. Proiezione “automatica”.
La proiezione può essere “affidata” al sistema tramite il programma project.lsp , che deve essere prima scaricato.
q Caricare il file project.lsp (Strumenti\Carica applicazione...)
Risultato: il programma caricato crea tre nuovi comandi: PROIEZIONE, PR1, PR2.
q Immettere il comando PROJECT e leggere le informazioni sull'utilizzo del programma.
Il comando PR1 esegue la proiezione ortogonale degli oggetti nel piano UCS. Gli oggetti possono essere punti, segmenti di linea, archi circolari e polilinee. Il comando PR2 esegue la proiezione obliqua, vedere sotto per i dettagli. Per eseguire la proiezione ortografica:
q impostare l'UCS sul piano di proiezione;
q inserire il comando PR1 e specificare gli oggetti da proiettare \ ПШ.
Risultato: sono state ottenute proiezioni ortogonali degli oggetti selezionati sul piano UCS.
Poiché una retta è definita da due punti, per definirla nel disegno sono sufficienti le proiezioni di due punti ad essa appartenenti (Fig. 16, a, b).
Con il metodo dell'immagine senza assi, la distanza tra le proiezioni viene presa arbitrariamente, ma è necessario osservare la differenza nelle coordinate dei punti che definiscono la linea retta (Fig. 16, c).
Una linea retta può occupare diverse posizioni nello spazio rispetto ai piani di proiezione. Viene chiamata una retta che non è né parallela né perpendicolare a nessuno dei piani di proiezione posizione generale(Fig. 16). Le restanti linee sono classificate come linee di posizione particolare, tra le quali ci sono linee di livello e linee sporgenti. Le linee di livello sono linee rette parallele ad uno dei piani di proiezione, le linee proiettanti sono linee rette perpendicolari ai piani di proiezione.
Viene chiamata la linea di livello parallela al piano di proiezione orizzontale orizzontale(Fig. 17), retta parallela al piano frontale delle proiezioni – frontale(Fig. 18) e viene chiamata una retta parallela al piano del profilo delle proiezioni profilo dritto(Fig. 19).
 |
La linea orizzontale è indicata dalla lettera h. La sua proiezione frontale h 2 è sempre perpendicolare alle linee di comunicazione verticali e la proiezione orizzontale h 1 riflette la posizione della linea nello spazio. Il segmento /AB/ e gli angoli di inclinazione β, γ rispetto ai piani di proiezione P 2, P 3 vengono proiettati sul piano P 1 senza distorsioni.
Il fronte è indicato dalla lettera f. Anteriormente, la proiezione orizzontale f 1 è sempre perpendicolare alle linee di comunicazione, e la proiezione frontale f 2 corrisponde alla posizione della linea più retta nello spazio. Gli angoli di inclinazione α e γ rispettivamente rispetto ai piani P 1 e P 3, nonché il segmento /AB/ della parte anteriore, vengono proiettati su P 2 senza distorsioni.
La linea del profilo è designata dalla lettera p. Le sue proiezioni frontale p 2 e orizzontale p 1 coincidono con una linea di comunicazione verticale e la proiezione del profilo p 3 mostra la posizione della linea nello spazio. Senza distorsione, il segmento /AB/ e gli angoli di inclinazione α, β della linea di profilo rispetto ai piani P 1 e P 2 vengono proiettati rispettivamente su P 3.
A seconda della perpendicolarità ad un particolare piano di proiezione, le linee rette vengono chiamate proiezione orizzontale, frontale o di profilo.
 |  |
||
Linea che si proietta orizzontalmente– rettilineo, perpendicolare a P 1 (Fig. 20). La proiezione orizzontale di questa linea (A 1 = B 1) degenera in un punto e la proiezione frontale (A 2 B 2) coincide con la linea di comunicazione. È ovvio che la linea che si proietta orizzontalmente è contemporaneamente parallela a P 2 e P 3, quindi /A 2 B 2 / = /A 3 B 3 / = /AB/.
Linea sporgente frontalmente– retta perpendicolare a P 2 (Fig. 21). La proiezione frontale di questa linea (A 2 = B 2) degenera in un punto, e la proiezione orizzontale (A 1 B 1) coincide con la linea di collegamento. La linea che sporge frontalmente è parallela a P 1 e P 3, quindi /A 1 B 1 / = /A 3 B 3 / = /AB/.
