В основе теории Максвелла лежат рассмотренные выше четыре уравнения:
1. Электрическое поле может быть как потенциальным (Е Q ), так и вихревым (Е B ), поэтому напряженность суммарного поля Е =Е Q +Е B . Так как циркуляция вектора Е Q равна нулю (см. (137.3)), а циркуляция вектора Е B определяется выражением (137.2), то циркуляция вектора напряженности суммарного поля
Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля.
2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н (см. (138.4)):
Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.
3. Теорема Гаусса для поля D (см. (89.3)):
Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью r, то формула (139.1) запишется в виде
4. Теорема Гаусса для поля В (см. (120.3)):
Итак, полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:
Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь (изотропные несегнетоэлектрические и неферромагнитные среды):
где e 0 и m 0 - соответственно электрическая и магнитная постоянные, e и m - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости, g - удельная проводимость вещества.
Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.
Для стационарных полей (E= const и B= const) уравнения Максвелла примут вид
т.е. источниками электрического поля в данном случае являются только электрические заряды, источниками магнитного - только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля.
Воспользовавшись известными из векторного анализа теоремами Стокса и Гаусса
можно представить полную систему уравнении Максвелла в дифференциальном форме (характеризующих поле в каждой точке пространства):
Если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла - интегральная и дифференциальная - эквивалентны. Однако если имеются поверхности разрыва – поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений является более общей.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно. Чтобы достичь математической эквивалентности обеих форм уравнений Максвелла, дифференциальную форму дополняют граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред. Интегральная форма уравнений Максвелла содержит эти условия. Они были рассмотрены раньше:
(первое и последнее уравнения отвечают случаям, когда на границе раздела нет ни свободных зарядов, ни токов проводимости).
Уравнения Максвелла - наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в механике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом - они образуют единое электромагнитное поле .
Ток смещения или абсорбционный ток - величина, прямо пропорциональная быстроте изменения электрической индукции. Это понятие используется вклассической электродинамике
Введено Дж. К. Максвеллом при построении теории электромагнитного поля.
Введение тока смещения позволило устранить противоречие в формуле Ампера для циркуляции магнитного поля, которая после добавления туда тока смещения стала непротиворечивой и составила последнее уравнение, позволившее корректно замкнуть систему уравнений (классической) электродинамики.
Строго говоря, ток смещения не является электрическим током, но измеряется в тех же единицах, что и электрический ток.
ного коэффициента) называется поток вектора быстроты изменения электрического поля через некоторую поверхность :
(СИ)
ТЕМА 4.1. Оптика
4.1.1. Теория распространения
электромагнитных волн Максвелла.
Уравнения Максвелла
Теория Д.К. Максвелла лежит в основе объяснения существования и свойств любых электромагнитных волн, таких, как световые волны, радиоволны, инфракрасное и ультрафиолетовое излучения. Эта теория является феноменологической, т.е. в ней не рассматриваются молекулярное строение среды и внутренний механизм процессов, происходящих в среде под действием электрического и магнитного полей. Электрические и магнитные свойства среды характеризуются относительной диэлектрической проницаемостью ε, относительной магнитной проницаемостью m и удельной электрической проводимостью σ. Предполагается, что эти параметры среды определяются из эксперимента.
Теория Максвелла - макроскопическая. Это означает, что рассматриваются макроскопические поля зарядов и токов, пространственные размеры которых неизмеримо больше размеров отдельных молекул и атомов.
Математическим выражением теории Максвелла служит система из четырех уравнений, которые записывают в двух формах - дифференциальной и интегральной.
Дифференциальные уравнения Максвелла получаются из интегральных с помощью двух теорем векторного анализа: теоремы Остроградского-Гаусса и теоремы Стокса.
Рассмотрим теорему Остроградского-Гаусса .
Пусть для характеристики какого-либо поля выбран вектор . Тогда поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S, мысленно проведенную в этом поле, равен интегралу от дивергенции вектора , взятому по объему V, ограниченному замкнутой поверхностью S:
Операция дивергенции над произвольным вектором сводится к пространственной производной вида:
где a x , a y , a z - проекции вектора на оси прямоугольной декартовой системы координат.
Рассмотрим теорему Стокса .
Пусть для характеристики какого-либо поля выбран вектор . Тогда циркуляция вектора вдоль произвольного замкнутого контура L, мысленно проведенного в этом поле, равна потоку вектора rot через поверхность S, ограниченную замкнутым контуром L:
Векторная операция rot в декартовых координатах выражается так:
Первое уравнение Максвелла
Это уравнение представляет собой обобщение закона электромагнитной индукции Фарадея:
Однако для произвольного контура выполняется взаимосвязь:
Поскольку в общем случае , то для не изменяющегося во времени контура имеет место соотношение:
Сравнивая (4.1.5) и (4.1.7) с учетом (4.1.6), для произвольного контура L, мысленно проведенного в переменном магнитном поле, можно записать:
Силу тока проводимости можно также представить в виде:
или, окончательно:
Из двух последних уравнений (4.1.47) следует, что , что указывает на поперечность электромагнитной волны. Из первого уравнения (4.1.47) ясно, что вектор Н как результат векторного произведения, должен быть перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора и . Аналогично, из второго уравнения (4.1.47) следует, что вектор электрического поля должен быть перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора и . Окончательно получается, что для любой электромагнитной волны вектора , и составляют тройку ортогональных векторов (Рис. 4.1.1).
4.1.3. Шкала электромагнитных волн
В зависимости от частоты ν = ω/2π или длины волны в вакууме λ 0 = с/ν, а также способа излучения и регистрации различают несколько видов электромагнитных волн:
- радиоволны;
- оптическое излучение;
- рентгеновское излучение;
- гамма-излучение.
Радиволнами называются электромагнитные волны, у которых длина волны в вакууме λ 0 > 5·10 -5 м (ν < 6·10 12 Гц). Весь диапазон радиоволн принято делить на 9 поддиапазонов (Табл. 4.1.1).
Таблица 4.1.1
Оптическим излучением или светом называются электромагнитные волны, у которых длина волны в вакууме лежит в диапазоне 10 нм >λ 0 > 1 мм (границы условны). К оптическому излучению относят инфракрасное, видимое и ультрафиолетовое излучения.
Инфракрасным (ИК) называются электромагнитные волны, испускаемые нагретыми телами, у которых длина волны в вакууме лежит в диапазоне 1 мм > λ 0 > 770 нм.
Видимым излучением (светом) называются электромагнитные волны, у которых длины волны в вакууме лежат в диапазоне 770 нм > λ 0 > 380 нм. Свет способен вызывать зрительные ощущения в человеческом глазе.
Ультрафиолетовым излучением (УФ) называются электромагнитные волны, у которых длины волны в вакууме лежат в диапазоне 380 нм > λ 0 > 10 нм.
Рентгеновским излучением (рентгеновскими лучами) называются электромагнитные волны, которые возникают при взаимодействии заряженных частиц и фотонов с атомами вещества. Оно характеризуется длинами волны в вакууме в диапазоне с условными границами (10-100 нм) > λ 0 > (0,01-1 пм).
