Variabili casuali discrete Variabili casuali che assumono solo valori separati tra loro, che possono essere elencati in anticipo Esempi: - il numero di teste in tre lanci di una moneta; - il numero di colpi sul bersaglio con 10 colpi; - il numero di chiamate ricevute alla stazione delle ambulanze al giorno.
La legge di distribuzione di una variabile casuale è qualsiasi relazione che stabilisce una connessione tra i possibili valori di una variabile casuale e le probabilità corrispondenti. La legge di distribuzione di una variabile casuale può essere specificata sotto forma di una tabella di un grafico formula (analiticamente).
Calcolo della probabilità di realizzare determinati valori di un numero casuale Il numero di teste è 0 - eventi: PP - probabilità 0,5 * 0,5 \u003d 0,25 Il numero di teste è 1 - eventi: P0 o OR - probabilità 0,5 * 0,5 + 0,5 * 0,5 \u003d 0,5 Il numero di teste è uguale a 2 - eventi: 00 - probabilità 0,5 * 0,5 \u003d 0,25 Somma delle probabilità: 0,25 + 0,50 + 0,25 \u003d 1
Calcolo dei valori di una serie di distribuzioni di un numero casuale Problema. Il tiratore spara 3 colpi al bersaglio. La probabilità di colpire il bersaglio con ogni colpo è 0.4 Per ogni colpo, il tiratore riceve 5 punti. Costruisci una serie di distribuzione del numero di punti eliminati. Probabilità di eventi: distribuzione binomiale Designazione evento: hit - 1, mancato - 0 Gruppo completo di eventi: 000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, 111 k \u003d 0, 1, 2, 3
Serie di distribuzione di un numero casuale di punti evento eliminati numero di punti probabilità di un evento 0.2160.4320.2880.064
Operazioni di addizione e moltiplicazione di variabili casuali La somma di due variabili casuali X e Y è una variabile casuale che si ottiene sommando tutti i valori di una variabile casuale X e tutti i valori di una variabile casuale Y, si moltiplicano le probabilità corrispondenti X01 p0,20,70,1 Y123 p0,30, 50.2
Operazioni di addizione di variabili casuali Z \u003d \u003d \u003d 2 0 + 1 \u003d 1 0 + 2 \u003d 2 0 + 3 \u003d 3 1 + 1 \u003d 2 1 + 2 \u003d 3 1 + 3 \u003d 4 p 0,060,10,040,210,350,140,030,050,02 Z01234 p0,060,310,420,190, 02
Operazioni di moltiplicazione di variabili casuali Il prodotto di due variabili casuali X e Y è una variabile casuale che si ottiene moltiplicando tutti i valori di una variabile casuale X e tutti i valori di una variabile casuale Y, si moltiplicano le probabilità corrispondenti X01 p0,20,70,1 Y123 p0,30,50, 2
Proprietà della funzione di distribuzione F (X) 0 F (x) 1 F (X) - funzione non decrescente La probabilità che una variabile casuale X cada nell'intervallo (a, b) è uguale alla differenza tra i valori della funzione di distribuzione all'estremità destra e sinistra dell'intervallo: P (a X 
Le principali caratteristiche delle variabili aleatorie discrete L'aspettativa matematica (valore medio) di una variabile aleatoria è uguale alla somma dei prodotti dei valori presi da questa quantità per le probabilità corrispondenti: M (x) \u003d x 1 Р 1 + x 2 Р x n P n \u003d
Xixi PiPi xi P i (xi - M) 2 (xi - M) 2 P i 2 0,1 0,2 (2-3,6) 2 \u003d 2,560,256 30,30,9 (3-3,6) 2 \u003d 0.360.108 40.52 (4-3.6) 2 \u003d 0.160.08 50.10.50.5 (5-3.6) 2 \u003d 1.960.196 ESEMPIO: Calcola le principali caratteristiche numeriche per il numero di ordini di farmaci ricevuti in 1 ora M ( x) \u003d 3,6 D (x) \u003d 0,64
LETTERATURA CONSIGLIATA: Letteratura principale: A.V. Ganicheva, V.P. Kozlov. Matematica per psicologi. M .: Aspect-press, 2005, con Pavlushkov I.V. Fondamenti di matematica superiore e statistica matematica. M., GEOTAR-Media, Zhurbenko L. La matematica in esempi e problemi. M .: Infra-M, Materiale didattico: Shapiro L.A., Shilina N.G. Guida alla formazione pratica in statistica medica e biologica Krasnoyarsk: LLC "Polikom". - 2003.
