Цель урока: проверка умений и навыковисследования функций и построения графиков с помощью производной.

Теоретическая часть зачета.

Вопросы Определение точки минимума и точки максимума.

Определение критической точки.

Необходимое условие, чтобы точка х 0 была точкой экстремума.

Алгоритм нахождения критических точек функции.

Определение стационарных точек.

Теорема Ферма (необходимое условие экстремума функции).

Достаточные условия существования экстремума функции.

Достаточный признак возрастания, убывания функции.

Точки экстремума,экстремум функции.

Алгоритм нахождения экстремумов функции.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Теоретическая часть зачета

1) Определение точки минимума.

Если функция определена в некоторой окрестности точки Х 0 , то точка Х 0 называется точкой минимума функции f(х), если существует такая окрестность точки Х 0 ,что для всех хх 0 из этой окрестности выполняется неравенство f(х)>f(х 0).

Определение точки максимума.

Если функция определена в некоторой окрестности точки Х 0 , то точка Х 0 называется точкой максимума функции f(х),если существует такая окрестность точки Х 0 , что для всех х?х 0 из этой окрестности выполняется неравенство f(х)

2) Определение критических точек.

Критические точки – это внутренние точки области определения функции в которых производная не существует или равна нулю.

3) Необходимое условие, чтобы Х 0 была точкой экстремума : эта точка должна быть критической.

4) Алгоритм нахождения критических точек.

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции.

3. Найти область определения производной данной функции.(Чтобы определить есть ли точки в которых производная не существует. Если такие точки есть, то проверить являются ли они внутренними точками области определения функции.

4. Найти точки, в которых производная равна нулю, решив уравнение: f "(х)=0.

Проверить являются ли найденные точки внутренними точками области определения функции.

5) Стационарные точки - точки, в которых производная функции равна нулю.

6) Теорема Ферма. (Необходимое условие экстремума функции.)

у=f(х)-функция, которая определена в некоторой окрестности точки Х 0 , и имеет производную в этой точке.

Теорема: если Х 0 -точка экстремума дифференцируемой функции f(х), то f "(х)=0.

7) Достаточные условия существования экстремума функции в точке.

y=f(х) определена на (а;в). Х 0 -критическая точка.

Если функция f непрерывна в точке Х 0 , а f "(х)>0 на интервале (а;х 0) и f "(х)<0 на интервале (х 0 ;в), то точка х 0 является точкой максимума функции f .

(Упрощенная формулировка: если в точке Х 0 производная меняет знак с “+” на “ _ ”, то Х 0 есть точка максимума .)

Если функция f непрерывна в точке Х 0 , а f "(х)<0 на интервале (а;X 0) и f "(х)>0 на интервале (X 0 ;в), то точка х 0 является точкой минимума функции f.

(Упрощенная формулировка: если в точке Х 0 производная меняет знак с “ _ ” на “+”, то Х 0 есть точка минимума .)

8) Достаточный признак возрастания, убывания функции .

Если f "(х)>0 для всех х из промежутка (а; в), то функция возрастает на промежутке (а; в).

Если f "(х)<0 для всех х из промежутка (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).

(Если функция непрерывна на конце промежутка, то его можно присоединить к промежутку возрастания (убывания) функции.)

9) Точки экстремума, экстремум функции.

Х 0 - точка максимума, Х 0 –точка минимума называются точками экстремума .

f(х 0) - максимум функции,

f(х 0) - минимум функции называются экстремумами функции .

10) Алгоритм нахождения экстремумов функции.

1. Находим область определения функции.

2. Находим производную функции.

3. Находим критические точки.

4. Определим знак производной на каждом из интервалов, на которые критические точки разбивают область определения.

5. Найдем точки экстремума, учитывая характер изменения знака производной.

6. Найдем экстремумы функций.

11) Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

1. Найти значения функции на концах отрезка [а; в].

2. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (а; в).

3. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Практическая часть зачета

“Исследование функций с помощью производной.

Наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке”

а) критические точки функций,

б) экстремумы функций

в) наибольшее и наименьшее значения функций на указанном промежутке

г) построить график.

1. у=(х-3) 2 (х-2).		11. у=2х 4 -х.	[-1;1]
2. у=1/3х 3 +х 2	[-4;1]	12. у=х 2 -2/х.	[-3;-0,5]
3. у=1/3х 3 -х 2 -3х	[-2;6]	13. у=1/(х 2 +1).	[-1;2]
4. у=-1/4х 4 +2х 2 +1.	[-3;3]	14. у=3х-х 3 .	[-1,5;1,5]
5. у=х 4 -8х 2 -9.	[-3;3]	15. у=2х 2 -х 4 .	[-2;1,5]
6. у=(х-2)(х+1) 2 .	[-1,5;1,5]	16. у=3х 2/3 -х 2 .	[-8;8]
7. у=-2/3х 3 +2х-4/3.	[-1,5;1,5]	17. у=3х 1/3 -х.	[-8;8]
8. у=3х 5 -5х 4 +4.	[-1;1]	18. у=х 3 -1,5х 2 -6х+4.	[-2;3]
9. у=9х 2 -9х 3 .	[-0,5;1]	19. у=(1-х)/(х 2 +3).	[-2;5]
10. у=1/3х 3 -4х.	[-3;3]	20. у= -х 4 +2х 2 +3.	[-0,5;2]

Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство ().

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума (рис. 25).

Теорема 3.9 (необходимое условия существования точек экстремума). В критических точках 1-го рода производная функции либо

равна нулю, либо не существует

Критические точки 1-го рода принято называть просто критическими точками.