Гамма-излучением (γ-лучами) называются электромагнитные волны с длинами волны в вакууме 0,1 нм > λ 0 . Это излучение испускается возбужденными атомными ядрами при радиоактивных превращениях и ядерных реакциях, а также возникает при распаде частиц, аннигиляции пар "частица-античастица" и других процессах.
4.1.4. Световая волна
Свет представляет собой сложное явление: в одних случаях он ведет себя как электромагнитная волна, в других - как поток особых частиц (фотонов).
В электромагнитной волне колеблются векторы электрического и магнитного полей. Как показывает опыт, физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие действия света вызываются наличием колебаний электрического вектора, который называют в этом случае световым вектором . Его изменения в пространстве и времени задаются уравнением плоской волны:
Здесь r - расстояние, отсчитываемое вдоль направления распространения волны.
Отношение скорости световой волны в вакууме с к ее фазовой скорости v в некоторой прозрачной среде называется абсолютным показателем преломления этой среды:
Показатель преломления связан с относительными диэлектрической и магнитной проницаемостями соотношением:
Для подавляющего большинства прозрачных веществ величина μ ≈ 1. Поэтому можно считать, что выполняется:
Значения показателя преломления характеризуют оптическую плотность среды. Среда с большим n будет более оптически плотной.
Длины волн видимого света в вакууме заключены в пределах:
В веществе длины волн будут другими. В случае колебаний с частотой ν длина волны света в вакууме равна:
Используя соотношение (4.1.49), имеем для длины света в веществе формулу:
Частоты видимого света лежат в пределах:
Модуль среднего по времени потока энергии, переносимого волной, называется интенсивностью света I в данной точке пространства. Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды волны:
I ∼ A 2 | (4.1.56) |
Световая волна, как и другие электромагнитные волны, является поперечной, т.е. направления колебаний электрического и магнитного векторов перпендикулярны к направлению ее распространения. В естественном свете присутствуют все направления колебаний электрического и магнитного векторов. Если в волне присутствуют колебания электрического вектора только в одной плоскости (а магнитного вектора в перпендикулярной плоскости), такую волну называют плоскополяризованной (линейно поляризованной) . Есть и более сложные случаи поляризации волн - круговая и эллиптическая. В случае круговой поляризации электрический и магнитный векторы вращаются по кругу с частотой изменения волны.
4.1.5. Геометрическая оптика
Длины воспринимаемых глазом световых волн очень малы (∼10 -7 м), поэтому распространение видимого света в первом приближении можно рассматривать, отвлекаясь от его волновой природы и полагая, что свет распространяется вдоль некоторых прямых линий, называемых лучами. В предельном случае, когда длина волны света λ→0, законы оптики можно сформулировать на языке геометрии.
Основу геометрической оптики составляют 4 закона:
- закон прямолинейного распространения света;
- закон независимости световых лучей;
- закон отражения света;
- закон преломления света.
Закон прямолинейного распространения света утверждает, что в однородной среде свет распространяется прямолинейно . Этот закон является приближенным: при прохождении света через очень малые отверстия, размеры которых сравнимы с диной волны света, наблюдается отклонение от прямолинейности, тем большее, чем меньше отверстие.
Закон независимости световых лучей утверждает, что лучи при пересечении не возмущают друг друга . Это означает, что пересечение лучей не мешает каждому из них распространяться независимо друг от друга. Этот закон справедлив при не слишком больших интенсивностях световых волн.
В основу геометрической оптики был положен принцип Ферма : свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время .
Пусть для прохождения участка ds свету требуется время dt = ds/v, где v - скорость света в данной точке среды. Поскольку v = c/n, то получим:
Следовательно, время τ, необходимое для прохождения пути от точки 1 до точки 2 (Рис. 4.1.2), равно:
Рис. 4.1.2. К принципу Ферма
Имеющая размерность длины величина
называется оптической длиной пути . В однородной среде оптическая длина пути равна произведению геометрической длины пути на показатель преломления:
Следовательно,
Пропорциональность времени прохождения оптической длине пути дает возможность сформулировать принцип Ферма так: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна.
Из принципа Ферма вытекает обратимость световых лучей. Действительно, оптический путь, который минимален при движении света из точки 1 в точку 2, окажется минимальным и в случае распространения света в обратном направлении.
Получим с помощью принципа Ферма законы отражения и преломления света. Пусть свет попадает из точки А в точку В, отразившись от поверхности MN (Рис. 4.1.3).
Рис. 4.1.3. Закон отражения света как следствие принципа Ферма
Прямой путь из А в В прегражден экраном Э. Среда, в которой распространяется луч, однородна, поэтому минимальность оптической длины пути сводится к минимальности геометрической длины пути. Геометрическая длина произвольно взятого пути равна АО"B = A"O"B, поскольку вспомогательная точка A" является зеркальным отражением точки А, и АО" = A"O". Из Рис. 4.1.3 видно, что наименьшей длиной обладает путь луча, отразившегося в точке О, для которой угол отражения равен углу падения. При удалении точки O" от точки О геометрическая длина пути неограниченно возрастает, что противоречит принципу Ферма. Этот результат можно записать так:
Соотношение (4.1.62) выражает закон отражения света : отраженный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной в точке падения; угол отражения равен углу падения.
Найдем точку, в которой должен преломиться луч, распространяясь от А к В, чтобы оптическая длина пути была минимальной (Рис. 4.1.4).
Рис. 4.1.4. К расчету закона преломления света из принципа Ферма
Для произвольного луча оптическая длина пути равна:
Чтобы найти минимальное значение оптической длины пути, продифференцируем L по х и приравняем производную к нулю:
Множители при n 1 и n 2 равны, соответственно, sinθ и sinθ". Поэтому получаем соотношение:
которое выражает закон преломления света. Используя взаимосвязь показателей преломления с фазовыми скоростями распространения света в средах, можно записать соотношение (4.1.65) в виде:
Следовательно, закон преломления света гласит: преломленный луч лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью; отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных веществ.
В (4.1.66) n 12 - относительный показатель преломления второго вещества по отношению к первому. Из (4.1.65) видно, что при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную луч удаляется от нормали к поверхности раздела сред. Увеличение угла падения сопровождается более быстрым ростом угла преломления, и при достижении некоторого предельного угла падения угол преломления будет равным 90°:
При углах падения, лежащих в пределах от θ пред пред до 90°, преломленной волны не существует, вся энергия падающей волны переходит в энергию отраженной волны. Это явление называется полным внутренним отражением.
Таблица 4.1.2
Во многих оптических приборах для преломления света используются стеклянные призмы. На Рис. 4.1.5 показан ход луча монохроматического света в призме.
