Какво се наблюдава в точката на суперпозиция на кохерентни вълни. Взаимодействието на звуковите вълни. Лекции от Андрей Смирнов

Да предположим, че две светлинни вълни с една и съща честота, припокриващи се една друга, възбуждат в една и съща точка космически трептения от една и съща посока:

Амплитудата на получените трептения в дадена точка се определя по формулата:

Ако разликата във фазите между вълните, възбудени от вълните, остава постоянна във времето, тогава такива вълни се наричат ​​кохерентни.

Кохерентните вълни са вълни, които: имат еднаква честота (дължина на вълната); фазова разлика, която не се променя с течение на времето; вълновите колебания възникват в една равнина. Това условие се изпълнява само от едноцветни вълни - вълни с една специфична и строго постоянна честота.

В случай на кохерентни вълни   във всяка точка в пространството има постоянна стойност във времето. Следователно, в случай на суперпозиция на кохерентни вълни, интензитетът на полученото трептене в дадена точка не зависи от времето, а зависи от стойността :

(6.36.3)

В онези точки в пространството, където   \u003e 0, получената интензивност\u003e; в точки, за които < 0, результирующая интенсивность < . При наложении когерентных световых волн происходит перераспределение светового потока в пространстве с образованием в одних точках пространства максимумов интенсивности, в других – минимумов интенсивности результирующего колебания.

Светлинни смущения  - пространствено преразпределение на енергията на светлинното излъчване, когато две или повече кохерентни светлинни вълни се наслагват в пространството, което води до увеличаване или намаляване на интензивността на получената вълна в различни точки на пространството.

В случай на несъгласувани вълни, той непрекъснато се променя във времето, като приема всякакви стойности с еднаква вероятност. Окото регистрира усреднената във времето стойност на светлинния поток. Време средна стойност   е равно на нула. Следователно получената интензивност в случай на суперпозиция на несъгласувани вълни във всички точки е равна на сумата от интензитетите на всяка вълна: преразпределение на светлинния поток в пространството не се случва, не се наблюдават смущения.

Тъй като естествените светлинни източници са непоследователни, взаимно съгласувани светлинни лъчи се получават чрез разделяне и след това сближаване на лъчите, излъчвани от общ източник на светлина. За тези цели се използват огледала и бипризми на Fresnel, лещи за заготовки и други устройства.

За да получим кохерентни светлинни вълни, ние прилагаме метода за разделяне на вълна, излъчвана от един източник, на две части, които след преминаване през различни оптични пътеки се припокриват взаимно в точката, където се наблюдава интерференционният модел.

Нека разделянето на вълните на две кохерентни се случва в точката, в която трептенията възникват според закона. Към момента първата вълна изминава геометричен път в среда с показател на пречупване, а втората - в среда с показател на пречупване. В момента първата и втората вълна ще предизвикат трептения:

(6.36.4)

където   и   - фазови скорости на първата и втората вълна. Следователно, фазовата разлика на трептенията, възбудени от вълните в точка, е:

(6.36.5)

къде е дължината на вълната във вакуум,   - оптична разлика на пътя на две вълни. Получената амплитуда в точката е:

, (6.36.6)

Взаимодействие на звуковата вълна

  смущения   вълни - сумирането в пространството на две (или няколко) вълни, при което се получава усилване или затихване на амплитудата на получената вълна в различни точки.

Когато чуем звуци с различна, но доста близка честота от два източника наведнъж, или гребените на двете звукови вълни стигат до нас, след това гребена на едната вълна и кухината на другата. В резултат на суперпозицията на две вълни звукът се усилва, а след това отслабва, което се възприема от ухото като удари. Този ефект се нарича интерференция във времето. Използва се, когато се настройват два музикални тона в унисон (например при настройка на китара): настройката се извършва, докато ударите престанат да се усещат.

Звукова вълна, когато попадне върху интерфейса с друг носител, може да бъде отразена от него, да премине в друг носител, да промени посоката на движение, т.е. да бъде пречупена от интерфейса (това явление се нарича пречупване ), абсорбира или едновременно изпълнява няколко от горните действия. Степента на абсорбция и отражение зависи от свойствата на носителя на интерфейса.

Енергията на звукова вълна в процеса на нейното разпространение се поглъща от средата. Този ефект се нарича поглъщане на звука , Важно е да се отбележи, че степента на усвояване на звуковата енергия зависи както от свойствата на средата (температура, налягане, плътност), така и от честотата на звуковите вибрации: колкото по-висока е честотата, толкова повече разсейване на звуковата вълна претърпява по своя път.

Постоянна вълна - трептения в разпределените осцилаторни системи с характерно разположение на редуващи се максимуми (антиноди) и минимуми (възли) на амплитудата. На практика такава вълна се появява по време на отражения от препятствия и нехомогенности в резултат на суперпозицията на отразената вълна върху падащата вълна. В този случай честотата, фазата и коефициентът на затихване на вълната в мястото на отражение са изключително важни. Чисто стояща вълна, строго погледнато, може да съществува само при липса на загуби в средата и пълно отражение на вълните от границата. Обикновено освен стоящи вълни, пътуващите вълни присъстват и в средата, носейки енергия до местата на нейното поглъщане или излъчване. Примери за стояща вълна са вибрации на струна, вибрации на въздух в органна тръба.

Естествена резонансна честота - това е такава честота на трептения, с която дадено физическо тяло започва да се колебае, изваждайки се от състояние на покой от всяка външна възбуждаща сила, например от натискане, като замах, махало на часовник и т.н., или от удар, като краката на камертона, калъф на камбана, струна на пиано или с поток въздух, като тръба на орган или бутилка, ако го издухате в шията му и т.н. Собствената резонансна честота понякога се нарича честота на свободни вибрации .

резонанс (фр. резонанс, от лат. resono - отговарям) е явление на появата и усилването на вибрации на тяло или част от него под действието на външна сила, която възбужда тези вибрации, честотата на която съвпада с естествената резонансна честота на тялото.

Струните на такива инструменти като лютня, китара, цигулка или пиано имат своя собствена резонансна честота, която пряко зависи от дължината и напрежението на струната. Дължината на вълната на първия резонанс на струната е равна на удвоената й дължина. Освен това честотата му зависи от скоростта v, с която вълната се разпространява по протежение на струната.

Три закона на резонанса:

Първи закон.Резонаторът е усилвател на трептенията на възбуждащата сила, действаща върху него. Това е лесно да се провери, като поставите звуковата настройка на вилицата срещу резонаторното тяло: едва чуваемият звук на настройката се увеличава до такава сила, че става чуващ при голяма аудитория.

Втори закон.Резонаторът селективно реагира на честотата на възбуждащата сила, действаща върху него: усилва само онези трептения, които съответстват на неговата собствена резонансна честота. Максималното покачване (пик) на резонансните криви се случва само в точката, в която честотата на действащата сила съвпада с естествената резонансна честота на резониращото тяло.