"Fondamenti di statistica matematica" - Il valore numerico di una quantità - il numero di successi in una serie di test. Alcune definizioni. Fondamenti della teoria della verifica delle ipotesi statistiche. Errori nel testare ipotesi statistiche. In una serie di n test, k successi e n-k - "fallimenti" devono verificarsi simultaneamente. Qual è la probabilità di scegliere una palla bianca da un canestro casuale?
"Caratteristiche statistiche di base" - Mediana. Row fashion. La gamma della serie. Swipe. Mediana della serie. La media aritmetica di una serie di numeri. Petronio. Trova la media aritmetica. Quaderni scolastici. Caratteristiche statistiche di base. Statistiche.
"Ricerca statistica" - Per la prima volta il termine "statistica" lo troviamo nella finzione. La frequenza relativa dell'evento. Lo swing è la differenza tra i valori più grandi e più piccoli in una serie di dati. Le statistiche sono principalmente un modo di pensare. Ipotesi. Caratteristiche statistiche di base. Hai bisogno di aiuto con i compiti di matematica.
"Teorema e statistica della probabilità" - Teorema di Chebyshev. Valore casuale. Verifica dell'ipotesi sul valore numerico della probabilità. Flusso di eventi. Variabile casuale multidimensionale. Frequenza relativa. Variabili casuali dipendenti. Verifica dell'ipotesi sulla significatività del coefficiente campionario. Il significato statistico dell'aspettativa matematica. Un esperimento casuale.
"Elementi di statistica matematica" - Le parti sono realizzate su macchine diverse. Intervallo di confidenza per varianza sconosciuta. Stime statistiche. Stime degli intervalli. Metodi di selezione. Popolazione generale. Momento di correlazione. Verifica di ipotesi statistiche. Calcolo degli intervalli di confidenza per varianza sconosciuta. Confronto di due varianze.
"Probabilità e statistica matematica" - Statistica descrittiva. Rose bianche e rosse. Una media ridotta al minimo. Valuta la possibilità che si verifichino eventi. Grafici a dispersione. Immagini del diagramma. Considera gli eventi. Cifrario sicuro. Bun. Precisione dei valori ottenuti. Problemi combinatori. Ci sono solo due lettere nell'alfabeto Wahua. Segni di matematica.
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2 VALORI CASUALI E LORO LEGGI DI DISTRIBUZIONE Serie di distribuzione. Poligono di distribuzione La legge di distribuzione di una variabile casuale è qualsiasi relazione che stabilisce una relazione tra i possibili valori di una variabile casuale e le probabilità corrispondenti.
3 Considera una variabile casuale discontinua X con possibili valori x 1, x 2,…, x n. Ciascuno di questi valori è possibile, ma non affidabile, e il valore di X può accettare ciascuno di essi con una certa probabilità. Come risultato dell'esperimento, il valore di X assumerà uno di questi valori, ovvero si verificherà uno del gruppo completo di eventi incompatibili. Indichiamo le probabilità di questi eventi con le lettere p con i corrispondenti indici: P (X \u003d x 1) \u003d p 1; P (X \u003d x 2) \u003d p 2; ...; P (X \u003d x n) \u003d p n. Poiché gli eventi incompatibili formano un gruppo completo, la somma delle probabilità di tutti i possibili valori di una variabile casuale è uguale a uno
4 La serie di distribuzione della variabile casuale X ha la seguente forma xixi x1x1 x2x2 ... xnxn pipi p1p1 p2p2 ... pnpn all'immagine grafica Per rendere la serie di distribuzione più visiva, spesso ricorrono alla sua immagine grafica: i possibili valori della variabile casuale sono tracciati lungo l'asse delle ascisse e l'ordinata di probabilità questi valori. Questa forma è chiamata poligono di distribuzione.
7 La funzione di distribuzione F (x) è talvolta chiamata anche funzione di distribuzione cumulativa o legge di distribuzione cumulativa. La funzione di distribuzione è la caratteristica più versatile di una variabile casuale. Esiste per tutte le variabili casuali: sia discontinue che continue. La funzione di distribuzione caratterizza pienamente una variabile casuale da un punto di vista probabilistico, ad es. è una delle forme della legge sulla distribuzione.