Linea di proiezione del profilo– retta perpendicolare a P 3 (Fig. 22). La proiezione di profilo di tale retta (A 3 =B 3) è un punto, e le proiezioni orizzontale e frontale sono perpendicolari alle linee di comunicazione. La linea sporgente del profilo è contemporaneamente parallela a P 1 e P 2, quindi /A 1 B 1 / = /A 2 B 2 / = /AB/.
I punti appartenenti alla linea proiettante sono detti concorrenti rispetto al piano di proiezione a cui la linea è perpendicolare. I punti A e B in Fig. 20 sono chiamati concorrenti orizzontalmente, in Fig. 21 e 22 sono rispettivamente concorrenti frontalmente e di profilo. I punti concorrenti vengono utilizzati per determinare la visibilità delle proiezioni di forme geometriche.
2.4.3. Appartenenza ad un punto su una linea retta
Un punto può appartenere ad una linea o trovarsi al di fuori di essa. Se un punto appartiene a una linea, tutte le proiezioni di questo punto devono appartenere alle stesse proiezioni della linea (Fig. 23).
Ad esempio, il punto C appartiene alla linea l, poiché C 1 e C 2 appartengono rispettivamente l1 E l2.
Un punto non appartiene ad una retta se almeno una delle sue proiezioni non appartiene alla stessa proiezione della retta. Ad esempio, i punti A, B, D non appartengono alla linea l e il punto A si trova sopra la linea e il punto B è dietro la linea.
Determinazione della lunghezza di un segmento diritto utilizzando il metodo del triangolo rettangolo
Poiché una retta in posizione generale non è parallela a nessuno dei piani di proiezione, il segmento ad essa appartenente viene proiettato su questi piani con distorsione.
Considera il triangolo rettangolo ABB 0 (Fig. 24, a). L'ipotenusa AB del triangolo è il segmento stesso nello spazio, la gamba B 0 B è uguale alla proiezione orizzontale del segmento A 1 B 1 e la gamba AB 0 è la differenza nelle altezze delle estremità del segmento Z A - Z B al piano di proiezione P 1. L'angolo α è l'angolo di inclinazione del segmento rispetto a P 1. Un triangolo uguale a questo può essere costruito su un disegno complesso (Fig. 24, b). Utilizzando la proiezione orizzontale del segmento A 1 B 1 come gamba, costruiamo una seconda gamba pari alla differenza di altezze Z A – Z B, che è determinata dalla proiezione frontale del segmento A 2 B 2. L'ipotenusa B 1 B 0 è uguale al valore naturale del segmento /AB/, l'angolo α è l'angolo di inclinazione del segmento rispetto a P 1. La lunghezza di un segmento può anche essere determinata come la lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo, un cateto del quale è la proiezione frontale A 2 B 2, e l'altro è la differenza delle coordinate Y B - Y A, che è determinata dalla proiezione orizzontale del segmento (Fig. 24, c). L'angolo β in questo caso sarà uguale all'angolo di inclinazione del segmento rispetto al piano frontale delle proiezioni P 2.
Pertanto, se è necessario determinare il vero valore di un segmento di retta e l'angolo della sua inclinazione rispetto al piano P1, si costruisce un triangolo rettangolo utilizzando la proiezione orizzontale del segmento. Se sono richiesti la grandezza reale e l'angolo di inclinazione rispetto a P 2, viene utilizzata una proiezione frontale.
Due linee nello spazio possono essere parallele, intersecarsi o incrociarsi.
Retto parallelo
Se dritto UN, B sono paralleli, quindi anche le loro proiezioni sono parallele (Fig. 25, a). È vero anche il contrario, ma solo per linee generali.
Pertanto, per giudicare il parallelismo di due rette in posizione generale, è sufficiente avere due proiezioni qualsiasi delle loro. Nel caso delle linee di livello non sempre è possibile determinarne il parallelismo da due proiezioni. Ad esempio, nella Fig. 25, b la posizione relativa delle linee del profilo non è affatto determinata. Per specificare univocamente tali rette, utilizzando le stesse proiezioni, è necessario indicare le proiezioni dei punti A, B, C, D ad esse appartenenti (Fig. 25, c). Tuttavia, per giudicare il parallelismo delle linee rette Con E D nella fig. 25, molto difficile. Un'altra cosa è se ci sono proiezioni di linee di profilo sul piano a cui sono parallele (Fig. 25, d). Come si può vedere dalla figura. 25, le proiezioni d A 3 B 3 e C 3 B 3 non sono parallele, quindi le linee nello spazio non sono parallele.