Критические точки, в которых производная функции равна нулю, называются точками стационарности . Критические точки, в которых функция непрерывна, но не дифференцируема называются угловыми точками . Например, функция в точке непрерывна, но производной не имеет, так как в этой точке к графику функции можно провести бесконечное множество касательных (рис. 26). Данный случай можно рассматривать в качестве подтверждения тому, что обратное утверждение к теореме 3.3 является неверным.

Функция называется возрастающей на некотором интервале , если на этом интервале большему значению аргумента соответствует большее значение переменной , и убывающей , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение переменной .

Для дальнейшего исследования критические точки помещают на числовую ось, которая делится этими точками на интервалы, после чего поверяют выполнение следующих достаточных условий.

Теорема 3.10 (достаточное условие возрастания и убывания функции). Если на некотором интервале функция дифференцируема и при этом ее производная положительна (отрицательна), то функция на данном интервале возрастает (убывает)

Теорема 3.11 (достаточное условие существования точек экстремума функции). Если функция непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности критической точки и при переходе через нее производная меняет знак с плюса на минус, то точка является точкой максимума; если с минуса на плюс, то точка является точкой минимума функции

Те критические точки функции, для которых достаточное условие не выполняется, остаются просто критическими точками 1-го рода.

Критические точки 1-го рода, в которых производная не существует, делятся на два класса:

– точки, в которых функция непрерывна (при выполнении для них теоремы 3.11 функция в данных точках имеет «острый» экстремум), это угловые точки;

– точки, в которых функция терпит разрыв (всегда переходят в класс критических точек 2-го рода).

Но проведенное таким образом исследование, не дает ответ на очень важный вопрос: как возрастает (убывает) функция – выпукло или вогнуто? Ответ на поставленный вопрос дает дальнейшее исследование функции с помощью второй производной. Дадим ряд необходимых определений.

Функция называется выпуклой (вогнутой ) на некотором интервале , если касательная, проведенная к графику функции в каждой точке этого интервала, лежит выше (ниже) графика функции.

Точки, отделяющие участки выпуклости от участков вогнутости функции, называются ее точками перегиба (рис. 27).

Теорема 3.12 (необходимое условие существования точек перегиба) . В критических точках 2-го рода вторая производная функции либо равна нулю, либо не существует

Для дальнейшего исследования критические точки 2-го рода помещают на числовую ось, которая делится этими точками на интервалы, после чего поверяют выполнение следующих достаточных условий.

Теорема 3.13 (достаточное условие выпуклости и вогнутости функции). Если на некотором интервале функция дважды дифференцируема и при этом ее вторая производная положительна (отрицательна), то функция на данном интервале вогнута (выпукла)

Те критические точки функции, для которых достаточное условие не выполняется, остаются просто критическими точками 2-го рода.

Критические точки 2-го рода, в которых вторая производная не существует, делятся на два класса:

– точки, в которых функция непрерывна, это так называемые точки «острого» перегиба – в таких точках к графику функции можно провести бесконечное множество касательных (рис. 28);

– точки, в которых функция терпит разрыв (в точках разрыва 2-го рода график функции имеет вертикальную асимптоту).

Для окончательного перечисления точек экстремума и перегиба функции необходимо найти их ординаты, после чего выписать указанные точки двумя координатами.

Вопросы для самопроверки.

1. Какие точки называются точками экстремума (максимума и минимума) функции?

2. Какая функция называется возрастающей (убывающей)?

3. Каковы необходимое и достаточное условия существования точек экстремума функции?

4. В чем состоит достаточное условие возрастания (убывания) функции?

5. Какие точки называются точками перегиба функции?

6. Какая функция называется выпуклой (вогнутой)?

7. Каковы необходимое и достаточное условия существования точек перегиба функции?

8. В чем состоит достаточное условие выпуклости (вогнутости) функции?

Практическая работа №16 (естественно-научный профиль)

Тема: «Исследование функций с помощью производной»

Цели: научиться проводить исследование функции с помощью производной и.строить графики функций; закрепить основные признаки возрастания (убывания) функции, условия существования точек экстремума; проводить исследование функции по графику производной.

Краткая теоретическая справка

1. Находим D(f) функции y = f ( x ).

2. Проверяем функцию на четность.

Если f (- x ) = f ( x ), то функция четная, график функции симметричен относительно оси OY.

Если f (- x ) = - f ( x ), то функция нечетная, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

В противном случае функция является ни четной, ни нечетной.

3. Если функция периодическая , то находим период функции.

4. Находим точки пересечения графика с осями координат.

Находим нули функции - это точки пересечения графика функции с осью абсцисс (O x ).

Для этого мы решаем уравнение f ( x ) = 0.

Находим точку пересечения графика функции с осью ординат (O y ). Для этого ищем значение функции при x =0 .

5. Находим промежутки знакопостоянства функции , то есть промежутки, на которых функция сохраняет знак. Это нам потребуется для контроля правильности построения графика.

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, нам нужно решить неравенства f ( x ) >0 и f ( x ) <0 .

6. Исследуем функцию с помощью производной: находим промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и минимума .

Для этого мы следуем привычному алгоритму.

а) Находим производную

б) Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения

Это стационарные точки.

в) Находим промежутки знакопостоянства производной. Промежутки, на которых производная положительна , являются промежутками возрастания функции .

Промежутки, на которых производная отрицательна , являются промежутками убывания функции .

Точки, в которых производная меняет знак с плюса на минус , являются точками максимума .

Точки, в которых производная меняет знак с минуса на плюс , являются точками минимума .

7. Найти значения функции в точках экстремума.

8. По данным исследования построить график функции .

Пример 1. Исследовать функцию и по результатам исследования построить график.

Решение.

1) D (f ): R

2) Проверим функцию на чётность/нечётность:

Значит, данная функция не является чётной или нечётной.

3) Функция непериодическая.

4) Нули функции.

С осью О y :

Чтобы найти точки пересечения с осью Ox (нули функции) требуется решить уравнение f ( x ) = 0 :

5) Таким образом, на интервалах график расположен ниже оси абсцисс f ( x )<0 , а на интервалах – выше данной оси f ( x ) >0 .

6) Возрастание, убывание.

Найдём критические точки:

Отложим их на числовой прямой и определим знаки производной:
1

Следовательно, функция возрастает на и убывает на .
7). Экстремумы функции

точка максимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «+» на «-»

. точка минимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «-» на «+».

8).

: .

9) Строим график функции.

Пример 2. , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наибольшее значение.

Решение. На отрезке [-7;-3] график производной расположен ниже оси Ох, это означает, что, то есть сама функция на данном отрезке монотонно убывает. Таким образом, убывающая функция принимает наибольшего значения на левом конце промежутка, то есть в точке x =-7.

Ответ. -7.

Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:

Найти производную функции.

Определить критические точки (те точки, в которых производная функции обращается в ноль или не существует).

Выбрать из найденных точек те, которые принадлежат данному отрезку.

Вычислить значения функции (не производной!) в этих точках и на концах отрезка.

Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым.

Пример 3. Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 18 x 2 + 81 x + 23 на отрезке .

Решение: действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:

y’ = 3 x 2 – 36 x + 81.

y’ = 3 x 2 – 36 x + 81 = 0

x 2 – 12 x + 27 = 0,

x = 3 и x = 9

x = 9 .

y = x 3 – 18 x 2 + 81 x + 23 = x ( x -9) 2 +23:

y (8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
y (9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
y (13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Ответ. ;

Порядок выполнения работы.

Внимательно изучите теоретическую справку по теме.

Решите следующие задания по учебнику №9.40А(2в, 2г), №9.41Б(1в) , № 9.44А(2), №9.43А(6)

Выполните разбор примеров 3-7.

Пример 4. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Пример 5. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек экстремума функции на отрезке .

Пример 6. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Пример 7. , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Пример 8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек максимума функции на отрезке .

Пример 9. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Задание на дом:

№9.40А(2а,2б), №9.44А(1) №9.41Б(1а,1б) , № 9.44А(2)

№9.43А(1-5), №9.44А(3) №9.45А(1-4) №9.44А(9)

Выполните самостоятельно по вариантам.

Как исследовать функцию и построить её график?

Похоже, я начинаю понимать одухотворённо-проникновенный лик вождя мирового пролетариата, автора собрания сочинений в 55 томах…. Нескорый путь начался элементарными сведениями о функциях и графиках , и вот сейчас работа над трудоемкой темой заканчивается закономерным результатом – статьёй о полном исследовании функции . Долгожданное задание формулируется следующим образом:

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и на основании результатов исследования построить её график

Или короче: исследовать функцию и построить график.

Зачем исследовать? В простых случаях нас не затруднит разобраться с элементарными функциями, начертить график, полученный с помощью элементарных геометрических преобразований и т.п. Однако свойства и графические изображения более сложных функций далеко не очевидны, именно поэтому и необходимо целое исследование.

Основные этапы решения сведены в справочном материале Схема исследования функции , это ваш путеводитель по разделу. Чайникам требуется пошаговое объяснение темы, некоторые читатели не знают с чего начать и как организовать исследование, а продвинутым студентам, возможно, будут интересны лишь некоторые моменты. Но кем бы вы ни были, уважаемый посетитель, предложенный конспект с указателями на различные уроки в кратчайший срок сориентирует и направит Вас в интересующем направлении. Роботы прослезились =) Руководство свёрстано в виде pdf-файла и заняло заслуженное место на странице Математические формулы и таблицы .

Исследование функции я привык разбивать на 5-6 пунктов:

6) Дополнительные точки и график по результатам исследования.

На счёт заключительного действия, думаю, всем всё понятно – будет очень обидно, если в считанные секунды его перечеркнут и вернут задание на доработку. ПРАВИЛЬНЫЙ И АККУРАТНЫЙ ЧЕРТЁЖ – это основной результат решения! Он с большой вероятностью «прикроет» аналитические оплошности, в то время как некорректный и/или небрежный график доставит проблемы даже при идеально проведённом исследовании.

Следует отметить, что в других источниках количество пунктов исследования, порядок их выполнения и стиль оформления могут существенно отличаться от предложенной мной схемы, но в большинстве случаев её вполне достаточно. Простейшая версия задачи состоит всего из 2-3 этапов и формулируется примерно так: «исследовать функцию с помощью производной и построить график» либо «исследовать функцию с помощью 1-й и 2-й производной, построить график».

Естественно – если в вашей методичке подробно разобран другой алгоритм или ваш преподаватель строго требует придерживаться его лекций, то придётся внести некоторые коррективы в решение. Не сложнее, чем заменить вилку бензопилой ложкой.

Проверим функцию на чётность/нечётность:

После чего следует шаблонная отписка:
, значит, данная функция не является чётной или нечётной.

Так как функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют.

Нет и наклонных асимптот.

Примечание : напоминаю, что более высокого порядка роста , чем , поэтому итоговый предел равен именно «плюс бесконечности».

Выясним, как ведёт себя функция на бесконечности:

Иными словами, если идём вправо, то график уходит бесконечно далеко вверх, если влево – бесконечно далеко вниз. Да, здесь тоже два предела под единой записью. Если у вас возникли трудности с расшифровкой знаков , пожалуйста, посетите урок о бесконечно малых функциях .

Таким образом, функция не ограничена сверху и не ограничена снизу . Учитывая, что у нас нет точек разрыва, становится понятна и область значений функции : – тоже любое действительное число.

ПОЛЕЗНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ПРИЁМ

Каждый этап задания приносит новую информацию о графике функции , поэтому в ходе решения удобно использовать своеобразный МАКЕТ. Изобразим на черновике декартову систему координат. Что уже точно известно? Во-первых, у графика нет асимптот, следовательно, прямые чертить не нужно. Во-вторых, мы знаем, как функция ведёт себя на бесконечности. Согласно проведённому анализу, нарисуем первое приближение:

Заметьте, что в силу непрерывности функции на и того факта, что , график должен, по меньшей мере, один раз пересечь ось . А может быть точек пересечения несколько?

3) Нули функции и интервалы знакопостоянства.

Сначала найдём точку пересечения графика с осью ординат. Это просто. Необходимо вычислить значение функции при :

Полтора над уровнем моря.

Чтобы найти точки пересечения с осью (нули функции) требуется решить уравнение , и тут нас поджидает неприятный сюрприз:

В конце притаился свободный член, который существенно затрудняет задачу.

Такое уравнение имеет, как минимум, один действительный корень, и чаще всего этот корень иррационален. В худшей же сказке нас поджидают три поросёнка. Уравнение разрешимо с помощью так называемых формул Кардано , но порча бумаги сопоставима чуть ли не со всем исследованием. В этой связи разумнее устно либо на черновике попытаться подобрать хотя бы один целый корень. Проверим, не являются ли оными числа :
– не подходит;
– есть!

Здесь повезло. В случае неудачи можно протестировать ещё и , а если и эти числа не подошли, то шансов на выгодное решение уравнения, боюсь, очень мало. Тогда пункт исследования лучше полностью пропустить – авось станет что-нибудь понятнее на завершающем шаге, когда будут пробиваться дополнительные точки. И если таки корень (корни) явно «нехорошие», то об интервалах знакопостоянства лучше вообще скромно умолчать да поаккуратнее выполнить чертёж.

Однако у нас есть красивый корень , поэтому делим многочлен на без остатка:

Алгоритм деления многочлена на многочлен детально разобран в первом примере урока Сложные пределы .

В итоге левая часть исходного уравнения раскладывается в произведение:

А теперь немного о здоровом образе жизни. Я, конечно же, понимаю, что квадратные уравнения нужно решать каждый день, но сегодня сделаем исключение: уравнение имеет два действительных корня .

На числовой прямой отложим найденные значения и методом интервалов определим знаки функции:

ог Таким образом, на интервалах график расположен
ниже оси абсцисс , а на интервалах – выше данной оси .

Полученные выводы позволяют детализировать наш макет, и второе приближение графика выглядит следующим образом:

Обратите внимание, что на интервале функция обязательно должна иметь хотя бы один максимум, а на интервале – хотя бы один минимум. Но сколько раз, где и когда будет «петлять» график, мы пока не знаем. К слову, функция может иметь и бесконечно много экстремумов .

4) Возрастание, убывание и экстремумы функции.

Найдём критические точки:

Данное уравнение имеет два действительных корня . Отложим их на числовой прямой и определим знаки производной:

Следовательно, функция возрастает на и убывает на .
В точке функция достигает максимума: .
В точке функция достигает минимума: .

Установленные факты загоняют наш шаблон в довольно жёсткие рамки:

Что и говорить, дифференциальное исчисление – штука мощная. Давайте окончательно разберёмся с формой графика:

5) Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдём критические точки второй производной:

Определим знаки :

График функции является выпуклым на и вогнутым на . Вычислим ординату точки перегиба: .

Практически всё прояснилось.

6) Осталось найти дополнительные точки, которые помогут точнее построить график и выполнить самопроверку. В данном случае их мало, но пренебрегать не будем:

Выполним чертёж:

Зелёным цветом отмечена точка перегиба, крестиками – дополнительные точки. График кубической функции симметричен относительно своей точки перегиба, которая всегда расположена строго посередине между максимумом и минимумом.

По ходу выполнения задания я привёл три гипотетических промежуточных чертежа. На практике же достаточно нарисовать систему координат, отмечать найденные точки и после каждого пункта исследования мысленно прикидывать, как может выглядеть график функции. Студентам с хорошим уровнем подготовки не составит труда провести такой анализ исключительно в уме без привлечения черновика.

Для самостоятельного решения:

Пример 2

Исследовать функцию и построить график.

Тут всё быстрее и веселее, примерный образец чистового оформления в конце урока.

Немало секретов раскрывает исследование дробно-рациональных функций:

Пример 3

Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и на основании результатов исследования построить её график.

Решение : первый этап исследования не отличается чем-то примечательным, за исключением дырки в области определения:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , область определения : .

, значит, данная функция не является четной или нечетной.

Очевидно, что функция непериодическая.

График функции представляет собой две непрерывные ветви, расположенные в левой и правой полуплоскости – это, пожалуй, самый важный вывод 1-го пункта.

2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности.

а) С помощью односторонних пределов исследуем поведение функции вблизи подозрительной точки, где явно должна быть вертикальная асимптота:

Действительно, функции терпит бесконечный разрыв в точке ,
а прямая (ось ) является вертикальной асимптотой графика .

б) Проверим, существуют ли наклонные асимптоты:

Да, прямая является наклонной асимптотой графика , если .

Пределы анализировать смысла не имеет, поскольку и так понятно, что функция в обнимку со своей наклонной асимптотой не ограничена сверху и не ограничена снизу .

Второй пункт исследования принёс много важной информации о функции. Выполним черновой набросок:

Вывод №1 касается интервалов знакопостоянства. На «минус бесконечности» график функции однозначно расположен ниже оси абсцисс, а на «плюс бесконечности» – выше данной оси. Кроме того, односторонние пределы сообщили нам, что и слева и справа от точки функция тоже больше нуля. Обратите внимание, что в левой полуплоскости график, по меньшей мере, один раз обязан пересечь ось абсцисс. В правой полуплоскости нулей функции может и не быть.

Вывод №2 состоит в том, что функция возрастает на и слева от точки (идёт «снизу вверх»). Справа же от данной точки – функция убывает (идёт «сверху вниз»). У правой ветви графика непременно должен быть хотя бы один минимум. Слева экстремумы не гарантированы.

Вывод №3 даёт достоверную информацию о вогнутости графика в окрестности точки . О выпуклости/вогнутости на бесконечностях мы пока ничего сказать не можем, поскольку линия может прижиматься к своей асимптоте как сверху, так и снизу. Вообще говоря, есть аналитический способ выяснить это прямо сейчас, но форма графика «даром» прояснится на более поздних этапах.

Зачем столько слов? Чтобы контролировать последующие пункты исследования и не допустить ошибок! Дальнейшие выкладки не должны противоречить сделанным выводам.

3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства функции.

График функции не пересекает ось .

Методом интервалов определим знаки :

, если ;
, если .

Результаты пункта полностью соответствуют Выводу №1. После каждого этапа смотрите на черновик, мысленно сверяйтесь с исследованием и дорисовывайте график функции.

В рассматриваемом примере числитель почленно делится на знаменатель, что очень выгодно для дифференцирования:

Собственно, это уже проделывалось при нахождении асимптот.

– критическая точка.

Определим знаки :

возрастает на и убывает на

В точке функция достигает минимума: .

Разночтений с Выводом №2 также не обнаружилось, и, вероятнее всего, мы на правильном пути.

Значит, график функции является вогнутым на всей области определения.

Отлично – и чертить ничего не надо.

Точки перегиба отсутствуют.

Вогнутость согласуется с Выводом №3, более того, указывает, что на бесконечности (и там и там) график функции расположен выше своей наклонной асимптоты.

6) Добросовестно приколотим задание дополнительными точками. Вот здесь придётся изрядно потрудиться, поскольку из исследования нам известны только две точки.

И картинка, которую, наверное, многие давно представили:

В ходе выполнения задания нужно тщательно следить за тем, чтобы не возникало противоречий между этапами исследования, но иногда ситуация бывает экстренной или даже отчаянно-тупиковой. Вот «не сходится» аналитика – и всё тут. В этом случае рекомендую аварийный приём: находим как можно больше точек, принадлежащих графику (сколько хватит терпения), и отмечаем их на координатной плоскости. Графический анализ найденных значений в большинстве случаев подскажет, где правда, а где ложь. Кроме того, график можно предварительно построить с помощью какой-нибудь программы, например, в том же Экселе (понятно, для этого нужны навыки).

Пример 4

Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и построить её график.

Это пример для самостоятельного решения. В нём самоконтроль усиливается чётностью функции – график симметричен относительно оси , и если в вашем исследовании что-то противоречит данному факту, ищите ошибку.

Чётную или нечётную функцию можно исследовать только при , а потом пользоваться симметрией графика. Такое решение оптимально, однако выглядит, по моему мнению, весьма непривычно. Лично я рассматриваю всю числовую ось, но дополнительные точки нахожу всё же лишь справа:

Пример 5

Провести полное исследование функции и построить её график.

Решение : понеслась нелёгкая:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой: .

Значит, данная функция является нечетной, её график симметричен относительно начала координат.

Очевидно, что функция непериодическая.

2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности.

Так как функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют

Для функции, содержащей экспоненту, типично раздельное исследование «плюс» и «минус бесконечности», однако нашу жизнь облегчает как раз симметрия графика – либо и слева и справа есть асимптота, либо её нет. Поэтому оба бесконечных предела можно оформить под единой записью. В ходе решения используем правило Лопиталя :

Прямая (ось ) является горизонтальной асимптотой графика при .

Обратите внимание, как я хитро избежал полного алгоритма нахождения наклонной асимптоты: предел вполне легален и проясняет поведение функции на бесконечности, а горизонтальная асимптота обнаружилась «как бы заодно».

Из непрерывности на и существования горизонтальной асимптоты следует тот факт, что функция ограничена сверху и ограничена снизу .

3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства.

Здесь тоже сокращаем решение:
График проходит через начало координат.

Других точек пересечения с координатными осями нет. Более того, интервалы знакопостоянства очевидны, и ось можно не чертить: , а значит, знак функции зависит только от «икса»:
, если ;
, если .

4) Возрастание, убывание, экстремумы функции.

– критические точки.

Точки симметричны относительно нуля, как оно и должно быть.

Определим знаки производной:

Функция возрастает на интервале и убывает на интервалах

В точке функция достигает максимума: .

В силу свойства (нечётности функции) минимум можно не вычислять:

Поскольку функция убывает на интервале , то, очевидно, на «минус бесконечности» график расположен под своей асимптотой. На интервале функция тоже убывает, но здесь всё наоборот – после перехода через точку максимума линия приближается к оси уже сверху.

Из вышесказанного также следует, что график функции является выпуклым на «минус бесконечности» и вогнутым на «плюс бесконечности».

После этого пункта исследования прорисовалась и область значений функции:

Если у вас возникло недопонимание каких-либо моментов, ещё раз призываю начертить в тетради координатные оси и с карандашом в руках заново проанализировать каждый вывод задания.

5) Выпуклость, вогнутость, перегибы графика.

– критические точки.

Симметрия точек сохраняется, и, скорее всего, мы не ошибаемся.

Определим знаки :

График функции является выпуклым на и вогнутым на .

Выпуклость/вогнутость на крайних интервалах подтвердилась.

Во всех критических точках существуют перегибы графика. Найдём ординаты точек перегиба, при этом снова сократим количество вычислений, используя нечётность функции:

В задаче B15 предлагается исследовать на экстремумы функцию, заданную формулой. Это стандартная задача по математическому анализу, и ее сложность сильно меняется зависимости от рассматриваемой функции: некоторые из них решаются буквально устно, другие же требуют серьезных размышлений.

Прежде чем изучать методы решения, надо усвоить некоторые термины из области математического анализа. Итак, в задаче B15 требуется найти с помощью производной следующие величины:

Точки локального максимума (минимума) - значение переменной, при которой функция достигает своей наибольшей (наименьшей) величины. Такие точки еще называются точками экстремума.
Глобальный максимум (минимум) функции - наибольшее (наименьшее) значение функции при указанных ограничениях. Другое название - глобальные экстремумы.

При этом глобальные экстремумы обычно ищутся не на всей области определения функции, а лишь на некотором отрезке . Важно понимать, что глобальный экстремум и значение функции в точке экстремума далеко не всегда совпадают. Поясним это на конкретном примере:

Задача. Найти точку минимума и минимальное значение функции y = 2x 3 − 3x 2 − 12x + 1 на отрезке [−3; 3].

Сначала найдем точку минимума, для чего вычислим производную:
y’ = (2x 3 − 3x 2 − 12x + 1)’ = 6x 2 − 6x − 12.

Найдем критические точки, решив уравнение y’ = 0. Получим стандартное квадратное уравнение:
y’ = 0 ⇒ 6x 2 − 6x − 12 = 0 ⇒ ... ⇒ x 1 = −1, x 2 = 2.

Отметим эти точки на координатной прямой, добавим знаки производной и ограничения - концы отрезка:

Масштаб картинки не имеет значения. Самое главное - отметить точки в правильной последовательности. Из школьного курса математики известно, что в точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс. Отсчет всегда идет слева направо - в направлении положительной полуоси. Поэтому точка минимума одна: x = 2.

Теперь найдем минимальное значение функции на отрезке [−3; 3]. Оно достигается либо в точке минимума (тогда она становится точкой глобального минимума), либо на конце отрезка. Заметим, что на интервале (2; 3) производная всюду положительна, а значит y(3) > y(2), поэтому правый конец отрезка можно не рассматривать. Остались лишь точки x = −3 (левый конец отрезка) и x = 2 (точка минимума). Имеем:
y(−3) = 2(−3) 3 − 3(−3) 2 − 12(−3) + 1 = −44;
y(2) = 2*2 3 − 3*2 2 − 12*2 + 1 = −19.

Итак, наименьшее значение функции достигается на конце отрезка и равно −44.

Ответ : x min = 2; y min = −44

Из приведенных рассуждений следует важный факт, о котором многие забывают. Функция принимает максимальное (минимальное) значение не обязательно в точке экстремума. Иногда такое значение достигается на конце отрезка, и производная там не обязана равняться нулю.

Схема решения задач B15

Если в задаче B15 требуется найти максимальное или минимальное значение функции f(x) на отрезке , выполняем следующие действия:

Решить уравнение f’(x) = 0. Если корней нет, пропускаем третий шаг и переходим сразу к четвертому.
Из полученного набора корней вычеркнуть все, что лежит за пределами отрезка . Оставшиеся числа обозначим x 1 , x 2 , ..., x n - их, как правило, будет немного.
Подставим концы отрезка и точки x 1 , x 2 , ..., x n в исходную функцию. Получим набор чисел f(a), f(b), f(x 1), f(x 2), ..., f(x n), из которого выбираем наибольше или наименьшее значение - это и будет ответ.

Небольшое пояснение по поводу вычеркивания корней, когда они совпадают с концами отрезка. Их тоже можно вычеркнуть, поскольку на четвертом шаге концы отрезка все равно подставляются в функцию - даже если уравнение f’(x) = 0 не имело решений.

Задача. Найти наибольшее значение функции y = x 3 + 3x 2 − 9x − 7 на отрезке [−5; 0].

Для начала найдем производную: y’ = (x 3 + 3x 2 − 9x − 7)’ = 3x 2 + 6x − 9.

Затем решаем уравнение: y’ = 0 ⇒ 3x 2 + 6x − 9 = 0 ⇒ ... ⇒ x = −3; x = 1.

Вычеркиваем корень x = 1, потому что он не принадлежит отрезку [−5; 0].

Осталось вычислить значение функции на концах отрезка и в точке x = −3:
y(−5) = (−5) 3 + 4·(−5) 2 − 9·(−5) − 7 = −12;
y(−3) = (−3) 3 + 4·(−3) 2 − 9·(−3) − 7 = 20;
y(0) = 0 3 + 4·0 2 − 9·0 − 7 = −7.

Очевидно, наибольшее значение равно 20 - оно достигается в точке x = −3.

Теперь рассмотрим случай, когда требуется найти точку максимума или минимума функции f(x) на отрезке . Если отрезок не задан, функция рассматривается на своей области определения. В любом случае, схема решения такова:

Найти производную функции: f’(x).
Решить уравнение f’(x) = 0. Если производная - дробно-рациональная функция, дополнительно выясняем, когда ее знаменатель равен нулю. Полученные корни обозначим x 1 , x 2 , ..., x n .
Отметить x 1 , x 2 , ..., x n на координатной прямой и расставить знаки, которые принимает производная между этими числами. Если задан отрезок , отмечаем его и вычеркиваем все, что лежит за его пределами.
Среди оставшихся точек ищем такую, где знак производной меняется с минуса на плюс (это точка минимума) или с плюса на минус (точка минимума). Такая точка должна быть только одна - это и будет ответ.

Вдумчивый читатель наверняка заметит, что для некоторых функций этот алгоритм не работает. Действительно, существует целый класс функций, для которых нахождение точек экстремума требует более сложных выкладок. Однако такие функции в ЕГЭ по математике не встречаются.

Внимательно отнеситесь к расстановке знаков между точками x 1 , x 2 , ..., x n . Помните: при переходе через корень четной кратности знак у производной не меняется. Когда ищутся точки экстремума, знаки всегда просматриваются слева направо, т.е. по направлению числовой оси.

Задача. Найти точку максимума функции

на отрезке [−8; 8].

Найдем производную:

Поскольку это дробно-рациональная функция, приравниваем к нулю производную и ее знаменатель:
y’ = 0 ⇒ x 2 − 25 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 5; x = −5;
x 2 = 0 ⇒ x = 0 (корень второй кратности).

Отметим точки x = −5, x = 0 и x = 5 на координатной прямой, расставим знаки и границы:

Очевидно, что внутри отрезка осталась лишь одна точка x = −5, в которой знак производной меняется с плюса на минус. Это и есть точка максимума.

Еще раз поясним, чем отличаются точки экстремума от самих экстремумов. Точки экстремума - это значения переменных, при которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Экстремумы - это значения самих функций, максимальные или минимальные в некоторой своей окрестности.

Помимо обычных многочленов и дробно-рациональных функций, в задаче B15 встречаются следующие виды выражений:

Иррациональные функции,
Тригонометрические функции,
Показательные функции,
Логарифмические функции.

С иррациональными функциями проблем, как правило, не возникает. Остальные случаи стоит рассмотреть более подробно.

Тригонометрические функции

Основная сложность тригонометрических функций состоит в том, что при решении уравнений возникает бесконечное множество корней. Например, уравнение sin x = 0 имеет корни x = πn, где n ∈ Z. Ну и как отмечать их на координатной прямой, если таких чисел бесконечно много?

Ответ прост: надо подставлять конкретные значения n. Ведь в задачах B15 с тригонометрическими функциями всегда есть ограничение - отрезок . Поэтому для начала берем n = 0, а затем увеличиваем n до тех пор, пока соответствующий корень не «вылетит» за пределы отрезка . Аналогично, уменьшая n, очень скоро получим корень, который меньше нижней границы.

Несложно показать, что никаких корней, кроме полученных в рассмотренном процессе, на отрезке не существует. Рассмотрим теперь этот процесс на конкретных примерах.

Задача. Найти точку максимума функции y = sin x − 5x·sin x − 5cos x + 1, принадлежащую отрезку [−π/3; π/3].

Вычисляем производную: y’ = (sin x − 5x·sin x − 5cos x + 1)’ = ... = cos x − 5x·cos x = (1 − 5x)·cos x.

Затем решаем уравнение: y’ = 0 ⇒ (1 − 5x)·cos x = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0,2 или x = π/2 + πn, n ∈ Z.

С корнем x = 0,2 все понятно, а вот формула x = π/2 + πn требует дополнительной обработки. Будем подставлять разные значения n, начиная с n = 0.

n = 0 ⇒ x = π/2. Но π/2 > π/3, поэтому корень x = π/2 не входит в исходный отрезок. Кроме того, чем больше n, тем больше x, поэтому нет смысла рассматривать n > 0.

n = −1 ⇒ x = − π/2. Но −π/2 < −π/3 - этот корень тоже придется отбросить. А вместе с ним - и все корни для n < −1.

Получается, что на отрезке [−π/3; π/3] лежит только корень x = 0,2. Отметим его вместе со знаками и границами на координатной прямой:

Чтобы удостовериться, что справа от x = 0,2 производная действительно отрицательна, достаточно подставить в y’ значение x = π/4. Мы же просто отметим, что в точке x = 0,2 производная меняет знак с плюса на минус, а следовательно это точка максимума.

Задача. Найти наибольшее значение функции y = 4tg x − 4x + π − 5 на отрезке [−π/4; π/4].

Вычисляем производную: y’ = (4tg x − 4x + π − 5)’ = 4/cos 2x − 4.

Затем решаем уравнение: y’ = 0 ⇒ 4/cos 2x − 4 = 0 ⇒ ... ⇒ x = πn, n ∈ Z.

Выделим из этой формулы корни, подставляя конкретные n, начиная с n = 0:
n = 0 ⇒ x = 0. Этот корень нам подходит.
n = 1 ⇒ x = π. Но π > π/4, поэтому корень x = π и значения n > 1 надо вычеркнуть.
n = −1 ⇒ x = −π. Но π < −π/4, поэтому x = π и n < −1 тоже вычеркиваем.

Из всего многообразия корней остался лишь один: x = 0. Поэтому вычисляем значение функции для x = 0, x = π/4 и x = −π/4.
y(0) = 4tg 0 − 4·0 + π − 5 = π − 5;
y(π/4) = 4tg (π/4) − 4·π/4 + π − 5 = −1;
y(π/4) = 4tg (−π/4) − 4·(−π/4) + π − 5 = ... = 2π − 9.

Теперь заметим, что π = 3,14... < 4, поэтому π − 5 < 4 − 5 = −1 и 2π − 9 < 8 − 9 = −1. Получается одно положительное число и два отрицательных. Мы ищем наибольшее - очевидно, это y = −1.

Заметим, что в последней задаче можно было и не сравнивать числа между собой. Ведь из чисел π − 5, 1 и 2π − 9 в бланк ответов может быть записана лишь единица. Действительно, как написать в бланке, скажем, число π? А никак. Это важная особенность первой части ЕГЭ по математике, которая значительно упрощает решение многих задач. И работает она не только в B15.

Иногда при исследовании функции возникают уравнения, у которых нет корней. В таком случае задача становится еще проще, поскольку остается рассмотреть лишь концы отрезка.

Задача. Найти наименьшее значение функции y = 7sin x − 8x + 5 на отрезке [−3π/2; 0].