X 1 F (x 2) F (x 1). F (x 2) F (x 1). 2. A meno infinito, la funzione di distribuzione è uguale a zero: F "title \u003d" (! LANG: 8 Formuliamo alcune proprietà generali della funzione di distribuzione. 1. La funzione di distribuzione F (x) è una funzione non decrescente del suo argomento, cioè per x 2\u003e x 1 F (x 2) F (x 1). F (x 2) F (x 1). 2. A meno infinito, la funzione di distribuzione è zero: F" class="link_thumb"> 8 !} 8 Formuliamo alcune proprietà generali della funzione di distribuzione. 1. La funzione di distribuzione F (x) è una funzione non decrescente del suo argomento, cioè per x 2\u003e x 1 F (x 2) F (x 1). F (x 2) F (x 1). 2.A meno infinito, la funzione di distribuzione è zero: F (-) \u003d 0. 3.A più infinito, la funzione di distribuzione è uguale a uno: F (+) \u003d 1. x 1 F (x 2) F (x 1). F (x 2) F (x 1). 2. A meno infinito, la funzione di distribuzione è uguale a zero: F "\u003e x 1 F (x 2) F (x 1). F (x 2) F (x 1). 2. A meno infinito, la funzione di distribuzione è uguale a zero: F (- ) \u003d 0. 3. A più infinito, la funzione di distribuzione è uguale a uno: F (+) \u003d 1. "\u003e x 1 F (x 2) F (x 1). F (x 2) F (x 1). 2. A meno infinito, la funzione di distribuzione è uguale a zero: F "title \u003d" (! LANG: 8 Formuliamo alcune proprietà generali della funzione di distribuzione. 1. La funzione di distribuzione F (x) è una funzione non decrescente del suo argomento, cioè per x 2\u003e x 1 F (x 2) F (x 1). F (x 2) F (x 1). 2. A meno infinito, la funzione di distribuzione è zero: F"> title="8 Formuliamo alcune proprietà generali della funzione di distribuzione. 1. La funzione di distribuzione F (x) è una funzione non decrescente del suo argomento, cioè per x 2\u003e x 1 F (x 2) F (x 1). F (x 2) F (x 1). 2.A meno infinito, la funzione di distribuzione è zero: F."> !}
10 Senza dare una prova rigorosa di queste proprietà, le illustreremo utilizzando un'interpretazione geometrica visiva. Per questo, considereremo una variabile casuale X come un punto casuale X sull'asse del bue, che, come risultato dell'esperimento, può prendere l'una o l'altra posizione. Quindi la funzione di distribuzione F (x) è la probabilità che il punto casuale X come risultato dell'esperimento cada a sinistra del punto x.
11 Densità di distribuzione La funzione f (x) - una funzione di distribuzione arbitraria caratterizza, per così dire, la densità con cui i valori di una variabile casuale sono distribuiti in un dato punto. Questa funzione è chiamata densità di distribuzione (altrimenti - "densità di probabilità") di una variabile casuale continua. caratterizza, per così dire, la densità con cui i valori di una variabile casuale sono distribuiti in un dato punto. Questa funzione è chiamata densità di distribuzione (altrimenti - "densità di probabilità") di una variabile casuale continua. A volte la funzione f (x) è anche chiamata "funzione di distribuzione differenziale" o "legge di distribuzione differenziale" del valore X.
14 Si consideri una variabile casuale continua X con una densità di distribuzione f (x) e un segmento elementare dx adiacente a un punto x. La probabilità di colpire una variabile casuale X su questa sezione elementare (fino a un ordine infinitesimale superiore) è f (x) dx. La quantità f (x) dx è chiamata elemento di probabilità. Geometricamente è l'area di un rettangolo elementare che poggia sul segmento dx.
15
16 Esprimiamo la probabilità che il valore X cada sul segmento da α a β attraverso la densità di distribuzione. Ovviamente è uguale alla somma degli elementi di probabilità in questa intera sezione, cioè all'integrale: Geometricamente, la probabilità che il valore X cada sulla sezione (α, β) è uguale all'area della curva di distribuzione basata su questa sezione.
17 Proprietà di base della densità di distribuzione. La densità di distribuzione è una funzione non negativa: La densità di distribuzione è una funzione non negativa: questa proprietà deriva direttamente dal fatto che la funzione di distribuzione F (x) è una funzione non decrescente. L'integrale entro limiti infiniti della densità di distribuzione è uguale all'unità:
19 L'aspettativa matematica di una variabile casuale è la somma dei prodotti di tutti i possibili valori di una variabile casuale per le probabilità di questi valori., Dove, dove X è una variabile casuale discontinua, M [X] è il valore medio di una variabile casuale, sono i possibili valori di X, sono i possibili valori di X, - le probabilità dei valori. - le probabilità dei valori.
21 Il concetto di momento è ampiamente utilizzato in meccanica per descrivere la distribuzione di massa. Esattamente le stesse tecniche vengono utilizzate nella teoria della probabilità per descrivere le proprietà di base della distribuzione di una variabile casuale. I momenti di due tipi sono più spesso usati nella pratica: iniziale e centrale.
24 Il momento centrale dell'ordine s di una variabile casuale X è chiamato aspettativa matematica della potenza sth della corrispondente variabile casuale centrata: per ogni variabile casuale, il momento centrale del primo ordine è zero: poiché l'aspettativa matematica di una variabile casuale centrata è sempre zero.
25 Di tutti i momenti, il primo momento iniziale (aspettativa matematica) e il secondo momento centrale sono più spesso usati come caratteristiche di una variabile casuale. Il secondo momento centrale è chiamato varianza della variabile casuale (D [X]). Secondo la definizione del momento centrale: i.e. la varianza di una variabile casuale X è l'aspettativa matematica del quadrato del valore centrato corrispondente.
29 LEGGE NORMALE DI DISTRIBUZIONE La legge di distribuzione normale (spesso chiamata legge di Gauss) gioca un ruolo estremamente importante nella teoria della probabilità e occupa una posizione speciale tra le altre leggi di distribuzione. Questa è la legge sulla distribuzione più comune nella pratica. La caratteristica principale che distingue la legge normale da altre leggi è che si tratta di una legge limitante, a cui si avvicinano altre leggi di distribuzione in condizioni tipiche molto frequenti.
30 La curva di distribuzione, secondo la legge normale, ha un aspetto simmetrico a campana. L'ordinata massima della curva, uguale al punto x \u003d t; con la distanza dal punto m, la densità di distribuzione diminuisce e in x ± la curva si avvicina asintoticamente all'asse delle ascisse.
33 LEGGE DI DISTRIBUZIONE DEL RELÈ Distribuzione del modulo di un vettore sul piano, le cui coordinate sono variabili aleatorie indipendenti, che hanno una legge di distribuzione normale con media nulla e varianza unitaria, viene descritta la distribuzione di Rayleigh. La distribuzione di Rayleigh si realizza quando gli errori di misura lungo le coordinate xey sono indipendenti e normalmente distribuiti con le stesse varianze.
Domande di prova 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Cosa viene chiamata variabile casuale?
Che tipo di variabili casuali conosci?
Ciò che viene chiamato casuale discreto
taglia?
Quella che viene chiamata legge sulla distribuzione
variabile casuale?
Come definire la legge sulla distribuzione
variabile casuale?
Come puoi impostare la legge di distribuzione del DSV?
Quali sono le principali caratteristiche numeriche
DSV e annota le formule per calcolarle.
1. Tipi di variabili casuali
Uno dei concetti più importanti inteoria
probabilità
è un
il concetto di variabile casuale.
La quantità è chiamata casuale,
se grazie all'esperienza può farlo
prendere
qualunque
in anticipo
valori sconosciuti. Variabili casuali
CB
Variabili casuali discrete
DSV
Variabili casuali continue
NSV Discreto
casuale
grandezza
(DSV)
–
questo è
una variabile casuale che
prende
separato
isolato,
conteggio
molti significati.
Esempio. Numero di visitatori
cliniche durante il giorno. Continuo
casuale
grandezza
(NSV)
–
questo è
casuale
valore,
prendendo qualsiasi valore
da un certo intervallo.
Esempio.
Peso
a caso
tablet selezionato di alcuni
farmaco. Le variabili casuali denotano
latina maiuscola
alfabeto: X, Y, Z, ecc.,
e i loro valori sono appropriati
lettere minuscole: x, y, z, ecc. Esempio.