Pertanto, per giudicare il parallelismo delle linee di livello, è necessario avere le loro proiezioni sul piano al quale sono parallele.
Se le linee si intersecano nello spazio, anche le loro proiezioni si intersecano e i punti di intersezione delle proiezioni K 1, K 2 appartengono alla stessa linea di connessione (Fig. 26, a).
Proiezioni di linee oblique M, N possono intersecarsi (Fig. 26, b), ma i punti di intersezione delle proiezioni non appartengono alla stessa linea di comunicazione. Punto di intersezione delle proiezioni orizzontali di linee che si intersecano M E Nè una proiezione orizzontale di due punti concorrenti orizzontalmente 1 e 2. Il punto di intersezione delle proiezioni frontali di queste linee è la proiezione frontale dei punti concorrenti frontalmente 3, 4.
Utilizzando punti concorrenti orizzontalmente, viene determinata la posizione delle linee che si intersecano rispetto al piano di proiezione orizzontale. Proiezione frontale 1 2 punti 1 appartenente a M,è maggiore di 2 2 – punto 2 appartenente a N(la direzione della vista è indicata dalla freccia). Pertanto, in questa posizione la linea retta M sopra la linea N.
La posizione delle rette che si intersecano rispetto al piano frontale delle proiezioni è determinata dai punti concorrenti frontalmente. Proiezione orizzontale 4 1 del punto 4 appartenente a M, si trova inferiore a 3 1 – punto 3 appartenente a N(la direzione della vista è indicata dalla freccia). Quindi, dritto M situato di fronte alla linea N.
Qualsiasi angolo tra le linee rette viene mappato sul piano di proiezione senza distorsioni se le linee rette sono parallele a questo piano, cioè sono dritti a livello.
Un angolo retto con proiezione ortogonale ha proprietà speciali. Un angolo retto viene proiettato senza distorsioni se solo uno dei suoi lati è parallelo al piano di proiezione.
Per dimostrare questa affermazione si consideri la Fig. 27. Dato un angolo retto ABC, i cui lati AB e BC sono paralleli al piano P 1. Pertanto, secondo le proprietà della proiezione parallela, l'angolo A 1 B 1 C 1 è la proiezione dell'angolo ABC, anch'esso retto. BC ┴ AB e BB 1 rispettivamente per condizione e per costruzione, quindi BC ┴ Σ - il piano tracciato attraverso AB e A 1 B 1 e ┴ P 1. Come sai dal corso di geometria scolastica, se una linea è perpendicolare a un piano, allora è perpendicolare a qualsiasi linea appartenente a questo piano. Di conseguenza, BC ┴ ВD e MN e, di conseguenza, В 1 С 1 ┴ B 1 D 1 e M 1 N 1.
In un disegno complesso sono possibili i seguenti casi di indicazione di un angolo retto: una linea retta in posizione generale UN e orizzontale h (Fig. 28, a), una linea retta in posizione generale V e frontale f (Fig. 28, b), una linea retta in posizione generale Con e la linea retta del profilo p (Fig. 28, c).
In generale, quando i lati di un angolo retto sono linee rette generali, l'angolo retto viene proiettato con distorsione, in un angolo acuto o ottuso.
L'articolo affronta la questione delle linee perpendicolari al piano e dello spazio tridimensionale. Analizzeremo in dettaglio la definizione di linee perpendicolari e le loro designazioni con gli esempi forniti. Consideriamo le condizioni per applicare la condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità di due rette e consideriamo in dettaglio utilizzando un esempio.
L'angolo tra le linee che si intersecano nello spazio può essere retto. Quindi dicono che le rette date sono perpendicolari. Quando l'angolo tra le linee che si intersecano è diritto, anche le linee sono perpendicolari. Ne consegue che le linee perpendicolari su un piano si intersecano e le linee perpendicolari nello spazio possono intersecarsi e incrociarsi.
Cioè, i concetti "linee aeb sono perpendicolari" e "linee b e a sono perpendicolari" sono considerati uguali. Da qui deriva il concetto di linee reciprocamente perpendicolari. Avendo riassunto quanto sopra, diamo un'occhiata alla definizione.
Definizione 1
Due rette si dicono perpendicolari se l'angolo formato dalla loro intersezione è di 90 gradi.