Рис. 4.1.5. Ход лучей в призме
После двукратного преломления луч оказывается отклоненным от первоначального положения на угол δ (угол отклонения ). Угол θ, заключенный между преломляющими гранями, называется преломляющим углом . Угол δ зависит от преломляющего угла θ и показателя преломления призмы. Эта зависимость может быть легко показана для призмы с малым преломляющим углом θ (тонкой призмы) в случае малого угла падения α. Исходя из закона преломления и принимая значение показателя преломления воздуха равным единице, можно записать:
При малых углах α и θ углы α 1 , γ и γ 1 также малы. Поэтому вместо (4.1.69) можно приближенно записать:
Из четырехугольника BQDE, в котором углы при В и D - прямые, найдем, что угол BED равен 180° - θ. Тогда из четырехугольника BСDE находим:
Угол δ из треугольника BED равен:
Подставляя в (4.1.72) результаты (4.1.73) и (4.1.70), получим окончательно:
4.1.6. Преломление в линзе
В практических применениях большое значение имеет преломление света на сферической границе раздела двух сред. Основная деталь оптических приборов - линза - обычно представляет собой стеклянное тело, ограниченное с двух сторон сферическими поверхностями. В частном случае одна из поверхностей линзы может быть плоской. Такую поверхность можно рассматривать как сферическую с бесконечно большим радиусом кривизны.
Линзы могут быть изготовлены не только из стекла, а из любого прозрачного вещества с показателем преломления, превышающим единицу, например, из кварца, каменной соли, пластмасс и других материалов. Поверхности линз могут быть и более сложной формы - цилиндрические, параболические и т.д.
Рассмотрим линзу, ограниченную двумя сферическими преломляющими поверхностями PO 1 Q и PO 2 Q (Рис. 4.1.6).
Рис. 4.1.6. Тонкая линза
Центр первой преломляющей поверхности PO 1 Q лежит в точке С 1 , центр второй поверхности PO 2 Q - в точке С 2 . Будем считать, что расстояние O 1 O 2 мало по сравнению с O 1 С 1 или O 2 С 2 . В таком случае точки O 1 и O 2 можно считать практически совпадающими с точкой О - оптического центра линзы. Всякая прямая, проходящая через оптический центр, называется оптической осью линзы. Та из осей, которая проходит через центры обеих преломляющих поверхностей, называется главной оптической осью , остальные - побочными осями .
Луч, идущий по какой-либо оптической оси, проходя через тонкую линзу, не меняет своего направления. Лучи, идущие параллельно главной оптической оси, после преломления в линзе пересекаются в одной точке F, расположенной на главной оптической оси и называемой главным фокусом .
Покажем, что лучи, исходящие под небольшими углами α из некоторой точки А, лежащей на главной оптической оси, собираются линзой в одну точку А 1 , расположенную также на этой оптической оси и называемую изображением точки А (Рис. 4.1.7).
Рис. 4.1.7. Преломление в тонкой линзе
Построим плоскости, касательные к поверхностям линзы в точках М и N (в местах падения луча на линзу и его выхода из линзы), и проведем в эти точки радиусы R 1 и R 2 кривизны поверхностей линзы. Тогда луч AMNA 1 можно рассматривать как луч, преломленный в тонкой призме с преломляющим углом θ. Учитывая малость углов α, β, α 1 , β 1 и толщины линзы, можно записать:
где а и b - расстояния от источника света А и от его изображения А 1 до оптического центра линзы.
Из треугольников АНА 1 и ВЕВ 1 следует, что:
Принимая во внимание формулы (4.1.75), получим:
Учтено, что для тонкой линзы h 1 ≈ h 2 ≈ h. Поскольку, согласно формуле () для тонкой призмы выполняется: θ = (n-1)δ, то, с помощью (4.1.77) имеем формулу линзы :
В эту формулу не входит величина h, что означает, что расстояние b не зависит от от положения точки М. Следовательно, все лучи, исходящие из точки А, соберутся после преломления разными частями линзы в одной точке А 1 .
Если точка А находится бесконечно далеко от линзы (а = ∞), т.е. если лучи падают на линзу параллельно главной оптической оси, то, согласно формуле (4.1.78), имеем:
Величина b = f называется фокусным расстоянием линзы :
Фокусом линзы называется точка, в которой после преломления собираются все лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси.
Принимая во внимание (4.1.80), формулу линзы (4.1.78) можно сейчас переписать так:
Величина, обратная фокусному расстоянию, называется оптической силой линзы :
Оптическая сила выражается в диоптриях (дп). 1 дп - оптическая сила линзы с фокусным расстоянием в 1 м.
4.1.7. Принцип Гюйгенса
В приближении геометрической оптики свет за преградой не должен проникать в область геометрической тени. В действительности световая волна распространяется во всем пространстве за преградой, проникая проникать в область геометрической тени, причем это проникновение будет тем более существенным, чем меньше размеры отверстия. При диаметре отверстия или ширине щели, сравнимых с длиной волны, приближение геометрической оптики становится совершенно неприменимым.
Качественно поведение света за преградой с отверстием может быть объяснено с помощью принципа Гюйгенса . Согласно принципу Гюйгенса каждая точка, до которой доходит волновое движение, служит центром вторичных волн; огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент времени. Пусть на плоскую преграду с отверстием падает параллельный ей фронт волны (Рис. 4.1.8).
Рис. 4.1.8. К принципу Гюйгенса
Согласно Гюйгенсу, каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит центром вторичных волн, которые в однородной и изотропной среде будут сферическими. Построив огибающую вторичных волн, можно убедиться в том, что за отверстием волна проникает в область геометрической тени, огибая края преграды.
4.1.8. Интерференция световых волн
Если в среде распространяются одновременно несколько электромагнитных волн, то волны просто накладываются друг на друга, не возмущая одна другую. Это утверждение, подкрепленное опытом, называется принципом суперпозиции.
В случае, когда колебания электрического и магнитного векторов в каждой из волн происходят так, что между соответственными векторами в разных волнах имеется постоянный во времени и в пространстве фазовый сдвиг, такие волны называются когерентными . Очевидно, что условие когерентности может существовать лишь для волн, которые имеют одинаковые частоты и, соответственно, длины волны.
При сложении когерентных волн возникает явление интерференции , заключающееся в том, что электромагнитные волны в одних точках пространства усиливают, а в других ослабляют друг друга.
Пусть две волны одинаковой частоты, распространяющиеся в одном направлении, возбуждают в некоторой точке пространства колебания:
Эти векторы можно представить как вращающиеся с частотой ω вокруг общего начала коор-динат. Поскольку сдвиг фаз различен, в какой-либо момент времени эти вектора займут различные положения (Рис. 4.1.9).
Рис. 4.1.9. К расчету интерференции волн
Используя теорему косинусов, получим амплитуду результирующего колебания:
Если сдвиг фаз между когерентными колебаниями равен нулю (волны - в фазе), то амплитуда результирующей волны максимальна и равна A = A 1 + A 2 . Пусть амплитуды этих волн равны. В этом случае имеем амплитуду результирующей волны:
Если сдвиг фаз между когерентными колебаниями равен ±π (волны - в противофазе), то амплитуда результирующей волны минимальна и равна A = A 1 - A 2 . Если амплитуды этих волн равны, то в этом случае они гасят друг друга:
Когерентные световые волны можно получить, разделив, например, с помощью зеркал волну, излучаемую одним источником, на две. Если заставить эти волны пройти разные пути, а затем наложить их друг на друга, будет наблюдаться интерференция. Пусть такое разделение происходит в точке О (Рис. 4.1.10).