Трети закон. Резонаторът усилва вибрациите, съответстващи на естествената му честота, като не изисква практически никаква допълнителна енергия.

formants   нарича се областта на стабилни резонанси, характерни за определена акустична система и влияят значително на тембъра. Например, всеки звук от речта (нарича се най-простият звук на речта фонема ) съответства на собствената му форма на гласния тракт, която варира поради промени в позицията на езика, устните, зъбите и др. и съответно положението му на формантите в честотната скала. В същото време има честотни региони, които се усилват най-значително и непрекъснато от пеещи резонатори. Това са така наречените високи и ниски   пеещи форманти .

ехо   - сложен акустичен процес, който се случва при множество отражения на звукова вълна от различни обекти. Движейки се в затворено пространство (стая, зала), звуковата вълна претърпява множество отражения от повърхността на стените, различни предмети и т.н. Отразените звукови вибрации, сгъваеми, могат значително да повлияят на крайното възприятие на звука - да променят цвета му, наситеността, дълбочината, създавайки характерен последващ звук поради пристигането на забавени отразени или разпръснати звукови вълни в точката на измерване.

Способността да обикаляте препятствия е друго ключово свойство на звуковите вълни, наречени дифракция , Степента на обвивката зависи от връзката между дължината на звуковата вълна (нейната честота) и размера на препятствието или дупката по пътя му. Ако препятствието е много по-дълго от дължината на вълната, тогава звуковата вълна се отразява от нея. Ако размерът на препятствието е съпоставим с или по-малък от дължината на вълната, тогава звуковата вълна се разсейва.

Често няколко вълни се разпространяват в вещество в един и същ момент във времето. В този случай всяка частица от материята, която попадне в това сложно поле на вълната, извършва трептения, които са резултат от всеки разглеждан вълнов процес. Общото изместване на частица материя в произволен момент от време е геометричната сума на изместванията, които се причиняват от всеки отделен процес на трептене. Всяка вълна се разпространява в материята, сякаш други вълнови процеси не съществуват. Законът за добавяне на вълни (трептения) се нарича принцип на суперпозиция или принцип на независимо суперпозиция на вълни една върху друга. Пример за независимо добавяне на вибрации е добавянето на вибрации на звукови вълни при свирене на оркестър. Слушайки това, можете да различите звука на отделни инструменти. Ако принципът на суперпозицията не беше изпълнен, музиката нямаше да е възможна.

Определяне на вълновата интерференция

ОПРЕДЕЛЯНЕ

Нарича се добавянето на трептения, при които те взаимно се засилват или отслабват смущения.

Преведено от френски, намесата означава да се намеси.

Вълновата интерференция възниква, когато трептенията във вълните се появяват със същите честоти, същите посоки на изместване на частиците и постоянството на разликата във фазите. Или с други думи, с кохерентността на вълновите източници. (Преведено от латински cohaerer - за да се свържем). В случай, че един поток от пътуващи вълни, които създават еднакви вибрации във всички точки на изследваната част от вълновото поле, се наслагва върху кохерентния поток от такива вълни, което създава колебания на вълната със същата амплитуда, тогава интерференцията на трептенията води до постоянно разделяне на вълновото поле в:

1. Области на усилване на трептенията.
2. Области на затихване на трептенията.

Геометричното местоположение на мястото на интерференционно усилване на трептенията определя разликата в вълновия път (). Най-голямото усилване на трептенията се намира там, където:

където n е цяло число; - дължина на вълната.

Максималното затихване на трептенията възниква, когато:

Явлението интерференция може да се наблюдава при всички видове вълни. Това явление например може да се наблюдава при светлинни вълни. За определена величина на разликата в пътя на директния и отразен светлинен лъч, падащ в една точка, въпросните лъчи могат напълно да угаснат взаимно.

Примери за решаване на проблеми

ПРИМЕР 1

смущения  -Това е преразпределение на потока електромагнитна енергия в космоса в резултат на суперпозицията на вълни, влизащи в този регион на космоса от различни източници. Ако поставите екран в зоната на интерференция на светлинните вълни, тогава върху него ще бъде

има светли и тъмни зони, като ивици.

Само може да се намеси кохерентни вълни.Източниците (вълните) се наричат ​​кохерентни, ако имат еднаква честота и постоянна разлика във времето между фазите, излъчвани от вълните.

Само точковите монохроматични източници могат да бъдат съгласувани. Свойствата на лазерите са им близки. Конвенционалните източници на радиация са несъгласувани, тъй като са немонохроматични и не сочат.

Немонохромността на радиацията от обикновени източници се дължи на факта, че тяхното излъчване се генерира от атоми, излъчващи се във време от порядъка на  = 10 -8 s вълнови влакове с дължина L = c = 3 m. Излъчванията на различни атоми не са свързани помежду си.

Възможно е обаче да се наблюдава намесата на вълните при използване на конвенционални източници, ако се използва някаква техника за създаване на два или повече източника, подобно на основния източник. Има два метода за производство на кохерентни светлинни лъчи или вълни: метод на разделяне на вълнии метод на разделяне на амплитуда на вълната.При метода на разделяне на вълновите лъчи лъчът или вълната се разделят чрез преминаване през близко разположени прорези или дупки (дифракционна решетка) или чрез използване на отразяващи и пречупващи препятствия (двуогледално и фринелево бипризъм, рефлекторна дифракционна решетка).

Най- при метода на разделяне амплитудата на вълновото излъчване се разделя на една или повече отразяващи частично предаващи се повърхности. Пример е намесата на лъчите, отразени от тънък филм.

Точки A, B и C на фиг. са точките на разделяне на амплитудата на вълната

Количествено описание на вълновата интерференция.

Нека две вълни стигнат до точката Oot на източници S 1 и S 2 по различни оптични пътища L 1 = n 1 l 1 и L 2 = n 2 l 2.

Получената сила на полето в наблюдателната точка е

E = E 1 + E 2. (1)

Радиационният детектор (око) не регистрира амплитудата, а интензивността на вълната, така че ние направихме квадратна връзка (1) в квадрата и преминаваме към интензитетите на вълната

E 2 = E 1 2 + E 2 2 +  E 1  E 2 (2)

Ние изразяваме средно този израз във времето

=++<E 1 E 2 > (2)

Последният мандат в (3) 2 наречен член на интерференцията. Тя може да бъде написана като

2<E 1 E 2 >=2 (4)

където  е ъгълът между векторите E 1 и E 2. Ако  / 2, тогава cos = 0 и интерференционният термин ще бъде нула. Това означава, че вълните, поляризирани в две взаимно перпендикулярни равнини, не могат да се намесват. Ако вторичните източници, от които се наблюдава смущение, са получени от един първичен източник, тогава векторите E 1 и E 2 са успоредни и cos = 1. В този случай (3) може да бъде записан като

=++ (5)

където усреднените по време функции имат формата

E 1 = E 10 cos (t + ), E 2 = E 20 cos (t + ), (6)

 = -k 1 l 1 +  1,  = -k 2 l 2 +  2.