La perpendicolarità è indicata con “⊥” e la notazione assume la forma a ⊥ b, il che significa che la linea a è perpendicolare alla linea b.
Ad esempio, i lati di un quadrato con un vertice comune possono essere linee perpendicolari su un piano. Nello spazio tridimensionale, le linee O x , O z , O y sono perpendicolari a coppie: O x e O z , O x e O y , O y e O z .
Perpendicolarità delle linee - condizioni di perpendicolarità
È necessario conoscere le proprietà della perpendicolarità, poiché la maggior parte dei problemi si riduce al controllo per la successiva soluzione. Ci sono casi in cui la perpendicolarità viene discussa nelle condizioni del compito o quando è necessario utilizzare una dimostrazione. Per dimostrare la perpendicolarità è sufficiente che l'angolo tra le linee sia retto.
Per determinare la loro perpendicolarità con le equazioni note del sistema di coordinate rettangolari è necessario applicare la condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità delle rette. Diamo un'occhiata alla formulazione.
Teorema 1
Affinché le rette aeb siano perpendicolari è necessario e sufficiente che il vettore direzione della retta sia perpendicolare al vettore direzione della retta data b.
La dimostrazione stessa si basa sulla determinazione del vettore direzione di una linea e sulla determinazione della perpendicolarità delle linee.
Prova 1
Sia introdotto un sistema di coordinate cartesiane rettangolare O x y con date equazioni di una linea sul piano che definisce le linee a e b. Indichiamo i vettori di direzione delle rette a e b come a → e b → . Dall'equazione delle rette aeb, condizione necessaria e sufficiente è la perpendicolarità dei vettori a → e b →. Ciò è possibile solo se il prodotto scalare dei vettori a → = (a x , a y) e b → = (b x , b y) è uguale a zero e la voce ha la forma a → , b → = a x · b x + a y · by y = 0 . Otteniamo che la condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità delle rette a e b, poste nel sistema di coordinate rettangolari O x y sul piano, è a →, b → = a x · b x + a y · b y = 0, dove a → = (a x, a y) e b → = b x, b y sono i vettori di direzione delle linee a e b.
La condizione è applicabile quando è necessario trovare le coordinate dei vettori di direzione o in presenza di equazioni canoniche o parametriche di rette sul piano delle rette aeb date.
Esempio 1
Tre punti A (8, 6), B (6, 3), C (2, 10) sono dati nel sistema di coordinate rettangolari O x y. Determina se le linee A B e A C sono perpendicolari oppure no.
Soluzione
Le linee dirette A B e A C hanno rispettivamente i vettori di direzione A B → e A C →. Innanzitutto, calcoliamo A B → = (- 2 , - 3) , A C → = (- 6 , 4) . Otteniamo che i vettori A B → e A C → sono perpendicolari dalla proprietà del prodotto scalare di vettori pari a zero.
A B → , A C → = (- 2) (- 6) + (- 3) 4 = 0
È ovvio che è soddisfatta la condizione necessaria e sufficiente, cioè che A B e AC sono perpendicolari.
Risposta: le rette sono perpendicolari.
Esempio 2
Determina se le rette date x - 1 2 = y - 7 3 e x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ sono perpendicolari o meno.
Soluzione
a → = (2, 3) è il vettore di direzione della linea data x - 1 2 = y - 7 3,
b → = (1, - 2) è il vettore direzione della retta x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ.
Passiamo al calcolo del prodotto scalare dei vettori a → e b →. Si scriverà l'espressione:
a → , b → = 2 1 + 3 - 2 = 2 - 6 ≠ 0
Il risultato del prodotto non è uguale a zero, possiamo concludere che i vettori non sono perpendicolari, il che significa che anche le linee non sono perpendicolari.
Risposta: le linee non sono perpendicolari.
La condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità delle rette a e b si applica allo spazio tridimensionale, scritto come a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , dove a → = (a x , a y , a z) e b → = (b x , by y , b z) sono i vettori di direzione delle linee a e b.
Esempio 3
Controlla la perpendicolarità delle linee in un sistema di coordinate rettangolari di spazio tridimensionale, dato dalle equazioni x 2 = y - 1 = z + 1 0 e x = λ y = 1 + 2 λ z = 4 λ
Soluzione
I denominatori delle equazioni canoniche delle rette sono considerati le coordinate del vettore direzione della retta. Le coordinate del vettore direzione dell'equazione parametrica sono coefficienti. Ne consegue che a → = (2, - 1, 0) eb → = (1, 2, 4) sono vettori di direzione delle linee date. Per individuare la loro perpendicolarità troviamo il prodotto scalare dei vettori.