Рис. 4.1.10. Образование когерентных волн
До точки Р первая волна пройдет в среде с показателем преломления n 1 путь S 1 , вторая волна пройдет в среде с показателем преломления n 2 путь S 2 . Если в точке О фаза колебания была равна ωt, то первая волна возбудит в точке Р колебание
а вторая волна - колебание
то разность фаз оказывается кратной 2π, и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить в фазе. Следовательно, (4.1.93) является условием интерференционного максимума.
Если Δ равна полуцелому числу длин волн в вакууме:
то разность фаз оказывается равной δ = ±(2m + 1)π, и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить в противофазе. Следовательно, (4.1.94) является условием интерференционного минимума.
4.1.9. Дифракция световых волн
Дифракцией называется совокупность явлений, связанных с отклонениями от законов геометрической оптики. В частности, вследствие дифракции происходит огибание световыми волнами препятствий и проникновение света в область геометрической тени.
Между интерференцией и дифракцией нет существенного физического различия.
Свет, идущий от небольшого яркого источника через круглое отверстие (Рис. 4.1.11) должен по правилам геометрической оптики дать на экране резко ограниченный светлый кружок на темном фоне.
Рис. 4.1.11. Дифракция от круглого отверстия
Такая картина наблюдается при обычных условиях опыта. Но если расстояние от отверстия до экрана в несколько тысяч раз превосходит размеры отверстия, то образуется более сложная картина, которая состоит из совокупности светлых и темных концентрических колец.
Интересный случай дифракции осуществляется с помощью дифракционной решетки, которая представляет собой пластинку, на поверхности которой чередуются узкие параллельные прозрачные и непрозрачные полоски. Сумму ширины прозрачной и непрозрачной полосок называют периодом решетки. Пусть на решетку падает монохроматический свет с длиной волны λ (Рис. 4.1.12). Фронт волны параллелен плоскости решетки.
Рис. 4.1.12. Дифракционная решетка
Разности хода лучей, идущих от соответствующих точек отверстий, например от правых краев (точки А, А 1 , А 2 , ...), или от левых краев (точки В, В 1 , В 2 , ...) имеют одно и то же значение:
Для того, чтобы все пучки усиливали друг друга, необходимо, чтобы разность хода равнялась целому числу длин волн:
где m - целое число.
Это условие позволяет определить те значения углов φ и соответствующие направления, в которых будут наблюдаться максимумы света длины волны λ.
Для данной длины волны может наблюдаться несколько максимумов. Направление, соответствующее m = 0, есть φ = 0. Это - направление первоначального пучка. Соответствущий максимум носит название максимума нулевого порядка. При m = 1 имеем: sinφ 1 = λ/d, при m = 1 имеем: sinφ" 1 = λ/d, т.е. имеется два максимума первого порядка, расположенных симметрично по обеим сторонам от нулевого максимума. Аналогично располагаются максимумы второго, третьего и т.д. порядков.
Отсюда следует, что для волн разной длины λ положения максимумов нулевого порядка совпадают , а положения максимумов первого, второго и т.д. порядков различны: чем больше λ, тем больше соответствующие углы.
Если на решетку падает белый свет, то в плоскости экрана получается ряд цветных изображений щели. На месте нулевого максимума будет изображение щели в белом свете, а по обе стороны от него развернутся цветные полосы от фиолетового к красному концу.
Чем больше общий размер решетки, т.е. чем больше полосок она содержит, тем выше ее качество: увеличение числа полосок увеличивает количество пропускаемого решеткой света (максимумы становятся ярче), и улучшает разрешение близких волн (максимумы становятся резче).
Зная период дифракционной решетки, ее можно использовать для определения длины световой волны, измерив величину угла φ, определяющего положение максимума данного порядка. В этом случае имеем:
Измерение длины световой волны с помощью дифракционной решетки принадлежит к числу наиболее точных методов.
4.1.10. Поляризация световых волн
Поляризованным называется свет, в котором направления колебаний электрического и магнитного векторов упорядочены каким-либо образом. В естественном свете колебания происходят в различных направлениях, быстро и беспорядочно сменяя друг друга.
Различают свет эллиптически поляризованный, поляризованный по кругу, плоскополяризованный. В случае эллиптической или круговой поляризаций электрический и магнитный векторы вращаются в пространстве с частотой, равной частоте волны, причем концы этих векторов описывают либо эллипс, либо круг. Вращение может происходить как по, так и против часовой стрелки. Если вектор вращается в пространстве как правый винт, то поляризацию называют правой, и левой - если вектор вращается в пространстве как левый винт.
Важный частный случай - плоская поляризация. В этом случае вектор электрического поля колеблется в плоскости, проходящей через направление распространения волны и этот вектор. Такую плоскость называют плоскостью колебаний . Вектор магнитного поля колеблется в плоскости, также проходящей через направление распространения волны и этот вектор, но данная плоскость - плоскость поляризации - составляет с плоскостью колебаний прямой угол (Рис. 4.1.13).
Рис. 4.1.13. Структура плоскополяризованной световой волны
Плоскополяризованный свет можно получить из естественного с помощью устройств, которые называются поляризаторами . Эти устройства свободно пропускают волны с колебаниями, плоскость которых совпадает с плоскостью пропускания поляризатора, и задерживают все другие волны.
Пусть на поляризатор падает плоскополяризованный свет амплитуды А 0 и интенсивности I 0 . Сквозь устройство пройдет составляющая колебания с амплитудой А || = А 0 cosφ, где угол φ - угол между плоскостью колебаний падающего света и плоскостью пропускания поляризатора (Рис. 4.1.14).
Рис. 4.1.14. Прохождение плоскополяризованного света через поляризатор
Следовательно, интенсивность прошедшего света определяется выражением:
Это соотношение носит название закона Малюса.
Пусть на пути естественного луча стоят два поляризатора, плоскости пропускания которых составляют угол φ. Из первого поляризатора выйдет плоскополяризованный свет, интенсивность которого I0 составит половину интенсивности естественного неполяризованного света I ест. Используя закон Малюса, получаем:
Максимальная интенсивность получается при φ = 0 (плоскости пропускания поляризаторов параллельны). При φ = 90° интенсивность равна нулю - скрещенные поляризаторы не пропускают свет.
4.1.11. Вращение плоскости
поляризации световых волн
Некоторые вещества, называемые оптически активными, обладают способностью вызывать вращение плоскости поляризации проходящего через них плоскополяризованного света. К числу таких веществ относятся кристаллы кварц, киноварь и др, некоторые жидкости (скипидар, никотин), растворы оптически активных веществ в оптически неактивных растворителях (водные растворы сахара, винной кислоты и др.)