Сначала находим производную: y’ = (7sin x − 8x + 5)’ = 7cos x − 8.

Попробуем решить уравнение: y’ = 0 ⇒ 7cos x − 8 = 0 ⇒ cos x = 8/7. Но значения cos x всегда лежат на отрезке [−1; 1], а 8/7 > 1. Поэтому корней нет.

Если корней нет, то и вычеркивать ничего не надо. Переходим к последнему шагу - вычисляем значение функции:
y(−3π/2) = 7sin (−3π/2) − 8·(−3π/2) + 5 = ... = 12π + 12;
y(0) = 7sin 0 − 8·0 + 5 = 5.

Поскольку число 12π + 12 в бланк ответов не записать, остается лишь y = 5.

Показательные функции

Вообще говоря, показательная функция - это выражение вида y = a x , где a > 0. Но в задаче B15 встречаются только функции вида y = e x и, в крайнем случае, y = e kx + b . Причина в том, что производные этих функций считаются очень легко:

(e x)" = e x . Ничего не изменилось.
(e kx + b)" = k·e kx + b . Просто добавляется множитель, равный коэффициенту при переменной x. Это частный случай производной сложной функции.

Все остальное абсолютно стандартно. Разумеется, настоящие функции в задачах B15 выглядят более сурово, но схема решения от этого не меняется. Рассмотрим пару примеров, выделяя лишь основные моменты решения - без основательных рассуждений и комментариев.

Задача. Найти наименьшее значение функции y = (x 2 − 5x + 5)e x − 3 на отрезке [−1; 5].

Производная: y’ = ((x 2 − 5x + 5)e x − 3)’ = ... = (x 2 − 3x)e x − 3 = x(x − 3)e x − 3 .

Находим корни: y’ = 0 ⇒ x(x − 3)e x − 3 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0; x = 3.

Оба корня лежат на отрезке [−1; 5]. Осталось найти значение функции во всех точках:
y(−1) = ((−1) 2 − 5·(−1) + 5)e − 1 − 3 = ... = 11·e −4 ;
y(0) = (0 2 − 5·0 + 5)e 0 − 3 = ... = 5·e −3 ;
y(3) = (3 2 − 5·3 + 5)e 3 − 3 = ... = −1;
y(5) = (5 2 − 5·5 + 5)e 5 − 3 = ... = 5·e 2 .

Из четырех полученных чисел в бланк можно записать лишь y = −1. К тому же, это единственное отрицательное число - оно и будет наименьшим.

Задача. Найти наибольшее значение функции y = (2x − 7)·e 8 − 2x на отрезке .

Производная: y’ = ((2x − 7)·e 8 − 2x)’ = ... = (16 − 4x)·e 8 − 2x = 4(4 − x)·e 8 − 2x .

Находим корни: y’ = 0 ⇒ 4(4 − x)·e 8 − 2x = 0 ⇒ x = 4.

Корень x = 4 принадлежит отрезку . Ищем значения функции:
y(0) = (2·0 − 7)e 8 − 2·0 = ... = −7·e 8 ;
y(4) = (2·4 − 7)e 8 − 2·4 = ... = 1;
y(6) = (2·6 − 7)e 8 − 2·6 = ... = 5·e −4 .

Очевидно в качестве ответа может выступать лишь y = 1.

Логарифмические функции

По аналогии с показательными функциями, в задаче B15 встречаются только натуральные логарифмы, поскольку их производная легко считается:

(ln x)’ = 1/x;
(ln(kx + b))’ = k/(kx + b). В частности, если b = 0, то (ln(kx))’ = 1/x.

Таким образом, производная всегда будет дробно-рациональной функцией. Остается лишь приравнять эту производную и ее знаменатель к нулю, а затем решить полученные уравнения.

Для поиска максимального или минимального значения логарифмической функции помните: натуральный логарифм обращается в «нормальное» число только в точках вида e n . Например, ln 1 = ln e 0 = 0 - это логарифмический ноль, и чаще всего решение сводится именно к нему. В остальных случаях «убрать» знак логарифма невозможно.

Задача. Найти наименьшее значение функции y = x 2 − 3x + ln x на отрезке .

Считаем производную:

Находим нули производной и ее знаменателя:
y’ = 0 ⇒ 2x 2 − 3x + 1 = 0 ⇒ ... ⇒ x = 0,5; x = 1;
x = 0 - тут решать нечего.

Из трех чисел x = 0, x = 0,5 и x = 1 внутри отрезка лежит только x = 1, а число x = 0,5 является его концом. Имеем:
y(0,5) = 0,5 2 − 3·0,5 + ln 0,5 = ln 0,5 − 1,25;
y(1) = 1 2 − 3·1 + ln 1 = −2;
y(5) = 5 2 − 3·5 + ln 5 = 10 + ln 5.

Из полученных трех значений лишь y = −2 не содержит знака логарифма - это и будет ответ.

Задача. Найти наибольшее значение функции y = ln(6x) − 6x + 4 на отрезке .

Вычисляем производную:

Выясняем, когда производная или ее знаменатель равны нулю:
y’ = 0 ⇒ 1 − 6x = 0 ⇒ x = 1/6;
x = 0 - уже решено.

Вычеркиваем число x = 0, поскольку оно лежит за пределами отрезка . Считаем значение функции на концах отрезка и в точке x = 1/6:
y(0,1) = ln(6·0,1) − 6·0,1 + 4 = ln 0,6 + 3,4;
y(1/6) = ln(6·1/6) − 6·1/6 + 4 = ln 1 + 3 = 3;
y(3) = ln(6·3) − 6·3 + 4 = ln 18 − 14.

Очевидно, только y = 3 может выступать в качестве ответа - остальные значения содержат знак логарифма и не могут быть записаны в бланк ответов.