L'espressione assumerà la forma a → , b → = 2 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 4 = 0 .
I vettori sono perpendicolari perché il prodotto è zero. La condizione necessaria e sufficiente è soddisfatta, il che significa che anche le linee sono perpendicolari.
Risposta: le rette sono perpendicolari.
Il controllo di perpendicolarità può essere effettuato sulla base di altre condizioni necessarie e sufficienti di perpendicolarità.
Teorema 2
Le linee a e b su un piano si considerano perpendicolari quando il vettore normale della linea a è perpendicolare al vettore b, questa è una condizione necessaria e sufficiente.
Prova 2
Questa condizione è applicabile quando le equazioni delle rette forniscono un modo rapido per trovare le coordinate dei vettori normali di determinate rette. Cioè, se esiste un'equazione generale di una linea della forma A x + B y + C = 0, un'equazione di una linea in segmenti della forma x a + y b = 1, un'equazione di una linea con un coefficiente angolare della forma y = k x + b, è possibile trovare le coordinate dei vettori.
Esempio 4
Scopri se le rette 3 x - y + 2 = 0 e x 3 2 + y 1 2 = 1 sono perpendicolari.
Soluzione
Sulla base delle loro equazioni, è necessario trovare le coordinate dei vettori normali delle linee. Otteniamo che n α → = (3, - 1) è il vettore normale per la retta 3 x - y + 2 = 0.
Semplifichiamo l'equazione x 3 2 + y 1 2 = 1 nella forma 2 3 x + 2 y - 1 = 0. Ora sono ben visibili le coordinate del vettore normale, che scriviamo in questa forma n b → = 2 3 , 2 .
I vettori n a → = (3, - 1) e n b → = 2 3, 2 saranno perpendicolari, poiché il loro prodotto scalare darà alla fine un valore pari a 0. Otteniamo n a → , n b → = 3 · 2 3 + (- 1) · 2 = 0 .
La condizione necessaria e sufficiente è stata soddisfatta.
Risposta: le rette sono perpendicolari.
Quando una linea a su un piano è definita utilizzando un'equazione con pendenza y = k 1 x + b 1 e una linea b - y = k 2 x + b 2, ne consegue che i vettori normali avranno coordinate (k 1 , - 1) e (k 2 , - 1) . La stessa condizione di perpendicolarità si riduce a k 1 · k 2 + (- 1) · (- 1) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = - 1.
Esempio 5
Scopri se le rette y = - 3 7 x e y = 7 3 x - 1 2 sono perpendicolari.
Soluzione
La retta y = - 3 7 x ha pendenza pari a - 3 7, e la retta y = 7 3 x - 1 2 - 7 3.
Il prodotto dei coefficienti angolari dà il valore - 1, - 3 7 · 7 3 = - 1, cioè le linee sono perpendicolari.
Risposta: le rette indicate sono perpendicolari.
Esiste un'altra condizione utilizzata per determinare la perpendicolarità delle linee su un piano.
Teorema 3
Affinché le rette a e b siano perpendicolari su un piano, condizione necessaria e sufficiente è che il vettore direzione di una delle rette sia collineare con il vettore normale della seconda retta.
Prova 3
La condizione è applicabile quando è possibile trovare il vettore direzione di una retta e le coordinate del vettore normale di un'altra. In altre parole, una retta è data da un'equazione canonica o parametrica, e l'altra da un'equazione generale di una retta, un'equazione in segmenti o un'equazione di una retta con coefficiente angolare.
Esempio 6
Determina se le rette date x - y - 1 = 0 e x 0 = y - 4 2 sono perpendicolari.
Soluzione
Troviamo che il vettore normale della retta x - y - 1 = 0 ha coordinate n a → = (1, - 1), e b → = (0, 2) è il vettore direzione della retta x 0 = y -42.
Ciò dimostra che i vettori n a → = (1, - 1) eb → = (0, 2) non sono collineari, perché la condizione di collinearità non è soddisfatta. Non esiste un numero t tale che valga l'uguaglianza n a → = t · b →. Da qui la conclusione che le rette non sono perpendicolari.
Risposta: le linee non sono perpendicolari.
Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio