2.7.3.1. Точные методы исследования нелинейных систем

1. Прямой метод Ляпунова. В его основе лежит теорема Ляпунова об устойчивости нелинейных систем. В качестве аппарата исследования используется функция Ляпунова, представляющая собой знакоопределённую функцию координат системы, имеющую также знакоопределённую производную во времени. Применение метода ограничивается его сложностью.

2. Метод Попова (румынский учёный) более прост, но пригоден только для некоторых частных случаев.

3. Метод, основанный на кусочно-линейной аппроксимации. Характеристики отдельных нелинейных звеньев разбивают на ряд линейных участков, в пределах которых задача оказывается линейной и может быть решена достаточно просто.

Метод может применяться, если число участков, на которые разбивается нелинейная характеристика, невелико (релейные характеристики). При большом количестве участков – сложно. Решение возможно только с помощью ЭВМ.

4. Метод фазового пространства. Позволяет исследовать системы с нелинейностями произвольного вида, а также с несколькими нелинейностями. При этом в фазовом пространстве строят так называемый фазовый портрет процессов, протекающих в нелинейной системе. По виду фазового портрета можно судить об устойчивости, возможности возникновения автоколебаний, точности в установившемся режиме. Однако размерность фазового пространства равна порядку дифференциального уравнения нелинейной системы. Применение для систем выше второго порядка практически невозможно.

5. Для анализа случайных процессов можно применять математический аппарат теории Марковских случайных процессов. Однако сложность метода и возможность решения уравнения Фоккера-Планка, которое требуется при анализе только для уравнений первого и в некоторых случаях второго порядка, ограничивает его использование.

Таким образом, точные методы анализа нелинейных систем хотя и позволяют получить точные, корректные результаты, однако очень сложны, что ограничивает их практическое применение. Эти методы важны с чисто научной, познавательной, исследовательской точки зрения, а поэтому их можно отнести к чисто академическим методам, практическое применение которых к реальным сложным системам не имеет смысла.

2.7.3.2. Приближённые методы исследования нелинейных систем

Сложность и ограниченность практического применения точных методов анализа нелинейных систем привели к необходимости разработки приближенных более простых методов исследования этих систем. Приближенные методы позволяют во многих практических случаях достаточно просто получить прозрачные и легко обозримые результаты анализа нелинейных систем. К приближенным методам относятся:

1. Метод гармонической линеаризации, основанный на замене нелинейного элемента его линейным эквивалентом, причём эквивалентность достигается для некоторого движения системы, близкого к гармоническому. Это позволяет достаточно просто исследовать возможность возникновения в системе управления автоколебаний. Однако метод может быть применён и для исследования переходных процессов нелинейных систем.

2. Метод статистической линеаризации также основан на замене нелинейного элемента его линейным эквивалентом, но при движении системы под воздействием случайных возмущений. Метод позволяет сравнительно просто исследовать поведение нелинейной системы при случайных воздействиях и найти её некоторые статистические характеристики.

Метод гармонической линеаризации

Применим к нелинейным системам, описываемым дифференциальным уравнением любого порядка. Рассмотрим его только применительно к расчёту автоколебаний в системе автоматического управления. Разобьем замкнутую систему управления на линейную и нелинейную части (рис. 7.2) с передаточными функциями и соответственно.

Для линейного звена:

Нелинейное звено может иметь нелинейные зависимости вида:

и др. Ограничимся зависимостью вида:

Рис. 7.2. К методу гармонической линеаризации

Поставим задачу исследования автоколебаний в данной нелинейной системе. Строго говоря, автоколебания будут несинусоидальными, однако будем считать, что для переменной x они близки к гармонической функции. Это оправдывается тем, что линейная часть (7.1), как правило, представляет собой фильтр нижних частот (ФНЧ). Поэтому линейная часть будет задерживать высшие гармоники, содержащиеся в переменной y . Данное предположение носит название гипотезы фильтра. В противном случае, если линейная часть представляет собой фильтр высоких частот (ФВЧ), то метод гармонической линеаризации может дать ошибочные результаты.

Пусть Подставляя в (7.2), разложим (7.2) в ряд Фурье:

Положим, что в искомых колебаниях отсутствует постоянная составляющая, т.е.

Это условие соблюдается всегда, когда нелинейная характеристика симметрична относительно начала координат и отсутствует приложенное к нелинейному звену внешнее воздействие.

Мы приняли, что , тогда .

В записанном разложении произведём замену и отбросим все высшие гармоники ряда, считая, что они отфильтровываются . Тогда для нелинейного звена получим приближённую формулу

где и - коэффициенты гармонической линеаризации, определяемые формулами разложения в ряд Фурье:

Таким образом, нелинейное уравнение (7.2) заменяется приближённым уравнением для первой гармоники (7.3), похожим на линейное уравнение. Особенностью его является то, что коэффициенты уравнения зависят от искомой амплитуды автоколебаний. В общем случае при более сложной зависимости (7.2) эти коэффициенты будут зависеть и от амплитуды, и от частоты.

Проделанная операция замены нелинейного уравнения приближённым линейным носит название гармонической линеаризации, а коэффициенты (7.4), (7.5) называют гармоническими коэффициентами передачи нелинейного звена.

Из (7.3) следует, что для рассматриваемой системы передаточная функция нелинейного звена:

Учитывая (7.1) и (7.3), получаем передаточную функцию разомкнутой системы:

и характеристическое уравнение замкнутой системы:

Подставляя в (7.6), находим частотную передаточную функцию разомкнутой системы:

Не зависит от [см. (7.8)].

Модуль эквивалентной передаточной функции нелинейного звена определяется формулой:

и равен отношению амплитуды первой гармоники на его выходе к амплитуде входной величены. Аргумент частотной передаточной функции нелинейного звена равен:

Можно показать, что для нелинейных звеньев с однозначными и симметричными относительно начала координат характеристиками, не имеющими гистерезистых петель, поэтому - чисто вещественная, а

Часто используется величина, обратная эквивалентной передаточной функции нелинейного звена:

называемая эквивалентным импедансом нелинейного звена. Использование её удобно при расчёте автоколебаний по критерию Найквиста. В качестве примера использования метода гармонической линеаризации рассмотрим релейную характеристику трехпозиционного реле без петли гистерезиса (рис. 7.3). Как видно из рис. 7.3, статическая характеристика симметрична относительно начала координат, следовательно, . Поэтому необходимо найти только коэффициент по формуле (7.4). Для этого подадим на вход звена синусоидальную функцию и построим y(t) (рис. 7.4).

Рис. 7.3. Статическая характеристика трехпозиционного

реле без петли гистерезиса

Как видно из рис. 7.4, при при

Фазовый угол , соответствующий x 1 = b, равен arcsin (b/a) (рис. 7.4).

Учитывая симметрию подынтегральной функции и в соответствии с (7.4), имеем:

Т.к. , то окончательно имеем:

Аналогичным образом можно произвести гармоническую линеаризацию других нелинейных звеньев. Результаты линеаризации приведены в , .

Как отмечалось выше, метод гармонической линеаризации удобен для анализа возможности появления в нелинейной системе режима автоколебаний и определения его параметров. Для расчёта автоколебаний используют различные критерии устойчивости. Наиболее просто и наглядно использование критерия Найквиста. Особенно удобно использование критерия Найквиста в случае, когда имеется нелинейная зависимость вида и эквивалентная передаточная функция нелинейного звена зависит только от амплитуды входного сигнала .

Рис. 7.4. Пример линеаризации релейной характеристики

Условия возникновения автоколебаний: появление в решении (7.7) пары чисто мнимых корней, а все остальные корни лежат в левой полуплоскости (связь с точкой –1,j0).

Приравняем (7.7) к минус единице:

Для решения (7.12) задаёмся различными значениями , строим АФХ. При некотором а = А АФХ пройдёт через точку (-1,j0), что соответствует отсутствию запасов устойчивости.

Частота и соответствуют частоте и амплитуде искомого гармонического колебания: (рис. 7.5).

Подобным образом можно отыскать периодическое решение для нелинейных зависимостей любого вида, приводящих, в частности, к тому, что эквивалентная передаточная функция нелинейного элемента зависит не только от амплитуды, но и от частоты. Если же ограничиться рассмотрением нелинейной зависимости вида , то процесс нахождения периодического режима можно упростить.

Рис. 7.5. Условие возникновения автоколебаний

Запишем уравнение (7.12) в виде:

См. (7.11). (7.13)

Уравнение (7.13) просто решается графически. Для этой цели необходимо отдельно построить АФХ и обратную АФХ взятую с обратным знаком. Точка пересечения двух АФХ определяет решение (7.13). Частоту периодического режима находим по отметкам частоты на графике , а амплитуду - по отметкам амплитуды на графике (рис. 7.6).