В началото изчисляваме средната стойност на интерференционния термин

(7)

откъде за  = : = ½E 2 10, = ½E 2 20 (8)

Обозначаващ I 1 = E 2 10, I 2 = E 2 20 и

, формула (5) може да бъде написана по отношение на интензивността на вълните. Ако източниците са несъгласувани, тогава

I = I 1 + I 2, (9)

и ако е съгласувано, тогава

I = I 1 + I 2 +2

cos (10)

k 2 l 2 -k 1 l 1 +   -  (11)

има фазова разлика на добавените вълни. За източници. следователно получени от един първичен източник = 1 =  2

 = k 2 l 2 -k 1 l 1 = k 0 (n 2 l 2 -n 1 l 1) = (2 /  )  (12)

където K 0 = 2 е числото на вълната във вакуум,  е разликата в оптичния път на лъчите 1 и 2 от S 1 и S 2 до наблюдателната точка на интерференция 0. Получени

(13)

От формула (10) следва, че в точка 0 ще има максимум смущения, ако cos  = 1, откъдето

m, или  = m  (m = 0,1,2, ...) (14)

Условието за минимална намеса ще бъде при cos  = -1, откъдето

 = 2 (m + ½), или  = (m + ½)   (m = 0,1,2, ...) (14)

По този начин вълните в точката на припокриване ще се засилват взаимно, ако разликата им в оптичния път е равна на четен брой полувълни и ще отслабят една друга

ако е равен на нечетен брой полувълни.

Степента на кохерентност на източника на радиация. Интерференция на частично кохерентни вълни.

Реалните светлинни лъчи, пристигащи в наблюдателната точка на интерференция, са частично кохерентни, т.е. съдържат кохерентна и непоследователна светлина. Частично кохерентна светлина се въвежда, за да характеризира степен на съгласуваност 0< < 1, която е фракцията на непоследователна светлина в светлинен лъч. С намесата на частично кохерентните лъчи получаваме

I =  някои + (1-) I coh =  (I 1 + I 2) + (1-) (I 1 + I 2 + 2I 1 I 2 cos  

Където I = I 1 + I 2 + 2I 1 I 2 cos (17)

Ако  = 0 или  = 1, тогава стигаме до случаи на несъгласувано и съгласувано добавяне на вълнова намеса.

Опитът на Юнг (разделяне на вълната)

P

първият експеримент за наблюдение на интерференцията е извършен от Юнг (1802). Излъчването от точков източник S премина през две точкови дупки S 1 и S 2 в диафрагмата D и в точка P на екрана E се наблюдава намеса на лъчи 1 и 2, минавайки по геометричните пътеки SS 1 P и SS 2 P.

Изчисляваме модела на смущения на екрана. Геометричната разлика в пътя на лъчите 1 и 2 от източника S до точка P на екрана е

l = (l` 2 + l 2)  (l` 1 + l 1) = (l` 2 1` 1) + (l 2 l 1) (1)

Нека d е разстоянието между S 1 и S 2, b е разстоянието от изходната равнина S до диафрагмата D, a е разстоянието от диафрагмата D до екрана E, x е координатата на точка P на екрана спрямо центъра му, а x` е координатата на източника S спрямо центъра на равнината на източника. Тогава според чертежа от питагорейската теорема, който получаваме

Израженията за l` 1 и l` 2 ще бъдат сходни, ако заменим ab, xx`. Да предположим, че d и x<

по същия начин

(4)

Като се вземат предвид (3) и (4), геометричната разлика в пътя на лъчите 1 и 2 ще бъде равна на

(5)

Ако лъчите 1 и 2 преминават в среда с показател на пречупване n, тогава тяхната оптична разлика е

Условията за максимумите и минималните смущения на екрана имат формата

(7)

Къде са координатите на максимума x = x m и минимумите x = x "m на интерференционния шаблон на екрана

Ако източникът има формата на ленти с x "координата, перпендикулярна на равнината на картината, тогава изображението на екрана ще има и формата на ленти с x координата, перпендикулярна на равнината на картината.

Разстоянието между най-близките максимуми и минимумите на смущения или ширината на границата на смущения (тъмно или светло) ще бъде равно на (8), равно на

x = x m + 1 -x m = x` m + 1 -x` m =

(9)

където  =   / n е дължината на вълната в среда с показател на пречупване n.

Пространствена кохерентност (некохерентност) на източника на радиация

Разграничете пространствената и временната кохерентност на източника на радиация. Пространствената съгласуваност се асоциира с крайните (неточкови) размери на източника. Това води до разширяване на границата на смущения на екрана и при определена ширина на източника D, моделът на смущения напълно изчезва.

Пространствената несъответствие се обяснява по следния начин. Ако източникът има ширина D, тогава всяка светеща лента на източника с координата x "ще даде своя модел на интерференция на екрана. В резултат на това различните модели на смущения, изместени един спрямо друг на екрана, се наслагват един върху друг, което ще доведе до размазване на интерференционните ресни и за определена ширина източник D до пълното изчезване на схемата на смущения на екрана.

Може да се покаже, че моделът на смущения на екрана изчезва, ако ъгловият ширината на източника  = D / l, видим от центъра на екрана, е по-голям от съотношението  / d:

(1)

Методът за получаване на вторични източници S1 и S2 с помощта на бипризма на Френел е сведен до схемата на Йънг. Източници S 1 и S 2 лежат в същата равнина като основния източник S.

Може да се покаже, че разстоянието между източниците S1 и S2, получени с помощта на бипризъм с ъгъл на пречупване  и показател n, е

d = 2a 0 (n-1) , (2)

и ширината на границата на смущения на екрана

(3)

Моделът на смущения на екрана ще изчезне, когато условието бъде изпълнено

или с ширина на източника, равна на

, т.е. ширината на интерференционната лента. Получаваме като се вземе предвид (3)

(4)

Ако l = 0,5 m, и 0 = 0,25 m, n = 1,5 - стъкло,  = 6 10 -7 е дължината на вълната на зелена светлина, тогава ширината на източника, при който моделът на смущения изчезва на екрана, е D = 0, два милиметра.

Временна кохерентност на източника на радиация. Време и продължителност на съгласуваността.

Временна съгласуваностсвързан с немонохроматичен източник на радиация. Това води до намаляване на интензивността на границата на смущения при отдалечаване от центъра на смущения и последващото му счупване. Например, при наблюдение на интерференционния модел, използвайки неодноцветен източник и бипризъм на Френел, на екрана се наблюдават от 6 до 10 ленти. Когато използвате силно монохроматичен източник на лазерно излъчване, броят на граничните смущения на екрана достига няколко хиляди.

Откриваме условието за прекратяване на интерференцията поради немонохроматичността на източника, излъчващ се в обхвата на дължината на вълната (). Позицията на mth максимум на екрана се определя от състоянието

(1)

където  0 / n е дължината на вълната с индекс на пречупване n. От това следва, че всяка дължина на вълната съответства на собствения модел на интерференция. С увеличение на the, моделът на смущения се измества, толкова по-голям е редът на смущения (номер на интерференционната лента) м. В резултат на това може да се окаже, че mth максимум за дължина на вълната припокрива (m + 1) th максимум за дължина вълни ". В този случай полето на интерференция между mth и (m + 1) -ти максимуми за дължината на вълната  ще бъде равномерно запълнено с максимуми на интерференция от интервала () и екранът ще бъде равномерно осветен, т.е. IR счупвания.

Условие за прекъсване за модел на смущения

X max (m,  + ) = X max (m + 1, ) (2)

Къде според (1)

(m + 1)  = m (, (3)

което дава реда на интерференцията (номер на интерференционната лента), при който се извършва ИК прекъсване

(4)

Състоянието на максимумите на смущения е свързано с оптичната разлика в пътищата на лъчи 1 и 2, пристигащи в наблюдателната точка на интерференция на екрана от условието

Замествайки (4) в (5), намираме оптичната разлика на пътя 1 и 2, при която интерференцията изчезва на екрана

(6)

При \u003e L coh, моделът на смущения не се наблюдава. Извиква се количеството L coh =    дължина (надлъжна) съгласуваност, и стойността

t coh = L coh / c (7)

-време за съгласуваностПреформулираме (6) по отношение на честотата на излъчване. Като се има предвид, че c, получаваме

| d | = или  = (8)

Тогава според (6)

L coh =

(9)

И според (7)

или

(10)

Получена е връзка между времето на кохерентност t coh и ширината на честотния интервал на източника на излъчване.

За видимия диапазон (400-700) nm с ширина на интервала  = 300 nm при средна дължина на вълната  = 550im, дължината на кохерентността е

от порядъка на L coh = 10 -6 m, и времето на кохерентност от порядъка на t coh = 10 -15 s. Дължината на кохерентността на лазерното лъчение може да достигне няколко километра. Обърнете внимание, че времето на излъчване на един атом е от порядъка на 10 -8 s, а дължините на вълновите влакове са от порядъка на L = 3 m.

Принципи на Хюйгенс и Хюйгенс-Френел.

Най- има два принципа за размахване на оптиката: принцип на Хюйгенс и принцип на Хюйгенс-Френел. По принцип Хюйгенс постулира, че всяка точка на фронта на вълната е източник на вторични вълни. Конструирайки обвивката на тези вълни, можем да намерим положението на фронта на вълната в следващите моменти.

Принципът на Хюйгенс е чисто геометричен и ви позволява да се излагате. например, законите на отражение и пречупване на светлината, обяснява феномена на разпространението на светлината в анизотропните кристали (двойно пречупване). Но той не може да обясни повечето оптични явления, причинени от намесата на вълните.

Френел допълни принципа на Хюйгенс чрез условието за намеса на вторични вълни, излъчвани от вълновия фронт. Такова разширение на принципа на Хюйгенс се нарича принцип на Хюйгенс-Френел.

Френелови зони.

Френел предложи прост метод за изчисляване на резултата от намесата на вторичните вълни. пристигащи от фронта на вълната в произволна точка P, лежаща на права линия, минаваща през източника S и точка P.

Разгледайте идеята на Френел, използвайки примера на сферична вълна, излъчвана от точков източник S.

Нека вълновият фронт от източника S в определен момент да бъде на разстояние a от S и на разстояние b от точка R. Разделете фронта на вълната на пръстеновидни зони, така че разстоянието от краищата на всяка зона до точка P да се различава с  / l. съседните зони са фазово изместени от , т.е. възникват в антифаза. Ако обозначим амплитудите на трептенията в зоните E 1, E 2, ... и E 1\u003e E 2\u003e ..., тогава амплитудата на получените трептения в точка P ще бъде равна на

E = E 1 -E 2 + E 3 -E 4 + ... (1)

Тук редуването на знаците (+) и (-), тъй като трептенията в съседните зони се срещат в антифаза. Представете си формулата (1) във формата

където се предполага, E m = (Е m-1 + Е m + 1) / 2. Получихме, че амплитудата на трептенията в точка P, ако в нея влизат колебания от целия фронт на вълната, е равна на Е = Е1 / 2, т.е. равна на половината амплитуда на вълната, пристигаща в точка P от първата зона на Френел.

Ако затворите всички четни или нечетни зони на Френел, като използвате специални плочи, наречени зона, амплитудата на трептенията в точка P ще се увеличи и ще бъде равна на

E = E 1 + E 3 + E 5 + ... + E 2m + 1, E = | E 2 + E 4 + E 6 + ... + E 2m + ... | (3)

Ако поставите екран с дупка в пътя на фронта на вълната, който би отворил ограничен четен брой зони на Френел, тогава интензитетът на светлината в точка P ще бъде равен на нула

E = (E 1 -E 2) + (E 3 -E 4) + (E 5 -E 6) = 0 (4)

т.е. в този случай в точка P ще има тъмно петно. Ако отворим нечетен брой зони на Френел, тогава в точка P ще има светло петно:

E = E 1 -E 2 + E 3 -E 4 + E 5 = E 1 (4)

За да припокриете френеловите зони с помощта на екрани или зонови плочи, е необходимо да се знаят радиусите на френеловите зони. Според фиг. Ще се получи

r

  2 m = a 2 - (a-h m) 2 = 2ah m (6)

r 2 m = (b + m  / 2) 2 - (b + h m) 2 = bm-2bh m (7)

където членовете с  2 и h m 2 бяха пренебрегнати.

Приравнявайки (5) и (6), получаваме

(8)

Подмяна на формула (8) в (6), радиусът на m-та зона на Френел

(9)

където m = 1,2,3, ... е номерът на зоната на Френел,  е дължината на вълната, радиацията, излъчвана от източника. Ако предната част на водата е равна (a -\u003e ), тогава

(10)

С фиксиран радиус на отвора в екрана, броят на зоните на Френел, отворени от тази дупка по пътя на вълната, зависи от разстоянията a и b от отвора до източника S и точка P.

Дифракция на вълни (светлина).

дифракциянаречен набор от интерференционни явления, наблюдавани в среди с остри нееднородности, съизмерими с дължината на вълната и свързани с отклонението на законите за разпространение на светлината от законите на геометричната оптика. По-специално, дифракцията води до закръгляне на препятствията чрез вълни и проникване на светлина в областта на геометрична сянка. Пропуските, отворите и различните препятствия могат да играят ролята на средни нееднородности: екрани, атоми и молекули на материята и т.н.

Има два вида дифракция. Ако източникът и точката на наблюдение са разположени толкова далеч от препятствието, че лъчите, които падат върху препятствието и лъчите, достигащи до наблюдателната точка, са практически успоредни, тогава те говорят за дифракция на Фраунхофер (дифракция в паралелни лъчи), в противен случай те говорят за дифракция на Френел (дифракция в конвергентните лъчи)

Дифракция на френел върху кръгла дупка.

Нека сферичната вълна, от източника, пада върху кръгла дупка в диафрагмата. В този случай на екрана ще се наблюдава дифракционен шаблон под формата на светли и тъмни пръстени.

Ако дупката отвори четен брой зони на Френел, тогава в центъра на дифракционния модел ще има тъмно петно, а ако отвори нечетен брой зони на Френел, тогава светло петно.

Когато преместите диафрагмата с отвор между източника и екрана в отвора, четният, нечетен брой зони на Френел ще се побере и изгледът на дифракционния модел (или с тъмно, или със светло петно ​​в центъра) непрекъснато ще се променя.

Фраунхоферна дифракция върху процепа.

Нека сферичната вълна се разпространява от източника S. С помощта на лещата L 1 тя се превръща в равнинна вълна, която пада върху процеп с ширина b. Хората, дифрактирани върху процепа под ъгъл , се събират на екрана, разположен във фокалната равнина на лещата L 2 в точка F

Интензитетът на дифракционния модел в точка P на екрана се определя от намесата на вторичните вълни, излъчвани от всички елементарни сегменти на процепа и разпространяващи се до точка P в същата посока .

С оглед на факта, че равнинна вълна пада върху процепа, фазите на трептенията във всички точки на процепа са еднакви. Интензитетът в точка P на екрана, причинен от разпространението на вълни в направляващата посока, ще се определя от фазовото изместване между вълните, излъчвани от равнина на вълната отпред AB, перпендикулярно на посоката на разпространение на вълната (виж фиг.), Или вълни. изходящи от всяка равнина, успоредна на посоката на AB.

Фазовото изместване между вълните, излъчвани от лентата 0 в центъра на процепа, и лентата с x координата, измерено от центъра на процепа, е kxsin (фиг.). Ако процепът има ширина b и излъчва вълна с амплитуда E 0, тогава ивица с x координата и ширина dx излъчва вълна с амплитуда (Eo / b) dx. Вълна с амплитуда идва от тази лента до точка P на екрана в посока

(1)

Множителят it, който е еднакъв за всички вълни, пристигащи в точка P на екрана, може да бъде пропуснат, тъй като той ще изчезне при изчисляване на интензивността на вълната в точка P. Амплитудата на полученото трептене в точка P, поради налагането на вторични вълни, пристигнали в точка P от цялата празнина, ще бъде равна на

(2)

където u = (k b / 2) sin = ( b / ) sin,  е дължината на вълната, излъчвана от източника. Интензитетът на вълните I = E 2 в точка P на екрана ще бъде равен на

(3)

където I 0 е интензитетът на вълната, излъчвана от процепа в посока  = 0, когато (sin u / u) = 1.

В точка P ще има минимална интензивност, ако sin u = 0 или

където bsin = m, (m = 1,2, ...) (4)

Това условие дифракция минимуми на тъмни ивици на екрана).

Условието на дифракционните максимуми ще се намери, като вземем производната от I () до u и я приравним на нула, което води до трансценденталното уравнение tg u = u. Решете уравнението на атомите графично

Според фиг. линията y = u пресича кривите y = tg u приблизително в точки с координата по оста на абсцисата, равна на

u = (2m + 1)  / 2 = (m + ½) , а също така u = 0   = 0, (5)

което ви позволява да напишете приблизително, но сравнително точно решение на уравнението tg u = u във формата

(6)

ох

тогава получаваме, че условието на дифракционни максимуми (светлинни ленти на екрана) има формата

bsinm + ½)  (m = 1,2, ...). (7)

Централният максимум при  = 0 не е включен в условие (7)

Разпределението на интензитета на екрана по време на дифракцията на светлината върху една процеп е показано на фиг.

Дифракционна решетка и нейното приложение за разлагане на неодноцветно излъчване на източник в спектър.

Дифракционна решеткаможете да разгледате всяко устройство, което осигурява пространствена периодична модулация на падащата върху него светлинна вълна в амплитуда и фаза. Пример за дифракционна решетка е периодична система. N паралелни празнини, разделени с непрозрачни пролуки, разположени в една равнина, разстоянието d между средата на съседни пропуски се нарича периодили решетка постоянна.

Дифракционната решетка има способността да разгражда не монохроматичното излъчване на източника в спектъра, създавайки на екрана компенсиране на дифракционни модели, които съответстват на различни дължини на вълната на източника на излъчване.

Първо помислете за формирането на дифракционна схема за излъчване на източник с фиксирана дължина на вълната.

Нека равнинна монохроматична вълна с дължина на вълната падает нормално да падне върху решетката, а дифракционният модел се наблюдава върху фокусната равнина на лещата L. Дифракционният модел на екрана е многостъпална интерференция на кохерентни светлинни лъчи със същата интензивност, отиващи към наблюдателната точка P от всички слотове в посоката.

За да изчислим интерференционния модел (IR), обозначим с E 1 () амплитудата на вълната (формула (2) от предишния раздел), която стигна до наблюдателната точка P от първия структурен елемент на решетката, амплитудата на вълната от втория структурен елемент E 2 = E 1 ei , от третият E 2 = E 1 e 2i  и т.н. където

 = kasin =

(1)

Фазовото изместване на вълните, пристигащи в точка P от съседни процепи с разстояние d между тях.

Общата амплитуда на трептенията, създадена в точка P от вълни, влизащи в нея от всички N прорези на дифракционната решетка, е представена като сума от геометрична прогресия

E P = E 1 () (1 + e i  + e 2i +… + e i (N-1)) = E 1 ()

(2)

Интензитетът на вълната в точка P е равен на I (=) = E p E * p, където E * p е сложната амплитуда на конюгата. получавам

I () = I 1 ()

(3)

където е посочено

,

(4)

От това следва, че разпределението на интензитета на екрана I (), създадено чрез излъчване от N 12 прорези, се модулира от интензивната функция на една процеп I 1 () = I 0 (sin (u) / u) 2. Разпределението на интензитета на екрана се определя по формулата (3) е представена на фиг.

Фигурата показва, че в IR има остри максимуми, наречени главното, между които има ниски интензивности и минимуми, наречени страна.Броят на страничните минимуми е N-1, а броят на страничните максимуми е N-2. Точките, в които I 1 () = 0 се наричат основни нива.Местоположението им е същото като в случая с единичен слот.

Обмислете формирането на големи върхове. Те се наблюдават в посоките, определени от условието sin / 2 = 0 (но в същото време sinN / 2 = 0, което води до несигурност I () = 0 / 00. Условието sin / 2 = 0 дава / 2 = k или

dsin = k, k = 0, 1, 2, ... (5)

където k е редът на основния максимум.

Помислете за формирането на минимуми. Първото условие sin u = 0, когато u  0 води до състоянието на основните минимуми, същото като в случая на един слот

bsin = m, m = 0, 1, 2, ... (6)

Второто условие sin N / 2 = 0, когато sin / 20 определя позицията на страничните минимуми със стойностите

   , ... (N-1) ;

N , (N + 1) , ... (2N-1) ; (7)

2 N , (2N + 1) , ... (3N-1) ;

Подчертаните стойности са кратни на N и водят до състоянието на основните максимуми N = Nk или  / 2 = k. Тези стойности трябва да бъдат изключени от списъка на страничните минимуми. Останалите стойности могат да бъдат записани като

където p е цяло число, не множествено N (8)

откъде получаваме състоянието на страничните минимуми

dsin = (k + P / N), P = 0, 1, 2, ... N-1 (9)

където k е фиксираният ред на основния максимум. Можете да приемете отрицателни стойности на p = -1, -2, ...- (N-1), което ще даде позицията на страничните минимуми отляво на k-тия основен максимум.

Условията на основните и страничните максимуми и минимуми предполагат, че излъчването с различна дължина на вълната ще съответства на различно ъглово разположение на минимумите и максимумите в дифракционния модел. Това означава, че дифракционната решетка разлага немонохроматичното излъчване на източника в спектър.

Характеристики на спектралните инструменти: ъглова и линейна дисперсия и разделителна способност на инструмента.

Всеки спектрален инструмент извършва разлагане на радиация в монохроматични компоненти чрез пространственото им разделяне, използвайки диспергиращ елемент (призма, дифракционна решетка и др.) За да извлече необходимата информация от наблюдаваните спектри, инструментът трябва да осигури добро пространствено разделяне на спектралните линии, както и да осигури възможност за отделяне наблюдения на близки спектрални линии.

В тази връзка, за да се характеризира качеството на спектрален инструмент, се въвеждат следните стойности: ъгъл D  = dd или линеен D l = dld дисперсияинструмент и неговото резолюцияR = / , където  е минималната разлика на дължините на вълните на спектралните линии, която устройството позволява да вижда отделно. Колкото по-малка е разликата „видима“ от устройството, толкова по-висока е неговата разделителна способност R.

Ъгловата дисперсия D  определя ъгъла  = D  , към който устройството разпространява две спектрални линии, дължините на вълната на които се различават по една (например в оптиката се приема  = 1 nm). Линейната дисперсия D l определя разстоянието l = D l  между спектралните линии на екрана, дължините на вълната на които се различават с една ( = 1 nm). По-високите стойности на D и D1 са способността на спектралния инструмент за пространствено разделяне на спектрални линии.

Специфични изрази за дисперсиите на D D и D l и неговата разделителна способност R зависят от типа на инструмента, използван за записване на емисионните спектри на различни източници. В този курс въпросът за изчисляване на спектралните характеристики на инструмента ще бъде разгледан на примера на дифракционна решетка.

Ъглова и линейна дисперсия на дифракционната решетка.

Изразът за ъгловата дисперсия на дифракционната решетка може да се намери чрез диференциране на състоянието на основните максимуми d sin = kto. Получете dcos d = kd, откъдето

(1)

Вместо ъглова дисперсия можете да използвате линейна

(2)

Като се вземе предвид, че положението на спектралната линия, измерено от центъра на дифракционната шарка, е равно на l = Ftg, където F е фокусното разстояние на лещата, в чиято фокусна равнина е записан спектърът, получаваме

това дава

(3)

Разделителната способност на дифракционната решетка.

Голямата ъглова дисперсия е необходимо, но недостатъчно условие за отделно наблюдение на близки спектрални линии. Това е така, защото спектралните линии са широки. Всеки детектор (включително окото) регистрира обвивката на спектрални линии, която в зависимост от тяхната ширина може да се възприема като една или две спектрални линии.

В тази връзка се въвежда допълнителна характеристика на спектралния инструмент - неговата разделителна способност е: R = , където  е минималната разлика на дължините на вълните на спектралните линии, които инструментът позволява да вижда отделно.

За да се получи специфичен израз за R за дадено устройство, е необходимо да се зададе критерият за разделителна способност. Известно е, че окото възприема две линии поотделно, ако дълбочината на „потапяне“ в обвивката на спектралната линия е най-малко 20% от интензитета при максимумите на спектралните линии. Това условие е удовлетворено от критерия, предложен от Ralley: две спектрални линии с еднаква интензивност могат да се наблюдават отделно, ако максимумът на едната от тях съвпада с "ръба" на другия. За "ръбовете" на линията можете да заемете позицията на най-близките минимуми до нея.

На фиг. изобразява две спектрални линии, съответстващи на излъчване с дължина на вълната  <  

Съвпадението на "ръба" на една линия с максимума на друг е еквивалентно на същото ъглово положение, например, на максималното, на лявата линия, съответстваща на дължината на вълната , и на левия "ръб" на линията, съответстващ на дължината на вълната .

Положението на k-тия максимум на спектралната линия с дължина на вълната  се определя от условието

dsin = k  (1)

Положението на левия "ръб" на линия с дължина на вълната   се определя от ъгловото положение на първата му лява страна минимум (p = -1)

dsin = (k- 1 / N) 2 (2)

Приравнявайки десните страни на формулите (1) и (2), получаваме

K 1 = (k- 1 / N) 2, или k ( - 1) =  / N, (3)

(4)

Получихме, че разделителната способност на дифракционната решетка R = kN нараства с увеличаване на броя N удари върху решетката, а за фиксирани N с увеличаване на порядъка на спектър k.

Топлинно излъчване.

Топлинно излъчване (TI)  е излъчването на ЕМ вълни от нагрято тяло поради вътрешната му енергия. Всички други видове тела светят, възбудени от видове енергия, разликата от топлинната, наречена луминесценция.

Абсорбиращо и отразяващо тяло. Абсолютно черно, бяло и сиво тяло.

В общия случай всяко тяло отразява, абсорбира и предава радиационния инцидент върху него. Следователно, за инцидента на радиационния поток върху тялото, можем да напишем:

(2)

където  , и, t  - коефициенти на отражение, поглъщане и пропускане, наричани също отразяващи, преглъщащи и предаващи способности.Ако тялото не предава радиация, тогава т= 0 и  + a = 1, Като цяло коефициентите  и изависят от честотата на излъчване   и телесна температура:

и

.

Ако тялото напълно абсорбира радиация с всякаква честота, падаща върху него, но не я отразява ( и T = 1 ,

), тогава тялото се нарича абсолютно черени ако тялото напълно отразява радиацията, но не я абсорбира, тогава тялото се нарича бялАко същият и T <1   тогава тялото се нарича сиво. Ако абсорбиращият капацитет на тялото зависи от честотата или дължината на вълната на падащото лъчение и а  <1 тогава тялото се нарича селективен абсорбатор.

Енергийни характеристики на радиацията.

Радиационното поле обикновено се характеризира с радиационния поток. F (W).

поток  е енергията, предавана чрез излъчване през произволна повърхност за единица време. Радиационен поток, излъчван от единица площ. тела, наречени енергийна светимост на тялото и обозначават R T (Ш / м 3 ) .

Енергийната светимост на тялото в честотния диапазон

представляват д-р  , и ако зависи от телесната температура T, истина д-р    Енергийната яркост е пропорционална на ширината. г честотен интервал на излъчване:

.Коефициентът на пропорционалност

повикване изхвърляне на тялотоили светимост на спектралната енергия.

размерност

.

Енергийната светимост на тялото в целия диапазон на излъчваните честоти на излъчване е

Връзката между спектралните характеристики на излъчването по честота и дължина на вълната.

Честотни зависимости от радиационните характеристики  или дължина на вълната  радиация, наречен спектрален.Намерете връзката между тези характеристики по дължина и честота на вълната. като се има предвид д-р  = д-р    , получаваме:

, Извън комуникацията  = с / трябва да бъде | d | = (в / 2 ) г . след това

Топлинно излъчване. Закони за виното и Стефан-Болцман.

Топлинно излъчване  е ЕМ излъчването, излъчвано от веществото поради неговата вътрешна енергия. TI има непрекъснат спектър, т.е. неговата излъчваемост r  или   R    в зависимост от честотата или дължината на вълната на радиацията се променя непрекъснато, без скокове.

TI е единственият вид радиация в природата, който е равновесен, т.е. е в термодинамично или топлинно равновесие с излъчващото го тяло. Топлинно равновесие означава, че излъчващото тяло и радиационното поле имат една и съща температура.

TI е изотропен, т.е. вероятността за излъчване на радиация с различни дължини или честоти на вълната и поляризация в различни посоки са еднакво вероятни (еднакви).

Сред излъчващите (поглъщащи) тела специално място заемат абсолютно черни тела (AHB), които изцяло излъчват радиацията, падаща върху него, но не я отразяват. Ако черното тяло е горещо, тогава, както показва опитът, той ще свети по-ярко от сивото тяло. Например, ако нанесете жълта, зелена и черна боя върху порцеланова плоча и след това загреете чинията до висока температура, черният модел ще свети по-ярко, зеленият е по-слаб, а жълтият модел ще свети много слабо. Пример за горещо черно тяло е слънцето.

Друг пример за АКТБ е кухина с малък отвор и отразяващи огледалото вътрешни стени. Външната радиация, влизаща в дупката, остава вътре в кухината и практически не излиза от нея, т.е. абсорбционната способност на такава кухина е равна на единство и това е точно черното тяло. Например, обикновен прозорец в апартамент, отворен в слънчев ден, не позволява излъчването му да влезе вътре, а отвън изглежда черно, т.е. се държи като abt.

Опитът показва, че зависимостта на излъчването на черното

дължина на вълната на излъчване  има формата:

разписание

има максимум. С повишаване на телесната температура максимална зависимост

от  се измества към по-къси дължини на вълната (високи честоти) и тялото започва да свети по-ярко. Това обстоятелство е отразено в двата експериментални закона за виното и закона на Стефан-Болцман.

Първият закон за виното одобрява: позицията на максималната емисия на черното   (R о  ) m обратно пропорционална на неговата температура:

(1)

където б = 2,9  10 -3   m K -първите постоянни вина.

Вторият закон за виното твърди: максималната излъчвателна способност на AChT е пропорционална на петата степен на неговата температура:

(2)

където с = 1,3  10 -5   Ш / м 3 K 5 -секунда Вина константа.

Ако изчислим площта под кривата на излъчващата способност на черното тяло, ще намерим неговата енергийна светимост R o T. Оказва се, че е пропорционална на четвъртата сила на температурата на черното тяло. По този начин

(3)

Така е закон на Стефан-Болтцман,  = 5,67  10 -8   Ш / м 2 K 4 -постоянен Стефан-Болцман.

Законът на Кирхоф.

Кирххоф доказа следното свойство на излъчвателите на топлина:

телесна излъчваемост r    до неговата способност за преглъщане а    при същата температура Tне зависи от естеството на излъчващото тяло, е еднакво за всички тела и е равно на капацитета на излъчване на черното тяло   R о  :   R  / а  = r о  .

Това е основният закон на топлинното излъчване. За да го докажете, помислете за топлоизолирана кухина А с малък отвор, вътре в който е разположено тяло Б. Кухината А се нагрява и обменя топлина с тяло В през радиационното поле на кухината С. В състояние на топлинно равновесие температурата на кухината A, тялото B и радиационните полета C са еднакви и равни на T Опитът има способността да измерва потока



   излъчване от дупката, чиито свойства са подобни на свойствата на радиация С вътре в кухината.

Радиационен поток     падане от нагрятата кухина А върху тялото Б се поглъща от това тяло и се отразява, а самото тяло В излъчва енергия.

В състояние на топлинно равновесие, излъчвано от тялото B поток r    и потока, отразен от него (1-а  )     трябва да е равен на потока     кухина с топлинно излъчване

(1)

откъде

Това е законът на Кирхоф. При неговото заключение естеството на тялото B не е взето предвид, следователно то е валидно за всяко тяло и по-специално за черното тяло, за което излъчвателността е равна на r о    и абсорбиращ капацитет а  =1 , Имаме:

(2)

Получено е, че съотношението на излъчващата способност на тялото към неговия абсорбиращ капацитет е равно на капацитета на излъчване на черното тяло при същата температура T.Ravenstvo r о  =   показва, че радиационният поток, напускащ кухината     може да измери излъчването на деянието r о  .

Формулата и доказателството на Планк с помощта на опитни закони  вино  и Стефан-Болцман.

Дълго време различни учени се опитват да обяснят законите на излъчването на черното физическо тяло и да получат аналитичен изглед на функцията r о  . При опит за решаване на проблем бяха получени много важни закони на топлинното излъчване. Така че, по-специално. Вин въз основа на законите на термодинамиката показа, че излъчването на акта r о  е функция на съотношението на честотата на излъчване  и температурите му T, съвпадаща с температурата на черното тяло:

r о  = е ( / Т)

Първо изрично за функция r о    е получен от Планк (1905). В този случай Планк предположи, че TI съдържа 3M вълни с различни честоти (дължини на вълната) в интервала (

). Фиксирана честота на вълната  повикване осцилатор EM поле.По предположение на Планк, енергията на всяко честотно поле на осцилатора  тя се определя количествено, тоест зависи от целочисления параметър и следователно се променя по дискретен начин (скок):

(1)

където  0 ( )   -минимален квантов (част) енергия, който може да има осцилатор на честотно поле  .

Въз основа на това предположение, Планк получи следния израз за капацитета на излъчване на черното тяло (вижте всеки учебник):

(2)

където с = 3  10 8 м / с - светлинна скорост, k = 1,38 10 -23   J / c  -постоянен Болцман.

Според теоремата на Виен r о    = f ( / Т)необходимо е да се приеме, че квантовата енергия на полевия осцилатор е пропорционална на нейната честота  :

(3)

където коефициент на пропорционалност з= 6,62  10 -34   J. сили

=1, 02  10 -34   наречена константа на Планк,  = 2    - циклична честота на излъчване (полеви осцилатор). Замествайки (3) във формула (2), получаваме

(4)

(5)

За практически изчисления е удобно да замествате стойностите на константата c, k, hи напишете формулата на Планк във формата

(6)

където а 1 = 3,74  10 -16   Wm 2 ,    а 2 = 1,44  10 -2   мК.

Полученият израз за r о    дава правилното описание на закона за излъчването на черното тяло, съответстващ на експеримента. Максималната функция на Планк може да се намери чрез изчисляване на производната д-р о  / г  и приравняването му до нула, което дава

(7)

Това е първият закон за виното. Заместването  =  m  в израза за функцията на Планк получаваме

(8)

Това е вторият закон за виното. Интегрираната енергийна светимост (площта под графика на функцията на Планк) се намира чрез интегриране на функцията на Планк с дължини на вълните. В резултат на това получаваме (вижте учебника):

(9)

Това е законът на Стефан-Болцман. Така формулата на Планк обяснява всички експериментални закони на излъчването на черното тяло.

Излъчването на сивите тела.

Тяло, за което абсорбция а  = a  <1 и не зависи от честотата на излъчване (дължината на вълната му) се нарича сиво.За сиво тяло според закона на Кирхоф:

където r о  -   Функция на Планк

където

(1)

За несиви тела (селективни абсорбатори), за които а    зависи от  или  , комуникация R  = a  R 0    не се провежда и е необходимо да се изчисли интегралът:

(2)

Не толкова отдавна обсъдихме в някои подробности свойствата на светлинните вълни и тяхната намеса, тоест ефекта от суперпозицията на две вълни от различни източници. Но се прие, че честотите на източниците са еднакви. В същата глава ще се съсредоточим върху някои явления, произтичащи от намесата на два източника с различна честота.

Не е трудно да отгатнете какво ще се случи. Действайки както преди, нека приемем, че има два еднакви осцилиращи източника с една и съща честота и техните фази са избрани така, че сигналите да пристигнат в определена точка със същата фаза. Ако е светлина, тогава в този момент е много ярка, ако е звук, значи е много силна, а ако е електрони, значи има много от тях. От друга страна, ако входящите вълни се различават по фаза от 180 °, тогава няма да има сигнали в точката, тъй като общата амплитуда ще има минимум тук. Да предположим, че сега някой завърти копчето за „фазово регулиране“ на един от източниците и променя фазовата разлика в точка тук-там, да речем, първо това прави нула, после - 180 ° и т. Н. Разбира се, това ще се промени и силата на входящия сигнал. Вече е ясно, че ако фазата на един от източниците се променя бавно, постоянно и равномерно в сравнение с другия, започвайки от нула, а след това постепенно се увеличава до 10, 20, 30, 40 ° и т.н., тогава в точката ще видим редица слаби и силни „пулсации“, защото когато фазовата разлика премине 360 °, отново се появява максимум в амплитуда. Но твърдението, че един източник с постоянна скорост променя фазата си спрямо друг, е еквивалентен на твърдението, че броят на трептенията в секунда е малко по-различен за тези два източника.

И така, сега отговорът е известен: ако вземем два източника, чиито честоти са малко различни, тогава в резултат на добавянето се получават колебания с бавно пулсираща интензивност. С други думи, всичко казано тук е наистина уместно!

Този резултат е лесен за получаване и математически. Да предположим, например, че имаме две вълни и забравим за момент за всички пространствени отношения, но просто вижте какво стига до момент. Нека една вълна идва от един източник, а вълна от друг и двете честоти не са точно равни една на друга. Разбира се, амплитудите им също могат да бъдат различни, но първо нека приемем, че амплитудите са равни. Ще разгледаме общата задача по-късно. Общата амплитуда в точката ще бъде сумата от две косинуси. Ако начертаем амплитудата спрямо времето, както е показано на фиг. 48.1, оказва се, че когато гребените на двете вълни съвпадат, се получава голямо отклонение, когато гребена и коритото съвпадат - почти нула, а когато гребените съвпадат отново, отново се оказва голяма вълна.

Фиг. 48.1. Суперпозицията на две косинусови вълни с честотно съотношение 8:10. Точното повторение на трептенията в рамките на всяко биене не е характерно за общия случай.

Математически трябва да вземем сумата от два косинуса и по някакъв начин да я възстановим. Това ще изисква някои полезни отношения за косинус. Да ги вземем. Знаеш, разбира се, че

и че истинската част на експонента е равна, а въображаемата част е равна. Ако вземем истинската част, получаваме и за продукта

получаваме плюс някаква въображаема добавка. Сега обаче се нуждаем само от истинската част. По този начин,

Ако сега променим знака на количеството, тогава, тъй като косинусът не променя знака и синусът променя знака на обратното, получаваме подобен израз за косинуса на разликата

След като добавим тези две уравнения, произведението на синусите ще бъде намалено и установяваме, че произведението на две косинуси е равно на половината косинус от сумата плюс половината косинус на разликата

Сега можете да увиете този израз и да получите формулата за, ако просто поставите, и, т.е.:

Но да се върнем към нашия проблем. Сума и равна на

Сега нека честотите са приблизително еднакви, така че да е равна на някаква средна честота, която е повече или по-малко същата като всяка от тях. Но разликата е много по-малка от и, тъй като ние приехме, че те са приблизително равни помежду си. Това означава, че резултатът от добавянето може да се интерпретира така, сякаш има косинусова вълна с честота, по-малка или равна на първоначалната, но че нейният „обхват“ се променя бавно: пулсира с честота, равна на. Но това ли е честотата, с която чуваме удари? Уравнение (48.0) казва, че амплитудата се държи като и трябва да се разбира по такъв начин, че високочестотните трептения са затворени между две косинусови вълни с противоположни знаци (пунктирана линия на фиг. 48.1). Въпреки че амплитудата се променя с честотата, но ако говорим за интензивността на вълната, трябва да си представим честота два пъти по-голяма. С други думи, амплитудната модулация в смисъл на нейната интензивност се случва с честота, въпреки че ние се умножаваме по косинуса на половин честота.

тоест отново се оказва, че високочестотната вълна се модулира от ниска честота.