Se un
casuale
la quantità X ha tre possibili
valori, allora possono essere
indicato in questo modo: x1, x2, x3.
X: x1, x2, x3.
2. Distribuzione di una variabile casuale discreta
Legge sulla distribuzione DSVchiamato
conformità
fra
possibile
valori
e
loro
probabilità.
Legge
distribuzione
può
immaginare
nel
modulo
tavoli,
formule graficamente. Nell'impostazione tabellare della legge
distribuzione DSV prima fila
tavoli
contiene
possibile
valori, e la seconda è la loro probabilità:
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn Considerandolo in uno
test SV richiede uno e solo
un possibile valore, lo otteniamo
sviluppi
X \u003d x1, X \u003d x2,…, X \u003d xn formano un completo
gruppo, da cui la somma delle probabilità
di questi eventi, cioè la somma delle probabilità
la seconda riga della tabella è uguale a uno:
p1 + p2 +… + pn \u003d 1. p
p2
p1
pn
0
x1
x2
…
…
xn
X
Per
visibilità
diritto della distribuzione
Il DSV può essere rappresentato
graficamente, perché
nel
rettangolare
sistema
coordinate
costruire
punti
a partire dal
coordinate (xi; pi),
e poi collegarli
segmenti di linea.
Ricevuto
figura
chiamato
poligono
distribuzione.
3. Funzione di distribuzione
La funzione di distribuzione del casualedi X è la funzione
valido
variabile
X,
definito dall'uguaglianza F (x) \u003d P (X
funzione di distribuzione DSV e NSV. Poiché fino al valore x1 la variabile casuale X
non si è verificato, quindi la probabilità dell'evento X< x1
è zero.
Per tutti i valori x1
Ma per x\u003e x2, l'SV può già prenderne due
possibili valori di x1 e x2, quindi
probabilità dell'evento X
le quantità x1, x2, ..., xn si trovano
ordine crescente, quindi ogni valore
xi di queste quantità vengono assegnate
somma delle probabilità di tutte le precedenti
valori e probabilità pi:
x1
x2
x3
…
xn
p1 p1 + p2 p1 + p2 + p3… p1 + p2 + p3 +… + pn 0,
p
1
F x p1 p2
...
1
a
x x1;
a
x1 x x2;
a
x2 x x3;
...
...
a
x xn. Tracciando possibile
Valori X DSV e corrispondenti
somme
probabilità,
noi abbiamo
figura a gradini, che e
è un
programma
funzione
distribuzione delle probabilità. y
p1 + p2 +… + pn
...
p1 + p2
p1
0
x1
x2
…
xn
X
Proprietà della funzione di distribuzione di una variabile casuale X
1) 0 F x 1;2) x1 x2 F x1 F x2
4. Caratteristiche numeriche di variabili aleatorie discrete
1). Aspettativa e sue proprietà
Viene chiamata l'aspettativa matematica del DSV Xla somma dei prodotti di tutti i suoi valori di
probabilità corrispondenti.
n
M X x1 p1 x2 p2 ... xn pn xi pi
io 1
Il significato probabilistico dell'aspettativa matematica:
L'aspettativa matematica è approssimativaallo stesso modo
media
aritmetica
osservato
valori
casuale
magnitudini. (Sull'asse dei numeri, il possibile
i valori si trovano a sinistra ea destra di
matematico
aspettative,
t.
e.
matematico
aspettativa
Di Più
il più piccolo
e
Di meno
il più grande
valori possibili).
Proprietà delle aspettative
1.Matematico
aspettativa
permanente
il valore è uguale al più costante
M C C
2. Il fattore costante può essere eliminato
segno di aspettativa
M CX C M X 3. L'aspettativa matematica della somma
di un numero finito di variabili casuali è
la somma delle loro aspettative matematiche
M X Y M X M Y 4.
Matematico
aspettativa
prodotti di un numero finito di indipendenti
variabili casuali è uguale al prodotto delle loro
aspettative matematiche.
(Vengono chiamate due variabili casuali
indipendente se la legge sulla distribuzione
uno di loro non dipende da cosa
possibile
senso
accettato
l'altro
valore)
M X Y M X M Y
2). Dispersione e sue proprietà
Dispersione (scattering) DSWsi chiama aspettativa matematica
piazza
deviazioni
SV
a partire dal
sua
aspettativa matematica
D X M X M X
2
Proprietà di dispersione:
1. La varianza di una costante èzero
D C 0 2. Può essere un fattore costante
sopportare
dietro a
cartello
varianza,
quadrare
D CX C D X
23. Dispersione della somma di un numero finito
SV indipendenti è uguale alla somma dei loro
varianze
D X Y D X D Y Teorema. La dispersione del DSW è uguale alla differenza
tra l'aspettativa matematica della piazza
DSV X e il quadrato della sua matematica
aspettative
D X M X M X
2
2
3). Deviazione standard
Deviazione quadratica mediacasuale
grandezze
X
chiamato
aritmetica
valore
radice
quadrato della sua varianza
X D X
Esempio. Calcola l'aspettativa matematica, la varianza, la deviazione standard di una variabile casuale discreta X,
definito come il numero di studenti ina caso
selezionato
gruppo,
utilizzando
i seguenti dati:
X
8
9
10
11
12
P
0,2
0,1
0,3
0,2
0,2M X 8 0,2 9 0,1 10 0,3 11 0,2 12 0,2
1,6 0,9 3 2,2 2,4 10,1;D X 8 0,2 9 0,1 10 0,3
2
2
2
11 0,2 12 0,2 10,1
2
2
103,9 102,01 1,89;
X 1,89 1,37.
2
Commento. Aspettativa e varianza del numero di occorrenze di un evento in studi indipendenti
Se la probabilità del verificarsi dell'evento A inogni prova è indipendente dai risultati degli altri
test, allora tali test sono
indipendente.
Lascia stare
queste
probabilità
sono uguali e uguali a p.
Quindi la probabilità di non verificarsi dell'evento A
in prova
q \u003d 1-p. Teorema.
Matematico
in attesa del numero di occorrenze dell'evento A
nel
test indipendenti è uguale a
il prodotto del numero di test di
probabilità di accadimento dell'evento A in
ogni prova:
M X n p Teorema. Dispersione del numero di occorrenze
eventi A in studi indipendenti
uguale al prodotto del numero di prove
sulla probabilità di accadimento e non
aspetto
sviluppi
E
nel
uno
test:
D X n p q Esempio. Cinque farmacie controllano
annuale
equilibrio.
Probabilità
corretta registrazione del saldo in formato
ogni farmacia è 0,7. Trovare
matematico
aspettativa
e
varianza di ben formato
saldi.
Decisione.
Per ipotesi, n \u003d 5; p \u003d 0,7;
q \u003d 1-0,7 \u003d 0,3.
Diapositiva 1
Descrizione diapositiva:
Diapositiva 2
Descrizione diapositiva:
Diapositiva 3
Descrizione diapositiva:
Diapositiva 4
Descrizione diapositiva:
Diapositiva 5
Descrizione diapositiva:
Supponiamo che vengano eseguiti n test indipendenti, ciascuno dei quali può o non può verificarsi l'evento A. Siano p. Considera una variabile casuale: il numero di occorrenze dell'evento A in n test indipendenti. L'intervallo di modifica è costituito da tutti i numeri interi da 0 a n, inclusi. La legge di distribuzione di probabilità p (m) è determinata dalla formula di Bernoulli (13 "): Supponiamo che vengano eseguiti n test indipendenti, in conseguenza di ciascuno dei quali l'evento A può o non può verificarsi. Lasciate che la probabilità del verificarsi dell'evento A in ogni test sia p. Considera una variabile casuale è il numero di occorrenze dell'evento A in n test indipendenti. L'intervallo di variazione è costituito da tutti i numeri interi da 0 a n inclusi. La legge di distribuzione di probabilità p (m) è determinata dalla formula di Bernoulli (13 "):
Diapositiva 6
Descrizione diapositiva:
Diapositiva 7
Descrizione diapositiva:
Diapositiva 8
Le probabilità p (xi) sono calcolate utilizzando la formula di Bernoulli per n \u003d 10. Per x\u003e 6, sono praticamente zero. Il grafico della funzione p (x) è mostrato in Fig. 3. Le probabilità p (xi) sono calcolate utilizzando la formula di Bernoulli per n \u003d 10. Per x\u003e 6, sono praticamente zero. Il grafico della funzione p (x) è mostrato in Fig. 3.