Однако найденный периодический режим соответствует автоколебаниям только тогда, когда он будет устойчив в том смысле, что этот режим может существовать в системе неограниченно длительное время. Устойчивость периодического режима можно определить следующим образом.

Предположим, что линейная часть системы в разомкнутом состоянии устойчива или нейтральна. Дадим амплитуде А некоторое положительное приращение А. Тогда возрастёт, следовательно, уменьшится. В результате уменьшается, следовательно, ещё больше удаляется от точки (-1,j0). А уменьшается и будет стремиться к 0. Аналогично, если А получило отрицательное приращение - А. Тогда уменьшится, следовательно, возрастёт, возрастёт, а, следовательно, амплитуда увеличится, т.к. АФХ приблизится к точке (-1,j0) (уменьшение запасов устойчивости).

Рис. 7.6. Условие возникновения автоколебаний при нелинейной

зависимости вида

Следовательно, всякое случайное отклонение А так изменяет систему, что амплитуда восстанавливает своё значение. Это соответствует устойчивости периодического режима, который соответствует автоколебаниям.

Критерий устойчивости периодического режима здесь сводится к тому, чтобы часть кривой , соответствующая меньшим амплитудам, охватывалась АФХ линейной части системы, что соответствует наличию одной точки пересечения характеристики с отрицательной частью оси вещественных значений (см. рис. 7.6).

При пересечении АФХ разомкнутой системы отрицательной части оси вещественных значений два раза возможно прохождение АФХ через точку (-1,j0) при двух значениях и (рис. 7.7).

Две точки пересечения соответствуют двум возможным периодическим решениям с параметрами и . Аналогично тому, как делалось выше, можно убедиться, что первая точка соответствует неустойчивому режиму периодических колебаний, а вторая – устойчивому, т.е. автоколебаниям (рис. 7.8).

В более сложных случаях, когда, допустим, неустойчива, можно определить устойчивость получаемого периодического режима, рассматривая расположение АФХ разомкнутой системы. Общим здесь остаётся то положение, что для получения устойчивости периодического режима необходимо, чтобы положительное приращение амплитуды приводило к сходящимся процессам в системе, а отрицательное – к расходящимся.

При отсутствии в системе возможных периодических режимов, близких к гармоническим, что обнаруживается изложенным расчётом, существует много различных вариантов поведения системы. Однако в системах, линейная часть которых обладает свойством подавления высших гармоник, особенно в таких системах, где при одних параметрах имеется периодическое решение , а при других нет, есть основание полагать, что при отсутствии периодического решения система будет устойчива относительно равновесного состояния. В этом случае устойчивость равновесного состояния можно оценить требованием, чтобы при устойчивой или нейтральной в разомкнутом состоянии линейной части её АФХ не охватывала годографа

Метод статистической линеаризации нелинейных характеристик

Для оценки статистических характеристик нелинейных систем можно использовать метод статистической линеаризации, основанный на замене нелинейной характеристики линейной, которая в известном смысле статистики равноценна исходной нелинейной характеристике.

Замена нелинейного преобразования линейным является приближённой и может быть справедливой лишь в некоторых отношениях. Поэтому понятие статистической эквивалентности, на основе которого производится такая замена, не является однозначным, и можно сформулировать различные критерии статистической эквивалентности нелинейного и заменяющего его линейного преобразований.

В случае когда линеаризации подвергается нелинейная безынерционная зависимость вида (7.2) , обычно применяются следующие критерии статистической эквивалентности :

Первый требует равенства математических ожиданий и дисперсий процессов и , где - выходная величина эквивалентного линеаризованного звена, а - выходная величина нелинейного звена;

Второй требует минимизации среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного и линеаризованного элементов.

Рассмотрим линеаризацию для случая применения первого критерия. Заменим нелинейную зависимость (7.2) линейной характеристикой (7.14), которая имеет такие же математические ожидания и дисперсию, какие имеются на выходе нелинейного звена с характеристикой (7.2). С этой целью представим (7.14) в виде: , где - центрированная случайная функция.

По выбранному критерию коэффициенты и должны удовлетворять следующим соотношениям:

Из (7.15) следует, что статистическая равноценность имеет место, если

причём знак должен совпадать со знаком производной нелинейной характеристики F(x ).