Угол поворота плоскости поляризации в твердых веществах пропорционален пути l, пройденному лучом в кристалле:
где α - постоянная оптического вращения, различная для разных веществ.
В растворах угол поворота плоскости поляризации пропорционален пути l, пройденному светом в растворе и концентрации с активного вещества:
Здесь [α] - удельная постоянная вращения.
В зависимости от направления вращения вещества подразделяются на право- и левовращающие. Существуют правый и левый кварц, правый и левый сахар и т.д. Молекулы или кристаллы одной модификации являются зеркальным отражением молекул или кристаллов другой модификации.
Если между двумя скрещенными поляризаторами поместить оптически активное вещество, то поле зрения просветляется. Чтобы снова затемнить его, надо повернуть один из поляризаторов на угол, определяемый соотношениями (4.1.99) или (4.11.100). Таким методом можно измерить концентрацию активного вещества в растворе, в частности, концентрацию сахара.
§ 22.2. Первое уравнение Максвелла. Первое уравнениеМаксвела записывают следующим образом Максвелла записывают следующим образом:■
В правой части
его имеются две плотности тока: плотность
тока проводимости
и плотность тока электрического dD/dt.
Ток электрического смещения возникает
в любом диэлектрике, в том числе и в.
вакууме, при изменении напряженности
электрического поля во времени. Ток
смещения порождает магнитное поле так
же,как
и ток проводимости. Хотя природа тока
проводимости и тока смещения
неодинакова, оба они обладают одним и
тем же свойством - вызывать магнитное
поле.
Таким образом, смысл первого уравнения Максвелла состоит
в том, что всякое изменение электрического смещения во времени (dD/dt)
в некоторой точке поля (т. е. возникновение в ней тока смещения) на таких же правах, как и ток проводимости, вызывает в этой точке вихрь магнитного поля (rot H), т. е. вызывает вихревое магнитное поле. Если среда однородна и изотропна, то ε а = const и тогда
С током смещения
в предыдущих разделах (особенно в гл.
3 и 8) приходилось встречаться неоднократно.
Так, известно,что при зарядке
конденсатора через него протекает ток.
Этот ток протекает через диэлектрик
и является током смещения. Если,
например, взять незаряженный плоский
воздушный конденсатор
и подключить его к источнику э. д. с.
напряжением U
через
сопротивление
R
,
то напряжение
на обкладках конденсатора будет
Через поверхность S ток смещения в S раз больше, т. е. он равен току проводимости, протекающему по проводникам, соединяющим конденсатор с источником э. д. с.Отметим, что первое уравнение Максвелла представляет собой закон полного тока в дифференциальной форме.
Убедимся в том, что из закона полного тока следует уравнение (22.1). С этой целью возьмем произвольный контур и составим для него уравнение по закону полного тока. Полный ток, пронизывающий площадь, ограниченную контуром, равен сумме тока проводимости и тока смещения. Поэтому
§ 22.3. Уравнение непрерывности. Линии полного тока
являются непрерывными. Физически это означает, что на границе проводящей среды и диэлектрика ток проводимости переходит в ток смещения.
Можно математически сформулировать принцип непрерывности
(замкнутости) линий полного тока. С этой целью от обеих частей (22,1) дивергенция от ротора тождественно равна нулю (см. § 21.12).
Уравнение
непрерывности (22.3") называют также
законом
сохра
нения
заряда.
Этот
закон означает, что электрический заряд
неуничтожаем,
он может только перемещаться из одного
места в другое.
§ 22.4. Второе уравнение Максвелла. Второе уравнение Максвелла
записывают следующим образом:
Физический смысл его состоит в том, что всякое изменение магнитного
поля во времени (dB/dt) в какой-либо точке поля возбуждает вихрь или
ротор электрического поля в той же точке поля, т. е. вызывает вихревое
электрическое поле
Второе уравнение Максвела представляет собой дифференциальную форму закона электромагнитной индукции.
Для того чтобы убедиться в этом, проведем следующие рассуждения. Мысленно возьмем некоторый замкнутый контур, расположенный в переменном электромаг нитном поле. Переменный магнитный поток, пронизывающий контур, наведет в нем. э.д.с.
Равенство (22.5) должно выполняться при
любых площадях S, что
возможно только в том случае, когда
равны подынтегральные функции- обоих
интегралов. Следовательно,
rot E=
Знак «минус» в правой части второго уравнения Максвелла (как и в формуле
е= - d𝜓/dt) объясняется тем, что в основу положено правило правого винта. Если завинчивать правый винт так, что положительное направление вектора.магнитнойиндукции В в некоторой точке пространства при возрастании индукции этой точке совпадет с направлением движения острия винта, то положительное направление:для вектора напряженности электрического поля E при составлении циркуляции вектораЕ вдоль бесконечно малого контура, окружающего эту точку и лежащего,в плоскости, перпендикулярной векторуВ, совпадет с направлением вращения го- ловки винта.
Знак «минус» в правой части (22,4) поставлен для того, г чтобы привести в соответствие действительное направление для E при оговоренных ранее условиях с направлением, принятым для E за положительное.
Как
в первом, так и во втором уравнениях
Максвелла участвуют
частные
(не полные) производные во времени.
Объясняется это тем,
что
уравнения Максвелла записаны для таких
тел и контуров, кото
рые
неподвижны по отношению к выбранной
системе координат.
(Вопросы
электродинамики движущихся сред кратко
рассмотрены
в § 22.9.)
В переменном электромагнитном поле кроме силовых линий элект-, рического поля, «начинающихся» и «оканчивающихся» на электриче- ских зарядах (как в электростатическом поле) могут быть и замкнутые на себя силовые линии электрического поля, охватывающие замкнутые на себя силовые линии магнитного Поля (см., например, рис. 26.5, а).
§
22 5 Уравнения Максвелла в комплексной
форме записи
.
Уравнения (22.1)
и (22 4) записаны
для мгновенных значении. Если H и E
изменяются во
времени синусоидально, то можно
воспользоваться символическим методом
и записать эти уравнения (22.1) и (22 4) в
иной форме. Пусть H =Н
т
sin(ωt
+𝜓 н)
иЕ.
=Е
т
sin(ωt
+𝜓 E ).
Можно записать Н=ImH m e iωt
(Im-
мнимая часть) или, условноH
H m e iωt где комплексная
амплитуда H m
= H m e i 𝜓n . В свою очередьЕ
E m e iωt значок соответствия). Так как напряженностиЕ
и H, кроме того, что они меняются
во семени по синусоидальному закону,
являются функциями векторными т.е.
определенным образом ориентированными
в пространстве векторами то над ними
ставят стрелку и точку:Ё
т
иН
т
.
Стрелка
означает, что речь идет о векторе в
пространстве, точка - отом
что проекции
этого вектора на любую из координатных
осей во времени изменяются
синусоидально. Тогдаможно заменить на γ Ee iωt и
(e iωt как постоянную величину, не зависящую от координат, можно вынести за знак ротора). При этом первое уравнение Максвелла запишем так
Введение Максвеллом понятия тока смещения привело его к завершению созданной им единой макроскопической теории электромагнитного поля, позволившей с единой точки зрения не только объяснить электрические и магнитные явления, но и предсказать новые, существование которых было впоследствии подтверждено.
В основе теории Максвелла лежат рассмотренные выше четыре уравнения:
1. Электрическое поле (см. § 137) может быть как потенциальным (e q), так и вихревым (Е B), поэтому напряженность суммарного поля Е =Е Q +Е B . Так как циркуляция вектора e q равна нулю (см. (137.3)), а циркуляция вектора Е B определяется выражением (137.2), то циркуляция вектора напряженности суммарного поля Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и меняющиеся во времени магнитные поля.
2.
Обобщенная теорема о циркуляции вектора
Н
(см. (138.4)):
Это
уравнение показывает, что магнитные
поля могут возбуждаться либо движущимися
зарядами (электрическими токами),
либо переменными электрическими полями.
3.
Теорема Гаусса для поля D
:
Если заряд распределен внутри замкнутой
поверхности непрерывно с объемной
плотностью ,
то формула (139.1) запишется в виде
4.
Теорема Гаусса для поля В (см.
(120.3)):
Итак, полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:
Величины,
входящие в уравнения Максвелла, не
являются независимыми и между ними
существует следующая связь (изотропные
не сегнетоэлектрические и не ферромагнитные
среды):D
= 0 E
,
В=
0 Н,
j =E , где 0 и 0 - соответственно электрическая и магнитная постоянные, и - соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости, - удельная проводимость вещества.
Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.
Для стационарных полей (Е= const и В =const) уравнения Максвелла примут вид
т.
е. источниками электрического поля в
данном случае являются только
электрические заряды, источниками
магнитного - только токи проводимости.
В данном случае электрические и магнитные
поля независимы друг от друга, что и
позволяет изучать отдельно постоянные
электрическое
и магнитное поля.
Воспользовавшись
известными из векторного анализа
теоремами Стокса и Гаусса
можно
представить полную
систему уравнений Максвелла в
дифференциальной форме
(характеризующих
поле в каждой точке пространства):
Если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла - интегральная и дифференциальная - эквивалентны. Однако когда имеются поверхности разрыва - поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений является более общей.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно. Чтобы достичь математической эквивалентности обеих форм уравнений Максвелла, дифференциальную форму дополняют граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред. Интегральная форма уравнений Максвелла содержит эти условия. Они были рассмотрены раньше (см. § 90, 134):
D 1 n = D 2 n , E 1 = E 2 , B 1 n = B 2 n , H 1 = H 2
(первое и последнее уравнения отвечают случаям, когда на границе раздела нет ни свободных зарядов, ни токов проводимости).
Уравнения Максвелла - наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в механике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом - они образуют единое электромагнитное поле.
Теория Максвелла, являясь обобщением основных законов электрических и магнитных явлений, смогла объяснить не только уже известные экспериментальные факты, что также является важным ее следствием, но и предсказала новые явления. Одним из важных выводов этой теории явилось существование магнитного поля токов смещения (см. § 138), что позволило Максвеллу предсказать существование электромагнитных волн - переменного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью. В дальнейшем было доказано, что скорость распространения свободного электромагнитного поля (не связанного с зарядами и токами) в вакууме равна скорости света с = 3 10 8 м/с. Этот вывод и теоретическое исследование свойств электромагнитных волн привели Максвелла к созданию электромагнитной теории света, согласно которой свет представляет собой также электромагнитные волны. Электромагнитные волны на опыте были получены немецким физиком Г. Герцем (1857-1894), доказавшим, что законы их возбуждения и распространения полностью описываются уравнениями Максвелла. Таким образом, теория Максвелла была экспериментально подтверждена.
К электромагнитному полю применим только принцип относительности Эйнштейна, так как факт распространения электромагнитных волн в вакууме во всех системах отсчета с одинаковой скоростью с не совместим с принципом относительности Галилея.
Согласно принципу относительности Эйнштейна, механические, оптические и электромагнитные явления во всех инерциальных системах отсчета протекают одинаково, т. е. описываются одинаковыми уравнениями. Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца: их вид не меняется при переходе
от одной инерциальной системы отсчета к другой, хотя величины Е, В, D , Н в них преобразуются по определенным правилам.
Из принципа относительности вытекает, что отдельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет относительный смысл. Так, если электрическое поле создается системой неподвижных зарядов, то эти заряды, являясь неподвижными относительно одной инерциальной системы отсчета, движутся относительно другой и, следовательно, будут порождать не только электрическое, но и магнитное поле. Аналогично, неподвижный относительно одной инерциальной системы отсчета проводник с постоянным током, возбуждая в каждой точке пространства постоянное магнитное поле, движется относительно других инерциальных систем, и создаваемое им переменное магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле.Таким образом, теория Максвелла, ее экспериментальное подтверждение, а также принцип относительности Эйнштейна приводят к единой теории электрических, магнитных и оптических явлений, базирующейся на представлении об электромагнитном поле.
№ 14Квантовая частица в одномерной, бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. Собственные значения частицы и собственные нормированные волновые функции, описывающие ее состояние § 220. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» c бесконечно высокими «стенками»
Проведем
качественный анализ решений уравнения
Шредингера применительно к частице в
одномерной прямоугольной «потенциальной
яме» с бесконечно высокими «стенками».
Такая «яма» описывается потенциальной
энергией вида (для простоты принимаем,
что частица движется вдоль оси х)
где l - ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 296).
Уравнение
Шредингера (217.5) для стационарных
состояний в случае одномерной задачи
запишется в виде (220.1)
По
условию задачи (бесконечно высокие
«стенки»), частица не проникает за
пределы «ямы», поэтому вероятность ее
обнаружения (а следовательно, и волновая
функция) за пределами «ямы» равна нулю.
На границах «ямы» (при х = 0 и х
= l
)
непрерывная
волновая функция также должна обращаться
в нуль. Следовательно, граничные условия
в данном случае
имеют вид (220.2)
В пределах «ямы» (0 х l
)
уравнение Шредингера (220.1) сведется к
уравнению
220.3
или 220.4
гдеОбщее
решение дифференциального уравнения
(220.3): (x)
= Asin kx
+
Bcos kx
.
Так как по (220.2) (x)
= 0, то B =
0. Тогда
(220.5)
Условие (220.2) (l
)
= Asin kl
выполняется
только при kl
= n,
где n -
целые числа, т. е. необходимо,
чтобы (220.6)Из
выражений (220.4) и (220.6) следует,
что
(220.7)т.
е. стационарное уравнение Шредингера,
описывающее движение частицы в
«потенциальной яме» с бесконечно
высокими «стенками», удовлетворяется
только при собственных значениях,
зависящих от целого числа n.
Следовательно, энергия E n
частицы
в «потенциальной яме» с бесконечно
высокими «стенками» принимает лишь
определенные дискретные значения, т.
е. квантуется. Квантованные значения
энергии E n
называются
уровнями энергии, а число л, определяющее
энергетические уровни частицы, называется
главным квантовым числом. Таким образом,
микрочастица в «потенциальной яме» с
бесконечно высокими «стенками» может
находиться только на определенном
энергетическом уровне E n ,
или,
как говорят, частица находится в квантовом
состоянии n.
Подставив в (220.5) значение k из (220.6), найдем собственные функции:
Постоянную
интегрирования А
найдем
из условия нормировки (216.3), которое для
данного случая запишется в видеВ
результате интегрирования получим а
собственные функции будут иметь
вид
(220.8)
Графики
собственных функций (220.8), соответствующие
уровням энергии (220.7) при n = 1,
2, 3, приведены на рис. 297,а.
На
рис. 297,б изображена плотность вероятности
обнаружения частицы на различных
расстояниях от «стенок» ямы, равная
| n (x)| 2 = n (x) * n (x)
для n =
1, 2 и 3.
Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с n = 2 частица не может находиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.
Из выражения (220.7) вытекает, что энергетический интервал между двумя сосед ними уровнями равен (220.9)Например, для электрона при размерах ямы l = 10 -1 м (свободные электроны в металле) E n 10 -35 n Дж 10 -16 n эВ, т. е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с атомными (l = 10 -10 м), то для электрона E n 10 -17 n Дж 10 2 n эВ, т. е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр). Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает.
Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная 2 ℏ 2 /(2ml 2). Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты Аде частицы в «яме» шириной l равна x = l . Тогда, согласно соотношению неопределенностей (215.1), импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса р h/l . Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая энергия E min (p) 2 /(2m) = h 2 /(2ml 2). Все остальные уровни (n > 1) имеют энергию, превышающую это минимальное значение.
Из формул (220.9) и (220.7) следует, что при больших квантовых числах (n >> 1) E n /E n 2/n << 1, т. е. соседние уровни расположены тесно: тем теснее, чем больше n. Если n очень велико, то можно говорить о практически непрерывной последовательности уровней и характерная особенность квантовых процессов - дискретность - сглаживается. Этот результат является частным случаем принципа соответствия Бора (1923), согласно которому законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.
Более общая трактовка принципа соответствия, имеющего огромную роль в со временной физике, заключается в следующем: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применения, причем в определенных пре дельных случаях новая теория переходит в старую. Так, формулы кинематики и динамики специальной теории относительности переходят при v<<с в формулы механики Ньютона. Например, хотя гипотеза де Бройля приписывает волновые свойства всем телам, но в тех случаях, когда мы имеем дело с макроскопическими телами, их волновыми свойствами можно пренебречь, т. е. применять классическую механику Ньютона.
№ 15Возникновение электромагнитной волны. Плоская электромагнитная волна. Скорость распространения электромагнитной волны. Энергия, переносимая электромагнитной волной. Вектор Умова-Пойтинга. § 161. Экспериментальное получение электромагнитных волн
Существование электромагнитных волн -
переменного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью,- вытекает из уравнений Максвелла (см. §139). Уравнения Максвелла сформулированы в 1865 г. на основе обобщения эмпирических законов электрических и магнитных явлений. Как уже указывалось, решающую роль для утверждения максвелловской теории сыграли опыты Герца (1888), доказавшие, что электрические и магнитные поля действительно распространяются в виде волн, поведение которых полностью описывается уравнениями Максвелла.
Источником электромагнитных волн в действительности может быть любой электрический колебательный контур или проводник, по которому течет переменный электрический ток, так как для возбуждения электромагнитных волн необходимо создать в пространстве переменное электрическое поле (ток смещения) или соответственно переменное магнитное поле. Однако излучающая способность источника определяется его формой, размерами и частотой колебаний. Чтобы излучение играло заметную роль, необходимо увеличить объем пространства, в котором переменное электромагнитное поле создается.
Поэтому для получения электромагнитных волн непригодны закрытые колебательные контуры, так как в них электрическое поле сосредоточено между обкладками конденсатора, а магнитное - внутри катушки индуктивности.
Герц
в своих опытах, уменьшая число витков
катушки и площадь пластин конденсатора,
а также раздвигая их (рис. 225, а, б), совершил
переход от закрытого колебательного
контура коткрытому
колебательному контуру (вибратору
Герца),
представляющему
собой два стержня, разделенных
искровым промежутком (рис. 225, в).
Если
в закрытом колебательном контуре
переменное электрическое поле
сосредоточено внутри конденсатора
(рис. 225, а), то в открытом оно заполняет
окружающее контур пространство (рис.
225, в), что существенно повышает
интенсивность электромагнитного
излучения. Колебания в такой системе
поддерживаются за счет источника
э.д.с., подключенного к обкладкам
конденсатора, а искровой промежуток
применяется для того, чтобы увеличить
разность потенциалов, до которой
первоначально заряжаются обкладки.
Для возбуждения электромагнитных волн вибратор Герца В подключался к индуктору И (рис.226). Когда напряжение на искровом промежутке достигало пробивного значения, возникала искра, закорачивающая обе половины вибратора, и в нем возникали свободные затухающие колебания. При исчезновении искры контур размыкался и колебания прекращались. Затем индуктор снова заряжал конденсатор, возникала искра и в контуре опять наблюдались колебания и т. д. Для регистрации электромагнитных волн Герц пользовался вторым вибратором, называемым резонатором Р, имеющим такую же частоту собственных колебаний, что и излучающий вибратор, т. е. настроенным в резонанс с вибратором. Когда электромагнитные волны достигали резонатора, то в его зазоре проскакивала электрическая искра.
С помощью описанного вибратора Герц достиг частот порядка 100 МГц и получил волны, длина Я которых составляла примерно 3 м. П. Н. Лебедев, применяя миниатюрный вибратор из тонких платиновых стерженьков, получил миллиметровые электромагнитные волны с =6- 4 мм. Дальнейшее развитие методики эксперимента в этом направлении позволило в 1923 г. советскому физику А. А. Глаголевой-Аркадьевой (1884-1945) сконструировать массовый излучатель, в котором короткие электромагнитные волны, возбуждаемые колебаниями электрических зарядов в атомах и молекулах, генерировались с помощью искр, проскакиваемых между металлическими опилками, взвешенными в масле. Так были получены
Таблица 5волны от 50 мм до 80 мкм. Тем самым было доказано существование волн, перекрывающих интервал между радиоволнами и инфракрасным излучением.
Недостатком вибраторов Герца и Лебедева и массового излучателя Глаголевой-Аркадьевой являлось то, что свободные колебания в них быстро затухали и обладали малой мощностью. Для получения незатухающих колебаний необходимо создать автоколебательную систему, которая обеспечивала бы подачу энергии с частотой, равной частоте собственных колебаний контура. Поэтому в 20-х годах нашего столетия перешли к генерированию электромагнитных волн с помощью электронных ламп. Ламповые генераторы позволяют получать колебания заданной (практически любой) мощности и синусоидальной формы.
Электромагнитные волны, обладая широким диапазоном частот (или длин волн =c/v, где с - скорость электромагнитных волн в вакууме), отличаются друг от друга по способам их генерации и регистрации, а также по своим свойствам. Поэтому электромагнитные волны делятся на несколько видов: радиоволны, световые волны, рентгеновское и -излучения (табл.5). Следует отметить, что границы между различными видами электромагнитных волн довольно условны.
Для описания электромагнитного поля было введено шесть векторов Е, Р, D, В, М и Н. Так как векторы электрического поля Е, Р, D связаны соотношением (1.4), а векторы магнитного поля В, М, Н – соотношением (1.15), то для определения электромагнитного поля можно ограничиться нахождением четырех векторов. Обычно в качестве таких векторов используют векторы Е, D, В и Н. В линейных изотропных средах, для которых справедливы соотношения (1.5) и (1.17), электромагнитное поле может быть полностью определено двумя векторами (обычно Е и Н).
Все электромагнитные процессы, относящиеся к макроскопической электродинамике, подчиняются законам, впервые сформулированным в виде дифференциальных уравнений Дж.К. Максвеллом, которые были опубликованы им в 1873 г. Эти уравнения были получены в результате обобщения накопленных к тому времени экспериментальных данных и называются уравнениями Максвелла.
Первое уравнение Максвелла является обобщением закона полного тока (закона Ампера). В домаксвелловской формулировке это уравнение могло быть сформулировано следующим образом: циркуляция вектора напряженности Н магнитного поля по замкнутому контуру Г равна току I , пронизывающему данный контур:
где dl = τ 0· dl – элемент контура Г, направленный по касательной к Г; τ 0 – орт этой касательной, положительное направление которого выбирается в соответствии с обходом контура Г. В качестве контура Г может быть взят любой одновитковый замкнутый контур.
До Максвелла под током I понимали только ток проводимости. В общем случае распределение тока I внутри контура Г может быть неравномерным. При этом
где j – вектор плотности тока проводимости; S – произвольная поверхность, опирающаяся на контур Г; dS = n0dS , a n0 – орт нормали к поверхности S (рис. 1.6). Направление вектора n0 определяется направлением обхода контура Г. Пусть для определенности все точки поверхности S расположены с одной стороны относительно контура Г. Тогда, если смотреть вдоль вектора n0, обход контура Г будет идти по часовой стрелке. Такую взаимосвязь направлений вектора n0 и обхода контура для краткости будем условно называть правовинтовой системой. Подставляя (1.26) в (1.25), получаем
Рис. 1.6. Орт нормали к поверхности S
Уравнение (1.27), справедливое при постоянном токе, оказывается неверным в случае переменных процессов. Действительно, рассмотрим конденсатор, включенный в цепь переменного тока (рис. 1.7). Пусть Г – замкнутый контур, охватывающий провод, по которому течет переменный ток. Правая часть уравнения (1.27) представляет собой интеграл от плотности тока проводимости j по произвольной поверхности S, опирающейся на контур Г. Эту поверхность можно провести так, чтобы она либо пересекла провод (поверхность S1 на рис. 1.7), либо прошла между обкладками конденсатора (поверхность S2). Интеграл в правой части уравнения (1.27) в первом случае равен току I , а во втором обращается в нуль. В то же время циркуляция напряженности магнитного поля по контуру Г (левая часть уравнения) не зависит от того, как проведена поверхность S. Это противоречие свидетельствует о непригодности уравнения (1.27) для описания переменных полей.
Рис. 1.7. Конденсатор, включенный в цепь переменного тока
Максвелл дал обобщенную формулировку закона полного тока. Он ввел фундаментальное понятие тока смещения и, основываясь на работах Фарадея, предположил, что в случае переменных полей ток смещения с точки зрения образования магнитного поля равноценен току проводимости. Примером электрической системы, в которой преобладают токи смещения, может служить рассмотренный выше конденсатор в цепи переменного тока. Переменный ток может циркулировать между обкладками конденсатора даже в том случае, когда они разделены идеальным диэлектриком или находятся в вакууме и, следовательно, образование тока проводимости невозможно. Соединительный провод, по которому течет ток проводимости, окружен кольцевыми линиями магнитного поля, которые как бы образуют "оболочку" вокруг всего провода. Максвелл предположил, что эта "оболочка" не обрывается у пластин конденсатора, а образует непрерывную поверхность, т.е. изменяющееся электрическое поле конденсатора также окружено кольцевыми линиями магнитного поля. Таким образом, переменное электрическое поле, так же как и ток проводимости, сопровождается появлением магнитного поля. Это дало основание ввести понятие о новом виде тока, получившем название тока смещения. Плотность тока смещения определяется формулой:
Как и плотность тока проводимости, она измеряется в А/м2.
Подчеркнем, что ток проводимости и ток смещения в вакууме имеют различную физическую сущность. Ток проводимости – это упорядоченное движение свободных электрических зарядов. Ток смещения в вакууме соответствует только изменению электрического поля и не сопровождается каким-либо движением электрических зарядов. В вакууме D = ε0Е и уравнение (1.28) принимает вид .Ток смещения в вакууме не сопровождается выделением тепла.
Рассмотрим общий случай, когда ток смещения возникает в какой-либо среде. Вектор электрического смещения связан с векторами Е и Р соотношением (1.4). Подставляя это соотношение в (1.28), получаем
.
Первое слагаемое в правой части этой формулы совпадает с выражением для плотности тока смещения в вакууме, т.е. определяет как бы "чистый" ток смещения, не связанный непосредственно с движением зарядов. Второе слагаемое определяет ток смещения, обусловленный движением зарядов, связанных с атомами вещества, в результате действия переменного поля. Эту составляющую тока смещения можно рассматривать как своеобразный ток проводимости, так как она, по существу, обусловлена упорядоченным перемещением связанных зарядов. На ее поддержание в реальной среде затрачивается некоторая часть энергии электромагнитного поля.
Вернемся к закону полного тока. Как уже указывалось, Максвелл предположил, что уравнение (1.25) имеет частный характер, так как не учитывает токов смещения. Для того чтобы оно было справедливым и в случае переменных полей, нужно в его правую часть помимо тока проводимости I ввести ток смещения I см:
. (1.29)
Ток смещения выражается через плотность тока смещения jc м соотношением:
. (1.30)
Подставляя формулы (1.26) и (1.30) в (1.29), получаем
. (1.31)
Уравнение (1.31) сформулировано применительно к контуру конечных размеров. Оно представляет собой первое уравнение Максвелла в интегральной форме.
Максвеллом этот закон был сформулирован также в дифференциальной форме. Для перехода к дифференциальной форме воспользуемся теоремой Стокса (П. 20). Заменяя в уравнении (1.31) циркуляцию вектора Н интегралом от rot H по поверхности S, получаем
. (1.32)
Так как S-произвольная поверхность, то равенство (1.32) возможно только в том случае, если
. (1.33)
Равенство (1.33) называют первым уравнением Максвелла. Векторное уравнение (1.33) эквивалентно трем скалярным уравнениям, которые в декартовой системе координат х, у, z имеют вид