Величины и называют коэффициентами статистической линеаризации. Для их вычисления нужно знать и сигнала на выходе нелинейного звена:

где - плотность вероятности распределения случайного сигнала на входе нелинейного звена.

Для второго критерия коэффициенты статистической линеаризации выбираются таким образом, чтобы обеспечить минимум среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного и линеаризованного звена, т.е. обеспечить выполнение равенства

Коэффициенты статистической линеаризации, как следует из (7.16), (7.17) и (7.18), зависят не только от характеристик нелинейного звена, но и от закона распределения сигнала на его входе. Во многих практических случаях закон распределения этой случайной величины может быть принят гауссовским (нормальным), описываемым выражением

Это объясняется тем, что нелинейные звенья в системах управления соединяются последовательно с линейными инерционными элементами, законы распределения выходных сигналов которых близки к гауссовским при любых законах распределения их входных сигналов. Чем более инерционна система, тем ближе закон распределения сигнала на выходе к гауссовскому, т.е. инерционные устройства системы приводят к восстановлению гауссовского распределения, нарушаемого нелинейными звеньями. Кроме этого, изменение закона распределения в широких пределах малого влияет на коэффициенты статистической линеаризации. Поэтому полагают, что сигналы на входе нелинейных элементов распределены по гауссовскому закону.

При этом коэффициенты и зависят только от и сигнала на входе нелинейного звена, поэтому для типовых нелинейных характеристик коэффициенты и могут быть заранее вычислены, что существенно упрощает расчёты систем методом статистической линеаризации. Для нормального закона распределения и типовых нелинейных звеньев при расчете нелинейных систем можно воспользоваться данными, приведенными в .

Применение метода статистической линеаризации для анализа

стационарных режимов и срыва слежения

Возможность замены характеристик нелинейных звеньев линейными зависимостями позволяет при анализе нелинейных систем использовать методы, разработанные для линейных систем. Применим метод статистической линеаризации для анализа стационарных режимов в системе, изображённой на рис. 7.9,

где F(e) – статическая характеристика нелинейного элемента (дискриминатора);

W(p) – передаточная функция линейной части системы.

Задача анализа заключается в оценке влияния характеристик дискриминатора на точность системы и определении условий, при которых нарушается нормальная работа системы и происходит срыв слежения.

При анализе точности работы относительно неслучайной составляющей сигнала g(t) нелинейный элемент F(e) в соответствии с методом статистической линеаризации заменяется линейным звеном с коэффициентом передачи . Динамическая ошибка, как было показано ранее, находится по формуле: ,

Пример нахождения и , а также определения условия срыва слежения приведён в .

Вопросы для самопроверки

1. Назовите приближенные методы анализа нелинейных систем.

2. В чем заключается сущность метода гармонической линеаризации?

3. В чем заключается сущность метода статистической линеаризации?

4. Для каких нелинейных звеньев q¢ (a) = 0?

5. Какие критерии статистической эквивалентности вы знаете?

Наличие нелинейностей в системах управления приводит к описанию такой системы нелинейными дифференциальными уравнениями, часто достаточно высоких порядков. Как известно, большинство групп нелинейных уравнений не решается в общем виде, и можно лишь говорить о частных случаях решения, поэтому при исследовании нелинейных систем большую роль приобретают различные приближенные методы.

Посредством приближенных методов исследования нелинейных систем нельзя, как правило, получить достаточно полное представление о всех динамических свойствах системы. Однако с их помощью можно ответить на ряд отдельных существенных вопросов, таких как вопрос устойчивости, наличия автоколебаний, характера каких-либо частных режимов и т.п.

В настоящее время существует большое число различных аналитических и графо-аналитических методов исследования нелинейных систем, среди которых можно выделить методы фазовой плоскости, припасовывания, точечных преобразований, гармонической линеаризации, прямой метод Ляпунова, частотные методы исследования абсолютной устойчивости Попова, методы исследования нелинейных систем на электронных моделях и ЭВМ.

Краткая характеристика некоторых из перечисленных методов.

Метод фазовой плоскости является точным, но имеет ограниченное при­менение, так как практически неприменим для систем регулирования, опи­сание которых нельзя свести к управлениям второго порядка.

Метод гармонической линеаризации относится к приближенным методам, он не имеет ограничений по порядку дифференциальных уравнений. При применении этого метода предполагается, что на выходе системы имеются гармонические колебания, а линейная часть системы регулирования является фильтром высоких частот. В случае слабой филь­трации сигналов линейной частью системы при использовании метода гармо­нической линеаризации необходимо учитывать высшие гармоники. При этом усложняется анализ устойчивости и качества процессов регули­рования нелинейных систем.

Второй метод Ляпунова позволяет получить лишь достаточ­ные условия устойчивости. И если на его основе определена неустойчивость системы регулирования, то в ряде случаев для проверки правильности полученного результата следует заменить функцию Ляпунова на другую и еще раз выполнить анализ устойчивости. Кроме того, не существует общих методов определения функции Ляпунова, что затрудняет практи­ческое применение этого метода.

Критерий абсолютной устойчивости позволяет анализировать устой­чивость нелинейных систем с помощью частотных характеристик, что является большим преимуществом данного метода, так как объе­диняет математический аппарат линейных и нелинейных систем в единое целое. К недостаткам этого метода следует отнести усложнение расчетов при анализе устойчивости систем с неустойчивой линейной частью. Поэтому для получения правильного результата по устойчивости нелинейных систем приходится пользоваться различными методами. И только совпадение раз­личных результатов позволит избежать ошибочных суждений об устойчи­вости или неустойчивости проектируемой системы автоматического регули­рования.

Характеристика, показанная на рисунке 1.5 б – это трёхпозиционное реле, в котором дополнительная позиция за счёт нечувствительности. Уравнение такой характеристики

x вых						x вх			< a ,
x вых	B siqn(xвх )					x вх			> a .

Характеристика, показанная на рисунке 1.5 в – это двухпозиционное реле с гистерезисом. Его ещё называют “реле с памятью”. Оно “помнит” своё предыдущее состояние и в пределах x вх < a сохраняет это своё значение. Уравне-

ние такой характеристики

xвых = b siqn(x − а)		x вх > 0 ,
xвых = b siqn(x + а)
		x вх < 0 ,
x вых = + b		xвх > − a ;	x& вх < 0,
x вых = − b		xвх < a;	xвх > 0,

Характеристика, показанная на рисунке 1.5 г – это трёхпозиционное реле с гистерезисом, в котором дополнительная позиция за счёт зоны нечувствительности. Уравнение такой характеристики

x вых =			[ siqn(x − а2	) + siqn(x + а1 )]		x вх > 0 ,
x вых =			[ siqn(x + а2	) + siqn(x − а1 )]		x вх < 0 .

Из приведённых уравнений видно, что при отсутствии петли гистерезиса выходное воздействие реле зависит только от значения х вх или x вых = f (x вх ) .

При наличии петли гистерезиса значение x вых зависит ещё от производной по x вх или x вых = f (x вх ,x & вх ) , где x & вх характеризует наличие “памяти” у реле.

1.4 Анализ методов исследования нелинейных систем

Для решения задач анализа и синтеза нелинейной системы прежде всего необходимо построить ее математическую модель, которая характеризует связь выходных сигналов системы, с сигналами отражающих приложенные к системе воздействия. В результате получаем нелинейное дифференциальное уравнение высокого порядка, иногда с рядом логических соотношений. Современная вычислительная техника позволяет решать любые нелинейные уравнения и потребуется решить невероятно большое количество этих нелинейных дифференциальных уравнений. Затем выбрать наилучшее из них. Но при этом нельзя быть уверенным в том, что выбранное решение действительно оптимальное и неизвестно как улучшить выбранное решение. Поэтому одна из задач теории управления следующая .

Создание таких методов проектирования системы управления, которые позволяют определить наилучшую структуру и оптимальные соотношения параметров системы.

Для выполнения этой задачи нужны такие методы расчета, которые по-

зволяют в достаточно простом виде определяют математические связи параметров нелинейной системы с динамическими показателями процесса управ-

ления. И при этом без нахождения решения нелинейного дифференциального уравнения. Для решения поставленной задачи нелинейные характеристики реальных элементов системы заменяют некоторыми идеализированными приближенными характеристиками. Расчет нелинейных систем по таким характеристикам дает приближенные результаты, но главное в том, что полученные зависимости позволяют связать структуру и параметры системы с ее динамическими свойствами.

В простейших случаях и в основном для нелинейной системы второго порядка применяется метод фазовых траекторий , который позволяет наглядно показать динамику движения нелинейной системы при различных видах нелинейного звена с учетом начальных условий. Однако по этому методу трудно учесть различные внешние воздействия.

Для системы высокого порядка используется метод гармонической линеаризации . При обычной линеаризации нелинейная характеристика рассматривается как линейная и теряет некоторые свойства. При гармонической линеаризации специфические свойства нелинейного звена сохраняются. Но этот метод является приближенным. Он используется при выполнении ряда условий, которые будут показаны при расчете нелинейной системы по этому методу. Важное свойство этого метода в том, что он непосредственно связывает параметры системы с динамическими показателями процесса регулирования.

Для определения статистической ошибки регулирования при случайных воздействиях используют метод статистической линеаризации . Сущность этого метода в том, что нелинейный элемент заменяется эквивалентным линейным элементом, который одинаково с нелинейным элементом преобразует два первых статистических момента случайной функции: математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию (или среднее квадратическое отклонение). Есть и другие методы анализа нелинейных систем. Например, метод малого параметра в форме Б.В. Булгакова. Асимптотический метод Н.М. Крылова и Н.Н. Боголюбова для анализа процесса во времени вблизи периодического решения. Графо-аналитический метод позволяет нелинейную задачу свести к линейной. Метод гармонического баланса , который использовал Л.С. Гольдфарб для анализа устойчивости нелинейных систем по критерию Найквиста. Графоаналитические методы , среди которых наибольшее распространение получил метод Д.А. Башкирова. Из всего многообразия методов исследования в данном учебном пособии будут рассмотрены: метод фазовых траекторий, метод точечных преобразований, метод гармонической линеаризации Е.П. Попова, графо-аналитический метод Л.С. Гольдфарба, критерий абсолютной устойчивости В.М. Попова, метод статистической линеаризации.

"Теория автоматического управления"

"Методы исследования нелинейных систем"

1. Метод дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение замкнутой нелинейной системы n-го порядка (рис. 1) можно преобразовать к системе n-дифференциальных уравнений первого порядка в виде:

где: – переменные, характеризующие поведение системы (одна из них может быть регулируемая величина); – нелинейные функции; u – задающее воздействие.

Обычно, эти уравнения записываются в конечных разностях:

где – начальные условия.

Если отклонения не большие, то эту систему можно решать, как систему алгебраических уравнений. Решение можно представить графически.

2. Метод фазового пространства

Рассмотрим случай, когда внешнее воздействие равно нулю (U = 0).

Движение системы определяется изменением ее координат - в функции времени. Значения в любой момент времени характеризует состояние (фазу) системы и определяет координаты системы имеющей n – осей и могут быть представлены как координаты некоторой (изображающей) точки М (рис. 2).

Фазовым пространством называется пространство координат системы.

С изменением времени t точка М движется по траектории, называемой фазовой траекторией. Если менять начальные условия получим семейство фазовых траекторий, называемых фазовым портретом. Фазовый портрет определяет характер переходного процесса в нелинейной системе. Фазовый портрет имеет особые точки, к которым стремятся или от которых уходят фазовые траектории системы (их может быть несколько).

Фазовый портрет может содержать замкнутые фазовые траектории, которые называются предельными циклами. Предельные циклы характеризуют автоколебания в системе. Фазовые траектории нигде не пересекаются, кроме особых точек, характеризующих равновесные состояния системы. Предельные циклы и состояния равновесия могут быть устойчивыми или не устойчивыми.

Фазовый портрет полностью характеризует нелинейную систему. Характерной особенностью нелинейных систем является наличие различных типов движений, нескольких состояний равновесия, наличие предельных циклов.

Метод фазового пространства является фундаментальным методом исследования нелинейных систем. Исследовать нелинейных систем на фазовой плоскости гораздо проще и удобнее, чем с помощью построения графиков переходных процессов во временной области.

Геометрические построения в пространстве менее наглядны, чем построения на плоскости, когда система имеет второй порядок, при этом применяется метод фазовой плоскости.

Применение метода фазовой плоскости для линейных систем

Проанализируем связь между характером переходного процесса и кривыми фазовых траекторий. Фазовые траектории могут быть получены либо путем интегрирования уравнения фазовой траектории, либо путем решения исходного дифференциального уравнения 2-го порядка.

Пусть задана система (рис. 3).

Рассмотрим свободное движение системы. При этом: U(t)=0, e(t)=– x(t)

В общем виде дифференциальное уравнение имеет вид

где (1)

Это однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка его характеристическое уравнение равно

. (2)

Корни характеристического уравнения определяются из соотношений

(3)

Представим дифференциальное уравнение 2-го порядка в виде системы

уравнений 1-го порядка:

(4)

где скорость изменения регулируемой величины.

В рассматриваемой линейной системе переменные x и y представляют собой фазовые координаты. Фазовый портрет строим в пространстве координат x и y, т.е. на фазовой плоскости.

Если исключим время из уравнения (1), то получим уравнение интегральных кривых или фазовых траекторий.

. (5)

Это уравнение с разделяющимися переменными

Рассмотрим несколько случаев

Файлов GB_prog.m и GB_mod.mdl, а анализ спектрального состава периодического режима на выходе линейной части – при помощи файлов GB_prog.m и R_Fourie.mdl. Cодержание файла GB_prog.m: %Исследование нелинейных систем методом гармонического баланса %Используемые файлы: GB_prog.m, GB_mod.mdl и R_Fourie.mdl. %Используемые обозначениЯ: НЭ – нелинейный элемент, ЛЧ – линейнаЯ часть. %Очистка всех...

Безынерционный в допустимом (ограниченном сверху) диапазоне частот, при выходе за пределы которого он переходит в разряд инерционных. В зависимости от вида характеристик различают нелинейные элементы с симметричными и несимметричными характеристиками. Симметричной называется характеристика, не зависящая от направления определяющих ее величин, т.е. имеющая симметрию относительно начала системы...

Существует точные и приближенные методы исследования нелинейных систем к числу точных методов относятся методы фазовых траекторий, точечных преобразований, частотный метод Попова, метод сечений пространства параметров, метод припасовывания, к приближенным методам относится метод гармонической линеаризации.

Основы метода фазовых траекторий

Метод фазовых траекторий заключается в том, что поведение исследуемой нелинейной системы рассматривается и описывается не во временной области (в виде уравнений процессов в системе), а в фазовом пространстве системы (в виде фазовых траекторий).

Состояние нелинейной системы автоматического управления характеризуется с использованием фазовых координат системы

задающих вектор состояния системы в фазовом пространстве системы

Y (y1, y2, y3,...yn).

При введении в рассмотрение фазовых координат нелинейное дифференциальное уравнение порядка n для свободного процесса в нелинейной системе

преобразуется к системе из n дифференциальных уравнений первого порядка

В ходе процесса в системе фазовые координаты yi изменяются и вектор состояния системы Y описывает годограф в n– мерном фазовом пространстве системы (рис. 56). Годограф вектора состояния (траектория движения изображающей точки M, соответствующей концу вектора) есть фазовая траектория системы. Вид фазовой траектории однозначно связан с характером процесса в системе. Поэтому о свойствах нелинейной системы можно судить по ее фазовым траекториям.

Уравнение фазовой траектории может быть получено из приведенной выше системы уравнений первого порядка, связывающих фазовые координаты и учитывающих свойства системы, путем исключения времени. Фазовая траектория не отображает время процессов в системе.

Связь между фазовой траекторией y(x) и процессом x(t) поясняет рис. 57. Фазовая траектория построена в фазовых координатах 0XY, где x – выходная величина системы, y – скорость изменения выходной величины (первая производная x’). Переходный процесс x(t) построен в координатах x–t (выходная величина – время).

Метод точечных преобразований поверхностей позволяет определить всевозможные виды движения (свободные колебания) нелинейных динамических систем после любых начальных отклонений. Метод развит для анализа и синтеза движений систем, описываемых дифференциальными уравнениями невысокого порядка (второго, третьего), а также для системы с релейным управлением при учете запаздывания.

Замена производится по участкам, для каждого из которых нелинейная часть характеристики представляется линейным отрезком. Это дает возможность получить интегрируемое линейное дифференциальное уравнение, приближенно отражающее процесса в пределах данного участка. Для системы, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка, ход расчета можно показать на фазовой плоскости, по осям которой откладываются исследуемая переменная л: и ее производная по времени у. Решение динамической задачи сводится к изучению точечного преобразования координатной полуоси в самое себя.

Рис.10.7. Метод точечных преобразований

Частотный метод румынского ученого В.М. Попова, предложенный в 1960 году, решает задачу об абсолютной устойчивости системы с одной однозначной нелинейностью, заданной предельным значением коэффициента передачи k нелинейного элемента. Если в системе управления имеется лишь одна однозначная нелинейность z=f(x), то, объединив вместе все остальные звенья системы в линейную часть, можно получить ее передаточную функцию Wлч(p), т.е. получить расчетную схему рис.7.1.
Ограничений на порядок линейной части не накладывается, т.е. линейная часть может быть любой. Очертание нелинейности может быть неизвестным, но она должна быть обязательно однозначной. Необходимо лишь знать, в пределах какого угла arctg k (рис. 7.2) она расположена, где к - предельный (наибольший) коэффициент передачи нелинейного элемента.

Рис.7.2. Характеристика нелинейного элемента

Графическая интерпретация критерия В.М.Попова связана с построением а.ф.х. видоизмененной частотной характеристики линейной части системы W*(jω), которая определяется следующим образом:
W*(jω) = Re WЛЧ(jω) + Im WЛЧ(jω),
где Re WЛЧ(jω) и Im WЛЧ(jω) - соответственно действительная и мнимая части линейной системы.
Критерий В.М.Попова может быть представлен или в алгебраической, или частотной форме, а также для случаев устойчивой и неустойчивой линейной части. Чаще используется частотная форма.
Формулировка критерия В.М.Попова в случае устойчивой линейной части: для установления абсолютной устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такую прямую на комплексной плоскости W*(jω), проходящую через точку (, j0), чтобы вся кривая W*(jω) лежала справа от этой прямой. Условия выполнения теоремы показаны на рис. 7.3.

Рис. 7.3. Графическая интерпретация критерия В.М. Попова для абсолютно устойчивой нелинейной системы

На рис. 7.3 приведен случай абсолютной устойчивости нелинейной системы при любой форме однозначной нелинейности. Таким образом, для определения абсолютной устойчивости нелинейной системы по методу В.М. Попова необходимо построить видоизмененную частотную характеристику линейной части системы W*(jω), определить предельное значение коэффициента передачи k нелинейного элемента из условия и через точку (-) на вещественной оси комплексной плоскости провести некоторую прямую так, чтобы характеристика W*(jω) лежала справа от этой прямой. Если такую прямую провести нельзя, то это значит, что абсолютная устойчивость для данной системы невозможна. Очертание нелинейности может быть неизвестным. Критерий целесообразно применять в случаях, когда нелинейность может в процессе работы САУ изменяться, или ее математическое описание неизвестно.

Метод припасовывания нашел свое применение при построении фазовых портретов нелинейных систем, которые могут быть представлены в виде линейной и нелинейной частей (рис. 11.10), причем линейная часть является системой второго порядка, а нелинейная часть характеризуется кусочно­линейной статической характеристикой.

линеиная часть

нелинейная часть

Рис. 11.10 Структурная схема нелинейной системы

Согласно этому методу фазовая траектория строится по частям, каждой из которых соответствует линейный участок статической характеристики. На таком рассматриваемом участке система линейна и ее решение может быть найдено непосредственным интегрированием уравнения для фазовой траекто­рии этого участка. Интегрирование уравнения при построении фазовой траектории производится до тех пор, пока последняя не выйдет на границу следующего участка. Значения фазовых координат в конце каждого участка фазовой траектории являются начальными условиями для решения уравнения на сле­дующем участке. В этом случае говорят, что начальные условия припасовываются, т.е. конец преды­дущего участка фазовой траектории является началом следующего. Граница между участками называ­ется линией переключения.

Таким образом, построение фазового портрета методом припасовывания производится в следую­щей последовательности:

выбираются или задаются начальные условия;

интегрируется система линейных уравнений для того линейного участка, на который попали на­чальные условия, до момента выхода на границу следующего участка;

производится припасовывание начальных условий.

Метод гармонической линеаризации

Общих универсальных методов исследования нелинейных систем не существует - слишком велико разнообразие нелинейностей. Однако, для отдельных видов нелинейных систем разработаны эффективные методы анализа и синтеза.

• Метод гармонической линеаризации предназначен для представления нелинейной части системы некоторой эквивалентной передаточной функцией, если сигналы в системе могут рассматриваться, как гармонические.

• Этот метод может быть эффективно использован для исследования периодических колебаний в автоматических системах, в том числе, условий отсутствия этих колебаний, как вредных.

Характерным для метода гармонической линеаризации является рассмотрение одного единственного нелинейного элемента. НЭ можно разделить на статические и динамические . Динамические НЭ описываются нелинейными дифференциальными уравнениями и являются гораздо более сложными. Статические НЭ описывают-ся функцией F(x).